Unidad 6 Funciones algebraicas PÁGINA 10 SOLUCIONES Evaluar polinomios. a) b) c) d) Raíces de un polinomio. Usando el teorema del factor: Resolver ecuaciones de segundo grado. a) b) c)
PÁGINA 104 SOLUCIONES 1.. Sustituyendo en la ecuación punto-pendiente : obtenemos que la ecuación es
PÁGINA 105 SOLUCIONES 3. a) Decreciente en Continua en Discontinuidad de salto infinito en b) Decreciente en Creciente en Continua en Discontinuidad de salto infinito en
PÁGINA 106 SOLUCIONES 4. El dominio en todos los casos es, pues son polinomios. Igualmente todas las parábolas tendrán un extremo relativo, pues son parábolas no degeneradas. Finalmente, serán cóncavas o convexas en todo su dominio, pues al ser polinomios de grado dos o menor:. Para un eficaz análisis de la concavidad conviene prestar atención en el signo del término al cuadrado. En caso de ser menor que cero, la parábola será cóncava y viceversa. a) Creciente en Decreciente en Cóncava en todo su dominio Máximo en b) Creciente en Decreciente en Convexa en todo su dominio Mínimo en
c) Creciente en Decreciente en Cóncava en todo su dominio Mínimo en d) Creciente en Decreciente en Cóncava en todo su dominio Máximo en e) Creciente en Decreciente en Convexa en todo su dominio Mínimo en f) Creciente en Decreciente en Cóncava en todo su dominio Máximo en
5. a) OX: OY: b) OX: No corta el eje OX OY: c) OX: OY: d) OX: OY: e) OX: OY: f) OX: OY:
PÁGINA 107 SOLUCIONES 6. Todas las parábolas tienen dominio de definición y concavidad / convexidad constante (ver ejercicio 4). El vértice se calcula con a) Vértice (mínimo): Creciente en: Decreciente en: Convexa en todo su dominio Corte OX: Corte OY: b) Vértice (máximo): Creciente en: Decreciente en: Cóncava en todo su dominio Corte OX: Corte OY:
c) Vértice (mínimo): Creciente en: Decreciente en: Convexa en todo su dominio Corte OX: Corte OY: d) Vértice (mínimo): Creciente en: Decreciente en: Convexa en todo su dominio Corte OX: Corte OY:
PÁGINA 108 SOLUCIONES 7. a) x 1-1 - 4-4 y 1 - -1 1/ -1/ b) x 1-1 - 4-4 y -1-1/ 1 1/ -1/4 1/4
c) x 1-1 - 3-3 y 3 3/ -3-3/ 1-1 d) x 1-1 - 4-4 y - -1 1-1/ 1/
e) x 1-1 - 1/ -1/ y 1/ 1/4-1/ -1/4 1-1 f) x 1-1 - 5-5 y 10 5-10 -5 -
PÁGINA 109 SOLUCIONES 8. En este ejercicio se utilizará el siguiente razonamiento para determinar las asíntotas horizontales: Sea Sí, es decir, la función tiende a 0 para valores muy grandes (o muy pequeños) de x. Se demuestra trivialmente valorando la función con cantidades suficientemente grandes (ver página 105 del libro de texto). Para las asíntotas verticales se buscaran valores que anulen el denominador. a) Tiene asíntota horizontal en y vertical en b) Tiene asíntota horizontal en y vertical en
c) Asíntota horizontal en y vertical en d) Asíntota horizontal en y vertical en
e) Asíntota horizontal en y vertical en f) Asíntota horizontal en y vertical en
PÁGINA 110 SOLUCIONES 9. a) f( x) x 1 x 1 x - -1 0 3 y 1/3 0-1 3 b) x - -1 0 1 y 5/3 3-1 1/3 3/5 x 1 gx ( ) x 1
3x 1 c) hx ( ) x x -4-3 0 1 y 13/ 10-1/ /3 5/4 d) x 1 ix ( ) x 3 x - -1 0 3 y 13/ 10-1/ /3 5/4 e) x 1 jx ( ) 3x x - -1 0 3 y -5/8-3/5-1/ -3/4-5/7
6x 5 f) kx ( ) 3x 9 x 0 1 4 5 y -5/9-11/6-17/3 9/3 35/6 10. x 1 a) f( x) x 1 Dom f ( x) \ 1 Im f( x) \ 1 Continua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x 1). Decreciente en todo su dominio. Cóncava en,1. Convexa en 1,.
x 1 b) gx ( ) x 1 1 Dom g( x) \ Im gx ( ) \ 1 1 Continua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x. Creciente en todo su dominio. 1 Cóncava en,. 1 Convexa en,. 3x 1 c) hx ( ) x Dom g( x) \ Im gx ( ) \ 3 Continua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x. Creciente en todo su dominio. Cóncava en,. Convexa en,. x 1 d) ix ( ) x 3 3 Dom i( x) \ 1 Im ix ( ) \ 3 Continua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x. Decreciente en todo su dominio. 3 Cóncava en,. 3 Convexa en,.
x 1 e) jx ( ) x 3 Dom j( x) \ 3 Im jx ( ) \ 3 Contínua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x. 3 Creciente en todo su dominio. Cóncava en,. 3 Convexa en,. 3 x 1 f) k( x) x 3 Dom k( x) \ 3 Im kx ( ) \ Contínua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x 3. Decreciente en todo su dominio. Cóncava en,3. Convexa en 3,.
PÁGINA 111 SOLUCIONES 11. a) f( x) x b) gx ( ) x 5 c) hx ( ) x d) ix ( ) x 3 e) j( x) 5x1 f) kx ( ) 4x3
1. 5 La función inversa a f( x) x 5 es g( x) x Rama 1: x 5 gx ( ) Rama : gx ( ) x 5
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SOLUCIONES Funciones lineales. 13. Al ser funciones afines la representación gráfica es una recta, por lo que es suficiente utilizar dos valores para su representación. Se tomarán los puntos que cortan los ejes. a) Eje OY: Eje OX: b) Eje OY: Eje OX: c) Eje OY: Eje OX: d)
Eje OY: Eje OX: 14. Utilizaremos la forma punto-pendiente de la recta para encontrar la ecuación: Siendo las coordenadas del punto y la pendiente de la recta. a) b) c) 15. Positiva (crecientes) : Negativa (decrecientes) : Nula (constantes) : 16. Tomaremos pendiente por lo que la recta en forma punto-pendiente quedará como 17. La pendiente de la recta será la del vector que va desde un punto a otro: La pendiente de dicho vector es luego ecuación de la recta es la siguiente: 18. Consiste en aplicar para cada ejemplo lo propuesto en el ejercicio 17. Así pues, en primer lugar calcularemos la pendiente asociada a esa recta y posteriormente utilizando uno de los puntos obtendremos una ecuación de la recta. a)
b) c) d) 19. : Sobre esta función conocemos dos puntos: y por lo que aplicamos el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior. : Procederemos de la misma manera, pues conocemos y Funciones lineales definidas a trozos. 0. a) Creciente en Continua en b) Creciente en Decreciente en Continua en Discontinuidad de salto finito en 1. a)
Creciente en Continua en Discontinuidad de salto finito en b) Creciente en Decreciente en Continua en Discontinuidad de salto finito en c) Creciente en Decreciente en Continua en Discontinuidad de salto finito en. a)separemos la gráfica en tres intervalos: I: x 1 En este caso la función es una recta ( y axb) y pasa por los puntos, 0 y 1, 1,por tanto: 0ab a 1, b f1( x) x 1 ab II: 1 x 1 La función es constante de ecuación f ( x)
III: x 1 En este caso la función es una recta ( y axb) y pasa por los puntos 1, y 5, 1,por tanto: ab 3 3 3 11 a, b f3( x) x 15ab 4 4 4 4 Así, obtenemos la siguiente función definida a trozos: x si 1 x1 f ( x) si 1 x1 3 11 x si x1 4 4 b)separemos la gráfica en cuatro intervalos: I: x 4 En este caso la función es una recta ( y axb) y pasa por los puntos 6, 1 y 4,, por tanto: 16ab 1 1 a, b 4 f1( x) x 4 4ab II: 4 x La función es una recta ( y axb) y pasa por los puntos 4, y, 1,por tanto: 4ab 1 1 a, b f( x) x 1ab III: x 0 La función es una recta ( y axb) y pasa por los puntos, 1 y 0, 4, por tanto: 1 a b 3 3 a, b 4 f3( x) x 4 4 b IV: x 0 En este caso la función es una recta ( y axb) y pasa por los puntos 0, 4 y 4, 1,por tanto: 4 b 3 3 a, b 4 f4( x) x 4 14ab 4 4
Así, obtenemos la siguiente función definida a trozos: 1 x4 si x4 1 x si 4 x f ( x) 3 x4 si x0 3 x4 si x0 4 3. a) f ( x) x x 0 1-1 - y 0 1 1 b) gx ( ) x x 0 1-1 - y - -1-1 0 0
c) hx ( ) x x 0 1-1 - y 1 3 0 4 d) ix ( ) 6x x 0 1-1 - y 4 8 10 14 e) jx ( ) x 3 x 0 1-1 - y 5 4 6 3 7
f) kx ( ) x6 3 x 0 1-1 - y 3 5 1 7-1
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SOLUCIONES Funciones parabólicas. 4. a) x 0 1-1 - y -1 0 0 3 3 b) x 0 1-1 - y 3 5 5 11 11 c) x 0 1-1 - y 4 7/ 7/
d) x 0 1-1 - y 3 1 1-5 -5 5. a) x 0 1-1 y 0 1-3 0 b) x 0 1-1 y 0-4
c) x 0 1-1 y 0 4-10 d) x 0 1-1 y 0-3 7 - e) x 0 1-1 y 0-1 5
f) x 0 1-1 y 0 6-10 0 6. a) x 0 1-1 y -1 1-1 5 b) x 0 1-1 y -6-4 -6 0
c) x 0 1-1 y -1 0-9 -9 d) x 0 1-1 y -1-6 6 e) x 0 1-1 y 3-4 6-15
f) x 0 1-1 y 3 6 11 7. a) 1 5 1 5 1 5 Eje OX: x x1 0 x,0,,0 Eje OY: x 0 (0, 1) b) x x x 1 5 Eje OX: 6 0,0, 3,0 Eje OY: x 0 (0, 6) c) 4 0 1 Eje OX: 4x 4x1 0 x,0 8 Eje OY: x 0 (0, 1) d) 4 1 3 3 Eje OX: x 4x1 0 x,0,,0 8 4 4 Eje OY: x 0 (0, 1)
e) 5 49 1 Eje OX: x 5x3 0 x 3,0,,0 4 Eje OY: x 0 (0,3) f) 41 x x x puntos de corte ocn el eje de las x. 4 Eje OY: x 0 (0,3) Eje OX: 3 0 8. 9. a) b)
30. El problema se reduce a resolver el siguiente sistema: y x14 x x x x x x y x 4x5 El punto de corte entre ambas gráficas es (3, 8). 14 4 5 6 9 0 ( 3) 0 31. La función que se nos presenta es un parábola, por lo tanto, su ecuación es de la forma f ( x) ax bx c. Además, pasa por los siguientes tres puntos, y al sustituirlos en la ecuación obtenemos: P(0, 6) 6 c. Q(4,0) 0 16a4bc16a4b6 0 R(, 7) 7 4abc4ab1 0 5 Resolviendo el sistema obtenemos: a1 y b, luego, la ecuación de nuestra función es: 5 f( x) x x6 3. Si la función es un parábola, su ecuación es de la forma f ( x) ax bxc. Sustituyendo los tres puntos que conocemos: P( 1,0) 0abc bac Q(,0) 0 4a b c a c 0 ( Sustituyendo el valordebac) R(3,8) 8 9a3bc 3a c ( Sustituyendo el valor de b a c) caa, c4, b a ecuación de nuestra función es: ( ) 4. L f x x x
33. El problema se reduce a resolver el siguiente sistema: y x7 x 7 x x 3 x 4 0 x 3 Los puntos de corte entre ambas gráficas son (, 3), y el (, 11). y x x 34. Tenemos que resolver el siguiente sistema: y x1 1 18 1 3 6 7 0 x x x x x x y x 3x6 Al no tener soluciones reales, no existen puntos de corte entre ambas funciones. Funciones de Proporcionalidad inversa. 35. Todas las funciones de este apartado tienen asíntota horizontal en (ver ejercicio 8 de este mismo tema) y asíntota vertical en, pues el denominador se anula en a) x 1-1 - 3 y -3 3-3/ 3/ -1
b) x 1-1 - 3 y 4-4 - 4/3 c) x 1-1 - 3 y -1/ 1/ -1/4 1/4-1/6 d) x 1-1 - 3 y 1/4-1/4 1/8-1/8-1/1
e) x 1-1 - 3 y -3/ 3/ -3/4 3/4-1/ f) x 1-1 - 3 y 5/ -5/ 5/4-5/4 5/6
36. Todas las funciones de este apartado tienen asíntota horizontal en (ver ejercicio 8 de este mismo tema). Para encontrar la asíntota vertical habrá que ver para qué valores de el denominador se anula. a) Asíntota vertical en x 0 1-3 y -1-1/ -1/3 1-1/4 b) Asíntota vertical en x 0 1 - -3 y -3-1 - -/5-1/3 c) Asíntota vertical en x 0 1 - -3 y 1/5 1/7 1/9 1-1
d) Asíntota vertical en x 0 1-3 y -1 1 1/3-1/5 1/5 e) Asíntota vertical en x 0 1-3 y - -1/ -/7 /5-1/5 f)
Asíntota vertical en x 0 1-3 y -3 3 1-3/5 3/5 37. En este caso la determinación de asíntotas horizontales requiere un estudio individualizado para cada caso, pero siempre teniendo en cuenta que siendo (ver ejercicio 8 de este tema). Las asíntotas verticales se hallarán, igualmente, buscando valores que anulen denominadores. a) Asíntota horizontal en Asíntota vertical en los b) Asíntota horizontal en Asíntota vertical en
c) Asíntota horizontal en Asíntota vertical en d) Asíntota horizontal en Asíntota vertical en e) Asíntota horizontal en Asíntota vertical en
f) Asíntota horizontal en Asíntota vertical en
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SOLUCIONES 38. 1 x a) f( x) x Dom f ( x) \ Im f( x) \ 1 Continua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x ). Decreciente en todo su dominio. Cóncava en,. Convexa en,. x b) gx ( ) x 1 1 Dom f ( x) \ 1 Im f( x) \ 1 Continua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x ). Creciente en todo su dominio. 1 Cóncava en,. 1 Convexa en,.
1 x c) hx ( ) x Dom f ( x) \ Im f( x) \ 1 Continua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x ). Creciente en todo su dominio. Cóncava en,. Convexa en,.
x 1 d) ix ( ) x 3 Dom f ( x) \ 3 Im f( x) \ Contínua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x 3). Decreciente en todo su dominio. Cóncava en,3. Convexa en 3,. 4x 3 e) jx ( ) x 5 5 Dom f ( x) \ Im f( x) \ 5 Contínua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x ). Decreciente en todo su dominio. 5 Cóncava en,. 5 Convexa en,.
x 3 f) kx ( ) 4x 1 1 Dom f ( x) \ 4 1 Im f( x) \ 1 Contínua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x ). 4 Creciente en todo su dominio. 1 Cóncava en,. 4 1 Convexa en,. 4 39. ax b f( x) cx d 1 x b Si la asíntota horizontal es y f( x) x d Si la asíntota vertical es x 3 3d 0 d 6
1 b Como la función pasa por el punto ( 1, 3) 3 b 5. 6 x5 x5 La ecuación que buscamos es: f( x), ó f( x). x6 6x 40. El problema se reduce a resolver el siguiente sistema: y 5x x x x x x x x y x 1 x 1 Los puntos de corte entre ambas gráficas son (0, ), y el ( 1,3). 5 10 10 0 1 0, 1 41. g(x): h(x): i(x): tiene una asíntota vertical en x0 b0 1 gx ( ) pasa por el punto (1,1) c 0 x 1 1 tiene una asíntota vertical en x b x 3 hx ( ) x 1 pasa por el punto (0,3) c 1 tiene una asíntota vertical en x b 1 hx ( ) 1 pasa por el punto (3,0) c 1 x 4. f(x): tiene una asíntota vertical en x 1 b 1 1 f( x) pasa por el punto (0, 1) c x 1
Funciones radicales. 43. a) f ( x) x b) gx ( ) x c) hx ( ) x5
d) ix ( ) x3 44. a) f( x) x3 b) gx ( ) x1 c) hx ( ) x1
d) ix ( ) 1x 1 e) jx ( ) x1 f) kx ( ) 1 x4 g) lx ( ) x3
h) mx ( ) 3x 45. f x x f x x f x x a) ( ) 1( ) ; ( ) gx x g x x g x x b) ( ) 3 1( ) 3; ( ) 3 hx x h x xh x x c) ( ) 3 1( ) 3 ; ( ) 3 1 d) ix ( ) jx ( ) x x 1 x 1 e) jx ( ) lx ( ) x1 x1 x4 x5 f) kx ( ) mx ( ) x 5 x 4 46. 1 4x1 1 4x1 a) f( x) x x f1( x) ; f( x) 1 4x5 1 4x5 b) gx ( ) x x 6 g1( x) ; g( x) c) ( ) 1 1( ) 1 ; ( ) 1 hx x x h x xh x x 1 54x 1 54x ix x x i x g x d) ( ) 6 1( ) ; ( ) 47. a) La ecuación de la función es f(x)=x -4, luego, su función inversa tiene dos ramas que coinciden con
gx ( ) x4 gx ( ) x4 b) La ecuación de la función es f(x)=x +8x+15, luego, su función inversa tiene dos ramas que coinciden con gx ( ) 4 1 x gx ( ) 4 1x 48. Los puntos de corte con (1, 1) y (0, 0).
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SOLUCIONES 49. Existe una relación de proporcionalidad indirecta entre el número de desagües y el tiempo que tarda en descargarse el depósito. siendo el tiempo, los desagües y la constante de proporcionalidad. En este caso luego la función es: 50. Según la fórmula de interés simple: luego La función es, en este caso, 51. La parábola de la figura tiene como puntos de corte con el eje OX a y, luego, por el teorema del factor, sabemos que la ecuación tendrá la forma siendo una constante a determinar. Para ello, basta con valorar con un punto, por ejemplo Luego finalmente, la ecuación queda como 5. a) La altura máxima es la ordenada del vértice: b) La distancia corresponde con el punto de corte con el eje OX más lejano del origen: luego la distancia que alcanza es 10 53. Llamando a la base y a la altura, imponemos la primera restricción: La fórmula del área es: Sustituyendo por el valor obtenido anteriormente encontramos la ecuación buscada:
1. Al ser lineal, su ecuación es de la forma: f( x) axb. Si pasa por el punto (, 3) 3 ab. Si pasa por el punto (, 4) 4 ab. 1 Resolviendo el sistema obtenemos el valor de la pendiente a. 4. Sustituyendo en la ecuación punto-pendiente : 3. Creciente en Decreciente en Continua en Discontinuidad de salto finito en 4. f () x x1
5. x 0 1-1 - y 10 6 1 0 1 6. Las coordenadas del vértice son a) b) c)
7. f x ax bx c Es una parábola, luego su ecuación es de la forma ( ). b El vértice de la función es el punto ( 1, 15) 1 ab a Por otra parte, los puntos de corte de la función con el eje OX son ( 5,0) y ( 3,0), por lo tanto: 05a5bc05a10ac015acca 09a3bc09a6ac015acca La ecuación de nuestra parábola es de la forma: ( ). f x x x Por ejemplo: ( ). f x ax ax a 8. a) x - -1 1 3 y 1/6 1/3-1/3-1/6-1/9 b) x 1/ 1/4 1/8-1/4-1/8 y 4 5 7 1-1
c) x 1/ -1/ 1-1 y 1/4 1/ 1/5 1 1/7 d) x 0 1-1 - 3 y 3/ 4/3 5/4 0
9. 1 x f( x) x 3 Dom f ( x) \ 3 Im f( x) \ Contínua en todo su dominio (discontinuidad asintótica en x 3). Decreciente en todo su dominio. Cóncava en, 3. Convexa en 3,. 10. a) f () x x b) f() x x3
PÁGINA 118 No se puede completar, pues se producen contradicciones: Las unidades del primer factor deben ser 5 obligatoriamente (pues centenas del segundo factor por unidades del primero tiene que tener como resultado algo que termine en 5). Así pues las unidades de la primera fila tiene por valor 0. Yendo ahora a la última fila, vemos que el segundo valor debe ser un 4 y dado que el inmediatamente a la izquierda de este es un, deducimos que las centenas del primer factor han de ser un 4. Así pues en la primera fila tendríamos un 8 como valor a la izquierda del 3, lo cual hace imposible la operación, pues 8++3 = 13 y debería acabar en 5 para lo que tendría que añadirse 1 unidades.