Práctica 4: Distribución normal multivariante con R

Transcripción

1 Estadística II Curso 2010/2011 Licenciatura en Matemáticas Práctica 4: Distribución normal multivariante con R 1. Simulación de datos normales multivariantes Para generar una muestra de datos con distribución normal multivariante, se utiliza el comando mvrnorm de la librería MASS. Para obtener ayuda sobre cómo usar el comando: library(mass) help(mvrnorm) Los tres principales argumentos son n (el número de puntos que queremos generar), mu (el vector de medias) y Sigma (la matriz de covarianzas). Por ejemplo, para generar y representar 5000 puntos con distribución normal bidimensional con vector de medias µ = (0, 0) y matriz de covarianzas Σ = podemos ejecutar los comandos siguientes: n = 5000 mu = c(0,0) sigma = matrix(c(1,0.8,0.8,1),2) datos = mvrnorm(n,mu,sigma) plot(datos,pch=. ) 1 0,8 0, Estimación del vector de medias y de la matriz de covarianzas Si queremos estimar los parámetros del modelo y la matriz de covarianzas con los datos que hemos generado, podemos utilizar los comandos muest = colmeans(datos) sigmaest = cov(datos) respectivamente. Compara los estimadores obtenidos con los valores poblacionales. Dado que el tamaño muestral es muy grande, deben parecerse bastante. 1

2 3. Distancia de Mahalanobis La distancia de Mahalanobis se calcula con el comando mahalanobis(x,center,cov), donde center es el centro con respecto al que se calcula la distancia en cada punto y cov es la matriz de covarianzas de los datos (o la verdadera si es conocida). Si utilizamos como centro y matriz de covarianzas los valores estimados anteriormente, las distancias se calculan mediante: distancias = mahalanobis(datos,muest,sigmaest) Calcula las principales medidas numéricas (media y desviación típica) y representa los principales gráficos (histograma y diagrama de cajas) para describir el vector de distancias. Compara los resultados con lo esperado bajo el modelo normal. Con los siguientes comandos se representan los puntos en distinto color según su distancia esté por debajo o por encima del valor medio (que en este caso es p = 2): plot(datos,pch=. ) points(datos[distancias>2,],pch=.,col= red ) 4. Datos de la liga española de fútbol El fichero liga0506.rdata contiene los partidos ganados, perdidos, los goles a favor y en contra de todos los equipos de la primera división de la liga española de fútbol en el año Primero cargamos los datos y los representamos gráficamente mediante una matriz de diagramas de dispersión: load( liga0506.rdata ) datos = liga[,-1] pairs(datos) A continuación calculamos el vector de medias estimado y las matrices de covarianzas y de correlaciones estimadas: > media = colmeans(datos) > media > matcov = cov(datos) > matcov G P GF GC > cor(datos) 2

3 G P GF GC Finalmente, calculamos las distancias de Mahalanobis de cada equipo al centro (vector de medias): > distancias = mahalanobis(datos,media,matcov) > cbind(liga,distancias) Equipo distancias 1 Barcelona RMadrid Valencia Osasuna Sevilla Celta Villarreal Deportivo Getafe AtMadrid Zaragoza AthBilbao Mallorca Betis Espanyol RSociedad Racing Alaves Cadiz Malaga Regresión simple cuando la variable regresora es aleatoria En clase hemos considerado el modelo de regresión simple con diseño fijo, es decir, la variable regresora no es aleatoria sino que es fijada por el experimentador. Sin embargo, en muchas aplicaciones la variable regresora no es fija sino aleatoria. Aprovechando que sabemos generar vectores aleatorios normales, vamos a hacer un experimento de simulación para conocer las propiedades del estimador de la pendiente es el caso de diseño aleatorio. El siguiente programa genera 1000 nubes de puntos normales de tamaño 20, ajusta las correspondientes rectas por mínimos cuadrados, guarda en beta0 y beta1 los estimadores obtenidos y los representa gráficamente: mu = c(0,0) # Media poblacional sigma = matrix(c(1,0.5,0.5,1),2) # Matriz de covarianzas poblacional B = 1000 # Numero de muestras n = 20 # Numero de datos en cada muestra 3

4 beta1 = numeric(b) # Definicion del vector de pendientes beta0 = numeric(b) # Definicion del vector de terminos indeps. for (i in 1:B){ x = mvrnorm(n,mu,sigma) # Genera la muestra reg = lm(x[,2]~x[,1]) # Ajusta el modelo beta0[i] = coef(reg)[1] # Guarda el termino independiente beta1[i] = coef(reg)[2] # Guarda la pendiente estimada } plot(beta0,beta1,pch=16,cex=0.4,bty= l ) El gráfico que se ha obtenido es: beta0 beta1 Ejercicios 1. Describe gráfica y numéricamente los vectores beta0 y beta1 obtenidos en la simulación anterior. 2. Genera 1000 puntos normales bidimensionales con vector de medias µ = (0, 0) y matriz de covarianzas Σ = Representa la nube de puntos generados. 3. Estima a partir de los datos generados los parámetros µ y Σ. Para estos estimadores calcula la distancia de Mahalanobis. Aplica a las distancias obtenidas un test de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov para contrastar si las distancias tienen distribución χ

5 4. Calcula una distancia d tal que el 10 % de los puntos dista del centro más que d. (Indicación: usa el comando quantile) 5. Representa la nube de puntos marcando de color rojo el 10 % de puntos más distantes del centro. 6. Añade a los puntos generados un dato atípico. Por ejemplo, x 0 = ( 15, 1). Repite los ejercicios anteriores para la nueva muestra comparando los resultados obtenidos en ambos casos. 5