Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 18
Funciones racionales MATE 3171 De nición Una función racional es de la forma: r (x) = P (x) Q (x) donde P y Q son funciones polinómicas. Nota:En general, las funciones P y Q no tienen factores en común dom (r) = fx 2 RjQ (x) 6= 0g Nota Cuando se gra ca una función racional, se debe prestar atención especial a aquellas valores de x que anulan a Q. Ejemplos 3.7.1 r (x) = x + 2 x 2 es una función racional, dom (r) = fx 2 Rjx 6= 2g 4 x + 2 3.7.2 r (x) = x 2 no es una función racional + 12x 3/2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 18
3.7.3 La función racional f (x) = 1, tiene dominio fx 2 Rjx 6= 0g, para x gra carla considere: x f (x) x f (x) 1/10 10 1/10 10 1/100 100 1/100 100 1/1000 1000 1/1000 1000 # # # # Se acerca a 0 Se acerca a Se acerca a 0 + Se acerca a x f (x) x f (x) 10 1/10 10 1/10 100 1/100 100 1/100 1000 1/1000 1000 1/1000 # # # # Se acerca a Se acerca a 0 Se acerca a Se acerca a 0 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 18
x f (x) 2 1/2 1 1 1/2 2 1/2 2 1 1 2 1/2 En el ejemplo anterior se utilizó: Símbolo Signi cado x! a x se aproxima a a por la izquierda x! a + x se aproxima a a por la derecha x! x va hacia el negativo x! x va hacia el positivo P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 18
De nición de asíntotas 1 La recta x = a es una asíntota vertical de la función y = f (x) si y! cuando x se acerca a a por la derecha o izquierda. 2 La recta y = b es una asíntota horizontal de la función y = f (x) si y! b cuando x!. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 18
3.7.4 Dada la siguiente grá ca Indique: a. Interceptos con el eje X: b. Interceptos con el eje Y: c. Asíntotas verticales: d. Asíntota horzontal: P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 18
Pasos para hallar las asíntotas Considere la función racional: r (x) = a nx n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m 1 + + b 1 x + b 0 1 Las asíntotas verticales de r son las rectas x = a, donde a es un cero del denominador, pero no anula al numerador. 2 Las asíntotas horizontales se hallan de la siguiente manera: a. Si n < m, entonces r tiene como asíntota horizontal a la recta y = 0. b. Si n = m, entonces r tiene como asíntota horizontal a la recta y = a n b m. c. Si n > m, entonces r no tiene asíntota horizontal. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 18
3.7.5 Halle las asíntotas verticales y horizontal de f (x) = 2x 4 x 2 25 = 2x 4 (x 5) (x + 5) dom (f ) = R f5g Asíntotas verticales: posibles x = 5 x = 5 : anula al denominador, pero no al numerador, si lo és x = 5 : anula al denominador, pero no al numerador, si lo és Asíntota horizontal: el grado del numerador es menor que el del denominador, por lo tanto la asíntota horizontal es la recta y = 0. 3.7.6 Halle las asíntotas verticales y horizontal de f (x) = x 2 + 2x 8 (x + 4) (x 2) x 2 = 16 (x 4) (x + 4) dom (f ) = R f4g Asíntotas verticales: posibles x = 4 x = 4 : anula al denominador y al numerador, por lo tanto no lo és. x = 4 : anula al denominador, pero no al numerador, si lo és. Asíntota horizontal: El grado del numerador es igual al del denominador, por lo tanto la asíntota horizontal es la recta y = 1 1 = 1. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 18
Pasos para gra car funciones racionales 1 Factorice al numerador y denominador. 2 Halle el dominio de la función. 3 Encuentre los interceptos con los ejes coordenados. 4 Determine las asíntotas verticales y analice el comportamiento de y, es decir si se aproxima a en cada lado de la asíntota vertical. 5 Halle la asíntota horizontal si existe. 6 Bosqueje la grá ca de la función racional. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 18
3.7.7 Trace la grá ca de f (x) = 2x 8, indicando su dominio, interceptos 3x + 6 con los ejes y asíntotas. dom (f ) = R f 2g Interceptos: X : y = 0 ) 2x 8 = 0 ) x = 4 Y : x = 0 ) y = 8 6 = 4 3 Asíntotas: Vertical: x = 2, el numerador no se anula. Comportamiento cerca de x = 2 x! 2 2 + el signo de y = 2x 8 3x + 6 es + y! Horizontal (numerador y denominador tienen el mismo grado): y = a 1 b 1 = 2 3 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 18
7 y 6 x= 2 5 4 3 2 1 y=2/3 x 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 P. Vásquez (UPRM) 8 Conferencia 11 / 18
3.7.8 Trace la grá ca de f (x) = 2x 2 + 2x 4 x 2, indicando su dominio, 3x 4 interceptos con los ejes y asíntotas. f (x) = 2x 2 + 2x 4 2 (x + 2) (x 1) x 2 = 3x 4 (x 4) (x + 1) dom (f ) = R f 1, 4g Interceptos: X : y = 0 ) (x + 2) (x 1) = 0 ) x = 2, x = 1 Y : x = 0 ) y = 4 4 = 1 Asíntotas Verticales: posibles x = 1, x = 4 x = 1, anula al denominador, pero no al numerador, si lo és. x = 4, anula al denominador, pero no al numerador, si lo és. Comportamiento cerca de x = 1, x = 4 x! 1 1 + 4 4 + el signo de (+) ( ) (+) ( ) (+) (+) (+) (+) 2 (x + 2) (x 1) y = (x 4) (x + 1) es ( ) ( ) ( ) (+) ( ) (+) (+) (+) y! Asíntota horizontal (numerador y denominador tienen el mismo grado): y = a 2 b = 2 1 = 2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 18
7 6 5 x= 1 4 3 2 y y=2 1 x 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 2 3 4 x=4 5 6 7 8 9 10 11 12 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 18
3.7.9 Trace la grá ca de f (x) = x 2 + 3x x 2, indicando su dominio, + x 6 interceptos con los ejes y asíntotas. f (x) = x 2 + 3x x 2 + x 6 = x (x + 3) (x + 3) (x 2) = x x 2 dom (f ) = R f 3, 2g Interceptos: X : y = 0 ) x = 0 Y : x = 0 ) y = 0 Asíntotas Verticales: posibles x = 3, x = 2 x = 3, anula al denominador y al numerador, no lo és. x = 2, anula al denominador, pero no al numerador, si lo és. Comportamiento cerca de x = 3, x = 2 x! 3 3 + 2 2 + el signo de ( ) ( ) (+) (+) x (x + 3) y = (x + 3) (x 2) es ( ) ( ) ( ) (+) 3 3 y! 5 5 Asíntota horizontal (numerador y denominador tienen el mismo grado): y = a 2 b = 1 1 = 1 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 18
y MATE 3171 7 6 5 4 3 2 1 y=1 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 x=2 5 6 7 8 P. Vásquez (UPRM) 9 Conferencia 15 / 18
Asíntotas oblicuas Si r (x) = P (x) es una función racional en la cual el grado del numerador Q (x) excede en 1 al grado del denominador, usando el algorítmo de la división la función se puede expresar en la forma: r (x) = ax + b + R (x) Q (x) donde el grado de R es menor que el grado de Q y a 6= 0, y por lo tanto esto signi ca que cuando x!, R (x)! 0, es decir para valores Q (x) grandes de x, la grá ca de y = r(x) se aproxima a la grá ca de y = ax + b, que se le llama asíntota oblicua. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 16 / 18
.7.10 Trace la grá ca de f (x) = x 2 + 2x, indicando su dominio, x 1 interceptos con los ejes y asíntotas. f (x) = x 2 + 2x x 1 = x + 3 + 3 x 1 dom (f ) = R f1g Interceptos: X : y = 0 ) x 2 + 2x = x (x + 2) = 0 ) x = 0, x = 2 Y : x = 0 ) y = 0 Asíntotas Verticales: posibles x = 1 x = 1, anula al denominador, pero no al numerador, si lo és. Comportamiento cerca de x = 1 x! 1 1 + el signo de y = x 2 + 2x x 1 = x + 3 + 3 x 1 es + + + y! Asíntota oblicua: y = x + 3 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 17 / 18
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y y=x+3 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 x=1 3 4 5 6 7 8 9 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 18 / 18