CONTROL 5: DERIVADAS. APLICACIONES 31-Enero- 01 Nombre: OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá elegir una opción A o B y responder a todas las cuestiones de esa opción. Nunca podrá mezclar cuestiones de la opción A con cuestiones de la opción B. En cada cuestión se indica su puntuación. En la corrección del eamen se tendrá en cuenta las eplicaciones en la resolución de los ejercicios, así como el orden y limpieza. Además, en cada ejercicio se ha de indicar cuál es la solución al mismo. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables. OPCIÓN A 1. (0,75 puntos) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 3 f() = + 3 5 en = -.. (1,5 puntos) Un terreno de forma rectangular tiene 400 m de superficie y va a ser vallado. El precio del metro lineal de valla es de 4. Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el coste de la valla sea mínimo? Cuál es ese coste mínimo? 3. (1,5 puntos) Dada la función 3 f() = + a + b + 6, determina los valores de a y b sabiendo que el punto de coordenadas (,4) es un máimo. 4. (1,5 puntos) Calcula la derivada de las siguientes funciones (no es necesario simplificar): 3L a) f() 3 = b) g() = ( 1 ) ( 3 1) 5. Se considera la función f() = +. Determina: c) h() = + sen( ) 1 a) (0,5 puntos) Dominio. b) (0,5 puntos) Puntos de corte con los ejes. c) (0,75 puntos) Asíntotas. d) (0,75 puntos) Máimos y mínimos. e) (0,75 puntos) Con los datos obtenidos y con cualquier otro que consideres necesario, representa gráficamente la función. 6. El rendimiento de un estudiante durante las primeras 6 horas de estudio viene dado (en una escala de 0 a 100) por la función R(t) =, donde t es el número de horas transcurrido. a) (0,5 puntos) Calcula el rendimiento a las 3 horas de estudio. b) (1 punto) Determina la evolución del rendimiento durante las primeras 6 horas de estudio (cuándo aumenta y cuándo disminuye). Cuál es el rendimiento máimo? c) (0,5 puntos) Una vez alcanzado el rendimiento máimo, en qué momento el rendimiento es igual a 35?
SOLUCIÓN OPCIÓN A 1. La ecuación de la recta tangente es: y f( ) = f '( )( + ). Como f(-) = 30 y f (-) = -9, sustituyendo en la ecuación anterior: y 30 = 9( + ) y = 9. Tenemos la siguiente situación: 400 m y + y mínimo 300 400 f() = + mínimo y = 400 y = 0 300 300 f '() = + = 0 = = 300 = ± 0. Como representa una distancia, ha de ser positivo. Veamos pues que para = 0 se alcanza el mínimo: f '(19) < 0 Para = 0 se alcanza el mínimo. f '(1) > 0 Solución: El solar ha de ser cuadrado con 0 m de lado. 3. 3 f() = + a + b + 6 Pasa por (,4) f() = 16 + 4a + b + 6 = 4 4a + b = 6 Como en ese punto hay un mínimo, la derivada ha de ser 0, es decir: f '() = 0 4 + 4a + b = 0 4a + b = 4 sustituyo en la derivada Resolviendo el sistema 4a + b = 6 a = 13,5 y b = 30 4a + b = 4 4. a) b) c) 1 3L 3 f() f '() = = = = = 3 3L 3 3L 3 3 (1 3L) 3(1 3L) 3 6 6 6 4 3 6 3 6 5 3 g() = 1 1 = (1 )( + 1 ) = + + + 1 = + + + 7 5 4 g'() 6 10 6 1 sen( + ) 1 1 h() = h'() = cos( + ) ( + 1) sen( + ) 5. a) Dominio: R { 1} b) Cortes Eje y = 0 + = 0 No lo corta Eje y = 0 y = - (0,-) c) Veamos si = 1 es asíntota vertical: + 1 lím = 1 1 0. = 1 es asíntota vertical. + + = = 1 1
d) + + = = + + 1 1 + No tiene asíntota horizontal. Tiene una asíntota oblicua en y = 1. f '() = = 0 ( ) = 0 = 0, = ( 1) Estudiamos el signo de la derivada:,0 f '() > 0 f() es creciente 0,1 f '() < 0 f() es decreciente P( 0,f(0) ) MÁXIMO; Q(,f() ) MÍNIMO 1, f '() < 0 f() es decreciente, + f '() > 0 f() es creciente e) La gráfica es: 6. 700 3 a) R(3) = = 46,67 4 3 + 9 00t + 6300 b) R'(t) = = 0 t = 1,5 En (0,1 5) aumenta y en (1 5, 6) disminuye. Por tanto, el máimo es para t = 1,5 y es de 5,3 c) R(t) = 35 = 35 = 140t + 315 140t + 315 = 0. Resolviendo esta ecuación obtenemos dos soluciones t = 9/ y t = ½. Al indicar que debemos buscarlo una vez alcanzado el máimo, la solución es t = 4,5.
CONTROL 5: DERIVADAS. APLICACIONES 31-Enero- 01 Nombre: OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá elegir una opción A o B y responder a todas las cuestiones de esa opción. Nunca podrá mezclar cuestiones de la opción A con cuestiones de la opción B. En cada cuestión se indica su puntuación. En la corrección del eamen se tendrá en cuenta las eplicaciones en la resolución de los ejercicios, así como el orden y limpieza. Además, en cada ejercicio se ha de indicar cuál es la solución al mismo. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables. OPCIÓN B 1. (0,75 puntos) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 3 f() = + 3 5 en = -.. (1,5 puntos) Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. La valla del lado del camino cuesta 0 /m y la de los otros lados 10 / m. Determina el área del mayor campo que puede cercarse con.00. 3. (1,5 puntos) Sea la función f() = a + b +,halla los valores de a y b para que la función pase por (-,-6) y en ese punto tenga tangente paralela al eje OX. 4. (1,5 puntos) Calcula la derivada de las siguientes funciones (no es necesario simplificar): a) f() = 3 + 1 b) g() = ( 1 ) ( 3 1) c) = ( + ) h() 5 e 5. Se considera la función f() = +. Determina: 1 a) (0,5 puntos) Dominio. b) (0,5 puntos) Puntos de corte con los ejes. c) (0,75 puntos) Asíntotas. d) (0,75 puntos) Máimos y mínimos. e) (0,75 puntos) Con los datos obtenidos y con cualquier otro que consideres necesario, representa gráficamente la función. 6. El rendimiento de un estudiante durante las primeras 6 horas de estudio viene dado (en una escala de 0 a 100) por la función R(t) =, donde t es el número de horas transcurrido. a) (0,5 puntos) Calcula el rendimiento a las 3 horas de estudio. b) (1 punto) Determina la evolución del rendimiento durante las primeras 6 horas de estudio (cuándo aumenta y cuándo disminuye). Cuál es el rendimiento máimo? c) (0,5 puntos) Una vez alcanzado el rendimiento máimo, en qué momento el rendimiento es igual a 35?
SOLUCIÓN OPCIÓN B 1. La ecuación de la recta tangente es: y f( ) = f '( )( + ). Como f(-) = 30 y f (-) = -9, sustituyendo en la ecuación anterior: y 30 = 9( + ) y = 9. Tenemos la siguiente situación: 0 10 y 10 10 y máimo 0 9 10 + 0 + 0y = 00 90+ 0y = 00 9+ y = 0 y= (0 9) f() = máimo Antes de derivar, epresamos la función, quitando el paréntesis: 1 1 f() = (0 9 ) f '() = (0 1) = 0 = 160 Veamos pues que para = 160 se alcanza el máimo: f '(159) > 0 Para = 160 se alcanza el máimo. f '(161) < 0 Solución: Para = 160 m e y = 70 m se alcanza la mayor área, siendo ésta de 11500 m. 3. f() = a + b + 4. a) Pasa por (-,-6) f( ) = a ( ) + b + = 6 a + b = Como en ese punto la recta tangente es horizontal, la derivada ha de ser 0, es decir: f '( ) = 0 a = 0 a = sustituyo en la derivada 4 Como a + b = b = a= + 1 3 + 1 + 1 4 f() = f '() = 3. b) = ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) 1 g() 1 1 g'() 1 1 1 3 3 3 3
c) = ( + ) = ( + ) + ( + ) h() 5 e h'() 10 1 e 5 e 5. a) Dominio: R { 3} Eje y = 0 4 + 4 = 0 (,0) b) Cortes 4 4 Eje y = 0 y = (0, ) 3 3 c) Veamos si = -3 es asíntota vertical: lím 3 4 + 4 5 = + 3 0. = -3 es asíntota vertical. d) 3 3 + 4 4 + + = = + 3 4 4 + + = = + + 3 + No tiene asíntota horizontal. Tiene una asíntota oblicua en y = 7. + 6 16 f '() = = 0 + 6 16 = 0 =, = ( + 3) Estudiamos el signo de la derivada:, f '() > 0 f() es creciente, 3 f '() < 0 f() es decreciente P(,f( ) ) MÁXIMO; Q(,f() ) MÍNIMO 3, f '() < 0 f() es decreciente, + f '() > 0 f() es creciente e) La gráfica es: 6. 700 3 a) R(3) = = 46,67 4 3 + 9
00t + 6300 b) R'(t) = = 0 t = 1,5 En (0,1 5) aumenta y en (1 5, 6) disminuye. Por tanto, el máimo es para t = 1,5 y es de 5,3 c) R(t) = 35 = 35 = 140t + 315 140t + 315 = 0. Resolviendo esta ecuación obtenemos dos soluciones t = 9/ y t = ½. Al indicar que debemos buscarlo una vez alcanzado el máimo, la solución es t = 4,5.