Geometría diferencial de curvas y superficies - Taller 4

Geometría diferencial de curvas y superficies - Taller 4 G. Padilla. http://gabrielpadillaleon.wordpress.com Ofic. 315-404 Departamento de Matemáticas. Facultad de Ciencias. Universidad Nacional de Colombia. gipadillal@unal.edu.co Un campo vectorial en una superficie S es una función w que a cada p S le asigna un vector w(p) T p (S). Decimos que w es derivable en p si hay algún entorno parametrizado (X, U) p las funciones coordenadas a, b definidas en U tales que w = ax u + bx v son derivables en p. Asimismo w es derivable es derivable en todo punto de S. Dos campos vectoriales w 1 son linealmente independientes w 1 (p) (p) son linealmente independientes para cada p S. (1) Verifica que la derivabilidad de un campo vectorial w en un punto no depende de la carta elegida. () Dado un campo vectorial w derivable en p S; muestra que existe una curva integral α de w que pasa por p. (3) Dados dos campos vectoriales w 1 linealmente independientes en un entorno de p S; muestra que existe un entorno parametrizado (X; U) tal que w 1 da los vectores tangentes de las v-curvas, y w da los vectores tangentes de las v curvas. (4) Muestra que el campo vectorial definido en el toro T que asigna a cada punto el vector tangente de la curva meridiana que pasa por él; es un campo derivable. (5) Verifica que un campo vectorial w definido en una superficie regular S es derivable w es derivable cuando se le considera como una función S R 3. (6) Muestra que si w es un campo derivable en p tal que w(p) 0 entonces existe una carta (X, U) tal que X u = w. (7) Sea X(u, v) = ((a + r cos(u)) cos(v), (a + r cos(u))sen(v), sen(u)) 0 u, v π una parametrización del toro T, a, b R constantes y α(t) = X(at, bt), t R una curva contenida en el toro. Demuestra que (a) α es una curva regular. (b) α es cerrada b/a Q. (c) Si b/a es irracional entonces la imagen de α es densa en T. (d) Haz un dibujo de α para b/a = 1, 0, 1. (8) Muestra que para cada p S hay un entorno parametrizado (X, U) tal que las u-curvas y las v-curvas son ortogonales. Un dominio regular de una superficie S R 3 es un subconjunto abierto y conexo A S tal que su frontera A = C S es una curva cerrada simple. Una región de S es la unión R = A ( A) de un dominio regular y su frontera. Una región R S es acotada está contenida en alguna bola abierta. (9) Sea (X, U) una carta parametrizada de S y R X(U) una región acotada contenida en el abierto coordenado. (a) Muestra que el área de R, definida por la integral A(R) = X u dudv, no depende de la parametrización X. (b) R Muestra que X u = X u X v X u, X v 1

(c) Verifica que en coordenadas locales X u = EG F donde E, F, G son los coeficientes de I 1. (10) Calcula el área del toro dado por la parmetrización del ejercicio (11) Muestra que toda superficie de revolución puede ser parametrizada de tal modo que E = E(u), F = 0 y G = 1. (1) Calcula los coeficientes E, F, G para la parametrización de R en coordenadas polares X(r, θ) = (r cos(θ), rsen(θ)). (13) Si (X, U), (Y, V ) son dos cartas parametrizadas en p S, y Φ = Y 1 X; muestra que N X (p) = det(φ (p))n Y (p); donde N X, N Y son los vectores normales de las parametrizaciones respectivas. Dos cartas parametrizadas (X, U), (Y, V ) de p S poseen la misma orientación en p si y sólo si N X (p) = N Y (p). (14) Si (X, U), (Y, V ) poseen la misma orientación en p, entonces poseen la misma orientación en todo un entorno de p contenido en S. Decimos que (X, U), (Y, V ) poseen la misma orientación poseen la misma orientación en todo punto p X(U) Y (V ). Decimos que (X, U), (Y, V ) preservan la orientación el determinante del jacobiano Φ = Y 1 X es siempre positivo. Dado un camino α derivable [0, 1] S contenido en una superficie S, decimos que α es orientable si se puede cubrir con un número finito de cartas que poseen la misma orientación en todo punto del camino. Decimos que S es orientable posee un cubrimiento por cartas U = {(X ı, U ı )} ı que preservan orientación a. (15) Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) S es orientable. (b) Hay una N función derivable bien definida S que asigna a cada punto p S un vector normal unitario N(p) T p (S). (c) S posee un cubrimiento por cartas que poseen la misma orientación a. (16) Decide cuáles de las superficies básicas conocidas son orientables (vea los talleres anteriores). (17) Sea R 3 R una función derivable y a un valor regular de f. Muestra que S = {(x, y, z) R 3 : f(x, y, z) = a} es orientable. (18) Si S se puede cubrir con dos cartas cuya intersección es conexa, muestra que es orientable. (19) Si S se puede cubrir con dos abiertos coordenados V 1, V cuya intersección V 1 V = W 1 W es unión de dos componentes conexas, de modo que el determinante del jacobiano es positivo en W 1 y negativo en W ; muestra que S no es orientable. (0) Si S 1 es un difeomorfismo y S 1 es orientable; muestra que es orientable.

3 N Una orientación de S es, en adelante, una función derivable S S como en la parte (c) del problema (7). Decimos asimismo que la función N una función de Gauss para S. (1) Muestra que toda superficie orientable posee exactamente dos orientaciones. () Sea N una función de Gauss en S. (a) Muestra que T p (S) = T N(p) ( ). (b) Para cada vector tangente v = α (t) en p; muestra que dn p (v) = N(α(t)). t (3) Verifica que dn p (v), w = v, dn p (w) para cada par de vectores tangentes v, w. Deduce que dn p es un operador lineal simétrico (autoadjunto). La segunda forma fundamental en p S es la forma cuadrática II p (w) = w, dn p (w). Sea w un vector tangente unitario en p. Escribamos w = α (s) para alguna curva regular α parametrizada por longitud de arco, que pasa por p = α(s). Sea n(s) es el vector normal a α en p. La curvatura normal de S en p en la dirección de w es k n (p, w) = k(s) n(s), N(p) donde k es la curvatura de α. (4) Verifica que II p (w) = k n (w, p). (5) Muestra que w = v entonces k n (p, v) = k n (p, w). De este modo, la curvatura normal depende de la dirección del vector w. (6) Calcula la segunda forma fundamental de las superficies básicas conocidas son orientables (vea los talleres anteriores). (7) Muestra que la curvatura normal k n (p, ) alcanza su supremo k 1 y su ínfimo k. Más aún, existen dos vectores ortonormales e 1 (p), e (p) de T p (S) tales que dn p (e j (p)) = k j e j (p); j = 1,. Estos vectores se llaman direcciones principales de S en p. Ayuda: Usa el ejercicio (15) y busca una base ortonormal de autovectores para dn p. α Una línea de curvatura en S es una curva regular I S tal que la recta tangente a α en α(t) es una direción principal, para cada t I. (8) α(t) es una línea de curvatura hay una función real λ derivable en I tal que dn α(t) (α (t)) = λ(t)α (t). (9) Si v T p (S) es un vector tangente unitario y θ es el ángulo que forman v y e 1 (p); muestra que k n (p, v) = k 1 cos (θ) + k sen (θ). Dado p S; la curvatura de Gauss de S en p es el determinante de dn p. La curvatura media de S en p el opuesto de la media traza de dn p ; y satisfacen: K = det(dn p ) = k 1 k H = 1 traza(dn p) = k 1 + k (30) Sean N u = a 11 X u + a 1 X v y N v = a 1 X u + a X v las coordenadas de las derivadas parciales de N en la base {X u, X v } de T p (S). Sean e = N, X uu, f = N, X uv, g = N, X vv. (a) Sea α(t) = X(u(t), v(t)) una curva regular que pasa por p. Muestra que II p (α ) = e(u ) + f(u )(v ) + g(v ). (b) Muestra que ( ) ( ) ( ) e f a11 a = 1 E F f g a 1 a F G

4 (c) Usa la igualdad anterior para mostrar que K = eg f eg ff + ge H = EG F La superficie S en un punto p es Elíptica: Si K > 0. Hiperbólica: Si K < 0. Parabólica: Si K = 0 y dn p 0. Plana: Si dn p = 0. (31) Calcula las curvaturas media y de Gauss para las superficies básicas conocidas (vea los talleres anteriores). Usa las identidades del problema anterior. Decide cuáles de ellas son elípticas, hiperbólicas, parabólicas o planas. (3) Muestra que si S es tangente a un plano fijo P R 3 a lo largo de una curva α(t); entonces los puntos de α son parabólicos o planares. (33) Si C es una curva en S y K > 0; muestra que la curvatura k de C satisface k min(k 1, k ). (34) Muestra que H = 1 π k π 0 n(θ)dθ; donde k n (θ) es la curvatura normal en p, con una dirección que hace ángulo θ respecto a e 1 (p). (35) Muestra que la suma de las curvaturas medias en cualquier par de direcciones ortogonales en p S es constante. (36) Describe la región de la imagen del mapa de Gauss en para las siguientes superficies: (a) z = x + y. (b) x + y = z + 1. (37) Si H 0 y S no posee puntos planares, muestra que dn p (v), dn p (w) = K(p) v, w para todo p S, v, w T p (S). Un isometría entre superficies S 1 es un difeomorfismo S 1 que preserva el producto interno en los vectores tangentes; es decir w 1 = df p (w 1 ), df p (w ) para cada p S, w 1 T p (S). Las superficies S 1 son isométricas si hay una isometría entre ellas. Un isometría local en p S 1 es una función derivable S 1 tal que la restricción de f a algún entorno abierto V p de S 1 es una isometría en su imagen. En tal caso, S 1 son localmente isométricas en p. (38) Verifica que S 1 S es una isometría preserva la primera forma fundamental: I p (w) = I f(p) (df p (w)) para todo p S, w T p (S). (39) Muestra que el cilindro x + y = 1 en R 3 es localmente isométrico a un plano; sin embargo no es globalmente isométrico. (40) Sean (X 1, U) y (X, U) entornos parametrizados de S 1 respectivamente, definidos en el mismo entorno abierto U R. Si E 1 = E,F 1 = F y G 1 = G ; muestra que Φ = X 1 X 1 es una isometría (local). (41) Muestra que S 1 es una isometría local en p hay un entorno parametrizado (X, U) en p y un entorno parametrizado (Y, V ) en f(p) tales que [ f ] O().

5 (4) Sea S 1 la superficie de parametrizada X(u, v) = (cosh(u) cos(v), cosh(u)sen(v), v) u, v R llamada catenoide, y la superficie parametrizada Y (u, v) = (cos(u) cos(v), cos(u)sen(v), v) u, v R llamada helicoide. Muestra que S 1 son localmente isométricas. (43) Muestra que toda isometría entre superficies preserva la longitud de arco.