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UNIIDAD Nº º NÚMEEROSS REEALLEESS! Resuelve tú ( Pág "# ) Resuelve la ecuación : 9x + 8x 6 ; 9x + 8x 6 ; 9x 8x 8; 9x 8x 8x 8x 8 ; x - 8. Resuelve tú ( Pág "" ) Completa la resolución de 7x 6x + { pasar como +} 7x 6x + + pasa al º como+ pasa 6x alº como -6x 7x 6x + 7x 6x + + 7x 6x 9 x 9 Resuelve tú ( Pág $%% ) Resuelve la ecuación : x 0 9x ; x 9 x 0 ; x ; x /. PROBLLEMAS PROPUESTOS La escritura decimal de 8/, es finita o periódica? El denominador, como el único factor es un, el número decimal será finito, exacto. 8/ 0. Halla los períodos de los siguientes números racionales: (a) 6' ) (b) 0' 87 (c) 0' 09 (d) ) 0' 9 7 7

UNIIDAD Nº º NÚMEEROSS REEALLEESS! Demuestra que 7 no es racional por reducción al absurdo. a Hipótesis : 7, es decir, la raíz de siete se puede escribir como un número racional b ( fracción a/b irreducible). & b 7 a ( b 7) a 7b a 7 ' Sí la fracción a/b es irreducible ( no tiene factores comunes, son primos entre sí ) su cuadrado a / b tampoco ha de tener factores comunes, pero según el paso anterior hemos demostrado que su cociente es 7, luego no son primos entre sí, con lo que llegamos a una contradicción respecto de la hipótesis y hemos de concluir, por reducción al absurdo, que no se puede cumplir la hipótesis, es decir el número no es racional. El Papiro Rhind (hacia 700 a. C.) muestra que los egipcios utilizaban ( 6/9 ) como aproximación de π. Es mayor o menor que el verdadero valor? Es mejor aproximación que /7? 6 6 '60987 9 8, luego es mayor que π y es peor aproximación que /7. '87 7 Hay algún valor de x que verifique la ecuación 8x - ( + x) 6(x - )? 8x ( + x) 8x x ; 6x 6(x ) 6x 6 Como 6x 6x 6 ya que - 6, no tiene solución, no hay ningún valor de x que verifique la ecuación. 6 Busca el gazapo en esta cadena de operaciones: a b

UNIIDAD Nº º NÚMEEROSS REEALLEESS! (x ) + 0x + 0x + 7 7x + (x + ) 7x + x + 0x + { Dividiendo por 0 numerador y denominador } 7 x + 0 x + 0 El error está en el tercer paso, que no se divide por 0 nada más que el primer sumando pero no el segundo y, para dividir una suma por un número, hay que dividir, por ese número, todos los sumandos. 7 Cuáles de estos números son irracionales? (a) (b) π (c) 8 Los apartados (a) y (b) sí son irracionales, ya que puede transformar y simplificar : y π, lo son, pero el apartado (c) se 8 6, luego no es irracional. 8 Completa estas igualdades: (a) ( + )( ) ( ) ( ) ( )( + ) (b) ( )( + ) 8 + 6 ( ) ( ) 8 6 8 8 6 8 8 Sin necesidad de racionalizar : ( ) (c) ( ) ( ) + ( ) + 8 Para que sea igual a : 8 + ( 6 + )

UNIIDAD Nº º NÚMEEROSS REEALLEESS! 9 Es cierto que -a a para todo número real a.? Sí, pues según la definición de valor absoluto -a a y a a. 0 Completa estas igualdades: (a) ( 7') 7' 7' (b) ( 7) 9 (c) ( ) (d) ( 8) ( ) Halla varias aproximaciones racionales, por exceso y por defecto, de 0. 0 '69... 99 ) ' > 900 0 > ' 0 Explica si es correcta o no esta cancelación: (x + 0) x + 7 {cancelar 0} (x) x + 7-0 No, pues al restar 0 en el primer miembro queda 6x + 0, ya que el multiplica a los dos sumandos ( x + 0 ) 6x + 0, y al restar 0 no queda (x). Escribe en notación científica: (a) 899 000 000 8 99 0 8 (b) 0 00 00 0 - (c) 0 0 0 (d) 0 000000000 0 0-0

UNIIDAD Nº º NÚMEEROSS REEALLEESS! Aproxima π hasta las centésimas. /π 0 80988 0 Son ciertas estas igualdades? (a) 6 9 6 8, pues la raíz de una suma no es la suma de las raíces. (b) x y (xy) xy Cierta (c) a + b a + b. No es cierta por la misma razón que el apartado (a), la raíz de una suma no es la suma de las raíces. 6 Efectúa en tu calculadora el producto de.67.89 x 8.98.7.. Qué significas lo que aparece en la pantalla? Es el resultado exacto? Por qué? 67 89 x 8 98 7 67078 0 7, está en notación científica con 0 cifras significativas. Es una aproximación porque en la pantalla de la calculadora no caben todas las cifras del resultado, aunque internamente la operación la hace exacta el resultado al no poder presentarlo, presenta una aproximación con los 0 dígitos que caben. Si realizamos la operación con un programa informática ( Derive por ejemplo ) el resultado exacto obtenido es 6 707 89 98 66. 7 Demuestra que la relación indicada en la Figura., que puedes observar en la introducción de esta Unidad, es en efecto : (Ayuda:, BC y CA miden lo mismo.) El triángulo C es equilátero, el lado es lo que mide el ancho del rectángulo y el largo o

UNIIDAD Nº º NÚMEEROSS REEALLEESS! 6 alto mide el doble de la altura del triángulo, hallemos la altura, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo CGB : CB + h Como CB h Como el lado menor del rectángulo mide EF HI y el mayor EH FI CD CG h se cumple : Lado mayor Lado menor h ;relación: : AUTOEVALUACIIÓN (a) La suma y el producto de dos números racionales, son siempre racionales? (b) La suma y el producto de dos irracionales, son siempre irracionales? (a) Sí (b) Sí. Cuáles de estas igualdades son correctas? (a) 7 -, correcta.

UNIIDAD Nº º NÚMEEROSS REEALLEESS! 7 (b) - a - a - a, No es correcta. (c) - - -, correcta. (d) - 9 - - -, incorrecta. Halla dos puntos de la recta real que disten del punto. El centro es y los puntos son el + 6 y el -, que son las soluciones de la ecuación en valor absoluto : x x x 6 x x Es cierto que d(a, - b) d(- a, b) para todo par de números reales a y b? Aplicando la definición : d( a, - b ) - b a - ( a+ b) a + b d( -a, b) b (-a) b+a b + a a + b, luego sí es la misma. Y gráficamente : Completa estos tríos, donde m denota el punto medio entre a y b: (a) a, b 0, m (b) a -, b, m (c) a, b -, m -0

UNIIDAD Nº º NÚMEEROSS REEALLEESS! 8 a + b + 0 (a) a, b 0 m ' (b) a -, m b m a ( ) 6 + 9 (c) b -, m - 0, a m b ( 0) ( ) 0 + 8. 6 Es irracional la raíz cuadrada de cualquier entero impar? No, por ejemplo el número 9 es impar y 9 7, que no es irracional. 7 Cuáles de estas igualdades son correctas? (a), correcta. (b) 9 8 6, incorrecta. (c) Incorrecta, pues la suma de raíces, no es igual a la raíz de una suma. (d) (e) 6 8 9 Incorrecta. 0 Correcta. 8 Busca el gazapo en esta cadena de pasos: x + x ( x 6) / ( x + x x ( x 0 ( x. El error reside en el último paso, pues si x 0 x ± ±, tiene dos soluciones. 9 Utilizando cancelaciones, halla x sabiendo que x-8x+7.

UNIIDAD Nº º NÚMEEROSS REEALLEESS! 9 x 8 x + 7,{ sumamos a ambos miembros 8 }; x 8 + 8 x + 7 + 8; x x + 90, { sumamos x a ambos miembros }, x x x + 90 x ; x 90, { multiplicamos ambos miembros por /), x (/) 90 (/) ; x 0. 0 Si a < b y c < d, implica eso que ac < bd? Siempre que a, b, c y d sean positivos, si no es así, no se cumplirá. Decide si es cierta esta afirmación: Si a < 0 entonces a > 0. El cuadrado de todo número distinto de cero es siempre positivo. Completa estas igualdades: (a) 60 0 0 0 0 7 6 (b) 6 6 6 6 6 6 (c) ( + )( ) ( ) ( ) 8 8 8 (d) ( ) n Si n es un entero positivo, es cierto que n n 0 n 0 ( n) n

UNIIDAD Nº º NÚMEEROSS REEALLEESS! 0 Escribe en notación científica: (a) 07 9 0 79 0 (b) 0 000 000 0 0 7 (c) 9008 9008 0 (d) 0 000000000 0 0-0 Se puede comprar un televisor con 8 ( x0 ) x( x0 ) x( 6x0 ) 6 ( 9x0 ) x( 8x0 ) 8+ xx6x0 7x0 9 6 x0 0 6 6 9x8x0 7x0 9 000 ptas. Aún no dan televisores ( nuevos) por mil pesetas. 6 Son correctas estas relaciones? x (a) x x Correcta. x (b) xy x y xy Incorrecta. (c) x + y x + y x + y xy x + y Incorrecta. (d) x x 0 x +0 x x 0 Incorrecta. 7 Es cierto en general que x + y x + y? No es cierto, ya hemos dicho anteriormente que la raíz de una suma no es igual a la suma de las raíces.

UNIIDAD Nº º NÚMEEROSS REEALLEESS! 8 Teclea en tu calculadora la operación 8. Interpreta el resultado que verás aparecer en su pantalla. 8 77 0. Es una aproximación pues no se pueden presentar en pantalla todos los dígitos del resultado correcto, que es : 77 6 7 9 0 6.