674 Capítlo 1: Los ectores la geometría del espacio c. Obtenga las coordenadas del pnto donde se cortan las medianas del DABC. De acerdo con el ejercicio 17 de la sección 6.6, este pnto es el centro de masa de la placa. x z A(4,, 0) C(1, 1, 3) c.m. 5. Determine el ector del origen al pnto de intersección de las medianas del triánglo cos értices son As1, -1, d, Bs, 1, 3d, Cs -1,, -1d. M B(1, 3, 0) 53. Sea ABCD n cadrilátero en el espacio (no necesariamente en el plano). Demestre qe los dos segmentos qe nen los dos pntos medios de los lados opestos de ABCD se bisecan entre sí. (Sgerencia: Mestre qe los segmentos tienen el mismo pnto medio). 54. Desde el centro de n polígono reglar de n lados en el plano se trazan ectores hasta los értices del polígono. Demestre qe la sma de los ectores es igal a cero. (Sgerencia: Qé pasa con la sma si sted hace girar el polígono en torno a s centro?) 55. Sponga qe A, B C son los értices de n triánglo qe a, b c son, respectiamente, los pntos medios de los lados opestos. De 1 1 1 mestre qe Aa + Bb + Cc = 0. 56. Vectores nitarios en el plano Demestre qe n ector nitario en el plano se pede expresar como 5 (cos )i 1 (sen )j, obtenido al hacer girar el ector i n ánglo en dirección contraria a las manecillas del reloj. Expliqe por qé calqier ector nitario en el plano pede expresarse en esta forma. 1.3 F Longitd F cos El prodcto pnto FIGURA 1.19 La magnitd de la ferza F en la dirección del ector es la longitd F cos de la proección de F sobre. Si se aplica na ferza F a na partícla qe se mee a lo largo de na traectoria, con frecencia necesitamos conocer la magnitd de la ferza en la dirección de moimiento. Si es paralelo a la recta tangente a la traectoria en el pnto donde se aplica F, bscamos la magnitd de F en la dirección de. La figra 1.19 indica qe la cantidad escalar qe bscamos es la longitd de F cos, donde es el ánglo entre los dos ectores. En esta sección mostraremos cómo calclar fácilmente el ánglo entre dos ectores a partir de ss componentes. Una parte clae del cálclo es na expresión llamada el prodcto pnto. El prodcto pnto también se conoce como prodcto interno o escalar porqe el prodcto da como resltado n escalar, no n ector. Despés de inestigar al prodcto pnto, lo aplicaremos para determinar la proección de n ector sobre otro (como se ilstra en la figra 1.19) para determinar el trabajo realizado por na ferza constante qe actúa a lo largo de n desplazamiento. Ánglo entre ectores Cando dos ectores no nlos se colocan de manera qe ss pntos iniciales coincidan, forman n ánglo con medida 0 ##p(figra 1.0). Si los ectores no están en la misma recta, el ánglo se mide en el plano qe los contiene. Si los ectores están alineados, el ánglo entre ellos es igal a cero si apntan a la misma dirección, p si apntan en direcciones opestas. El ánglo es el ánglo entre. El teorema 1 ofrece na fórmla para determinar este ánglo. FIGURA 1.0 El ánglo entre. TEOREMA 1: Ánglo entre dos ectores El ánglo entre dos ectores no nlos 5 8 1,, 3 9 5 8 1,, 3 9 está dado por = cos -1 a 1 1 + + 3 3 b. ƒ ƒƒ ƒ Antes de demostrar el teorema 1, enfocaremos nestra atención en la expresión 1 1 1 1 3 3 en el cálclo de. Esta expresión es la sma de los prodctos de los componentes correspondientes a los ectores.
1.3 El prodcto pnto 675 DEFINICIÓN El prodcto pnto? ( pnto ) de los ectores 5 8 1,, 3 9 5 8 1,, 3 9 es # = 1 1 + + 3 3. w EJEMPLO 1 (a) 81, -, -19 # 8-6,, -39 = s1ds -6d + s -dsd + s -1ds -3d = -6-4 + 3 = -7 (b) a 1 i + 3j + kb # 1 s4i - j + kd = a bs4d + s3ds -1d + s1dsd = 1 El prodcto pnto de n par de ectores bidimensionales se define de n modo similar: 8 1, 9 # 81, 9 = 1 1 +. A lo largo del resto del libro eremos qe el prodcto pnto es na herramienta clae, no sólo para la obtención del ánglo entre dos ectores, sino también para mchos cálclos físicos geométricos importantes en el espacio ( en el plano). Preba del teorema 1 Al aplicar la le de los cosenos [ecación (8), sección 1.3] al triánglo de la figra 1.1, encontramos qe ƒ w ƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ - ƒ ƒƒ ƒ cos Le de los cosenos ƒ ƒƒ ƒ cos = ƒ ƒ + ƒ ƒ - ƒ w ƒ. Como w 5, la forma componente de w es 8 1 1,, 3 3 9. De esta forma, FIGURA 1.1 La le del paralelogramo de la sma de ectores da w 5. ƒ ƒ = A 1 + + 3 B = 1 + + 3 ƒ ƒ = A 1 + + 3 B = 1 + + 3 ƒ w ƒ = A s 1-1 d + s - d + s 3-3 d B = s 1-1 d + s - d + s 3-3 d = 1-1 1 + 1 + - + + 3-3 3 + 3 Por lo tanto, ƒ ƒ + ƒ ƒ - ƒ w ƒ = s 1 1 + + 3 3 ). Como 0 #,p, tenemos ƒ ƒƒ ƒ cos = ƒ ƒ + ƒ ƒ - ƒ w ƒ = s 1 1 + + 3 3 d ƒ ƒƒ ƒ cos = 1 1 + + 3 3 cos = 1 1 + + 3 3. ƒ ƒƒ ƒ = cos -1 a 1 1 + + 3 3 b. ƒ ƒƒ ƒ En la notación del prodcto pnto, el ánglo entre dos ectores pede escribirse como = cos -1 a # b. ƒ ƒƒ ƒ
676 Capítlo 1: Los ectores la geometría del espacio EJEMPLO Obtenga el ánglo entre 5 i j k 5 6i 1 3j 1 k. Solción Utilizamos la fórmla anterior: # = s1ds6d + s -ds3d + s -dsd = 6-6 - 4 = -4 ƒ ƒ = s1d + s -d + s -d = 9 = 3 ƒ ƒ = s6d + s3d + sd = 49 = 7 = cos-1 a # b ƒ ƒƒ ƒ = cos -1 a -4 b L 1.76 radianes. s3ds7d La fórmla para el ánglo también se aplica a ectores bidimensionales. B(3, 5) EJEMPLO 3 Determine el ánglo del triánglo ABC determinado por los értices A 5 (0, 0), B 5 (3, 5) C 5 (5, ) (figra 1.). 1 A 1 C(5, ) x Solción El ánglo es el ánglo entre los ectores CA 1 CB 1. Las expresiones en componentes de estos dos ectores son CA 1 = 8-5, -9 CB 1 = 8-, 39. FIGURA 1. El triánglo del ejemplo 3. Primero calclamos el prodcto pnto las magnitdes de estos dos ectores. CA 1 # 1 CB = s -5ds -d + s -ds3d = 4 ƒ CA 1 ƒ = s -5d + s -d = 9 ƒ CB 1 ƒ = s -d + s3d = 13 Lego, aplicando la fórmla del ánglo, tenemos = cos -1 CA 1 # 1 CB ƒ CA 1 ƒƒcb 1 ƒ = cos -1 4 A 9BA13B L 78.1 o 1.36 radianes. Vectores perpendiclares (ortogonales) Dos ectores no nlos son perpendiclares ortogonales si el ánglo entre ellos es p. Para tales ectores tenemos qe? 5 0, a qe cos(p) 5 0. El recíproco también es cierto. Si son ectores no nlos con? 5 cos 50, entonces cos 50 5cos 1 0 5p. DEFINICIÓN si? 5 0. Los ectores son ortogonales (o perpendiclares) si sólo EJEMPLO 4 Para determinar si dos ectores son ortogonales, calcle s prodcto pnto. (a) 5 83, 9 5 84, 69 son ortogonales porqe? 5 (3)(4) 1 ()(6) 5 0. (b) 5 3i j 1 k 5 j 1 4k son ortogonales porqe? 5 (3)(0) 1 ()() 1 (1)(4) 5 0.
1.3 El prodcto pnto 677 (c) 0 es ortogonal a calqier ector, pesto qe 0 # = 80, 0, 09 # 81,, 3 9 = s0ds 1 d + s0ds d + s0ds 3 d = 0. Propiedades del prodcto pnto proecciones de ectores El prodcto pnto cmple arias de las lees álidas para prodctos ordinarios de números reales (escalares). Propiedades del prodcto pnto Si, w son tres ectores calesqiera c es n escalar, entonces 1. # = #. 3. 4. # = ƒ ƒ # s + wd = # + # w 5. 0 # = 0. scd # = # scd = cs # d BIOGRAFÍA HISTÓRICA Carl Friedrich Gass (1777 1855) Demostración de las propiedades 1 3 Las propiedades son fáciles de demostrar sando la definición. Por ejemplo, aqí están las demostraciones de las propiedades 1 3. 1. 3. # = 1 1 + + 3 3 = 1 1 + + 3 3 = # # s + wd = 81,, 3 9 # 81 + w 1, + w, 3 + w 3 9 Q = 1 s 1 + w 1 d + s + w d + 3 s 3 + w 3 d = 1 1 + 1 w 1 + + w + 3 3 + 3 w 3 P R S = s 1 1 + + 3 3 d + s 1 w 1 + w + 3 w 3 d = # + # w Q R FIGURA 1.3 sobre. P S El ector proección de Regresemos ahora al problema planteado al principio de esta sección: la proección de 1 n ector sobre otro. El ector proección de sobre n ector no nlo (figra 1.3) es el ector PR 1 = PQ 1 = PS determinado al trazar na perpendiclar desde Q hasta la recta PS. La notación para este ector es pro ( el ector proección de sobre ). Si representa na ferza, entonces la pro representa la ferza efectia en la dirección de (figra 1.4). Si el ánglo entre es agdo, pro tiene la longitd cos dirección (figra 1.5). Si es obtso, cos,0 pro tiene na longitd cos dirección. En ambos casos Ferza pro = s ƒ ƒ cos d ƒ ƒ pro FIGURA 1.4 Si tiramos de la caja con na ferza, la ferza efectia qe mee la caja en la dirección es la proección de sobre. = a # b ƒ ƒ ƒ ƒ = a # ƒ ƒ b. ƒ ƒ cos = ƒ ƒƒ ƒ cos ƒ ƒ = # ƒ ƒ
678 Capítlo 1: Los ectores la geometría del espacio pro pro Longitd cos Longitd cos (a) (b) FIGURA 1.5 La longitd de pro es (a) cos si cos $0 (b) cos si cos,0. El número cos se conoce como el componente escalar de en la dirección de (o de sobre ). Resmiendo: El ector proección de sobre es el ector pro = a # ƒ ƒ b. El componente escalar de en la dirección de es el escalar (1) ƒ ƒ cos = # ƒ ƒ = #. ƒ ƒ () Obsere qe tanto el ector proección de sobre como el componente escalar de sobre sólo dependen de la dirección del ector no de s longitd (pes hacemos el prodcto pnto de con, qe es la dirección de ). EJEMPLO 5 Determine el ector proección de 5 6i 1 3j 1 k sobre 5 i j k el componente escalar de en la dirección de. Solción De la ecación (1) obtenemos pro pro = # = 6-6 - 4 si - j - kd 1 + 4 + 4 =- 4 9 si - j - kd =-4 9 i + 8 9 j + 8 9 k. A partir de la ecación (), determinamos el componente escalar de en la dirección de : ƒ ƒ cos = # ƒ ƒ = s6i + 3j + kd # a 1 3 i - 3 j - 3 kb = - - 4 3 =-4 3. Las ecaciones (1) () también se aplican a los ectores bidimensionales. Esto lo demostramos en el sigiente ejemplo. EJEMPLO 6 Obtenga el ector proección de na ferza F 5 5i 1 j sobre 5 i 3j el componente escalar F en la dirección de.
1.3 El prodcto pnto 679 Solción El ector proección es pro F = F # ƒ ƒ El componente escalar de F en la dirección de es = 5-6 si - 3jd =-1 si - 3jd 1 + 9 10 =- 1 10 i + 3 10 j. ƒ F ƒ cos = F # ƒ ƒ = 5-6 1 + 9 =- 1 10. Un cálclo de rtina (éase el ejercicio 9) permite erificar qe el ector pro es ortogonal al ector proección pro (el cal tiene la misma dirección qe ). De esta manera, la ecación = pro + s - pro d = # ƒ ƒ + - # ƒ ƒ 64748 Paralela a 644474448 Ortogonal a expresa a como na sma de ectores ortogonales. ƒ ƒ ƒ ƒ F P D Q F cos FIGURA 1.6 El trabajo realizado por na ferza constante F drante n desplazamiento D es s F cos d D, qe es el prodcto pnto de F # D. Trabajo En el capítlo 6 imos qe el trabajo realizado por na ferza constante de magnitd F al moer n objeto a lo largo de na distancia d está dado por W 5 Fd. Esa fórmla es álida sólo si la ferza está dirigida a lo largo de la recta de moimiento. Si na ferza F qe mee n objeto a lo largo de n desplazamiento D = PQ 1 tiene otra dirección, el trabajo es realizado por el componente de F en la dirección de D. Si es el ánglo entre F D (figra 1.6), entonces Componente escalar de F Trabajo = a en la dirección de D bslongitd de Dd = s ƒ F ƒ cos d ƒ D ƒ = F # D. DEFINICIÓN El trabajo realizado por na ferza constante F qe actúa a lo largo de n desplazamiento D = PQ 1 es W = F # D. EJEMPLO 7 a Q es Si F 5 40 N, D 5 3 m, 560, el trabajo realizado por F al actar de P Trabajo = F # D = ƒ F ƒƒd ƒ cos = s40ds3d cos 60 = s10ds1>d = 60 J s jolesd. Definición Valores proporcionados Encontraremos problemas más complicados en el capítlo 16, cando aprendamos a calclar el trabajo realizado por na ferza ariable a lo largo de na traectoria en el espacio.
680 Capítlo 1: Los ectores la geometría del espacio Ejercicios 1.3 T Prodcto pnto proecciones En los ejercicios 1 a 8, determine a. #, ƒ ƒ, ƒ ƒ b. el coseno del ánglo entre c. el componente escalar de en la dirección de d. el ector pro. 1. = i - 4j + 5k, = -i + 4j - 5k. = s3>5di + s4>5dk, = 5i + 1j 3. = 10i + 11j - k, = 3j + 4k 4. = i + 10j - 11k, = i + j + k 5. = 5j - 3k, = i + j + k 6. = -i + j, = i + 3j + k 7. = 5i + j, = i + 17j 8. = h 1, 1 3 i, = h 1, - 1 3 i Ánglo entre ectores Calcle los ánglos entre los ectores en los ejercicios 9 a 1 con na aproximación de centésimas de radián. 9. = i + j, = i + j - k 10. = i - j + k, = 3i + 4k 11. = 3i - 7j, = 3i + j - k 1. = i + j - k, = -i + j + k 13. Triánglo Obtenga las medidas de los ánglos del triánglo cos értices son A 5 (1, 0), B 5 (, 1) C 5 (1, ). 14. Rectánglo Calcle las medidas de los ánglos entre las diagonales del rectánglo cos értices son A 5 (1, 0), B 5 (0, 3), C 5 (3, 4) D 5 (4, 1). 15. Ánglos cosenos directores Los ánglos directores a, b g de n ector 5 ai 1 bj 1 ck se definen como sige: a es el ánglo entre el eje x positio (0 #a#p) b es el ánglo entre el eje positio (0 #b#p) g es el ánglo entre el eje z positio (0 #g#p). z a. Demestre qe cos a = a, cos b = b, cos g = c, ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ también qe cos a1cos b1cos g51. Estos cosenos se llaman los cosenos directores de. b. Los ectores nitarios se constren a partir de los cosenos directores Demestre qe si 5 ai 1 bj 1 ck es n ector nitario, entonces a, b c son los cosenos directores de. 16. Constrcción de n canal Se a a constrir n canal de aga con na pendiente de 0% en la dirección norte na pendiente de 10% en la dirección este. Determine el ánglo reqerido en la tbería para el giro de norte a este. Norte Teoría ejemplos 17. Smas diferencias En la sigiente figra parecería qe 1 1 1 son ortogonales. Es mera coincidencia o ha circnstancias en las cales podríamos esperar qe la sma de dos ectores fera ortogonal a s diferencia? Dé argmentos para s respesta. 1 1 18. Ortogonalidad en na circnferencia Sponga qe AB es el diámetro de na circnferencia con centro O qe C es n pnto en no de los arcos qe nen A B. Demestre qe CA 1 CB 1 son ortogonales. 1 Este C 0 A O B x 19. Diagonales de n rombo Demestre qe las diagonales de n rombo (paralelogramo con lados de igal longitd) son perpendiclares.
1.3 El prodcto pnto 681 0. Diagonales perpendiclares Demestre qe los cadrados son los únicos rectánglos con diagonales perpendiclares. 1. Cando los paralelogramos son rectánglos Demestre qe n paralelogramo es n rectánglo si sólo si ss diagonales tienen la misma longitd. (Los carpinteros aproechan este hecho con frecencia).. Diagonal de n paralelogramo Demestre qe la diagonal indicada del paralelogramo determinado por los ectores biseca al ánglo entre si 5. 3. Moimiento de proectiles Una pistola con na rapidez de disparo de 100 ftseg se dispara a n ánglo de 8 por encima de la horizontal. Obtenga los componentes horizontal ertical de la elocidad del proectil. 4. Plano inclinado Sponga qe na caja es arrastrada hacia arriba sobre n plano inclinado como se mestra en la figra. Obtenga la ferza w necesaria para qe el componente de la ferza paralela al plano inclinado sea igal a.5 lb. 15 5. a. Desigaldad de Cach-Schwartz Pesto qe? 5 cos, demestre qe la desigaldad? # es álida para ectores calesqiera. b. En qé circnstancias, si existen,? 5? Jstifiqe s respesta. 6. Copie los ejes el ector qe se representan en la sigiente figra. Lego sombree los pntos (x, ) para los cales (xi 1 j)? # 0. Jstifiqe s respesta. 33 w Ecaciones de rectas en el plano 31. Recta perpendiclar a n ector Demestre qe el ector 5 ai 1 bj es perpendiclar a la recta ax 1 b 5 c estableciendo qe la pendiente de es el recíproco negatio de la pendiente de la recta dada. 3. Recta paralela a n ector Demestre qe el ector 5 ai 1 bj es paralelo a la recta bx a 5 c estableciendo qe la pendiente del segmento de recta qe representa es igal a la pendiente de la recta dada. En los ejercicios 33 a 36, tilice el resltado del ejercicio 31 para obtener na ecación para la recta qe pasa por P es perpendiclar a. Lego trace la recta. Incla a en s dibjo como n ector qe parte del origen. 33. Ps, 1d, = i + j 34. Ps -1, d, = -i - j 35. Ps -, -7d, = -i + j 36. Ps11, 10d, = i - 3j En los ejercicios 37 a 40, se el resltado del ejercicio 3 para obtener na ecación para la recta qe pasa por P paralela a. Lego dibje la recta. Incla a en s bosqejo como n ector qe parte del origen. 37. Ps -, 1d, = i - j 38. Ps0, -d, = i + 3j 39. Ps1, d, = -i - j 40. Ps1, 3d, = 3i - j Trabajo 41. Trabajo a lo largo de na recta Determine el trabajo realizado por na ferza F 5 5i (de magnitd 5 N) al moer n objeto a lo largo de la recta qe a del origen al pnto (1, 1) (distancia en metros). 4. Locomotora La locomotora Big Bo de Union Pacific pede halar agones de 6000 toneladas con n esferzo de tracción de 60,148 N (135,375 libras). Con este grado de esferzo, cánto trabajo realizó Big Bo drante na jornada de 605 km (aproximadamente en línea recta) de San Francisco a Los Ángeles? 43. Plano inclinado Cánto trabajo se realiza para deslizar n contenedor na distancia de 0 metros a lo largo de n melle de carga si se tira de él con na ferza de 00 N a n ánglo de 30 con la horizontal? 44. Valero El iento qe pasa sobre la ela de n bote ejerce na ferza F con na magnitd de 1000 libras, como se mestra en la figra. Cánto trabajo hace el iento al moer el bote 1 milla hacia delante? Conteste en libras-ft. 0 x 7. Vectores nitarios ortogonales Si 1 son ectores nitarios ortogonales 5 a 1 1 b, obtenga? 1. 8. Cancelación en el prodcto pnto En la mltiplicación de números reales, si 1 5 Z 0, podemos cancelar la conclir qe 1 5. Fnciona la misma regla para el prodcto pnto? Es decir, si? 1 5? Z 0, pede conclir qe 1 5? Jstifiqe s respesta. 9. Usando la definición de la proección de sobre, demestre por n cálclo directo qe ( pro )?pro 5 0. 30. Una ferza F 5 i 1 j 3k es aplicada a na nae espacial ca elocidad es el ector 5 3i j. Exprese F como na sma del ector paralelo a n ector ortogonal a. 60 Ferza con magnitd de 1000 libras F Ánglos entre rectas en el plano El ánglo agdo entre rectas qe no se cortan en n ánglo recto es el mismo qe el ánglo determinado por los ectores normales a las rectas o por ectores paralelos a las mismas. n 1 n L L 1 L 1 L 1
68 Capítlo 1: Los ectores la geometría del espacio Con base en este hecho en los resltados del ejercicio 31 o 3, determine los ánglos agdos entre las líneas en los ejercicios 45 a 50. 45. 3x + = 5, x - = 4 46. = 3x - 1, = -3x + 47. 3x - = -, x - 3 = 1 48. x + 3 = 1, A1-3Bx + A1 + 3B = 8 49. 3x - 4 = 3, x - = 7 50. 1x + 5 = 1, x - = 3 1.4 El prodcto crz Al estdiar las rectas en el plano, cando necesitábamos describir cánto se inclinaba na recta, tilizamos las nociones de pendiente de ánglo de inclinación. En el espacio qeremos describir la forma en qe se inclina n plano. Esto se consige mltiplicando dos ectores qe se encentran en el plano para obtener n tercer ector perpendiclar al plano. La dirección de este tercer ector nos indica la inclinación del plano. El prodcto qe samos para mltiplicar los ectores es el prodcto ectorial o prodcto crz, es el segndo de los métodos de mltiplicación ectorial qe samos en cálclo. En esta sección estdiaremos el prodcto crz. n El prodcto crz de dos ectores en el espacio Iniciamos con dos ectores no nlos en el espacio. Si no son paralelos, entonces determinan n plano. Seleccionamos n ector nitario n perpendiclar al plano mediante la regla de la mano derecha. Esto significa qe seleccionamos n como el ector (normal) nitario qe apnta en la forma qe el dedo plgar apntaría si doblamos los dedos restantes con n ánglo de hacia (figra 1.7). Entonces el prodcto crz 3 ( crz ) es el ector qe se define como sige. FIGURA 1.7 La constrcción de 3. DEFINICIÓN * = s ƒ ƒƒ ƒ sen d n A diferencia del prodcto pnto, el prodcto crz da como resltado n ector. Por esta razón también se llama prodcto ectorial de, se aplica sólo a ectores en el espacio. El ector 3 es ortogonal tanto a como a porqe es n múltiplo escalar de n. Existe n camino directo para calclar el prodcto crz de dos ectores a partir de ss componentes. El método no reqiere qe conozcamos el ánglo entre ellos (como sgiere s definición), pero pospondremos el cálclo momentáneamente de forma qe podamos enfocarnos primero en las propiedades del prodcto crz. Pesto qe el seno de 0 el seno de p dan cero, tiene sentido definir el prodcto crz de dos ectores paralelos no nlos como 0. Si o ambos son nlos, también definimos qe 3 como 0. De este modo, el prodcto crz de dos ectores es igal al ector cero si sólo si son paralelos, o no o ambos son nlos (ector cero). Vectores paralelos Los ectores no nlos son paralelos si sólo si 3 5 0. El prodcto crz cmple las sigientes propiedades. Propiedades del prodcto crz Si, w son ectores calesqiera, r s son escalares, entonces 1. srd * ssd = srsds * d. * s + wd = * + * w 3. * = -s * d 4. s + wd * = * + w * 0 * = 0 5. 6. * s * wd = ( # w) - ( # )w
1.4 El prodcto crz 683 n FIGURA 1.8 La constrcción de 3. Por ejemplo, para isalizar la propiedad número 3, obsere qe cando los dedos de s mano derecha se doblan n ánglo de a, el plgar apnta en la dirección opesta el ector nitario qe seleccionamos para formar 3 es el negatio del qe seleccionamos para formar 3 (figra 1.8). La propiedad 1 se pede erificar aplicando la definición del prodcto crz a ambos lados de la ecación comparando los resltados. La propiedad se demestra en el apéndice 8. La propiedad 4 se obtiene mltiplicando ambos lados de la ecación en la propiedad por 1 e inirtiendo el orden de los prodctos, de acerdo con la propiedad 3. La propiedad 5 es na definición. En general, la mltiplicación en el prodcto crz no es asociatia, de manera qe ( 3 ) 3 w en general no es igal a 3 ( 3 w). (Véase el ejercicio adicional 17). Cando aplicamos la definición para calclar los prodctos crz por pares de i, j k, emos qe (figra 1.9) i * j = -sj * id = k z k i j (j i) j * k = -sk * jd = i k j j i j k i (i k) k * i = -si * kd = j i * i = j * j = k * k = 0. i Diagrama para recordar estos prodctos i k x i j k (k j) FIGURA 1.9 Los prodctos crz por pares formados con i, j k. 3 es el área de n paralelogramo Como n es n ector nitario, la magnitd de 3 es ƒ * ƒ = ƒ ƒƒ ƒ ƒ sen ƒƒn ƒ = ƒ ƒƒ ƒ sen. FIGURA 1.30 por. Área base altra sen h sen Paralelogramo determinado Ésta es el área del paralelogramo determinado por (figra 1.30), siendo la base sen la altra del paralelogramo. Fórmla del determinante para 3 Nestro sigiente objetio es calclar 3 a partir de los componentes de con respecto a n sistema de coordenadas cartesianas. Sponga qe = 1 i + j + 3 k = 1 i + j + 3 k. Entonces, las lees distribtias las reglas para la mltiplicación de i, j k nos dicen qe * = s 1 i + j + 3 kd * s 1 i + j + 3 kd = 1 1 i * i + 1 i * j + 1 3 i * k + 1 j * i + j * j + 3 j * k + 3 1 k * i + 3 k * j + 3 3 k * k = s 3-3 di - s 1 3-3 1 dj + s 1-1 dk. Los términos de la última línea son difíciles de recordar, pero son los mismos qe los términos en el desarrollo del determinante simbólico i j k 3 1 3 3. 1 3
` ` 684 Capítlo 1: Los ectores la geometría del espacio Determinantes Los determinantes 3 3 3 3 se calclan como sige: EJEMPLO 1 = sds3d - s1ds -4d -4 3` = 6 + 4 = 10 a 1 a a 3 3 b 1 b b 3 3 c 1 c c 3 b 1 b 3 b 1 b - a ` ` + a 3 ` ` c 3 c c 1 a c ` EJEMPLO -5 3 1 3 1 13-4 3 1 - s3d 1-4 1` b = ad - bc d` b b 3 = a 1 ` ` c 3 c 1 1 = s -5d ` 3 1` + s1d ` = -5s1-3d - 3s + 4d + 1s6 + 4d = 10-18 + 10 = 1-4 3` (Para maor información, isite el sitio Web en www.aw.com/thomas). z c 1 R( 1, 1, ) Así, rescribimos el cálclo en esta forma más fácil de recordar. Cálclo del prodcto crz mediante determinante Si 5 1 i 1 j 1 3 k 5 1 i 1 j 1 3 k, entonces EJEMPLO 1 Solción i j k * = 3 1 3 3. 1 3 Obtenga 3 3 si 5 i 1 j 1 k 54i 1 3j 1 k i j k * = 3 1 13 1 1 = ` 3 1` i - ` 1-4 1` j + ` 1-4 3` k -4 3 1 = -i - 6j + 10k * = -s * d = i + 6j - 10k EJEMPLO Obtenga n ector perpendiclar al plano por los pntos P(1, 1, 0), Q(, 1, 1), R(1, 1, ) (figra 1.31). Solción El ector PQ 1 * PR 1 es perpendiclar al plano porqe es perpendiclar a ambos ectores. En términos de componentes tenemos qe PQ 1 = s - 1di + s1 + 1dj + s -1-0dk = i + j - k PR 1 = s -1-1di + s1 + 1dj + s - 0dk = -i + j + k PQ 1 * PR 1 i j k -1 = 3 1-1 3 = ` ` i - ` 1-1 - ` j + ` 1 - ` k - = 6i + 6k. P(1, 1, 0) 0 EJEMPLO 3 Obtenga el área del triánglo con értices en P(1, 1, 0), Q(, 1, 1) R(1, 1, ) (figra 1.31). Solción El área del paralelogramo determinada por P, Q R es x Q(, 1, 1) FIGURA 1.31 El ector PQ 1 * PR 1 es perpendiclar al plano del triánglo PQR (ejemplo ). El área del triánglo PQR es la mitad de ƒ PQ 1 * PR 1 ƒ (ejemplo 3). ƒ PQ 1 * PR 1 ƒ = ƒ 6i + 6k ƒ = s6d + s6d = # 36 = 6. El área del triánglo es la mitad de esto, es decir, 3. Valores del ejemplo EJEMPLO 4 Encentre n ector nitario perpendiclar al plano por los pntos P(1, 1, 0), Q(, 1, 1) R(1, 1, ). Solción Pesto qe PQ 1 * PR 1 es perpendiclar al plano, s dirección n es n ector nitario perpendiclar al plano. Tomando los alores de los ejemplos 3, tenemos n = PQ1 * PR 1 6i + 6k ƒ PQ 1 * PR 1 = = 1 ƒ 6 i + 1 k.
1.4 El prodcto crz 685 Para facilitar el cálclo del prodcto crz sando determinantes, generalmente expresamos los ectores en la forma 5 1 i 1 j 1 3 k, en ez de ternas ordenadas 5 8 1,, 3 9. Torqe n Componente de F perpendiclar a r. S longitd es F sen. r F FIGURA 1.3 El ector de torqe describe la tendencia de la ferza F para moer el tornillo hacia delante. P Barra de 3 ft Magnitd de la ferza 0 libras 70 FIGURA 1.33 La magnitd del torqe ejercido por F en P es de alrededor de 56.4 libra-ft (ejemplo 5). La barra gira en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de P. F Q Torqe Cando giramos n tornillo aplicando na ferza F a na llae (figra 1.3), prodcimos n torqe qe prooca qe el tornillo gire. El ector de torqe apnta en la dirección del eje del tornillo de acerdo con la regla de la mano derecha (de manera qe la rotación es en sentido contrario de las manecillas del reloj cando se obsera desde la pnta del ector). La magnitd del torqe depende de qé tan lejos se apliqe la ferza sobre el brazo de la llae de cánto de la ferza es perpendiclar al brazo de la llae en el pnto de aplicación. El número qe samos para medir la magnitd del torqe es el prodcto de la longitd del brazo de la palanca r el componente escalar de F perpendiclar a r. En la notación de la figra 1.3, Magnitd del ector de torqe 5 rfsen, o r 3 F. Si n es el ector nitario a lo largo del eje del tornillo en la dirección del torqe, entonces la descripción completa del ector torqe es r 3 F, o Vector torqe 5 (rfsen ) n. Recerde qe definimos qe 3 es igal a 0 cando son paralelos. Esto es congrente con la interpretación del ector de torqe. Si la ferza F de la figra 1.3 es paralela a la llae, lo qe significa qe estamos tratando de girar el tornillo tirando de éste o empjándolo a lo largo de la línea del brazo de la llae, entonces el torqe prodcido es cero. EJEMPLO 5 La magnitd del torqe generado por la ferza F en el pnto piote P en la figra 1.33 es ƒ PQ 1 * F ƒ = ƒ PQ 1 ƒƒf ƒ sen 70 En este ejemplo el ector de torqe apnta hacia fera de la página, hacia el lector. Triple prodcto escalar o prodcto caja L s3ds0ds0.94d L 56.4 libras-ft. El prodcto ( 3 )? w se llama triple prodcto escalar de, w (en ese orden). Como podrá er en esta fórmla el alor absolto del triple prodcto escalar es el olmen del paralelepípedo (na caja cas caras son paralelogramos) determinado por, w (figra 1.34). El número 3 es el área del paralelogramo de la base. El prodcto pnto el prodcto crz peden intercambiarse en n triple prodcto escalar sin alterar s alor. El número w cos es la altra del paraƒ s * d # w ƒ = ƒ * ƒƒw ƒƒcos ƒ, w Altra w cos Área de la base Volmen área de la base altra wcos ( ) w FIGURA 1.34 El número ( 3 )? w es el olmen de n paralelepípedo.
686 Capítlo 1: Los ectores la geometría del espacio lelepípedo. Debido a esta interpretación geométrica, ( 3 )? w también se conoce como el prodcto caja de, w. Considerando los planos de w, de w como bases del paralelepípedo determinado por, w, emos qe s * d # w = s * wd # = sw * d #. Pesto qe el prodcto pnto es conmtatio, también tenemos Los prodctos pnto crz peden intercambiarse en n triple prodcto escalar sin alterar s alor. s * d # w = # s * wd. El triple prodcto escalar se pede calclar como n determinante: s * d # 3 1 3 1 w = c ` ` i - ` ` j + ` ` k d # w 3 1 3 1 3 1 3 1 = w 1 ` ` - w ` ` + w 3 ` ` 3 1 3 1 1 3 = 3 1 3 3. w 1 w w 3 Cálclo del triple prodcto escalar como n determinante 1 3 s * d # w = 3 1 3 3 w 1 w w 3 EJEMPLO 6 Obtenga el olmen de la caja (paralelepípedo) determinada por 5 i 1 j k, 5i 1 3k, w 5 7j 4k. Solción Usando la regla para calclar determinantes, obtenemos 1-1 s * d # w = 3-0 33 = -3. 0 7-4 El olmen es, por lo tanto, ( 3 )? w 5 3 nidades cúbicas. Ejercicios 1.4 Cálclos con el prodcto crz En los ejercicios 1 a 8, obtenga la longitd dirección (cando esté definida) de 3 3. 1. = i - j - k, = i - k. = i + 3j, = -i + j 3. = i - j + 4k, = -i + j - k 4. = i + j - k, = 0 5. = i, = -3j 6. = i * j, = j * k 7. = -8i - j - 4k, = i + j + k 8. = 3 i - 1 j + k, = i + j + k En los ejercicios 9 a 14, dibje los ejes coordenados lego incla los ectores, 3 como ectores qe parten del origen. 9. = i, = j 10. = i - k, = j 11. = i - k, = j + k 1. = i - j, = i + j 13. = i + j, = i - j 14. = j + k, = i
1.4 El prodcto crz 687 Triánglos en el espacio En los ejercicios 15 a 18, a. Obtenga el área del triánglo determinado por los pntos P, Q R. b. Determine n ector nitario perpendiclar al plano PQR. 15. Ps1, -1, d, Qs, 0, -1d, Rs0,, 1d 16. Ps1, 1, 1d, Qs, 1, 3d, Rs3, -1, 1d 17. Ps, -, 1d, Qs3, -1, d, Rs3, -1, 1d 18. Ps -,, 0d, Qs0, 1, -1d, Rs -1,, -d Triple prodcto escalar En los ejercicios 19 a, erifiqe qe ( 3 )? w 5 ( 3 w)? 5 (w 3 )? obtenga el olmen del paralelepípedo (caja) determinado por, w. w 19. i j k 0. 1.. i - j + k i + j i + j - k i + j - k i - j + k -i - k -i + j - k i + k i + 4j - k Teoría ejemplos 3. Vectores paralelos perpendiclares Sean 5 5i j 1 k, 5 j 5k, w 515i 1 3j 3k. Cáles de estos ectores son (a) perpendiclares, (b) paralelos entre sí? Jstifiqe s respesta. 4. Vectores paralelos perpendiclares Sean 5 i 1 j k, 5i 1 j 1 k, w 5 i 1 k, r 5(p)i pj 1 (p)k. Cáles de estos ectores son (a) perpendiclares, (b) paralelos entre sí? Jstifiqe s respesta. En los ejercicios 5 6, determine la magnitd del torqe ejercido por F sobre el tornillo en P si ƒ PQ 1 ƒ = 8 in. F 5 30 lb. Conteste en libras-ft. 5. 6. P 60 F Q 135 Q 7. Cáles de las sigientes igaldades son erdaderas siempre cáles no siempre son erdaderas? Dé ss razones para las respestas. a. ƒ ƒ = # b. # = ƒ ƒ c. * 0 = 0 * = 0 d. * s -d = 0 e. * = * f. * s + wd = * + * w g. s * d # = 0 h. s * d # w = # s * wd 8. Cáles de las sigientes igaldades son erdaderas siempre cáles no siempre son erdaderas? Dé razones para ss respestas. a. # = # b. * = -s * d P F c. s -d * = -s * d d. e. f. g. h. 9. Dados los ectores no nlos, w, escriba lo sigiente sando prodcto pnto o prodcto crz, según sea apropiado. a. El ector proección de sobre b. El ector ortogonal a c. El ector ortogonal a 3 w d. El olmen del paralelepípedo determinado por, w e. El ector ortogonal a 3 3 w f. Un ector de longitd en la dirección de 30. Calcle (i 3 j) 3 j i 3 (j 3 j). Qé pede conclir acerca de la asociatiidad del prodcto crz? 31. Sean, w ectores. Cáles de las sigientes expresiones tienen sentido cáles no? Jstifiqe s respesta. a. s * d # w b. * s # wd c. * s * wd d. scd # = # scd = cs # d scalqier número cd cs * d = scd * = * scd scalqier número cd # = ƒ ƒ s * d # = 0 s * d # = # s * d # s # wd 3. Prodctos crz de tres ectores Demestre qe, excepto en casos degenerados, ( 3 ) 3 w está en el plano de, mientras qe 3 ( 3 w) está en el plano de w. Cáles son los casos degenerados? 33. Cancelación en el prodcto crz Si 3 5 3 w Z 0, es cierto qe 5 w? Jstifiqe s respesta. 34. Doble cancelación Si Z 0 si 3 5 3 w? 5? w, es 5 w? Jstifiqe s respesta. Área de n paralelogramo Determine las áreas de los paralelogramos cos értices se indican en los ejercicios 35 a 40. 35. 36. 37. As1, 0d, As0, 0d, As -1, d, Bs0, 1d, Bs7, 3d, Bs, 0d, Cs - 1, 0d, Cs9, 8d, Cs7, 1d, Ds0, - 1d Ds, 5d Ds4, 3d 38. As -6, 0d, Bs1, -4d, Cs3, 1d, Ds -4, 5d 39. As0, 0, 0d, Bs3,, 4d, Cs5, 1, 4d, Ds, -1, 0d 40. As1, 0, -1d, Bs1, 7, d, Cs, 4, -1d, Ds0, 3, d Área de n triánglo Obtenga las áreas de los triánglos cos értices se indican en los ejercicios 41 a 47. 41. As0, 0d, Bs -, 3d, Cs3, 1d 4. As - 1, - 1d, Bs3, 3d, Cs, 1d 43. As -5, 3d, Bs1, -d, Cs6, -d 44. As -6, 0d, Bs10, -5d, Cs -, 4d 45. As1, 0, 0d, Bs0,, 0d, Cs0, 0, -1d 46. As0, 0, 0d, Bs -1, 1, -1d, Cs3, 0, 3d 47. As1, -1, 1d, Bs0, 1, 1d, Cs1, 0, -1d