Tema: Conrolailidad y Oervailidad. Lugar de ejecución: Taller de Elecrónica (Laoraorio: Inrumenación y Conrol. Tiempo de ejecución: hr. Faculad: Ingeniería. Ecuela: Elecrónica Aignaura: Conrol Digial Ojeivo epecífico Deerminar la conrolailidad y la oervailidad de modelo en el epacio de eado uando la caja de herramiena de iema de conrol de MATLAB. Aplicar lo concepo morado en la guía. Inroducción Teórica En una repreenación por variale de eado de un iema lineal, con marice A, B, C y D, la marice A y C decrien el comporamieno no-forzado del iema (o el comporamieno a enradacero, mienra que la mariz B caraceriza el efeco de la enrada (o el conrol ore la dinámica del iema. La mariz D repreena la ranmiión direca de la enrada a la alida. Lo concepo de conrolailidad y oervailidad fueron inroducido por Kalman en el año 96. Ello afronan repecivamene la relación que eie enre la enrada y el eado (la conrolailidad, y enre el eado y la alida (la oervailidad. En ea guía, cada vez que hagamo referencia a la enrada u( del iema, upondremo que ea enrada e de acción de conrol, y no de una enrada que ea una peruración al iema (la enrada u( e iempre una variale que podemo "manejar" de alguna manera. La conrolailidad de un iema reponde a la iguiene preguna: Eie iempre una enrada de conrol u( la cual puede ranferir el iema dede el eado inicial a cualquier oro eado deeado en un iempo finio? Mienra que la oervailidad reponde a la preguna: El eado inicial del que pare un iema, puede iempre idenificare mediane la oervación de la alida y( y de la enrada u( ore un iempo finio? Ea caraceríica del iema pueden er coneada mediane la propiedade de la marice A, B, C y D. Ya que la marice A y B ienen que ver con la relación enre enrada y eado, a ee par de marice e la conoce como el par de conrolailidad. En camio, como la marice A y C involucran el eado con la alida, a ea do marice e la conoce como el par de oervailidad. Conrolailidad Conidere el iema lineal coninuo en el iempo repreenado por: Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine Página /8
( A( ( B( u(,, ( [Ec. ] y( C( ( D( u( donde A, B, C y D on funcione coninua del iempo. Supongamo que para alguna enrada u(, [, ], y para el eado inicial, el eado al iempo e. Decimo enonce que la enrada u ranfiere el iema dede el eado (en el iempo al eado (al iempo. Veamo ahora enonce la definicione de conrolailidad. Definición I: Eado conrolale El eado inicial del iema decrio por la ecuacione [] e dice que e conrolale ore el inervalo [, ] donde e un iempo finio, i eie alguna enrada u ore [, ] el cual ranfiere el iema dede el eado (al iempo al origen del epacio de eado al iempo. De ora manera e dice que el eado e inconrolale ore [, ]. Noar que en la definición uilizamo como eado de arrio al origen del epacio de eado pero eo e cumple, i y olo i, el eado final fuera cualquier oro eado (por raare de iema lineale. Noar ademá que en la definición pedimo que al meno eia una u(, pero ea u( no neceariamene iene que er única (puede haer má de una u( que no lleve el iema dede a. Definición II: Siema compleamene conrolale Si odo eado ( del iema e conrolale ore [, ], el iema e dice que e compleamene conrolale ore [, ]. Ejemplo : Conidere el iema decrio por la ecuacione [], donde A, B, C y D on la marice conane: A B,, C [ ], D Como podemo oervar, podemo ecriir la ecuación de cada uno de lo eado, que erá: u y la ecuación de la alida: y y uponiendo que el eado inicial fuere (, y (, podemo graficar el diagrama de imulación de dicho iema como muera la iguiene figura: Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
De la figura y de la ecuacione podemo oervar que olo lo eado que paren de (, T pueden er llevado al origen en un iempo finio, ya que la componene i pariera de un eado diino a no podría manejare a ravé de u hacia el origen (aunque a iempo infinio endería a llegar a ee eado. Por lo ano lo eado de la forma (, T on conrolale egún la definición I, pero el iema no e compleamene conrolale, ya que no odo lo eado pueden llevare al origen del epacio de eado. Oervar igualmene que i ama componene del vecor B huieran ido diina de cero, por er la mariz A una mariz de auovalore múliple compleamene diagonal, iempre hará un uepacio del epacio de eado el cual no podrá er afecado por la enrada u(. Definicione para lo iema dicreo: En la definicione I, II de conrolailidad para iema lineale coninuo en el iempo, i reemplazamo la por k (o ea, reemplazamo: por k, por k, y [, ] por [k, k ], oenemo la definicione de conrolailidad para lo iema dicreo en el iempo. Caracerización de la conrolailidad Teorema: El iema coninuo decrio por la ecuacione de eado [] e compleamene conrolale ore [, ], i y olo i, la fila de la mariz Φ - (.B( on linealmene independiene ore [, ], donde Φ( e la mariz de ranición del iema no-forzado. En forma equivalene, el iema e compleamene conrolale ore [, ], i y olo i, la mariz de Gram de Φ - (.B( : M * * (, Φ(, τ B( τ B ( τ Φ ( τ, dτ e no ingular. Má aún, el conrol u( que ranfiere el eado del iema compleamene conrolale dede ( a (, e: u * * ( B ( Φ (, M (, Φ(, COME TARIO: La marice o vecore emporale erellada (* ignifican que e la mariz (o el vecor ranpueo y conjugado. La demoración de ee eorema eá dearrollada en el liro Jamhidi. Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
De forma equivalene, eie el eorema para iema dicreo, demorado amién en el mimo liro: Teorema: El iema dicreo decrio por la iguiene ecuacione de eado: ( k A( k ( k B( k u( k, k k [Ec. ] e compleamene conrolale ore [k, k ], i y olo i la fila de la mariz Φ - (k.b(k on linealmene independiene ore [k, k ] donde Φ(k e la mariz de ranición del iema in forzar (cuando u(k. O en forma equivalene, i y olo i la mariz (de Gram: M k, j k ( * * k k Φ( k, j B( j B ( j Φ ( k, j e no ingular. Má aún, el conrol u(k que ranfiere el eado del iema compleamene conrolale dede (k a (k e: u * ( k Φ ( k, k M ( k, k Φ( k, k * ( k B Para iema l..i. (invariane en el iempo eo eorema pueden raladare a crierio aplicale fácilmene ore la marice A y B. Noar que ahora para lo iema l..i., deido a la invarianza ore el iempo, no neceiamo epecificar el inervalo de conrolailidad [, ] ó [k, k ] como en el cao variane en el iempo. Eo e, i un iema l..i. e compleamene conrolale ore algún inervalo de iempo, enonce e compleamene conrolale ore cualquier inervalo de iempo. Teorema: El iema: ( A ( B u( Ec. [] donde A y B on marice conane de dimenione nn, y nr repecivamene, e compleamene conrolale, i y olo i, la mariz de conrolailidad de dimenión n(n.r: C c ( n [ B A B A B A B]... e de rango n. Si ien, ee eorema e válido para iema cuya enrada ea un vecor de r componene, haremo la demoración para el cao en que u e ecalar. Demoración: Definamo la condición A como que la mariz C c e de rango n, y la condición B que el iema [] ea compleamene conrolale. Tenemo que demorar que A <> B. Pero eo e compleamene equivalene a demorar que: no(a <> no(b a Demoremo enonce primero que no(a > no( B: Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
5 Si C c no e de rango n, enonce u rango dee er: rango(c c < n. Si eo e aí, enonce eie un vecor fila v diino a la olución rivial v, al que: v.c c eo ignifica que cada una de u componene on cero: v.b v.a.b v.a.b... v.a (n-.b (* Se puede comproar maemáicamene ademá que A aiface u ecuación caraceríica: A n a.a (n-... a n Premuliplicando por v, y pomuliplicando ea ecuación por B, enemo: v.a n.b a. v.a (n-.b... a n.v.b pero odo lo érmino de la uma, ecepo el primero aemo que on cero por (*. Por lo ano, v.a n.b dee er amién igual a cero. Y aí uceivamene, i envé de pomuliplicar por B, pomuliplicamo por A k.b, oendremo que: v.a (kn.b Con lo cual, la olución pariendo de, que e: e orogonal al vecor v, pueo que: v A( τ ( v e B u( τ dτ A( τ ( e B u( τ, para odo u(, y eniendo en cuena la definición de eponencial de una mariz. Por lo ano, el uepacio generado por v no e alcanzale dede el origen, y por lo ano el iema no e conrolale (no(b. Ahora demoremo la invera, que no(b > no(a Si el iema e no conrolale, enonce eie un vecor no rivial v, al que e cumple que: A( τ ( v e B u( τ dτ dτ v, para odo u(. Y por lo ano dee er: A( τ v e B, para τ. Hagamo que τ, enonce vemo que dee cumplire v B. Derivemo una vez la ecuación con repeco a τ, y evaluemo en τ. No quedará: v A B > v A B Y aí derivando, uceivamene, oendremo: k v A B, v A B Y por lo ano la mariz C c no e de rango compleo. Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
6 Ejemplo : Conideremo el iema decrio por la ecuacione [], del ejemplo anerior: A B,, C [ ], D Calculemo u mariz de conrolailidad: C c [ B A B], que como vemo e de rango, y por lo ano dicho iema no e conrolale, como ya lo haíamo predicho aneriormene. Siema SISO: Concenrémolo ahora en iema de una ola enrada, lineale e invariane en el iempo (l..i.. Para dicho iema la mariz de conrolailidad e cuadrada, y i la mima e de rango n, ignifica que la mima e no-ingular y que e inverile. A parir de un iema cualquiera en general, uquemo llevarlo a u forma canónica de conrolailidad. Supongamo que repreena el eado en la ae original y que z ea la repreenación del eado en la ae de u forma canónica de conrolailidad. La mariz de ranformación T de un epacio a oro e al que: T.z Enonce el iema en la repreenación original e: ( A ( B u( y( C ( D u( En la nueva ae de la forma canónica de conrolailidad erá: z( Ac z( Bc u( y( Cc z( Dc u( Y ya conocemo que la mariz de ranformación T relaciona de la iguiene manera la marice del iema: A c T -.A.T B c T -.B C c C.T D c D Tomando la primera ecuación, y pomulipliquemo por la invera de la mariz T a amo miemro, y por lo ano endremo: A c. T - T -.A Diingamo la invera de la mariz T por u vecore fila i con i,,...n (hagamo para el cao en que el iema ea de, pero eo no implica una pérdida de la generalidad: Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
7 T Pero como ya conocemo la forma que iene la mariz A c, enonce e dee cumplir que: a a a A de la egunda fila de ea ecuación enemo que:.a y de la ercera fila de la mima:.a Por oro lado enemo: B c T B B y dee cumplire enonce:.b,.b y.b. Aí:.A.B.A.B.B Inviriendo el orden y ecriiéndolo en forma maricial:. [B A.B A.B] [ ] Y la mariz que pomulipla al vecor fila no e ora coa que la mariz de conrolailidad C c. El vecor podemo calcular como: [ ]. C - c, i la mariz de conrolailidad e inverile. Una vez oenido, deerminamo y como:.a, y.a. Al ener odo lo i, enemo enonce T - y por lo ano T, que e lo que queríamo oener. En reumen, el méodo para oener la forma canónica de conrolailidad a ravé de una mariz de ranformación del epacio de eado conie en realizar lo iguiene pao: PASO : De la marice A y B del iema original, conruyamo la mariz de conrolailidad como: C c [B A.B A.B] PASO : Calculamo la úlima fila de la invera de la mariz de ranformación como: n [... ]. C c - PASO : Deerminamo la mariz de ranformación como: n A n A T. n n ( n ( n A Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
8 PASO : Conociendo T y T -, deerminamo la marice en el nuevo epacio de eado (que e el de la forma canónica de conrolailidad: A c T -.A.T B c T -.B C c C.T Noar que un camio de eado por una mariz de ranformación lineal no camia la condición de conrolailidad del iema, ya que: C c T - C cw, y la mariz T e iempre no-ingular pueo que e una mariz de ranformación. En ora palara: la conroalidad del iema e invariane ane camio de la ae del epacio de eado. Oervar que i el iema e compleamene conrolale podemo hallar u forma canónica de conrolailidad, y i no lo e, no lo podemo hallar. El camino invero amién e da: iempre que podemo enconrar la forma canónica de conrolailidad de un iema enonce el iema e compleamene conrolale, y i no podemo enconrar la forma canónica de conrolailidad enonce el iema no e compleamene conrolale. O ea: Siempre podemo enconrar la forma canónica de conrolailidad de un dado iema, i y olo i el iema e conrolale. Eo no da pie a una definición equivalene a conrolailidad de un iema para lo iema l..i. de una ola enrada: Definición III: Equivalene a compleamene conrolale para iema l..i. de una ola enrada Un iema l..i. (con una enrada ecalar repreenado por el par de marice de conrolailidad (A, B e conrolale, i para odo polinomio α c ( de grado n eie una única ley de conrol u -K. al que: de(.i-ab.k α c ( Cuando veamo má adelane dieño veremo que podremo modificar el lugar de lo auovalore del iema haciendo una reroalimenación lineal del eado de la forma u -K., pudiendo elegir arirariamene el lugar de lo auovalore en forma unívoca con la definición del vecor K de n componene. Eo e puede ver muy fácilmene i el iema eá repreenado en la forma canónica de conrolailidad (y como haíamo vio iempre podremo llevarlo a la forma canónica de conrolailidad i y olo i el iema e conrolale. Tamién eie ora definición equivalene de conrolailidad: Definición IV: Equivalene a compleamene conrolale Un iema l..i. (con una enrada ecalar repreenado por el par de marice de conrolailidad (A, B e conrolale, i odo lo modo de A eán conecado a la enrada de conrol. Veamo eo en un iema que pueda er compleamene diagonalizale. Conideremo el cao de un iema de orden, pero in perder la generalidad. Conidere que el para (A, B donde: Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine 9 Guía A, B Un diagrama de loque para ee iema ería el iguiene: E evidene que i alguno de lo i e cero, el modo correpondiene no puede er alcanzado por la acción de conrol u. Pero amién e requiere que odo lo modo del iema ean diino i. Si enemo do auovalore iguale: u u El iema e no conrolale porque no puedo deacoplar la repuea de y. Maemáicamene, puedo definir una nueva variale de eado ξ, que no e afecada por la enrada u: ξ Y calculando u derivada: ( ( u u ξ En concreo: ξ ξ O ea que la nueva variale de eado ξ no puede er conrolada por la acción de conrol u. Una concluión imilar podemo arriar uilizando la mariz de conrolailidad, la mima erá: [ ] B A B A B C c Y ea mariz de conrolailidad la podemo ecriir como el produco de la iguiene marice:
Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine Guía C c La egunda mariz e la conoce como la mariz de Vandermonde. Enonce finalmene el par de marice (A, B e compleamene conrolale, i y olo i, odo lo i on diino enre í (para que la mariz de Vandermonde ea no-ingular, y odo lo i ean diino de cero (para que la primer mariz ea no-ingular; confirmando aí el reulado oenido aneriormene. Noar que eamo halando de marice A que ean compleamene diagonalizale. Si la mariz A e llevada a una forma de Jordan complea (lo auovalore múliple comune ienen un olo auovecor, el iema igualmene puede llegar a er conrolale. Ejemplo : Conideremo el iguiene iema repreenado por la iguiene marice de variale de eado: A, B Calculemo u mariz de conrolailidad: C c cuyo rango e de, y por lo ano el iema e no conrolale. Calculemo la función de ranferencia de u a : ( ( ( ( ( G Y la función de ranferencia de u a : ( ( ( ( ( G Como podemo oervar, en ama funcione de ranferencia eie una cancelación de cero y polo, la del modo en. Eo ignifica que juamene el modo e el modo del iema que no e conrolale. Oervailidad Conidere el iema lineal coninuo en el iempo repreenado por: ( ( ( ( ( u B A,, ( [Ec. ] ( ( ( ( ( u D C y donde A, B, C y D on funcione coninua del iempo. La olución complea de la ecuación eá dada por:
y ( C( Φ( C( Φ(, τ B( τ u( τ d D( u(, τ, El concepo de oervailidad eá relacionado con el iguiene prolema: dado el iema ( y u enrada u( y u alida y( ore un inervalo finio de iempo [, ], calcular el eado inicial. Formalmene demo ahora la definicione: Definición I: eado oervale El eado inicial del iema decrio por la ecuacione ( e dice que e oervale ore el inervalo [, ] donde e un iempo finio, i el conocimieno de la enrada u( y de la alida y( ore [, ] on uficiene para deerminar. De ora manera e dice que el eado e inoervlale ore [, ]. Definición II: iema compleamene oervale Si odo eado ( del iema e oervale ore [, ], el iema e dice que e compleamene oervale ore [, ]. Ya que la repuea de eado cero (lo érmino que conienen u en ( pueden er calculado direcamene, el prolema de la oervailidad del iema puede er reuelo coniderando que la u. Eo e, el prolema e hace: dado un iema ( y u repuea a enrada cero C(.Φ(,. ore el inervalo finio [, ], enconrar el eado inicial. Eo inmediaamene implica que olo la marice A y C en el iema repreenado por ( eán involucrada en la caracerización de la oervailidad del iema. Ejemplo : Conidere el iema decrio por la ecuacione [], donde A, B, C y D on la marice conane: A B,, C [ ], D Enonce enemo: u, ( u, ( y la ecuación de la alida: y De odo ee conjuno de ecuacione noamo que y depende olamene de, y que el mimo e compleamene independiene de. Eo e, el conocimieno de u( e y( ore un inervalo finio [, ] e uficiene para deerminar pero no. Uando la definición I concluimo que en ee iema olo lo eado del ipo [, ] T on oervale. Enonce por definición II, ee iema no e compleamene oervale. La iguiene figura muera un diagrama de imulación de ee iema, haciendo noar que el loque de la dinámica de la egunda componene no e encuenra conecado a la alida: Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
Definicione para lo iema dicreo: En la definicione I, II de oervailidad para iema lineale coninuo en el iempo, i reemplazamo la por k (o ea, reemplazamo: por k, por k, y [, ] por [k, k ], oenemo la definicione de oervailidad para lo iema dicreo en el iempo. Caracerización de la oervailidad En ea ección preenaremo el crierio para deerminar la oervailidad de iema lineale. Primero conideraremo el iema lineal variane en el iempo no-forzado: ( A( (,, ( [Ec. ] y( C( ( Teorema: El iema coninuo decrio por la ecuacione de eado [] e compleamene oervale ore [, ], i y olo i, la columna de la mariz C(.Φ( on linealmene independiene ore [, ], donde Φ( e la mariz de ranición del iema no-forzado. En forma equivalene, el iema e compleamene oervale ore [, ], i y olo i: * * (, Φ (, C ( C( Φ(, e no ingular. Má aún, el eado inicial e: * * (, Φ ( C ( y(, d d No haremo la demoración formal, que e encuenra decrio en el liro de la iliografía (Jamhidi, pero podemo hacer noar que i C(.Φ( no iene columna linealmene independiene, e ovio que no podremo diinguir luego de rancurrido un iempo, cómo fue que el eado inicial afecó a cada una de la componene. De forma equivalene, eie el eorema para iema dicreo: Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
Teorema: El iema dicreo decrio por la iguiene ecuacione de eado: (k A(k.(k, k k, (k Ec. [5] y(k C(k.(k e compleamene oervale ore [k, k ], i y olo i la columna de la mariz C(k.Φ(k on linealmene independiene ore [k, k ], donde Φ(k e la mariz de ranición del iema in forzar. Para lo iema l..i., eo do eorema pueden er raladado a un crierio fácilmene aplicale ore la marice A y C. Nuevamene noar, que deido a la invarianza en el iempo, no neceiamo epecificar un inervalo de iempo [, ] ó [k, k ], como hicimo en el cao variane en el iempo. Teorema: Lo iema l..i. no-forzado: ( A (, y( C ( ( k A ( k, y( k C ( k y donde A y C on marice conane de dimenione nn y mn repecivamene, on compleamene oervale, i y olo i, la mariz de oervailidad de dimenión (m.nn C C A ϑ C A : ( n C A e de rango n. Ejemplo 5: Calculemo para el ejemplo anerior, cuya marice recordemo eran: A B,, C [ ], D Por lo ano la mariz de oervailidad de ee iema erá: C ϑ C A que como vemo e de rango, y por lo ano dicho iema no e compleamene oervale como lo haíamo mencionado aneriormene. Ejemplo 6: Conideremo el iema decrio por la iguiene ecuacione en la forma canónica de oervailidad: Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
6 5 7 y Por lo ano, la mariz de oervailidad e:, [ ] C ϑ C A 6 C A 6 Que como podemo oervar, e de rango compleo, y por lo ano el iema e compleamene oervale. Siema SISO: Concenrémono ahora en iema de una ola alida, lineale e invariane en el iempo (l..i.. Para dicho iema la mariz de oervailidad e cuadrada, y i la mima e de rango n, ignifica que la mima e no-ingular y que e inverile. A parir de un iema cualquiera en general, podríamo realizar la mima úqueda que hicimo para la forma canónica de conrolailidad, ahora para la forma canónica de oervailidad. Pero en ee cao lo dejamo como ejercicio al lecor, eniendo en cuena que envé de eparar la invera de la mariz T en vecore fila, ahora para llegar a un reulado provechoo, deemo eparar la mariz T en vecore columna. Lo que oendremo e que: C C A C A La mariz que premuliplica al vecor columna e la mariz de oervailidad del iema ϑ. El vecor podemo calcular como: ϑ y eo iempre lo podemo realizar, i la mariz de oervailidad e inverile. De manera emejane al prolema de conrolailidad podemo enunciar lo pao a eguir para oener la forma canónica de oervailidad para un iema cualquiera: PASO : De la marice A y C del iema original, conruyamo la mariz de oervailidad como: Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
5 C C A ϑ C A : ( n C A PASO : Calculamo la úlima columna de la mariz de ranformación como: : n ϑ PASO : Deerminamo la mariz de ranformación como: ( n [ A... A A ] T n n n n PASO : Conociendo T y calculando u invera T -, deerminamo la marice en el nuevo epacio de eado (que e el de la forma canónica de oervailidad: A o T -.A.T B o T -.B C o C.T Noar que un camio de eado por una mariz de ranformación lineal no camia la condición de oervailidad del iema. En ora palara: la oervailidad del iema e invariane ane camio de la ae del epacio de eado. Oervar que i el iema e compleamene oervale podemo hallar u forma canónica de oervailidad, y i no lo e, no lo podemo hallar. El camino invero amién e dá: iempre que podemo enconrar la forma canónica de oervailidad de un iema enonce el iema e compleamene oervale, y i no podemo enconrar la forma canónica de oervailidad enonce el iema no e compleamene oervale. O ea: Siempre podemo enconrar la forma canónica de oervailidad de un dado iema, i y olo i el iema e oervale. Eo no da pie a una definición equivalene a oervailidad de un iema para lo iema l..i. de una ola enrada, que complearemo u ignificado en lo próimo capíulo de dieño: Definición III: Equivalene a compleamene oervale para iema l..i. de una ola enrada Un iema l..i. (con una enrada ecalar repreenado por el par de marice de oervailidad (A, C e oervale, i para odo polinomio α e ( de grado n eie un eimador de ganancia L al que la ecuación caraceríica del error de eimación e: de(.i-al.c α e ( Tamién eie ora definición equivalene de oervailidad: Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
6 Definición IV: Equivalene a compleamene oervale Un iema l..i. (con una enrada ecalar repreenado por el par de marice de conrolailidad (A, C e oervale, i cada modo de A eá conecado a la alida del iema a ravé de la mariz C. Como en el cao de la conrolailidad, para un iema que ea compleamene diagonalizale, en u repreenación modal deemo requerir que odo lo c i ean diino de cero, pero ademá que odo lo auovalore de A ean diino enre í. Noar que i la mariz A e llevada a una forma de Jordan complea (lo auovalore iguale ienen un olo auovecor, el iema igualmene puede llegar a er oervale. Maeriale y equipo Compuadora con iema operaivo Window 95 o uperior Programa MATLAB 5. o uperior. Procedimieno Pare I. Tuorial. Herramiena de análii de modelo: La iguiene funcione on úile para analizar, realizar ranformacione de coordenada de eado en ello y derivar realizacione canónica en el epacio de eado para modelo único LTI o arreglo de modelo LTI en el epacio de eado. Realizacione en el epacio de eado canon Realización canónica en el epacio de eado cr Mariz de conrolailidad crf Forma de ecalera de conrolailidad gram Gramian de conrolailidad y oervailidad ov Mariz de oervailidad ovf Forma de ecalera de oervailidad Tranformación de coordenada de eado al Balanceo diagonal de realizacione en el epacio de eado. Realizar lo ejemplo,, 5 y 6, que aparecen en la inroducción eórica, uando MATLAB. Dicreice lo iema y ue un iempo de muereo de. Sugerencia: en MATLAB el comando para enconrar el rango de una mariz e rank. Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
7 Ejemplo : En MATLAB: Ejemplo : En MATLAB: Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine
8 Ejemplo 5: En MATLAB: Ejemplo 6: En MATLAB: Análii de reulado. Reuelva la preguna que e hacen en la guía uando MATLAB. Biliografía MATLAB Geing Sared wih MATLAB The Mah Work Inc. Bilioeca Peronal Ogaa, Kauhiko. Ingeniería de Conrol Moderna, Segunda Edición Edi. Prenice Hall. 99. Méico. Propiedad de la Univeridad Don Boco Prohiida u reproducción oal o parcial para oro fine