Análisis Matemático para Estadística. Hoja Funciones de variable compleja. Teoremas básicos.. Describe el conjunto de puntos del plano complejo que cumplen la ecuación: (a) Im(z + 5i) = ; (b) Re(z + 3 2i) =. 2. Describe el conjunto de puntos del plano complejo que cumplen la ecuación: (a) z + + i = 2; (b) z = z + 2 + i. 3. Sean z, w C. Demostrar lo siguiente: (a) z w z w. (b) Si z + w = z w entonces w = ó z/w es imaginario puro. (c) z w 2 + z + w 2 = 2( z 2 + w 2 ) (Igualdad del paralelogramo). 4. Demostrar que Re(z) + Im(z) 2 z para todo z C. 5. Encontrar la parte real e imaginaria de + i 3 2i, 2 + i 2 i, ( i) 8 ( + y 3 i) (3 + 8i) 4 ( + i). 6. Dados los vectores u = ( 5, 3) R 2 y v = (4, ) R 2, Encontrar: a) El vector de R 2 que resulta de girar u un ángulo de 9 en sentido contrario a las agujas del reloj. b) El vector de R 2 que resulta de girar v un ángulo de 3 en el sentido de las agujas del reloj. 7. Calcular y representar en el plano complejo las raíces cúbicas de, i, 8 y + i. 8. Calcular y representar en el plano complejo las raices cuartas de y 8 + 8 3 i y las raices cuadradas de + i y ( i). 9. Demostrar que si z es una raíz n-ésima de la unidad distinta de entonces + z + + z n =.. Demuestra la Identidad de Lagrange: n 2 ( n ) ( n ) z k w k = z k 2 w k 2 z k w j z j w k 2 k= k= k= k<j y deduce la desigualdad de Cauchy-Schwarz: n 2 ( n ) ( n ) z k w k z k 2 w k 2. k= k= k=. Usando la fórmula de Moivre y la versión compleja de la fórmula del binomio de Newton, expresar cos 2θ, sen 2θ, cos 3θ, sen 3θ, cos 4θ y sen 4θ en función de cos θ y sen θ. 2. Sea g(x, y) = { xy x 2 +2y 2 si (x, y) (, ), si (x, y) = (, ), y h(x, y) = x y 2. Determinar en qué puntos es continua la función f : C C dada por f(x + iy) = g(x, y) + h(x, y)i.
3. Determinar el disco de convergencia de las siguientes series de potencias: ( ) n ( ) n (a) n! zn (b) (2n + )! z2n+ (c) (2n)! z2n. (f) (d) (h) (3 + 4i) n ( + 2i n )n3 (z i) n (e) ( n n ) n (z + 3i) n (log n + i) ( + i) n (z + 2i)n (g) n 3 (z )n ( + 2i) n (2n + a n )(z i) n con a >, (i) (3 + i) n z2n. 4. Encuentra todos los valores de log, log i, log( i) y log( + 3i). 5. Demostrar que Log( + i) 2 = 2 Log( + i), pero Log( + i) 2 2 Log( + i). 6. (a) Encontrar z, w C\{} tales que Log(zw) Log z + Log w. (b) En general, qué relación hay entre Log(zw) y Log z + Log w? (c) Encontrar una condición necesaria y suficiente para que Log(zw) = Log z + Log w. 7. Encontrar la parte real e imaginaria de e 2+i, sen( + i), e 3 i y cos(2 + 3i). Están las funciones sin z y cos z acotadas en C? 8. Dado w C, demostrar que las soluciones z C de la ecuación cos z = w son los posibles valores de i log[w ± w 2 ]. 9. Dado w C, demostrar que las soluciones z C de la ecuación sen z = w son los posibles valores de i log[iw ± w 2 ]. 2. Prueba las siguientes versiones complejas de conocidas identidades reales: a) sen 2 z + cos 2 z =. b) sen(z + w) = sen z cos w + cos z sen w. c) cos(z + w) = cos z cos w sen z sen w. 2. Prueba que, si z = x + iy C, entonces a) sen z = sen x cosh y + i cos x senh y. b) sen z 2 = senh 2 y + sen 2 x. c) cos z = cos x cosh y i sen x senh y. d) cos z 2 = senh 2 y + cos 2 x. 22. Resolver la ecuación cos z = 3 4 + i 4. 23. Demostrar que las funciones f(z) = z y f(z) = z 2 son enteras. Estudiar en qué subconjuntos de C son holomorfas la funciones f(z) = z, f(z) = z, f(z) = z 2. 24. (i) Determinar el dominio de holomorfía de f(z) = z. (ii) Hallar los valores a, b, c R z+ para los que la función f(z) = az 2 + bzz + cz 2 es una función entera. 25. Consideramos D C \ {} abierto y f : D C holomorfa, f(x +yi) = u(x, y)+iv(x, y), con u(x, y) = Re(f(x + yi)), v(x, y) = Im(f(x + yi)). Para r > y θ R, consideramos ũ(r, θ) = u(r cos θ, r sin θ) y ṽ(r, θ) = v(r cos θ, r sin θ) (que estarán definidas en un abierto de R 2 ). Deduce la siguiente fórmula para las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar: ũ r = ṽ r θ, ṽ r = ũ r θ.
26. Para cada α R, consideramos los abiertos de R 2, A α = {(r, θ) : r >, α π < θ < α+π} y B α = C \ {se iα : s } y la aplicación Φ : A α B α, Φ(r, θ) = re iθ = (r cos θ, r sin θ), que es un C difeomorfismo real entre estos dos abiertos. Consideremo una función f : D C, con D A α y u(x, y) = Re(f(x + yi)), v(x, y) = Im(f(x + yi)) tal que ũ(r, θ) = u(r cos θ, r sin θ) = u Φ(r, θ) y ṽ(r, θ) = v(r cos θ, r sin θ) = v Φ(r, θ) son R-diferenciables y cumplen las condiciones de Cauchy Riemann en forma polar. Probar que f es holomorfa en D. 27. Supongamos que tenemos una función analítica f en un abierto conexo Ω C tal que existe un punto z Ω y una sucesión {z n } n de puntos en Ω \ {z } convergente a z con f(z n ) = para todo n N (es decir, el conjunto de ceros de f tiene un punto de acumulación en Ω). Prueba que f en Ω (Teorema de Identidad II). Indicación: Utiliza el desarrollo en serie de potencias de f en un disco centrado en z. Puesto que f(z ) =, esta serie de potencias será de la forma ( f(z) = a n (z z ) n = (z z ) a n (z z ) ). n n= n=
Análisis Matemático Para Estadística. Hoja 2 Funciones de variable compleja: Teoremas básicos. Encuéntrese el valor de las siguientes integrales: a) dz, donde (t) = cos t + 2i sen t, t 2π. z b) dz, donde (t) = cos t + 2i sen t, t 2π. z2 c) dz, donde es la circunferencia de centro y radio. z 2 z 2 d) dz, donde es la circunferencia de centro y radio 2. z z 2 e) dz, donde es como en el apartado anterior. z 2 + sen e z f ) dz, donde es la circunferencia de centro y radio. z 2. Calcular el valor de las siguientes integrales: dz a) z =2 z 2. e z b) z =2 z 2 (z ) dz. e iπz c) z =2 z 4 dz. d) z 2 sen z dz. z = 3. Sea la circunferencia de centro y radio 2 parametrizado por (t) = 2e it con t [, 2π]. Calcular las siguientes integrales: e z a) z dz. 2 b) z 2 + z + dz. c) z 2 + 2z 3 dz. d) z 2 (z 2 + 6) dz. 4. Evaluar la integral donde es el segmento que va de a i. z dz, 5. Discutir los posibles valores de la integral, 2z 2 5z + 3 z 3 + 6z 2 + z + 6 dz, donde es un camino cerrado simple (cuya traza está contenida en dominio de la función que estamos integrando).
6. Discutir los posibles valores de la integral, sen πz 2 z 3 + z 2 + z + dz, donde es un camino cerrado simple (cuya traza está contenida en dominio de la función que estamos integrando). 7. Supongamos un camino C a trozos y {f n } n una sucesión de funciones continuas definadas en la traza de tales que convergen uniformemente a f en la traza de. Probar que lím f n = f. n 8. Sean Ω C es abierto y un camino C a trozos en C. Si ϕ : Ω C es continua, (a) probar que la función f(z) = ϕ(ω, z)dω, z Ω, es continua en Ω. Indicación: Usa que para todo z Ω y para todo r > suficientemente pequeño para que D(z, r) Ω, la función ϕ es uniformemente continua en el compacto D(z, r) de C C (el cual podemos identificar como R 4 ). (b) Supongamos que además existe z (ω, z), para todo (ω, z) Ω y la aplicación z : Ω C es continua. Probar que f es derivable en todo punto de Ω y f (z) = Indicación: Fijado z Ω, expresar primero f(z) f(z ) z z (ω, z)dω, z Ω. z z (ω, z )dω = ( ) ϕ(ω, z) ϕ(ω, z ) z z [z,z] z (ω, z )du dω = = ( ( ) ) (ω, u) z z [z,z] z z (ω, z ) du dω. Después mayora el módulo de esta expresión, teniendo en cuenta que para r > suficientemente pequeño, es uniformemente continua en z D(z, r). 9. Demuestra la versión local del teorema integral de Cauchy para una función f H(Ω \ {p}) C(Ω) y para un triángulo Ω en el caso p. f(z). Supongamos que f es entera y que lím z z =. Prueba que f es constante.. Sea f entera y supongamos que f(z) M z n para valores grandes de z, para cierta constante M y n N. Prueba que f(z) es un polinomio de grado n. 2. Demuestra que si Ω C es abierto, f : Ω C es continua y f(z)dz = para cada triángulo en Ω, entonces f H(Ω) (Teorema de Morera). Indicación: Para cada z Ω existe r > tal que z D(z, r) Ω. Construye en D(z, r) una primitiva local de f tal y como se hizo en el Teorema de existencia de primitivas en abiertos convexos visto en clase. 3. Usa el Teorema de Morera para probar que si f n : Ω C es holomorfa para cada n N y {f n } n converge uniformemente en los compactos de Ω a una función f : Ω C, entonces f es holomorfa también. Demuestra que además la sucesión de las derivadas de órden j N, {f n (j) } n converge a f (j) (la derivada de órden j de f) uniformemente en cada compacto (Teorema de Weierstrass). Indicación: Para la primera afirmación usa
el teorema de Morera. Para la última afirmación, usa las desigualdades de Cauchy. Es suficiente que pruebes la convergencia uniforme de {f (j) n } n a f (j) en cada D(z, r) Ω. 4. Demostrar que si Ω C es abierto y z Ω, entonces H(Ω \ {z }) C(Ω) = H(Ω). 5. Encuentra el máximo de cos z sobre los siguientes conjuntos: a) {z C : Re(z), Im(z) [, 2π]}. b) {z C : z }. 6. Una función real u definida en un abierto Ω de R 2 y con valores en R es armónica si 2 u x 2 + 2 u y 2 =, en Ω. Demuestra que si f : Ω C es una función holomorfa en Ω, entonces u = Re(f) y v = Im(f) son armónicas. 7. Prueba que todo función armónica u : Ω R (Ω abierto de C) con derivadas parciales continuas de orden 2 es localmente la parte real de una función holomorfa. Es decir, para todo z Ω, existe r > y f : D(z, r) C holomorfa tal que u = Re(f) en D(z, r). En este caso, se llama conjugada armónica de u a v = Im(f). Indicación: Considera la función g = u i u y prueba que es holomorfa. Por tanto, x y tiene una primitiva en D(z, r) Ω (recordar el teorema de existencia de primitivas en abierto convexos) que llamamos f = ũ + iṽ. Por las condiciones de Cauchy-Riemann, f = ũ i ũ. Qué puedes deducir de aquí? x y 8. Muestra que u(x, y) = x 3 3xy 2 es armónica. Podrías dar una conjugada de u?
Análisis Matemático Para Estadística. Hoja 2. Anexo Funciones de variable compleja: Teoremas básicos. Si Ω es un abierto de C, demuestra la versión local del teorema integral de Cauchy para una función f H(Ω \ {p}) C(Ω) y para un triángulo Ω en el caso p. 2. Supongamos un camino C a trozos en C y {f n } n una sucesión de funciones continuas definadas en tales que convergen uniformemente a f en. Probar que lím f n = f. n 3. Sean Ω C es abierto y un camino C a trozos en C. Si ϕ : Ω C es continua, (a) probar que la función f(z) = ϕ(ω, z)dω, z Ω, es continua en Ω. Indicación: Usa que para todo z Ω y para todo r > suficientemente pequeño para que D(z, r) Ω, la función ϕ es uniformemente continua en el compacto D(z, r) de C C (el cual podemos identificar como R 4 ). (b) Supongamos que además existe z (ω, z) para todo (ω, z) Ω y la aplicación z : Ω C es continua. Probar que f es derivable en todo punto de Ω y f (z) = Indicación: Fijado z Ω, expresar primero f(z) f(z ) z z (ω, z)dω, z Ω. z z (ω, z )dω = ( ) ϕ(ω, z) ϕ(ω, z ) z z [z,z] z (ω, z )du dω = ( ) = z z [z,z] ( (ω, u) z z (ω, z ) ) du dω. Después mayora el módulo de esta expresión, teniendo en cuenta que para r > suficientemente pequeño, es uniformemente continua en z D(z, r). 4. Usa el Teorema de Morera para probar que si f n : Ω C es holomorfa para cada n N y {f n } n converge uniformemente en los compactos de Ω a una función f : Ω C, entonces f es holomorfa también. Demuestra que además la sucesión de las derivadas de orden j N, {f n (j) } n converge a f (j) (la derivada de orden j de f) uniformemente en cada compacto (Teorema de Weierstrass). Indicación: Para la última afirmación, usa las desigualdades de Cauchy. Es suficiente que pruebes la convergencia uniforme de {f n (j) } n a f (j) en cada D(z, r) Ω. 5. Demostrar que si Ω C es abierto y z Ω, entonces H(Ω \ {z }) C(Ω) = H(Ω). 6. Prueba que todo función armónica u : Ω R (Ω abierto de C) con derivadas parciales continuas de orden 2 es localmente la parte real de una función holomorfa. Es decir, para todo z Ω, existe r > y f : D(z, r) C holomorfa tal que u = Re(f) en D(z, r). En este caso, se llama conjugada armónica de u a v = Im(f). Indicación: Considera la función g = u x i u y prueba que es holomorfa. Por tanto, tiene y una primitiva en D(z, r) Ω (recordar el teorema de existencia de primitivas en abierto convexos) que llamamos f = ũ + iṽ. Por las condiciones de Cauchy-Riemann aplicadas a f tenemos que f = ũ i ũ. Qué puedes deducir de aquí? x y 7. Podrías dar una conjugada de la función armónica u(x, y) = x 3 3xy 2?
Análisis Matemático Para Estadística Hoja 3 Teorema de los Residuos de Cauchy y aplicaciones. Encuentra el desarrollo de Laurent de < z <. 2. Desarrolla en serie de Laurent a) < z <, b) < z < 2. 3. Describe las singularidades de z(z + ) alrededor de z = y válido en la región z(z )(z 2) cos(/z). 4. Determina el orden de los polos de las siguientes funciones: e z (z 3) a) (z )(z 5). b) ez. z c) cos z z. 5. Identifica las singularidades de f(z) = z (e z )(e z 2) en las siguientes regiones: clasificándolas en evitables, esenciales o polos (indicando el orden de los mismos cuando proceda). 6. Evaluar la integral zn e z dz, donde es la circunferencia de radio centrada en recorrida una vez en sentido contrario a las agujas del reloj. 7. Calcular los residuos de las siguientes funciones en los puntos indicados: en z =. a) z 2 b) z z 2 en z =. c) ez en z =. z 2 d) ez en z =. z 8. Encuentra los primeros términos de la serie de Laurent de f(z) = e z en z =. 9. Dada la función f(z) = cot z = cos z : sen z a) Determina de qué tipo es la singularidad que tiene f en z =. b) Calcula los primeros términos de la serie de Laurent de f centrada en z =.. Calcular dz, donde es la circunferencia de centro y radio 3/2 z(z )(z 2) recorrida una vez en sentido contrario a las agujas del reloj. + z. Calcular la integral dz, donde es la circunferencia de centro y radio 7 cos z recorrida una vez en sentido contrario a las agujas del reloj.
2. Se considera la función f(z) = cos(πz) z 2 sen(πz). Se pide: a) Probar que f tiene un polo de orden 3 en y de orden en cada n Z. b) Si b 3 + b z 3 2 + b z 2 z + a + a z + a 2 z 2 + es el desarrollo de Laurent de f centrado en, calcular b, b 2, b 3. c) Calcular el residuo de f en cada uno de sus polos. d) Calcular f(z)dz, siendo el círculo de centro y radio 5. 2 3. Si a, calcular 4. Calcular 5. Calcular 6. Si < b < a, calcular π 7. Demostrar que 8. Encontrar el valor principal de cos ax + x 2 dx. x 2 2x + 4 dx. x 2 + x 4 dx. dθ (a + b cos θ) 2. x sen x x 4 + dx = π 2 2 2 e 2 sen 2. x x 3 + dx. 9. Calcular 2π 2 + cos θ dθ. 2. Encontrar el valor principal de la integral x(x 2 ) dx. 2. Si a >, calcular 22. Calcular x 2 (a 2 + x 2 ) 2 dx. cos x x 4 + dx.
Análisis Matemático para Estadística. Hoja 4 Espacios de Hilbert. Demostrar que en un espacio normado E con producto interno, se cumple: (a) 2 x 2 + 2 y 2 = x + y 2 + x y 2 (Ley del Paralelogramo). (b) x + y x y x 2 + y 2. (c) Si E es real, x, y = 4 ( x + y 2 x y 2 ) (Identidad de Polarización Real). (d) Si E es complejo, x, y = 4 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 ) (Identidad de Polarización Compleja). 2. Si E es un espacio con un producto interno y norma asociada, probar: a) x y x y, para cada x, y E. b) La función norma y el producto interno son continuas. (Indicación: para el producto interno, hay que probar que para cualesquiera x, y E y cualesquiera sucesiones {x n } e {y n } de E convergentes respectivamente a x e y, se tiene que lím n x n, y n = x, y. Por las propiedades del producto interno, x n, y n x, y = x n x, y n + x, y n y. 3. Si H es un espacio de Hilbert y V H, definimos V := {x H : x y, para todo y V } = {x H : x, y =, para todo y V }. Si M, N H y [M] es el subspacio generado por M (es decir, el conjunto de las combinaciones lineales finitas de elementos de M), entonces a) M es un subespacio vectorial cerrado de H. b) M N implica N M. c) [M] = M. d) M = M. (Recuerda la notación: A es la adherencia de un subconjunto A H). e) [M] = M. f ) H = M M, si M es un subespacio cerrado de H. Haz la demostración sólo para el caso de espacio de Hilbert separable. g) [M] = (M ). 4. Demostrar que si V es un subconjunto ortogonal de elementos no nulos de un espacio E con un producto interno, entonces los elementos de V son linealmente independientes. 5. Considera C[, ] = {f : [, ] R : f continua} y la sucesión (f n ) en (C[, ], 2 ), donde 2 es la norma asociada al producto interno f, g = f(t)g(t) dt y si x, 2 f n (t) = n ( ) t si 2 2 t +, 2 n si + t, 2 n para n 2. Prueba que (f n ) es de Cauchy pero no convergente. Por tanto, (C[, ], 2 ) no es completo.
6. Recordemos el proceso de ortogonalización que nos permite obtener una base ortonormal de un espacio vectorial generado por un sistema de vectores linealmente independientes {x,..., x n } de un espacio de Hilbert H: e = x x, e k = x k k i= x k, e i e i x k k i= x k, e i e i = x k ( x k 2 k k i= x k, e i e i ) /2. i= x k, e i 2 Entonces el sistema {e,..., e n } es ortonormal y [{x,..., x n }] = [{e,..., e n }]. (a) Dado el sistema de polinomios linealmente independientes {, x, x 2, x 3 } de L 2 [, ], encontrar un sistema ortonornal {e, e 2, e 3, e 4 } tal que [{, x, x 2, x 3 }] = [{e, e 2, e 3, e 4 }]. (b) Si P 2 es el subespacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 definidos en el intervalo [, ], calcula P P2 (x 3 ). (c) Calcula dist(x 3, P 2 ). 7. Calcular la proyección y la distancia de f(x) = e x sobre E = [u, u, u 2 ] con u n (x) = x n para n =,, 2 en L 2 [, ]. 8. Acotar el valor de la integral π 2 x sen xdx usando el producto escalar habitual en C[, π 2 ]. 9. Probar que las funciones de la forma, cos(mt), sen(nt) con m, n N son ortogonales en L 2 [ π, π]. Calcular también su norma.. En L 2 [ π, π], calcula el desarrollo en serie de Fourier de { x + 2π si π x, f(x) = x si < x π. Usando la Identidad de Parseval en L 2 [ π, π], demuestra que n = π2 2 6. n= Ejercicios suplementarios. Si p(x) = x 2 + λx + µ con λ, µ R es un polinomio mónico de grado 2 y E es el espacio generado por {, x} en L 2 [, ], se pide: (a) Calcular P E (p), es decir, la proyección ortogonal de p sobre E en L 2 [, ]. (b) Calcular la distancia de p a E en L 2 [, ]. 2. Demostrar que los polinomios p (x) = 5x 4 6x 2 + y p 2 (x) = 4x 3 4x son ortogonales en L 2 [, ]. Construye a partir de ellos funciones ortonormales {f, f 2 } tales que [f, f 2 ] = [p, p 2 ]. Dada la función f(x) = x 2 x, calcula la distancia de f a E, donde E = [p, p 2 ] y P E (f), la proyección de f sobre E. 3. Hacer lo mismo que en el problema anterior para E = [sen x, cos x] y f(x) = e x.
Análisis Matemático para Estadística. Hoja 5 Transformadas de Fourier. Si f(x) = χ [ b,b] (x) (con b > ), calcula f. 2. (a) Si f(x) = e 2π x, calcula f. (b) Utiliza las propiedades de la tranformada de Fourier y el anterior apartado para calcular f, siendo f(x) = e 4πix e 2π x 8. 3. Si f(x) = e πx2, calcula f. (Indicación: utiliza la relación que hay entre las transformadas de Fourier de una función y su derivada. Recuerda además que e πx2 dx = ). 4. Calcula las transformadas de Fourier de las funciones xχ [,] (x) y x 2 χ [,] (x). 5. Encuentra la transformada de Fourier de la función: f(x) = { e x (cos 3x + sen 3y) si x, e 2x si x. 6. Dada la función f(x) = e 2πb x cos 2πax con a, b >, obtén su transformada de Fourier. 7. Calcula f donde si < x, x + si x, f(x) = x 2 2x + si < x, si < x <. 8. Calcula f donde si < x 2, x 2 + 4x + 4 si 2 < x, f(x) = 2 x 2 si < x, x 2 4x + 4 si < x 2, si 2 < x <. 9. Calcula la transformada de Fourier de la función f(x) = ( x 2 ) 2 χ [,] (x).. Probar que si f(x) = e 2π x (cos 2π x + sen 2π x ), entonces f(s) = 4 π(4 + s 4 ).. Usa el ejercicio anterior y el teorema de inversión de Fourier para calcular la trasformada de Fourier de g(x) = +x 4.
2. Calcular f donde si < x, x + si x, f(x) = x 2 2x + si < x, si < x <. 3. Si f(x) = (2b x )χ [ b,b] (x) (con b > ), calcula f(s). 4. Encontrar f(s) si f(x) = e 2π x cos 2 2πx. (Indicación: Escribir el coseno en función de exponenciales complejas y usar las propiedades de la transformada de Fourier junto con el hecho de que F [e 2π x ](s) = π(+s 2 ) ). 5. Encontrar f(s) si f(x) = x (+x 2 ) 2. (Indicación: buscar una primitiva de f y aplicar la relación que hay entre las transformadas de Fourier de una función y su derivada. Además del teorema de inversión de Fourier puedes deducir que F [ +x 2 ](s) = πe 2π s ). 6. Encontrar f(s) si f(x) = χ [ 2,] (x) + χ [,2] (x).