Geometría y medición. Matemáticas en la vida diaria. Proporciones olímpicas Los juegos olímpicos del 2000 en Sidney,

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1 Geometría y medición Matemáticas en la vida diaria Proporciones olímpicas Los juegos olímpicos del 2000 en Sidney, Australia, incluyeron 35 deportes. La siguiente tabla muestra las dimensiones, el perímetro y el área de las canchas, los campos, las esteras y las piscinas rectangulares donde se jugaron algunos de estos juegos. Deporte Largo Ancho Perímetro Área (metros) (metros) (metros) (metros) (m 2 ) Cancha de fútbol ,000 Cancha de hockey de campo ,027 Piscina ,250 Cancha de hándbol Piscina de water polo Cancha de vóleibol Cancha de badminton (individuales) Pista de esgrima Piensa al respecto En qué se parecen las dimensiones de tu aula y las de una cancha de vóleibol?

2 Carta a la familia Estimados alumno(a) y familiares: Es hora de variar un poco. Nuestro próximo capítulo de matemáticas trata sobre las mediciones en geometría. En este nuevo capítulo, aprenderán acerca de los ángulos y sus medidas; y sobre el área y el perímetro de cuadrados, rectángulos y figuras irregulares. Finalmente, aprenderán acerca del famoso teorema de Pitágoras, a 2 b 2 c 2, que se usa con triángulos rectángulos. a c El perímetro es una medida de la distancia alrededor de una figura. Si la figura es un círculo, la distancia a su alrededor se conoce como circunferencia. Para calcular la circunferencia de un círculo, descubrirán que pueden multiplicar el diámetro por pi. Pi ( ) equivale aproximadamente a b Perímetro Circunferencia Vocabulario Este capítulo tiene muchas palabras de vocabulario. Es probable que estén familiarizados con algunas de ellas. ángulo agudo área cuerda circunferencia diámetro hipotenusa operaciones inversas cateto ángulo obtuso paralelogramo cuadrado perfecto perímetro perpendicular radio ángulo recto ángulo recto raíz cuadrada Qué pueden hacer en el hogar? La geometría está en todas partes! Pidan a su hijo(a) que dé ejemplos de perímetros y áreas relacionados con su vida cotidiana. impactmath.com/family_letter 465

3 Ángulos En el Capítulo 1, investigaste ángulos. Aprendiste que un ángulo se define como dos rayos con un punto final común, llamado vértice. Recuerda Puedes pensar en un ángulo como una rotación. Un ángulo de 360 es una rotación alrededor de un círculo completo. Un ángulo de 180 es una rotación de la 1 2 del camino alrededor de un círculo. Un ángulo de 90 es una rotación de un 1 4 del camino alrededor de un círculo. Vértice Los ángulos se miden en grados. En el Capítulo 1, usaste ángulos de 90, 180 y 360 como puntos de comparación para estimar las medidas de otros ángulos. 90º 180º 360º Rayo Rayo & Piensa comenta Cada diagrama se construye a partir de ángulos del mismo tamaño. Estima la medida de cada ángulo marcado y explica cómo lo calculaste. 180??? 466 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

4 180 0 Investigación 1 Mide ángulos Un transportador es una herramienta para medir ángulos. Un transportador tiene dos conjuntos de rótulos de grados a lo largo del borde de un medio círculo (o algunas veces de un círculo completo). La línea que atraviesa 0 se llama línea de referencia Datos de interés En el patinaje en línea, los 360 (vueltas completas) y los 540 (una vuelta y media) son dos de las acrobacias más difíciles Para medir un ángulo, sigue estos pasos: Coloca el centro inferior del transportador en el vértice del ángulo. Alinea la línea de referencia con un rayo del ángulo. Asegúrate que el otro rayo se pueda ver a través del transportador. (Quizás necesites extender este rayo de manera que puedas ver donde se encuentra con las marcas a lo largo del borde del transportador.) Lee la medida del ángulo. Línea de referencia LECCIÓN 8.1 Ángulos 467

5 MATERIALES transportador copias de los ángulos & Piensa comenta El ángulo a continuación mide cerca de 48. O cerca de 132? Cómo sabes qué número usar? Datos de interés El astrolabio marino fue un instrumento de navegación durante los siglos XV y XVI. Los navegantes lo usaron para medir el ángulo de elevación del Sol u otra estrella. Esta medida les podía ayudar a determinar la latitud de su barco Es la medida del ángulo a continuación un poco más de 90 ó un poco menos de 90? Cómo lo sabes? Mide estos dos ángulos. En qué se parecen los ángulos? Calcula la medida del ángulo a continuación. Describe el método que usaste. 468 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

6 Has visto que cuando mides un ángulo con un transportador, debes determinar cuál de las dos mediciones es la correcta. Una manera de decidir es comparar el ángulo a un ángulo de 90. Porque 90 es un punto de comparación tan importante, algunas veces los ángulos se clasifican según la comparación de sus medidas con 90. V O C A B U L A R I O ángulo agudo ángulo obtuso perpendicular ángulo recto Los ángulos agudos miden menos de 90. Los ángulos obtusos miden más de 90 y menos de 180. Los ángulos rectos miden exactamente 90. Los ángulos rectos se marcan frecuentemente con un cuadrado pequeño en el vértice. Se dice que dos rectas o segmentos que forman un ángulo recto son perpendiculares. Rectas perpendiculares Segmentos perpendiculares LECCIÓN 8.1 Ángulos 469

7 MATERIALES transportador Serie de problemas A Menciona si cada ángulo es agudo u obtuso. Después calcula su medida Has visto que un transportador es una herramienta útil para medir ángulos. También puedes usar un transportador para dibujar ángulos con determinadas medidas. E J E M P L O Para crear un ángulo de 25, comienza dibujando un segmento de recta. Este segmento será un lado del ángulo. Alinea la línea de referencia del transportador con el segmento, con el centro del transportador en un extremo del segmento. Este extremo será el vértice del ángulo Dibuja una marca junto al rótulo de 25 en el transportador. ( Asegúrate de seleccionar el rótulo correcto de 25!) Retira el transportador y dibuja un segmento desde el vértice (el extremo que estaba en el centro del transportador) a través de la marca. 470 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

8 MATERIALES transportador regla Datos de interés Un teodolito es un instrumento que mide ángulos y que se utiliza en navegación, meteorología y topografía. Serie de problemas B 1. Dibuja un ángulo de 160. Incluye una marca curva del ángulo para mostrar cuál ángulo mide Dibuja un ángulo de 210. Incluye una marca de ángulo para mostrar que ángulo mide Dibuja dos segmentos perpendiculares. 4. Dibuja un triángulo en el que un ángulo mide 50 y los otros ángulos tienen medidas mayores que 50. Rotula cada ángulo con su medida. 5. Dibuja un triángulo con un ángulo obtuso. Rotula cada ángulo con su medida. 6. Dibuja un triángulo con dos ángulos de Mide los lados del triángulo que dibujaste en el Problema 6. Qué es lo que observas? 8. Dibuja un cuadrado. Asegúrate de que todos los lados sean de la misma longitud y todos los ángulos midan Dibuja un polígono con cualquier número de lados y un ángulo que tenga una medida mayor que 180. Marca ese ángulo. Comparte & resume 1. Cuando mides un ángulo con un transportador, cómo sabes cuál de los dos números debes elegir? 2. El transportador en la página 470 tiene una escala hasta 180. Describe cómo usarías tal transportador para dibujar un ángulo con una medida mayor que 180. Da un ejemplo si éste te ayuda a explicar tu razonamiento. LECCIÓN 8.1 Ángulos 471

9 Investigación 2 Investiga la relación de los ángulos Puedes referirte a los ángulos en un dibujo con mayor facilidad si los rotulas con números o letras MATERIALES transportador regla En el siguiente dibujo, la medida del ángulo 1 es de 135. Puedes escribir esto en símbolos como m La m representa medida y es el símbolo para ángulo. Serie de problemas C Se dice que dos rectas que se cruzan (como las rectas del dibujo anterior) se intersecan. 1. Mide los ángulos 1, 2, 3 y 4 del dibujo anterior. 2. Qué ángulos tienen la misma medida? 3. Usa una regla para dibujar otro par de rectas que se intersecan. Mide cada uno de los cuatro ángulos que se formaron y rotula cada ángulo con su medida. 4. Dibuja un par adicional de rectas que se intersecan y rotula cada ángulo con su medida. 5. Qué patrones observas que relacionen las medidas de los ángulos formados por dos rectas que se intersecan? Cuando dos rectas se intersecan, a los dos ángulos que no están directamente juntos se les llama ángulos opuestos por el vértice. En el siguiente dibujo, a y c son ángulos opuestos por el vértice y b y d son ángulos opuestos por el vértice. a d b c 472 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

10 A continuación, Conor explica la relación que descubrió en la Serie de problemas C m 1 = m 3 m 2 = m 4 Cuando dos rectas se intersecan, los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida m 1 + m 2 = 180 m 2 + m 3 = 180 Esto tiene sentido porque 1 y 2 forman una recta, de modo que sus medidas suman 180. Y 2 y 3 forman una recta, de modo que sus medidas suman 180. Como la suma de m 1 y m 2 da 180 y la suma de m 3 y m 2 también da 180, m 1 debe ser igual a m 3. & Piensa comenta En la caricatura, Conor demostró que m 1 m 3. Explica por qué m 2 m 4. Los ángulos interiores de un polígono son los ángulos dentro del polígono. En este cuadrilátero, los ángulos interiores están marcados. MATERIALES regla transportador En el Capítulo 1, descubriste que la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180. En la siguiente Serie de problemas, buscarás reglas semejantes sobre las sumas de los ángulos de otros polígonos. Serie de problemas D 1. Usa una regla y un lápiz para dibujar un cuadrilátero. Mide cada ángulo interior y después calcula la suma de los cuatro ángulos. 2. A continuación, dibuja un pentágono. Mide cada ángulo interior y calcula la suma de los cinco ángulos. 3. Finalmente, dibuja un hexágono. Mide cada ángulo interior y calcula la suma de los seis ángulos. LECCIÓN 8.1 Ángulos 473

11 MATERIALES transportador Recuerda Un polígono cóncavo tiene un ángulo interior con una medida mayor que 180. Los polígonos cóncavos parecen abollados. & Piensa comenta Probablemente tú y tus compañeros dibujaron polígonos diferentes para cada problema en la Serie de problemas D. Compara las sumas de los ángulos que calculaste con las sumas que calcularon tus compañeros. Qué patrones observas? Describe una regla que puedas usar para predecir la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono cuando sólo conoces el número de ángulos. Usa tu regla para predecir las sumas de los ángulos interiores para cada polígono cóncavo a continuación. Verifica tus predicciones al medir los ángulos. Asegúrate de medir los ángulos interiores. Hasta ahora, probablemente has concluido que la suma de las medidas de los ángulos en un polígono depende sólo del número de ángulos (o el número de lados). Quizás, también has descubierto un regla para predecir la suma de los ángulos de cualquier polígono cuando conoces el número de ángulos. Hannah y Jahmal querían saber si podrían usar sus conocimientos sobre la suma de ángulos para triángulos para razonar sobre las sumas de los ángulos de otros polígonos. Recuerda Una diagonal es un segmento que conecta dos vértices de un polígono pero no es un lado del polígono. Yo puedo dividir cualquier cuadrilátero en dos triángulos al dibujar una diagonal. Me pregunto si tu estrategia funciona con otros polígonos, como éstos = 360 La suma de los ángulos de cada triángulo es 180, de modo que la suma de los ángulos de un cuadrilátero debe ser el doble. La suma de los ángulos de cada cuadrilátero debe ser CAPÍTULO 8 Geometría y medición

12 MATERIALES regla En la siguiente Serie de problemas, investigarás si la estrategia de Hannah se aplica a otros polígonos. También verás cómo su estrategia conlleva a una regla para calcular las sumas de los ángulos. Serie de problemas E 1. Primero considera los pentágonos. a. Dibuja dos pentágonos. Uno de los pentágonos debe ser cóncavo. Divide cada pentágono en triángulos dibujando diagonales a partir de uno de los vértices. b. En cuántos triángulos dividiste cada pentágono? c. Usa tu respuesta de la Parte b para calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono. 2. A continuación, considera los hexágonos. a. Dibuja dos hexágonos. Uno de los hexágonos debe ser cóncavo. Divide cada hexágono en triángulos dibujando diagonales a partir de uno de los vértices. b. En cuántos triángulos dividiste cada hexágono? c. Usa tu respuesta de la Parte b para calcular la suma de los ángulos interiores de un hexágono. Datos de interés Los cristalógrafos, personas que estudian las propiedades geométricas y las estructuras internas de los cristales, usan goniómetros de reflexión para medir los ángulos entre las caras de un cristal. LECCIÓN 8.1 Ángulos 475

13 Datos de interés Un polígono de 15 lados se llama pentadecágono. 3. Ahora piensa en los octágonos, que son polígonos de 8 lados. a. Sin hacer un dibujo, predice en cuántos triángulos dividirías un octágono si dibujaras todas las diagonales a partir de uno de los vértices. Explica cómo realizaste tu predicción. b. Dibuja un octágono y verifica tu predicción. c. Usa tu respuesta para calcular la suma de los ángulos interiores para un octágono. 4. Supón que dibujaste un polígono de 15 lados y lo dividiste en triángulos dibujando diagonales desde uno de los vértices. a. Cuántos triángulos harías? b. Usa tu respuesta para calcular la suma de los ángulos interiores para un polígono de 15 lados. 5. Supón que un polígono tiene n ángulos. a. Cuántos triángulos formarías si dividieras el polígono en triángulos dibujando diagonales desde uno de los vértices? b. Usa tu respuesta para escribir una regla para calcular la suma de las medidas de los ángulos s en un polígono con n ángulos. 6. Un cuadrilátero particular tiene tres ángulos de 90º. a. Cuál es la medida del cuarto ángulo? Cómo lo sabes? b. Qué tipo de cuadrilátero es? Comparte & resume 1. Marcus dijo que la suma de los ángulos para un cuadrilátero debe ser 720º porque un cuadrilátero puede dividirse en cuatro triángulos al dibujar ambas diagonales. Explica qué es incorrecto en el argumento de Marcus. 2. Cuál es la suma de las medidas de los ángulos de un nonágono (un polígono de 9 lados)? 476 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

14 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica Calcula la medida de cada ángulo Sin medir, calcula las medidas de los ángulos restantes ? 67? 72? Dibuja un ángulo con la medida dada Dibuja la figura descrita. Rotula cada ángulo en la figura con sus medidas. 12. un cuadrilátero con dos ángulos de 60º 13. un pentágono con dos ángulos de 90º 14. un cuadrilátero con un ángulo de 200º Sin medir, calcula la medida de cada ángulo rotulado con letras b b c a 120 a 15 a impactmath.com/self_check_quiz LECCIÓN 8.1 Ángulos 477

15 Recuerda En un polígono regular, todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos tienen la misma medida. Conecta & amplía 19. En este polígono, a y b tienen la misma medida. Cuál es? 20. Cuál es la medida de cada ángulo de un pentágono regular? 21. Cuál es la medida de cada ángulo de un hexágono regular? 22. Deportes Los dibujos a continuación muestran ángulos formados por un jugador de fútbol y el arco. Entre mayor es el ángulo, mejor es la oportunidad del jugador de anotar un gol. Por ejemplo, el jugador tiene una mejor oportunidad de anotar desde la posición A que desde la posición B. Gol a b 110 Gol Datos de interés El fútbol es el deporte nacional de la mayoría de los países latinoamericanos y europeos. Jugador en posición A En las Partes a y b, puede ser de ayuda el trazar los diagramas y dibujar y medir los ángulos. a. Los siete jugadores de fútbol practican sus tiros. Están alineados en una recta en frente del arco. Qué jugador tiene el mejor (el mayor) ángulo de tiro? b. Ahora los jugadores están alineados como se muestra. Qué jugador tiene el mejor ángulo de tiro? Jugador en la posición B Gol Gol CAPÍTULO 8 Geometría y medición

16 23. El diámetro de un círculo es un segmento que pasa a través de su centro y tiene ambos extremos sobre el círculo. Diámetro Los siguientes cuatro triángulos tienen los tres vértices sobre un círculo y el diámetro como un lado Mide cada ángulo numerado. Qué tienen en común las medidas? 24. Descubriste una regla sobre las sumas de los ángulos interiores de los polígonos. Los polígonos también tienen ángulos exteriores, que pueden calcularse al extender sus lados. En los dibujos a continuación, se marcaron los ángulos exteriores. En las Partes a hasta la e, calcula la medida de cada ángulo exterior. Después, calcula la suma de las medidas. a. b. c d. e f. Describe cualquier patrón que encuentres en las Partes a hasta la e LECCIÓN 8.1 Ángulos 479

17 Datos de interés Cuando la luz choca contra un espejo, se comporta de la misma manera que una pelota de billar que pega con un lado de la mesa. Si la luz choca contra un espejo a cierto ángulo, rebota con el mismo ángulo. En física, esta ley se enuncia frecuentemente como el ángulo de incidencia = al ángulo de reflexión. 25. Deportes El ángulo a que una pelota de billar choca con el lado de la mesa tiene la misma medida que el ángulo al cual rebota del lado. Esto se muestra en el dibujo de la derecha. Los ángulos marcados tienen la misma medida y la flecha muestra la ruta de la pelota. En las Partes a, b y c, traza el dibujo. Después, usa tu transportador para calcular la ruta que tomará la pelota cuando rebote en el lado. Menciona si la pelota caerá en una bolsa de tronera o chocará en otro lado. (Dibuja sólo un rebote.) a. b. c. En tus propias palabras Describe cómo puedes calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono sin medir ningún ángulo. Después explica cómo sabes que tu método funciona. d. Reto Copia este dibujo. Dibuja un la ruta en la que la pelota rebotará en un lado y caerá en la bolsa de la tronera inferior derecha. Cae aquí 480 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

18 Repaso mixto Calcula el mínimo común múltiplo de cada par de números y y y y y y 36 Evalúa cada expresión Tecnología Las gráficas aportan información sobre dos videojuegos. Usa las gráficas para determinar si cada enunciado es verdadero o falso y explica cómo lo decidiste. 6 Nivel de dificultad Carrera de robots Pista de alienígenas Calidad de los gráficos Pista de alienígenas Carrera de robots Costo Nivel de emoción a. El juego más emocionante es menos caro. b. El juego más difícil tiene gráficos de menor calidad. c. El juego menos difícil es más emocionante. d. El juego menos caro tiene mejores gráficos. e. El juego con mejores gráficas es menos emocionante. LECCIÓN 8.1 Ángulos 481

19 Mide tus alrededores V O C A B U L A R I O perímetro El perímetro de una figura bidimensional es la distancia alrededor de la figura. El perímetro de la figura a la derecha es 10.8 cm. 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2.8 cm & Piensa comenta Describe tantos métodos como puedas para medir el perímetro del piso de tu salón de clases. Cuál de los métodos crees que proporciona la medida más precisa? Cuál de los métodos crees que es el más práctico? Investigación 1 Calcula el perímetro MATERIALES regla metrica Para calcular el perímetro de un polígono simplemente sumas las longitudes de sus lados. Serie de problemas A Este es el plano de planta del segundo nivel de la escuela media de Millbury. En el dibujo, cada centímetro equivale a 2 metros. Sra. Chou Sr. Pérez Pasillo Sra. Nagel Sra. Stratton Sr. Perotti Escala: 1 cm = 2 m. 482 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

20 Datos de interés Muchos colegios universitarios y universidades ofrecen clases por Internet, permitiendo que los alumnos reciban créditos universitarios ( e inclusive un título universitario) sin poner pie en un salón de clases. 1. Sin medir, menciona el salón de clases de quién crees que tiene el mayor perímetro y explica por qué lo crees. 2. Observa el plano de planta para el salón de la Sra. Nagel. a. Qué tipo de polígono es el salón de la Sra. Nagel? b. Calcula el perímetro del plano de planta de la Sra. Nagel en décimas de centímetro. Después calcula el perímetro del salón real en metros. 3. Calcula el perímetro del plano de planta de la Sra. Stratton en décimas de centímetro. Después calcula el perímetro del salón real en metros. 4. Observa el plano de planta del salón del Sr. Pérez. a. Es un rectángulo el salón del Sr. Pérez? Cómo lo sabes? b. Describe como calcular el perímetro del plano de planta del Sr. Pérez haciendo sólo dos mediciones. c. Mide el perímetro del plano de planta del Sr. Pérez en décimas de centímetro. Después calcula el perímetro del salón real en metros. 5. Para calcular el perímetro del plano de planta de la Sra. Chou, Althea realizó las mediciones rotuladas a continuación. Ella afirma que éstas son las únicas mediciones que necesita realizar. 1 cm 0.6 cm 3.5 cm Sra. Chou 4 cm a. Está en lo correcto Althea? De ser así, explica como calcular el perímetro del salón de la Sra. Chou usando sólo estas mediciones. Si no lo está, menciona qué otras mediciones necesitarías. b. Calcula el perímetro del plano de planta de la Sra. Chou en décimas de centímetro. Después calcula el perímetro del salón real en metros. 6. Qué maestro tiene en su salón de clases el piso con el mayor perímetro? Cuál es el perímetro? LECCIÓN 8.2 Mide tus alrededores 483

21 En la Serie de problemas A, probablemente te percataste que podrías calcular el perímetro de un rectángulo sin medir cada lado. Esto se debe a que los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud. Si mides la longitud y el ancho de un rectángulo, podrás calcular el perímetro al usar cualquiera de dos reglas: Suma la longitud y el ancho y duplica el resultado. Duplica la longitud, duplica el ancho y suma los resultados. Si usas P para representar el perímetro y L y W para la longitud y el ancho, puedes escribir estas reglas en símbolos. Las reglas geométricas expresadas usando símbolos, como los anteriores, se llaman frecuentemente fórmulas. Perímetro de un rectángulo P 2 (L W) P 2L 2W En estas fórmulas, P es el perímetro, L y W la longitud y el ancho respectivamente. Serie de problemas B 1. Usa una de las fórmulas de perímetro para calcular el perímetro de un rectángulo con longitud de 5.7 metros y ancho de 2.9 metros. 2. El piso de una habitación rectangular tiene un perímetro de 42 pies. Cuáles son tres posibilidades para las dimensiones del piso? 3. Un piso cuadrado tiene un perímetro de 32.4 metros. De qué tamaño son los lados del piso? 4. Escribe una fórmula para el perímetro de un cuadrado, que utilice P para representar el perímetro y s para representar la longitud de un lado. Explica por qué funciona tu fórmula. Este plano de planta es del auditorio de la escuela secundaria Marshville. Dado que parte del piso es curvo, es difícil calcular el perímetro usando sólo una regla. Podrías usar una cinta métrica o un trozo de cordón para calcular la longitud de la parte curva. Otro método es usar un polígono para aproximar la figura del piso. Escala: 1 cm 5 m 484 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

22 E J E M P L O Luke dibujó un pentágono para aproximar la forma del piso: 2.3 cm 2.3 cm 1.9 cm 2.1 cm 2.3 cm Escala: 1 cm 5 m Después calculó el perímetro del pentágono: cm MATERIALES copias del piso del auditorio cordón regla Serie de problemas C 1. Puedes obtener una aproximación más acertada que la de Luke si usas un polígono con más lados. a. Prueba con un hexágono (un polígono con seis lados) para aproximar la forma del plano de planta. Qué estimación del perímetro obtienes usando un hexágono? b. Es el perímetro real mayor o menor que tu estimación? Explica. c. Ahora prueba con un heptágono (un polígono con siete lados) para aproximar la forma del plano de planta. Qué estimación del perímetro obtienes usando un heptágono? d. Es el perímetro real mayor o menor que tu estimación? Explica. e. Usa un polígono de más de siete lados para hacer otra estimación. Cuál es tu estimación? 2. Enrolla un trozo de cordón alrededor del plano de planta. Trata de mantener el cordón tan cerca de los lados del plano de planta como sea posible. Después marca el cordón para indicar la longitud del perímetro y mide la longitud del cordón hasta la marca. Cuál es la estimación del perímetro? 3. Cuál de tus estimaciones crees que sea la más precisa? Explica. LECCIÓN 8.2 Mide tus alrededores 485

23 Comparte & resume Escribe un párrafo comentando lo que sabes acerca de cómo calcular el perímetro de figuras bidimensionales. Asegúrate de comentar sobre polígonos y no polígonos mediciones con reglas y mediciones con cordón fórmulas Investigación 2 Aproxima En la última investigación, calculaste perímetros de polígonos y estimaste perímetros de una figura con lados curvos. En esta investigación, te enfocarás a círculos. V O C A B U L A R I O cuerda circunferencia diámetro radio El perímetro de un círculo se llama su circunferencia. Aunque puedes estimar la circunferencia de un círculo usando un cordón o aproximando con polígonos, hay una fórmula para calcular la circunferencia exacta. Antes de comenzar a pensar en la circunferencia, necesitas aprender algunas palabras útiles para describir círculos. Una cuerda es un segmento que conecta dos puntos en un círculo. El diámetro es una cuerda que pasa a través del centro del círculo. El diámetro también se refiere a la distancia a Cuerda a través de un círculo que cruza su centro. El radio es un segmento del centro a un punto en el círculo. El Diámetro radio también se refiere a la distancia Radio del centro a un punto en el círculo. & Piensa comenta Son todas las cuerdas de un círculo de la misma longitud? Si no, cuáles son las más largas? Son todos los diámetros de un círculo de la misma longitud? Son todos los radios de la misma longitud? Escribe una regla para la relación entre el radio de un círculo r y su diámetro d. 486 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

24 Esta cita de la novela Contacto por Carl Sagan menciona la relación entre la circunferencia y el diámetro de cualquier círculo: En cualquier galaxia en la que te pudieras encontrar, tomas la circunferencia, la divides entre su diámetro, la mides lo suficientemente cerca y descubres un milagro. MATERIALES 5 objetos con caras circulares (por ejemplo, un CD, una lata de café, un rollo de cinta, un plato y una moneda de cinco centavos) cordón o cinta métrica regla tijeras En la siguiente Serie de problemas, examinarás la relación que describe Sagan: Serie de problemas D Para esta Serie de problemas, tu grupo necesitará cinco objetos con caras circulares. 1. Sigue estos pasos para cada objeto: Usa un cordón o una cinta métrica para aproximar la circunferencia del objeto. Traza la cara circular del objeto. Corta el trazado y dóblalo por la mitad para formar un pliegue a lo largo del diámetro del círculo. Mide el diámetro. Objeto Circunferencia, C Diámetro, d Anota tus mediciones en una tabla como esta: 2. Ves una relación entre la circunferencia y el diámetro de cada círculo? De ser así, descríbela. 3. La cita de Contacto menciona la división de la circunferencia entre su diámetro. Añade una columna a tu tabla que muestre el cociente C d para cada objeto. Describe cualquier patrón que veas. 4. En el tablero, anota los valores de C d que calculó tu grupo. En qué se diferencian tus resultados con los de otros grupos? 5. Depende el valor C d del tamaño del círculo? Explica. LECCIÓN 8.2 Mide tus alrededores 487

25 Datos de interés Los números decimales que nunca terminan o se repiten se llaman números irracionales. Los números enteros, fracciones y los decimales con los que trabajaste hasta este punto se llaman números racionales. Sea cual sea el tamaño de un círculo, la circunferencia dividida entre el diámetro siempre tiene el mismo valor. Probablemente descubriste que este cociente es un poco más de 3. El valor exacto es un número decimal cuyos dígitos nunca terminan o se repiten. A este valor se le dio el nombre especial pi y se representa por la letra griega. C d, donde C es la circunferencia de un círculo y d es el diámetro. Dado que los dígitos de nunca terminan o se repiten, es imposible escribir su valor numérico exacto. El número 3.14 se usa a menudo como una aproximación de. Puedes presionar la tecla π en tu calculadora para obtener una aproximación más exacta. Si comienzas con la ecuación de división C d, puedes escribir la ecuación de multiplicación relacionada: C d. Esta es la fórmula para calcular la circunferencia C de un círculo cuando conoces su diámetro d. Datos de interés Cuando se multiplica por un número o una variable, puedes escribir la fórmula sin usar un signo de multiplicación: C d o C 2 r Circunferencia de un círculo C d En esta fórmula, C es la circunferencia y d es el diámetro. Dado que el diámetro de un círculo es el doble del radio r, también puedes escribir la fórmula de estas maneras: C 2 r Dado que el radio de este círculo es 2.5 cm, el diámetro es 5 cm. De manera que, C d 5 C 2 r 2.5 cm La circunferencia exacta del círculo es 5 cm. Aunque no puedas escribir la circunferencia como un valor numérico exacto, puedes usar la tecla π en tu calculadora para hallar una aproximación. C 5 cm cm El símbolo significa aproximadamente igual a. 488 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

26 Serie de problemas E Para esta Serie de problemas, usa la tecla π de tu calculadora para aproximar π (Si tu calculadora no tiene la tecla, usa 3.14 para la aproximación de π.) Escribe tu respuesta en centésimas. 1. Calcula la circunferencia de un círculo con diámetro de 9 centímetros. 2. Una piscina circular tienen una circunferencia de aproximadamente 16 metros. Cuál es el diámetro de la piscina? 3. Calcula la circunferencia de este círculo: Datos de interés La Tierra no es perfectamente redonda. El borde meridional se abulta un poco, creando una leve figura de pera. Sin embargo, los datos recogidos por satélites indican que la Tierra está gradualmente redondeándose a sí misma pulg 4. El radio de la Tierra en el ecuador es alrededor de 4,000 millas. a. Supón que pudieras enrollar un cordón alrededor del ecuador de la Tierra. Qué longitud deberá tener el cordón para alcanzar a rodearla toda? (Supón que el ecuador es un círculo perfecto.) b. Ahora supón que pudieras levantar el cordón 1 milla por encima de la superficie de la Tierra. Qué cantidad de cordón tendrías que añadir a tu trozo de la Parte a para poder rodear todo? 1 milla 4,000 millas 4,000 millas Comparte & resume Explica lo que es en tus propias palabras. Asegúrate de comentar sobre cómo se relaciona con los círculos su valor aproximado LECCIÓN 8.2 Mide tus alrededores 489

27 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica Deportes En los Ejercicios 1 al 3, usa este diagrama de un campo de béisbol. Jardín 1. Considera el diamante de béisbol de este diagrama. a. Calcula el perímetro del diamante en 1 4 de pulgada. Cuadro de juego Diamante b. Un diamante de béisbol real es un cuadrado con lados de 90 pies de largo. Cuál es el perímetro de un diamante de béisbol real? c. Aproximadamente cuántas veces el perímetro del diamante de béisbol del diagrama es el perímetro de un diamante de béisbol real? 2. Rosita aproximó el perímetro del cuadro de juego usando un cuadrilátero. Ella calculó un perímetro de casi pulgadas. a. Copia la figura del cuadro de juego. Usa un polígono con más de cuatro lados para calcular una mejor aproximación del perímetro del cuadro de juego. Realiza todas las mediciones en 1 8 de pulgada. Diamante b. En qué se parece tu aproximación a la de Rosita? Cuadro de juego Recuerda 1 milla 5,280 pies 3. Supón que el entrenador le pide a un jugador que corra cinco vueltas alrededor del campo entero de béisbol (incluyendo el jardín) permaneciendo tan cerca del borde exterior como sea posible. a. Mide el perímetro del campo del diagrama en la parte superior de esta página en 1 8 de pulgadas. b. Si 1 pulgada en el diagrama representa aproximadamente 100 pies en el campo real, cuántas millas correrá el jugador en sus cinco vueltas alrededor del campo? 490 CAPÍTULO 8 Geometría y medición impactmath.com/self_check_quiz

28 Datos de interés La biblioteca del Congreso, fundada en 1800 en Washington, DC, está considerada como una de las más grandiosas bibliotecas nacionales. Además de 15, 000,000 libros, alberga colecciones impresionantes de manuscritos, música, impresos y mapas. Conecta & amplía 4. Este es el plano de planta de la biblioteca Harperstown. Cuál es el perímetro del piso? 10 pies 23 pies 5 pies 10 pies 5. Proporciona las dimensiones de cinco rectángulos que tengan un perímetro de 50 pies. 6. Calcula la circunferencia de un círculo con diámetro de 7 metros. Redondea tu respuesta en centésimas. 7. Calcula la circunferencia de un círculo con radio de 4.25 pulgadas. Redondea tu respuesta en centésimas. 8. La circunferencia de un neumático es de 150 pulgadas. Cuál es el radio del neumático? Redondea tu respuesta en centésimas. 9. Reto El radio de la rueda de la bicicleta de Jahmal es de 2 pies. a. Si recorre 18.9 pies, cuántas vueltas completas dará la rueda? 17.3 pies b. Si la rueda en la bicicleta de Jahmal dio 115 vueltas, cuántos pies recorrió Jahmal? Aproximadamente cuántas millas es esto? c. Si Jahmal recorre 20 millas, cuántas veces dará vueltas su rueda? 10. Dos figuras se anidan Figura externa cuando una está completamente dentro de la otra. Figura interna a. Dibuja dos figuras están encajadas de manera que la figura externa tenga un perímetro mayor que la figura interna. Proporciona los perímetros de ambas figuras. b. Dibuja dos figuras encajadas de manera que la figura interna tenga un perímetro mayor que la figura externa. Proporciona los perímetros de ambas figuras. c. Dibuja dos figuras encajadas de manera que la figura externa tenga el mismo perímetro que la figura interna. Proporciona los perímetros de ambas figuras. d. Observa tus figuras de la Partes a, b y c. En cada caso, qué figura tiene más espacio dentro: la figura interna o la figura externa? Cómo lo sabes? LECCIÓN 8.2 Mide tus alrededores 491

29 11. Bellas artes El artista M. C. Escher a menudo incorpora matemáticas en su trabajo de arte. Muchas de sus obras conocidas son teselados. Un teselado es un diseño hecho de figuras idénticas que se ensamblan sin huecos o traslapes. Viñeta de peces 1996 M. C. Escher Herís/Cordon Art- Baarn-Holanda. Todos los derechos reservados. Una manera de hacer una figura que forme un teselado es cortar un rectángulo en dos partes y deslizar una de las piezas al otro lado. Figura original Figura nueva Teselado a. Calcula el perímetro de la figura original anterior. b. Traza la figura nueva y estima el perímetro usando una aproximación del polígono o un trozo de cordón. c. Cuando una figura nueva se forma a partir de la original, el espacio dentro de la figura, el área, permanece igual, pero el perímetro cambia. Explica por qué sucede esto. 12. Deportes Este es un diagrama del carril exterior de la pista de la escuela secundaria Albright. El carril se forma con dos segmentos rectos y dos semicírculos (mitad de círculos). Si una alumna corre una vuelta alrededor de la pista en este carril, cuántas yardas correrá? 100 yardas 76 yardas 492 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

30 En tus propias palabras Describe lo que es el perímetro y cómo calcularlo para varias figuras. Proporciona un ejemplo de una situación en la cuál sea útil calcular el perímetro de una figura. Repaso mixto 13. Caroline enrolló un trozo de cordón alrededor de la circunferencia de un círculo con diámetro de 23 pulgadas. Ella cortó el cordón a la longitud de la circunferencia y después formó un rectángulo con el cordón. Proporciona las dimensiones aproximadas de tres rectángulos que ella pueda hacer. 14. Un círculo con un radio de 6.5 pulgadas se corta en cuatro cuñas y se reorganizan para formar otra figura. 6.5 pulg Cambia el perímetro? Cómo lo sabes? Si cambia, cuánto aumenta o disminuye? Calcula el máximo común divisor para cada par de números y y y y y y 36 Escribe una regla para cada relación entre p y q p q p q p q Estadística Jing llevó un registro del tiempo (en minutos) de cada llamada telefónica que hizo la semana pasada. Estos son los resultados: a. Traza un histograma de los tiempos de las llamadas telefónicas. Usa intervalos de 10 minutos en el eje horizontal. b. Describe la distribución de los tiempos de las llamadas telefónicas. LECCIÓN 8.2 Mide tus alrededores 493

31 Áreas y cuadrados V O C A B U L A R I O área MATERIALES copias de dos figuras tijeras Ya sabes que el perímetro de una figura bidimensional es la distancia alrededor de la figura. El área de una figura bidimensional es la cantidad de espacio dentro de la figura. Explora Considera estas figuras: Datos de interés La figura 1 se formó con piezas de un tangrama. Un tangrama es un rompecabezas chino que consta de cinco triángulos, un cuadrado y un rombo (un cuadrilátero con cuatro lados iguales) que pueden colocarse juntos para formar varias figuras. Figura 1 Figura 2 Cuál figura crees que es más grande? Es decir, cuál figura crees que tiene el área mayor? Recorta la figura 1 a lo largo de las rectas y reorganiza las piezas para formar un cuadrado. Haz lo mismo con la figura 2. De los dos cuadrados que hiciste, cuál tiene el área más grande? Cómo puedes saberlo? Tienen las figuras originales las mismas áreas que los cuadrados? Explica tu respuesta. Al determinar que figura tiene el área mayor, es más fácil comparar las figuras originales o los cuadrados? Por qué? Los cuadrados son la unidad básica que se usa para medir áreas. En esta lección, observarás detenidamente las áreas de cuadrados y una operación especial asociada con las áreas de los cuadrados. 494 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

32 Investigación 1 Cuenta unidades cuadradas El área se mide en unidades cuadradas, como pulgadas cuadradas y centímetros cuadrados. Una pulgada cuadrada es el área dentro de un cuadrado con lados de 1 pulgada de largo. Un centímetro cuadrado es el área dentro de un cuadrado con lados de 1 centímetro de largo. 1 pulg 1 pulg 1 cm 1 cm 1 pulg cuadrada 1 centímetro cuadrado El área de una figura es el número de unidades cuadradas que caben dentro de esta. Área 8 centímetros cuadrados MATERIALES Tarjetas cuadradas de 1 pulgada Serie de problemas A 1. Usa tus tarjetas cuadradas para crear dos rectángulos con perímetro de 12 pulgadas pero de áreas diferentes. Dibuja tus rectángulos y rotúlalos con sus áreas. 2. Ahora crea dos rectángulos con áreas de 12 pulgadas cuadradas pero perímetros diferentes. Dibuja tus rectángulos y rotúlalos con sus perímetros. 3. Ahora usa tus tarjetas cuadradas para crear esta figura: a. Calcula el perímetro y el área de la figura. (No olvides dar las unidades.) b. Mueve una tarjeta cuadrada para crear una figura con un perímetro más pequeño. Dibuja la figura nueva y proporciona su perímetro. En qué se diferencia el área de la figura nueva al área original? c. Reconstruye la figura original. Mueve una tarjeta cuadrada para crear una figura con un perímetro más grande. Dibuja la figura nueva y proporciona su perímetro. En qué se diferencia el área nueva del área original? 4. Usa tus tarjetas cuadradas para crear dos figuras nuevas para que la figura con el área más pequeña tenga el mayor perímetro. Dibuja tus figuras y rotúlalas con sus perímetros y áreas. LECCIÓN 8.3 Áreas y cuadrados 495

33 MATERIALES papel de puntos Serie de problemas B Las siguientes figuras están dibujadas en cuadrículas punteadas. Calcula el área de cada figura. Considera que la distancia horizontal o vertical entre dos puntos es 1 unidad En los Problemas 5 al 8, dibuja la figura conectando los puntos en una hoja de papel de puntos de 1 pulgada. 5. un cuadrado con un área de 4 pulgadas cuadradas 6. un rectángulo con un área de 2 pulgadas cuadradas 7. una figura con un área de al menos 15 pulgadas cuadradas y un perímetro de no más de 25 pulgadas 8. Reto un cuadrado con un área de 2 pulgadas cuadradas Calcula el área de cada figura pulg pulg 1 2 millas 1 2 millas cm cm 1 pulg 4 2 pulg 13. Si conoces la longitud y el ancho de un rectángulo, cómo puedes calcular el área del rectángulo sin contar los cuadrados? 496 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

34 Frente frío Depresión Lluvias Tormentas No siempre es fácil o conveniente calcular el área de una figura contando los cuadrados. Afortunadamente, hay atajos para algunas figuras. Para calcular el área de un rectángulo, solamente multiplica la longitud por el ancho. Área de un rectángulo A L W En esta fórmula, A representa el área de un rectángulo y L y W representan la longitud y el ancho, respectivamente. MATERIALES papel de puntos o papel cuadriculado & Piensa comenta En el papel de puntos o cuadriculado, dibuja un rectángulo con longitudes laterales de 5 unidades y unidades. Usa la fórmula anterior para calcular el área de tu rectángulo. Verifica que tu respuesta esté correcta contando los cuadrados. MATERIALES página de un periódico regla numérica Datos de interés El primer periódico exitoso en Estados Unidos fue el Pennsylvania Packet & General Advertiser, que se imprimió por primera vez el 21 de septiembre de Serie de problemas C 1. En la página de tu periódico, dibuja rectángulos alrededor de los detalles más importantes (fotografías y arte, anuncios, artículos y encabezados). a. Mide los lados de cada rectángulo en décimas de centímetro. b. Calcula el área de cada rectángulo. c. Calcula el área de la página entera. 2. Qué porcentaje de tu página de periódico se utilizó para a. fotografías y arte? b. anuncios? c. artículos? d. encabezados? The B4 TIMES SECCIÓN Continúan las altas temperaturas para la mayor parte del país ver B5 Frente cálido Seattle San Francisco 90 Los Ángeles 100 Frente estacionario En la historia del tiempo... Salt Lake City Phoenix Billings Denver El tiempo de hoy Bismarck Omaha Dallas Houston Minneapolis 80 Chicago St. Louis LLAME HOY! STEVENS Neumáticos y baterías Detroit Birmingham New Orleans New York Cleveland Atlanta GÁNALE al CALOR OFERTA 70 Boston Washington, D.C. Miami Alquiler de Autos de Haley 555-AUTO LECCIÓN 8.3 Áreas y cuadrados 497

35 && Comparte Share resume Summarize 1. Proporciona Give an example un ejemplo of something de algo que you medirías would measure en pulgadas in inches y un and ejemplo an example de algo of something que medirías you en would pulgadas measure cuadradas. in square inches. 2. Si If one una figura shape tiene has a un greater área más area grande than another, que otra, must deberá it also ésta have tenera también greater perimeter? un perímetro Explain mayor? or Explica illustrate o ilustra your answer. tu respuesta. 3. Describe dos two maneras ways to de find calcular the area el área of a de rectangle. un rectángulo. Investigación 2 Eleva al cuadrado Recuerda que un exponente te indica cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. Puedes escribir el producto de un número multiplicado por sí mismo al usar el exponente 2: Multiplicar un número por sí mismo se llama elevar el número al cuadrado. La expresión 5 2 puede leerse 5 al cuadrado. MATERIALES papel de puntos & Piensa comenta Evalúa 5 2. Después, en una hoja de papel de puntos, dibuja un cuadrado con un área igual a esas tantas unidades cuadradas. De qué tamaño es cada lado del cuadrado? Por qué crees que 5 2 se lee 5 al cuadrado? Puedes usar la tecla x en tu calculadora para elevar un número al cuadrado. 2 Para calcular 5 2, presiona estas teclas: 5 x 2 ENTER = El exponente 2 a menudo se usa para abreviar la medida en unidades cuadradas. Por ejemplo, centímetro cuadrado se puede abreviar cm 2 y pulgada cuadrada puede abreviarse pulg CAPÍTULO 8 Geometría y medición

36 Serie de problemas D Completa los espacios en blanco. Éste es un ejemplo: 2 pulg 2 pulg Área 2 2 pulg 2 4 pulg pies 13 pies Área 2 pies 2 pies cm 1.25 cm Área 2 cm 2 cm pulg 7 pulg Área 2 4 pulg 2 pulg 2 4. Escribe una fórmula para calcular el área A de un cuadrado si conoces la longitud lateral s. Usa un exponente en tu fórmula. Calcula el área de un cuadrado con una longitud lateral dada pulg pulg cm Calcula la longitud lateral de un cuadrado con un área dada pies ,000 pulg cm 2 En la siguiente Serie de problemas, revisarás los cuadrados que se pueden hacer con tarjetas cuadradas. LECCIÓN 8.3 Áreas y cuadrados 499

37 MATERIALES tarjetas cuadradas de 1 pulgada papel de puntos de 1 pulgada V O C A B U L A R I O cuadrado perfecto Serie de problemas E 1. Calcula cada cuadrado que pueda formarse a partir de 100 tarjetas o menos. Proporciona la longitud lateral y área de cada cuadrado. 2. Es posible formar un cuadrado de 20 tarjetas? De ser así, explica cómo. De no serlo, explica por qué no. 3. Es posible formar un cuadrado de 625 tarjetas? De ser así, explica cómo. De no serlo, explica por qué no. 4. Reto Miguel trató de formar un cuadrado con un área de 8 pulg 2 usando tarjetas. Después de varios intentos, dijo: No creo que pueda formar este cuadrado usando mis tarjetas. Pero sé que puedo hacerlo en un papel de puntos. En papel de puntos, dibuja un cuadrado con un área de 8 pulg Cómo puedes saber si un número específico de tarjetas puede formar un cuadrado sin realmente hacer el cuadrado? Un número es un cuadrado perfecto si es igual a un número entero multiplicado por sí mismo. En otras palabras, un cuadrado perfecto es el resultado de elevar al cuadrado un número entero. Número entero al cuadrado Cuadrado perfecto Geométricamente, un cuadrado perfecto es el área de un cuadrado con longitudes laterales iguales a un número entero. En la Serie de problemas E, los cuadrados perfectos fueron el número de tarjetas que podían formar cuadrados. Serie de problemas F 1. Calcula tres cuadrados perfectos mayores que 1, Es 50 un cuadrado perfecto? Explica tu respuesta. Indica si cada número es un cuadrado perfecto y explica cómo lo sabes. 3. 3, , , , Determina dos cuadrados perfectos cuya suma sea también un cuadrado perfecto. 8. Determina dos cuadrados perfectos cuya suma no sea un cuadrado perfecto. 500 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

38 Comparte & resume 1. Cómo se relaciona la idea de elevar al cuadrado un número con el área de un cuadrado? 2. Puede cualquier número elevarse al cuadrado? Explica tu respuesta. 3. Puede cualquier número ser un cuadrado perfecto? Explica tu respuesta. Investigación 3 Más sobre elevar al cuadrado Elevar al cuadrado es una operación, tal como la adición, la sustracción, la división y la multiplicación. En el Capítulo 1, aprendiste sobre el orden de las operaciones, una regla que especifica el orden en el que deberán realizarse las operaciones en una expresión. A continuación, la regla se ha extendido para incluir cuadrados y otros exponentes. Orden de las operaciones Evalúa las expresiones dentro de cada paréntesis y arriba y debajo de las barras de fracción. Evalúa todos los exponentes, incluyendo los cuadrados. Realiza multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. Realiza sumas y restas de izquierda a derecha. & Piensa comenta Evalúa cada expresión (2 11) 2 Explica cómo el orden en el que realizaste las operaciones es diferente para las dos expresiones. LECCIÓN 8.3 Áreas y cuadrados 501

39 Serie de problemas G Datos de interés El matemático, filósofo y científico francés, René Descartes, quien también inventó el sistema de coordenadas cartesiano, introdujo la convención para usar la elevación a exponentes. 1. Tiene (3 5) 2 el mismo valor que ? Explica. 2. Tiene (5 3) 2 el mismo valor que ? Explica. 3. Es (5 x) 2 equivalente a 5 2 x 2? Explica. 4. Esta ecuación no es verdadera: a. Demuestra que la ecuación anterior no es verdadera calculando el valor a cada lado. b. Reto Coloca un par de paréntesis en la ecuación para hacerla verdadera. Demuestra que tu ecuación es verdadera calculando el valor a cada lado. 5. Considera los cuatro dígitos del año en que naciste. Escribe por lo menos tres expresiones usando esos cuatro dígitos y cualquier combinación de paréntesis, elevación al cuadrado, adición, sustracción, multiplicación y división. Usa cada dígito sólo una vez en una expresión. Evalúa cada expresión. En la siguiente Serie de problemas, compararás la elevación al cuadrado con la duplicación. Serie de problemas H En esta Serie de problemas, tú y tu compañero jugarán el juego Cuadrado al millón. El objetivo del juego es acercar un número tanto como sea posible a 1 millón, sin pasarse, usando sólo la operación de elevar al cuadrado. Las reglas del juego son las siguientes: El jugador 1 introduce un número mayor que 1 en la calculadora. Comenzando con el jugador 2, los jugadores se turnan para decidir si continuar o terminar el juego. En cualquier caso, el jugador declara su decisión y después presiona la tecla x. 2 Si el jugador decide continuar el juego y el resultado es mayor que o igual a 1 millón, el jugador pierde la ronda. Si el resultado es menor que 1 millón, es el turno del otro jugador. Si el jugador decide terminar el juego y el resultado es mayor que o igual a 1 millón, el jugador gana. Si éste es menor que 1 millón, el jugador pierde. Juega seis juegos con tu compañero, intercambiando papeles para cada ronda. 1. Cuando te tocó a ti, cómo decidiste si continuabas o terminabas el juego? 2. Cuál es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que 1 millón? ENTER = 502 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

40 3. Cuál es el mayor número entero con el que podrías comenzar, presionar x dos veces y obtener un número menor que 1 millón? 2 4. Cuál es el mayor número entero con el que podrías comenzar, presionar x tres veces y obtener un número menor que 1 millón? 2 5. Cuál es el mayor número entero con el que podrías comenzar, presionar x cuatro veces y obtener un número menor que 1 millón? 2 6. Qué pasaría si comenzaras el juego con un número positivo menor o igual a 1? 7. Imagina que juegas el juego Dobla a un millón, en el que duplicas un número en la calculadora en lugar de elevarlo al cuadrado. Si comienzas con un número específico, cuántas veces tendrás que duplicarlo hasta que produzcas un número mayor que o igual a 1 millón? a. 50 b. 5 c. 1 d Para cada parte del Problema 7, describe lo que pasaría si elevas repetidamente el resultado al cuadrado en lugar de duplicarlo. Comparte & resume 1. Escribe una expresión que incluya paréntesis, elevar al cuadrado y al menos otras dos operaciones. Explica cómo usar el orden de las operaciones para evaluar tu expresión. 2. Copia la tabla y completa la información que falta. La primera fila se completó por ti. Duplícalo Elévalo al cuadrado Es el resultado Es el resultado mayor que, mayor que, Cuál te proporciona menor que o menor que o el mayor resultado: igual al número igual al número elevar al cuadrado Número original? original? o duplicar? Entre 0 y 1 mayor que menor que duplicar 1 Entre 1 y 2 2 Mayor que 2 LECCIÓN 8.3 Áreas y cuadrados 503

41 Investigación 4 Extrae raíces cuadradas V O C A B U L A R I O operaciones inversas Dos operaciones que se anulan entre sí se llaman operaciones inversas. La adición y la sustracción son operaciones inversas. Suma 12 a 15 para obtener 27. Para anular la suma, resta 12 de 27 para obtener Resta 12 a 27 para obtener 15. Para anular la resta, suma a 15 para obtener 27. De manera parecida, la multiplicación y la división son operaciones inversas. Multiplica 7 por 5 para obtener 35. Para anular la multiplicación divide 35 entre 5 para obtener Divide 35 entre 5 para obtener 7. Para anular la división, multiplica 5 7 por 5 para obtener 35. En esta lección, explorarás la operación que anula la elevación al cuadrado. & Piensa comenta Luke elevó al cuadrado algunos números en su calculadora. Sus resultados se muestran a continuación. En cada caso, calcula el número con que comenzó. V O C A B U L A R I O raíz cuadrada En cada parte de la sección Piensa & comenta, calculaste el número que requieres elevar al cuadrado para obtener un número específico. El número que calculaste es la raíz cuadrada del número original, la raíz cuadrada de 36 es 6. La raíz cuadrada se muestra usando un signo radical, o o. Puedes pensar en 3 6 en cualquiera de estas maneras: el número que multiplicas por sí mismo para obtener 36: el número que elevas al cuadrado para obtener 36: la longitud lateral de un cuadrado con área 36: 36 cm 2 6 cm 504 CAPÍTULO 8 Geometría y medición 6 cm

42 Elevar al cuadrado y extraer la raíz cuadrada son operaciones inversas. Recuerda Cada número positivo tiene tanto una raíz cuadrada positiva como una negativa. Por ejemplo, la raíces cuadradas de 36 son 6 y 6. En esta lección, te enfocarás en las raíces cuadradas positivas. Eleva al cuadrado 6 para obtener 36. Para anular la elevación al cuadrado, extrae la raíz cuadrada de 36 para obtener 6. Serie de problemas I Completa los espacios en blanco. Aquí hay un ejemplo: Extrae la raíz cuadrada de 36 para obtener 6. Para anular la raíz cuadrada, eleva 6 al cuadrado para obtener pulg 2 Longitud lateral 81 pulg 9 pulg 49 pies 2 Longitud lateral pies pies cm 2 Longitud lateral cm cm yardas 2 Longitud lateral yardas yardas 4. Jing dibujó un cuadrado con un área de 10 pulg 2 en una hoja de papel de puntos. Ella sabía que los lados del cuadrado debían ser de 1 0 pulgadas de largo. Aproximadamente cuánto es esto? Cómo lo sabes? Área 10 pulg 2 LECCIÓN 8.3 Áreas y cuadrados 505

43 No todos los números enteros tienen raíces cuadradas enteras. De hecho, los números enteros que no son cuadrados perfectos tienen raíces cuadradas que son decimales que nunca se terminan o se repiten. De modo que, solamente puedes estimar los equivalentes decimales de números como 1 0 y 4 1. Recuerda Los números decimales que nunca terminan o se repiten se llaman números irracionales. En la Lección 8.2, aprendiste sobre el número irracional : E J E M P L O Luke estimó el equivalente decimal de está entre 9 y 16, de modo que debe estar entre 3 y 4. 9 = 3 10 =? 16 = 4 9 unid 2 10 unid 2 16 unid 2 Como 10 se acerca más a 9 que a 16, 10 debe acercarse más a 3 que a 4. Probaré = es muy grande, probaré = 9.61 Entonces, 10 está entre 3.1 y 3.2. Ésta debe estar más cerca de 3.2, porque está más cerca de 10 que Usaré 3.2 como mi estimado. Serie de problemas J Calcula los dos números enteros entre los que está cada raíz cuadrada dada. No utilices tu calculadora Entre cuáles números está 2 6? Redondea en décimas. No utilices tu calculadora. 5. En el ejemplo, Luke estimó 1 0 con un decimal. Usa el método de Luke para estimar 1 0 con dos decimales. Explica cada paso en tu trabajo. 506 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

44 Tu calculadora tiene un comando para calcular raíces cuadradas, al cual puedes 2nd tener acceso oprimiendo [ 4 ]. Por ejemplo, para calcular 4 oprime 2nd [ 4 ] 4. ENTER = Serie de problemas K x Usa tu calculadora para aproximar cada raíz cuadrada en centésimas. Compara tus resultados con tus respuestas de la Serie de problemas J En este problema, observarás el resultado que te proporciona tu calculadora para 1, a. Usa tu calculadora para aproximar 1, Escribe el resultado exacto que muestra la pantalla. No borres la pantalla. b. Eleva al cuadrado el número en tu calculadora al presionar x 2 ENTER =. Qué resultado te proporciona tu calculadora? c. Borra la pantalla de tu calculadora. Después introduce tu resultado de la Parte a y presiona x. Qué resultado te da tu calculadora? 2 ENTER = d. Por qué crees que tus resultados de las Partes b y c son diferentes? 6. Althea introdujo un número a su calculadora. Después ella presionó ENTER = repetidamente hasta que la calculadora mostró 43,046,721. Cuál pudo ser su número original? Enumera todas las posibilidades. 7. Supón que introduces un número positivo menor que 10 a tu calculadora y presionas x 2 ENTER = 5 veces. Después comienza con el resultado final y obtienes la raíz cuadrada 5 veces. Qué pasará? Explica por qué. x 2 Comparte & resume 1. Describe la relación entre elevar al cuadrado un número y sacar su raíz cuadrada. 2. Describe un método para aproximar una raíz cuadrada sin usar tu calculadora. LECCIÓN 8.3 Áreas y cuadrados 507

45 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica 1. En papel de puntos o en papel cuadriculado, dibuja un rectángulo con un área de 20 unidades cuadradas, longitudes laterales de números enteros y el mayor perímetro posible. Cuál es el perímetro de tu rectángulo? 2. En papel de puntos o en papel cuadriculado, dibuja un rectángulo con un área de 20 unidades cuadradas, longitudes laterales de números enteros y el menor perímetro posible. Cuál es el perímetro de tu rectángulo? Estas figuras se dibujan en cuadrículas de puntos de un centímetro. Calcula el área de cada figura Calcula el área de un rectángulo con longitud de 7.5 pies y ancho de 5.7 pies. 7. Calcula la longitud de un rectángulo con ancho de 11 centímetros y el área dada. a. 165 centímetros cuadrados b centímetros cuadrados 8. Calcula la longitud de un rectángulo con un área de 484 pulgadas cuadradas y el ancho dado. a. 10 pulgadas b. 22 pulgadas 9. Un jardín cuadrado tiene un área de 289 pies cuadrados. De qué tamaño es cada lado del jardín? 10. Si un rectángulo tiene un perímetro mayor que el otro, también deberá tener un área mayor? Explica tu respuesta. Eleva cada número al cuadrado Enumera cinco cuadrados perfectos entre 100 y 500. Menciona si cada número es un cuadrado perfecto y explica cómo lo sabes CAPÍTULO 8 Geometría y medición impactmath.com/self_check_quiz

46 Datos de interés Antes del uso difundido de las calculadoras portátiles, se usaban las reglas de cálculo para hacer cálculos complejos, incluyendo el cálculo y estimación de raíces cuadradas. 20. Si un cuadrado tiene un área pies cuadrados, de qué tamaño es cada lado? Calcula el valor de cada expresión (5 2 10) Tiene (1 3) 2 el mismo valor que ? Explica. 26. Tiene (4 2) 2 el mismo valor que 4 2 2? Explica. 27. Tiene (11 7) 2 el mismo valor que ? Explica. 28. Reto Coloca un par de paréntesis en la siguiente ecuación para hacerla verdadera. Demuestra que es verdadera calculando el valor de cada lado Supón que juegas Cuadrado al millón. Escoges 5 como número inicial y tu compañero lo eleva al cuadrado. Ahora es tu turno. Deberías continuar o terminar el juego? Explica. 30. Supón que juegas Cuadrado al millón. Tu compañero selecciona como número inicial 1,001. Deberías continuar o terminar con el juego? Explica. 2 En los Ejercicios 31 al 35, supón que introduces el número en una calculadora y presionas x tres veces. Sin hacer ningún cálculo, menciona si el resultado 2 será menor que, mayor que o igual al número original Luke elevó al cuadrado un número y obtuvo 28,900. Qué número elevó al cuadrado? 37. Jing elevó al cuadrado un número y obtuvo Qué número elevó al cuadrado? 38. Calcula la longitud lateral de un patio de recreo que tiene un área de 1,521 yardas cuadradas. 39. Sin usar tu calculadora, determina entre cuáles números enteros está Sin usar tu calculadora, determina entre cuáles números enteros está está entre 7 y 8. Sin usar tu calculadora, encuentra otros cinco números enteros cuya raíz cuadrada esté entre 7 y Sin usar tu calculadora, determina si 3 9 está más cerca de 6 ó de 7. Explica cómo lo sabes. 43. Sin usar una calculadora, aproxima 7 5 en décimas. LECCIÓN 8.3 Áreas y cuadrados 509

47 Conecta& amplía 44. La Sra. Johnson construyó este patio con baldosas alrededor de una fuente cuadrada. Las baldosas miden 1 pie en cada lado. El patio se construyó con baldosas de color blanco, verde claro, verde oscuro y azul. a. Cuál es perímetro total del patio? (Agrega los perímetros interior y exterior.) b. Cuál es el área del patio? c. Expresa en fracciones y en porcentaje la porción del patio que representa cada color. 45. Hannah quiere construir un área de juegos cercada para su conejo. Ella tiene 30 pies de cerca. Da las dimensiones y el área de la zona de juegos rectangular más grande que puede cercar. Datos de interés La longitud de una cancha de fútbol puede variar de 100 a 130 yardas. El ancho puede variar de 50 a 100 yardas. Entonces, la menor área posible es , ó 5,000 yardas cuadradas y la mayor área posible es , ó 13,000 yardas cuadradas. 46. Cada uno de estos rectángulos tiene longitudes laterales de números enteros y un área de 25 unidades cuadradas: 1 25 A continuación, se muestra el único rectángulo con longitudes laterales de números enteros y área de 5 unidades cuadradas: 1 a. Cuántos rectángulos distintos hay con longitudes laterales de números enteros y un área de 36 unidades cuadradas? Da las dimensiones de cada rectángulo. b. Considera cada área con número entero de 2 a 30 unidades cuadradas. Para cuáles de estas áreas sólo hay un rectángulo con longitudes laterales de números enteros? c. Qué tienen en común las áreas que encontraste en la Parte b? d. Para cuál área de 2 a 30 unidades cuadradas puedes hacer el mayor número de rectángulos con longitudes laterales de números enteros? Da las dimensiones de cada rectángulo que puedas hacer con esta área CAPÍTULO 8 Geometría y medición

48 47. Althea elevó un número al cuadrado y el resultado fue el mismo número con el que empezó. Cuál número pudo haber elevado al cuadrado? Menciona todas las posibilidades. 48. Conor elevó un número al cuadrado y el resultado fue 10 veces el número con el que empezó. Cuál fue su número de inicio? 49. Marcus elevó un número al cuadrado y el resultado fue menor que el número con el que empezó. Da dos números posibles con los que pudo haber empezado. 50. En este ejercicio, explorarás lo que ocurre con el área de un cuadrado cuando duplicas sus longitudes laterales. a. Dibuja y rotula cuatro cuadrados de tamaños diferentes y calcula sus áreas. b. Para cada cuadrado que dibujaste, dibuja un cuadrado con lados del doble de longitud. Calcula las áreas de los nuevos cuatro cuadrados. c. Cuando duplicaste las longitudes laterales de tus cuadrados, se duplicaron también las áreas? Si no, cómo cambiaron las áreas? Por qué crees que pasó esto? d. Si duplicaras las longitudes laterales de un rectángulo que no sea un cuadrado, crees que se mantendría el mismo patrón? Por qué? e. Si triplicaras las longitudes laterales de un cuadrado, qué crees que le ocurrirá al área? Prueba tu hipótesis con dos o tres cuadrados. 51. Melissa recibe $1.00 cada semana como mesada. Su hermano mayor Owen recibe $1.50 cada semana. Su hermana pequeña Simona recibe $0.75 cada semana. Los tres niños les han pedido a sus padres mesadas más grandes. Sus padres les han dado estas opciones: Opción I: Añadir $0.50 a su mesada semanal actual. Opción II: Elevar al cuadrado su mesada semanal actual. Qué opción debería escoger cada niño? Por qué? 52. Miguel elevó un número al cuadrado y obtuvo 390,625. Sin usar tu calculadora, determina los dígitos posibles de su número original. Explica. 53. Rosita elevó un número al cuadrado y obtuvo 15,376. Sin usar tu calculadora, determina los dígitos posibles de su número original. Explica. 54. Caroline elevó un número al cuadrado y obtuvo 284,089. Sin usar tu calculadora, determina los dígitos posibles de su número original. Explica. LECCIÓN 8.3 Áreas y cuadrados 511

49 9 9 propias En t us palabras Explica cómo elevar al cuadrado y sacar raíces cuadradas para números mayores que 1 es diferente que para números menores que Tiene el mismo valor que ? Explica. 56. Tiene el mismo valor que ? Explica Tiene el mismo valor que ? Explica. 58. Economía La tienda de la escuela tiene una liquidación de dos días. Si compras el jueves, el precio de venta de cualquier artículo es la raíz cuadrada del precio original. Si compras el viernes, el precio de venta de cualquier artículo es la mitad de su precio original. En las Partes a hasta la e, indica cuál día deberías comprar para obtener el artículo al menor precio. a. b. c d. e. f. En general, para qué precios ahorras más al sacar la raíz cuadrada? Para qué precios ahorras más al obtener la mitad? 512 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

50 Repaso mixto Calcula la factorización prima de cada número , En la tienda Artículos para Arte de Art, cada caja de lápices de colores contiene 12 lápices. Escribe una regla para el número de lápices p en b cajas. 66. Economía T.J. vende por teléfono suscripciones para revistas. Él gana $50 por día, más $1.25 por cada suscripción que vende. Escribe una regla para las ganancias diarias de T.J. d si vende s suscripciones. 67. En la carrera de globos aerostáticos de Spring Valley, había 7 globos con rayas por cada 6 globos de un solo color. Escribe una regla para la relación entre el número de globos con rayas p y el número de globos de un solo color s. 68. Economía Una tienda tiene una venta del 25% de descuento en todo. Escribe una regla para calcular el precio de venta s de un artículo originalmente valuado en d dólares. Calcula la medida de cada ángulo LECCIÓN 8.3 Áreas y cuadrados 513

51 Calcula áreas En la lección anterior, aprendiste que el área de una figura es el número de unidades cuadradas que caben dentro de ésta. MATERIALES papel cuadriculado de 1 pulgada papel cuadriculado 1 de 2 pulgada Explora Pon una mano en una hoja de papel cuadriculado de 1 pulgada, con tus dedos juntos. Traza alrededor de tu mano. Estima el área de tu mano trazada en pulgadas cuadradas contando los cuadrados cuadriculados. Ahora traza tu mano en papel cuadriculado de 1 2 pulgada. Estima del número de cuadrados dentro del trazo. En papel cuadriculado de 1 2 pulgada, cada cuadrado pequeño tiene una longitud lateral de 1 2 pulgada. Cuál es el área de cada cuadro pequeño en pulgadas cuadradas? Datos de interés El área de la palma de tu mano es alrededor de 1% del área de tu piel. Los doctores usan esta aproximación para estimar el porcentaje de la piel de una persona afectada por una quemadura u otro problema. Se le conoce como la regla de las palmas. Usa las dos respuestas anteriores para hacer una estimación del área de tu mano en pulgadas cuadradas. Cuál estimación crees que es más exacta: la estimación basada en una cuadrícula de 1 pulgada o la estimación basada en cuadrícula de 1 2 pulgada? Por qué? Cuando quieres estimar el área de una figura irregular como tu mano, contar cuadros cuadriculados es un método bastante bueno, aunque toma tiempo. Para muchas otras figuras, puedes usar fórmulas para calcular rápidamente el área. Ya conoces las fórmulas para las áreas de cuadrados y rectángulos. En esta lección, explorarás fórmulas para áreas de paralelogramos, triángulos y círculos. 514 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

52 Investigación 1 Áreas de paralelogramos V O C A B U L A R I O paralelogramo Un paralelogramo es un cuadrilátero con lados opuestos que tienen la misma longitud. El término paralelogramo se refiere al hecho de que los lados opuestos son paralelos, es decir, nunca se intersecan sea cual sea su extensión. MATERIALES copias de los paralelogramos regla métrica En esta investigación, usarás lo que sabes sobre calcular áreas de rectángulos para desarrollar una fórmula para el área de un paralelogramo. Serie de problemas A 1. Calcula el área de cada paralelogramo a continuación y explica el método que usaste. A C B 2. Mide las longitudes de los lados de cada paralelogramo en décimas de centímetro. 3. Es el área del paralelogramo igual al producto de las longitudes de sus lados? V O C A B U L A R I O base de un paralelogramo altura de un paralelogramo La base de un paralelogramo puede ser cualquiera de sus lados. La altura de un paralelogramo es la distancia desde la base al lado opuesto. La altura siempre se mide a lo largo de un segmento perpendicular a la base (o a la recta que contiene la base). Altura Altura Altura Base Base Base LECCIÓN 8.4 Calcula áreas 515

53 MATERIALES copias de los paralelogramos regla métrica tijeras cinta adhesiva transportador En la Serie de problemas B, explorarás cómo se relacionan la base y la altura de un paralelogramo con su área. Serie de problemas B 1. Completa las Partes a, b y c para cada paralelogramo en la Serie de problemas A. a. Escoge un lado del paralelogramo como la base. Dibuja un segmento perpendicular a la base que se extienda A al lado opuesto de la base. El segmento debería estar completamente dentro del paralelogramo. Para el paralelogramo Base A, podrías dibujar el segmento que se muestra en verde. b. Encuentra las longitudes de la base y de la altura. (La altura es la longitud del segmento que dibujaste en la Parte a.) Anota estas mediciones en una tabla como la siguiente. A B C Paralelogramo Rectángulo Base Altura Longitud Ancho c. Divide el paralelogramo en dos trozos cortando a lo largo del segmento que dibujaste en la Parte a. Después ensambla los trozos para formar un rectángulo. Anota la longitud y el ancho del rectángulo en tu tabla. 2. En qué se diferencian la base y la altura de cada paralelogramo a la longitud y el ancho del rectángulo formado a partir del paralelogramo? 3. En qué se diferencian el área de cada paralelogramo al área del rectángulo formado a partir del paralelogramo? 4. Cómo puedes calcular el área de un paralelogramo si conoces la longitud de una base y la altura correspondiente? Usa lo que has descubierto en este problema para explicar por qué funciona tu método. 5. Calcula el área de este paralelogramo sin formar con él un rectángulo. Explica cada paso de tu trabajo. 516 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

54 Puedes calcular el área de un paralelogramo multiplicando la longitud de la base por su altura. Esto se puede enunciar usando una fórmula. Área de un paralelogramo A b h En esta fórmula, A representa el área, b representa la base y h representa la altura. Serie de problemas C Calcula el área de cada paralelogramo, en centésimas de unidad cuadrada pulg pulg 1.31 pulg 3.32 cm 2.00 cm cm 5.27 cm 4.10 cm 3.21 cm 4. El área del paralelogramo a continuación es cm 2. Calcula el valor de b en centésimas cm b 2.98 cm Comparte& resume En qué es semejante calcular el área de un paralelogramo a calcular el área de un rectángulo? En qué es diferente? LECCIÓN 8.4 Calcula áreas 517

55 Investigación 2 Áreas de triángulos MATERIALES copias del triángulo Has observado las áreas de rectángulos y paralelogramos. Ahora dirigirás tu atención a los triángulos. Serie de problemas D Calcula el área de cada triángulo y explica el método que usaste. B A C V O C A B U L A R I O base de un triángulo altura de un triángulo La base de un triángulo puede ser cualquiera de sus lados. La altura de un triángulo es la distancia desde la base al vértice opuesto a su base. La altura siempre se mide a lo largo de un segmento perpendicular a la base (o a la recta que contenga la base). Altura Altura Base Altura Base Base MATERIALES copias de los triángulos tijeras cinta adhesiva transportador regla En la Serie de problemas D, pudiste haber usado una variedad de métodos para calcular las áreas de los triángulos. En la siguiente Serie de problemas, observarás cómo puedes calcular el área de un triángulo al relacionarlo con un paralelogramo. Serie de problemas E Corta dos copias de cada triángulo de la Serie de problemas D. 1. Completa las Partes a hasta la d para cada triángulo. a. Dibuja tantos paralelogramos diferentes como puedas uniendo las dos copias del triángulo. (No las pegues con cinta adhesiva.) Haz un dibujo de cada paralelogramo. b. En que se parece el área del triángulo al área de cada paralelogramo? 518 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

56 Datos de interés Los triángulos son figuras rígidas. Si construyes un triángulo de un material resistente, no se colapsará ni cambiará de forma cuando presiones sus lados o vértices. Debido a esta propiedad, los triángulos se usan frecuentemente como soportes para edificios, puentes y otras estructuras. c. Pega con cinta las dos copias del triángulo para formar uno de los paralelogramos que dibujaste en la Parte a. Escoge un lado del paralelogramo como la base y dibuja un segmento perpendicular a la base que se extienda hasta el lado opuesto. d. Corresponden la base y la altura del paralelogramo a la base y altura del triángulo? 2. Piensa acerca de lo que aprendiste en el Problema 1 sobre la relación entre triángulos y paralelogramos. Cómo puedes calcular el área de un triángulo si conoces la longitud de una base y la altura correspondiente? Calcula el área de cada triángulo en centésimas cm cm 1.71 cm 2.00 cm 2.95 cm 1.56 cm 0.90 cm 0.70 cm En la Serie de problemas E, probablemente descubriste que el área de un triángulo es la mitad de la longitud de la base multiplicado por su altura. Puedes enunciar esto usando una fórmula. Área de un triángulo A 1 2 b h 1.37 cm 0.90 cm 1.42 cm 0.87 cm En esta fórmula, A representa el área, b representa la base y h representa la altura. LECCIÓN 8.4 Calcula áreas 519

57 MATERIALES 3 copias del triángulo transportador regla Serie de problemas F Tres alumnos calcularon el área de este triángulo. Carolina utilizó el lado de 12 centímetros como base, Rosita utilizó el lado de 11 centímetros y Marcus utilizó el lado de 10 centímetros. 10 cm 11 cm 12 cm 1. Suponiendo que los alumnos hicieron sus cálculos correctamente, crees que calcularon la misma área o áreas diferentes? Explica. 2. Completa las Partes a, b y c para calcular el área usando el lado de 12 centímetros como base. a. Dibuja un segmento perpendicular a la base desde el vértice opuesto a la base. Usa tu transportador para asegurarte de que la base y el segmento forman un ángulo recto. b. Mide la altura en décimas de centímetro. c. Usa las medidas de la base y la altura para calcular el área del triángulo. 3. Repite las Partes a, b y c del Problema 2 usando el lado de 11 centímetros como base. 4. Repite las Partes a, b y c del Problema 2 usando el lado de 10 centímetros como base. 5. Compara tus resultados para los Problemas 2, 3 y 4. Dependió de la base que usaste el área que calculaste? Explica. 520 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

58 MATERIALES papel de puntos Serie de problemas G El ABD y el ABE se crearon por cizallamiento del ABC. Una transformación por cizallamiento de un triángulo significa deslizar uno de sus vértices a lo largo de una recta paralela al lado opuesto. En este caso, el ABC se transformó por cizallamiento deslizando el vértice C al vértice D y luego al vértice E. C D E A B 1. En qué se parecen el ABC, el ABD y el ABE? En qué son diferentes? 2. Dibuja dos triángulos más deslizando el ABC. 3. Cambia su área el ABC al deslizarlo? Explica. 4. Cambia su perímetro el ABC al deslizarlo? Explica. Comparte & resume Describe cómo se relaciona el cálculo del área de un triángulo con el cálculo del área de un paralelogramo. LECCIÓN 8.4 Calcula áreas 521

59 Investigación 3 Áreas de círculos Calcular el área de una figura con lados curvos casi siempre requiere de contar los cuadros de una cuadrícula o de usar otro método de estimación. Sin embargo, hay una fórmula sorprendentemente sencilla para calcular el área de un círculo. Serie de problemas H Estos círculos están dibujados en papel cuadriculado de 1 centímetro: A B C D 522 CAPÍTULO 8 Geometría y medición 1. Copia la tabla. Calcula el radio de cada círculo y anota tus resultados en la columna radio. Radio, r Área estimada, Círculo (cm) A (cm 2 ) A r A r 2 A B C D 2. Estima el área de cada círculo contando los cuadros de la cuadrícula. Anota tus estimaciones en la tabla. 3. Para cada círculo, divide el área entre el radio y anota los resultados.

60 Recuerda es un número decimal con dígitos que nunca terminan o se repiten. Se puede aproximar como Para cada círculo, divide el área entre el radio al cuadrado y anota los resultados. 5. Observa las dos últimas columnas de la tabla. Muestran algún patrón obvio los valores de cualquiera de las columnas? De ser así, recuerdas otros patrones que hayas visto en este capítulo? 6. Jahmal estimó que el área de un círculo cuyo radio es de 10 cm es aproximadamente 40 cm 2. a. Explica por qué la estimación de Jahmal no es razonable. b. Cuál es una estimación razonable para el área de un círculo cuyo radio es de 10 cm? c. Cuál es una estimación razonable para el radio de un círculo cuya área es de 40 cm 2? En la Lección 8.2, aprendiste sobre el número y cómo se relaciona a la circunferencia de un círculo. Determinaste que si C es la circunferencia de un círculo y d es el diámetro, lo siguiente es verdadero: C d Sorprendentemente, el número también se relaciona con el área de un círculo. Si A es el área de cualquier círculo y r es el radio, lo siguiente es verdadero: A r 2 Puedes usar este hecho para desarrollar la fórmula para el área de un círculo. Área de un círculo A r 2 En esta fórmula, A es el área y r es el radio. LECCIÓN 8.4 Calcula áreas 523

61 Serie de problemas I Datos de interés Hay más de 60,000 pizzerías en Estados Unidos, lo que representa alrededor del 15% de los restaurantes. Para este problema, usa la tecla π de tu calculadora para aproximar. (Si tu calculadora no tiene la tecla π usa 3.14 para aproximar π.) 1. Cuál es el área de un círculo con un radio de 15 pulg? Escribe tu respuesta en centésimas de pulgada cuadrada. 2. Cuál es el área de un círculo con un radio de cm? Escribe tu respuesta en centésimas de centímetro cuadrado. 3. Cuál tiene un área mayor: un círculo con un radio de 7.2 cm o un círculo con un diámetro de cm? Explica tu respuesta. 4. Cuál es el radio de un círculo cuya área es de 100 pulg 2? Escribe tu respuesta en centésimas de pulgada. 5. Un restaurante de pizzas hace pizzas de dos formas. La pizza circular tiene un diámetro de 10 pulgadas. La pizza rectangular mide 16 pulgadas por 10 pulgadas. Una pizza circular de queso cuesta $8 y una pizza rectangular de queso cuesta $14. Cuál forma te da más pizza por tu dinero? Explica cómo calculaste tu respuesta. 6. Este es un diagrama de un carril interior de la pista de la escuela secundaria Walter. El carril está hecho de dos segmentos derechos y dos semicírculos (medios círculos). El área interior de 160 yardas la pista está cubierta con césped. Cuál es el área del césped dentro de la pista, en décima de yarda cuadrada? Explica cómo calculaste 120 yardas tu respuesta. Comparte & resume 1. Da la fórmula para el área de un círculo. Menciona lo que representan las letras de la fórmula. 2. Cómo puedes calcular el área de un círculo si solamente conoces su diámetro? 3. Cómo puedes calcular el área de un círculo si conoces solamente su circunferencia? 524 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

62 Investigación de laboratorio MATERIALES Computadora con programa de hoja de cálculos Usa una hoja de cálculos para maximizar el área A Max, el perro de Miguel, le encanta jugar afuera. Generalmente, cuando se encuentra atado al centro del patio con una correa de 10 pies. 10 pies Datos de interés Tan antiguamente como en el año 4500 a.c., había en Egipto una raza de perros que se parecían a los modernos galgos. Se pueden encontrar jeroglíficos de perros en las antiguas tumbas egipcias. Miguel ganó $400 podando jardines y quiere usar el dinero para construir un corral para Max. La cerca que Miguel ha escogido cuesta $4.50 por pie. En esta investigación de laboratorio, usarás una hoja de cálculos para deducir el corral rectangular más grande que Miguel puede construir. Piensa en el problema 1. Si conoces la longitud y el ancho de un corral rectangular, cómo puedes determinar el área y el perímetro? 2. Cómo puedes inferir cuánto costará el corral? Crea una hoja de cálculos Crearás una hoja de cálculos que calculará automáticamente el área, el perímetro y el costo del corral cuando introduzcas la longitud y el ancho. Primero introduce los títulos de las columnas para longitud, ancho, perímetro, área y costo. A B C D E F G 1 Longitud Ancho Perímetro Área Costo 2 Quieres que tu hoja de cálculos calcule perímetro, área y costo cuando introduzcas los valores de longitud y ancho en las celdas A2 y B2. Para que esto funcione, introducirás fórmulas que le indican a la hoja de cálculos cómo hacer los cálculos. El perímetro es 2 veces el valor de la longitud en la celda A2 más 2 veces el valor del ancho en la celda B2. Entonces, introduce esta fórmula en la celda C2: 2*A2 2*B2 LECCIÓN 8.4 Calcula áreas 525

63 El signo = permite que la hoja de cálculos sepa que la entrada es una fórmula a evaluar. Así, la fórmula que introdujiste en la celda C2 le indica a la hoja de cálculos que añada 2 veces el valor en la celda A2 a 2 veces el valor en la celda B2. A B C D E F G 1 Longitud Ancho Perímetro Área Costo 2 =2*A2+2*B En la celda D2, necesitas introducir una fórmula para calcular el área. Qué fórmula debes introducir? (Tu fórmula debe comenzar con el signo = y debería contener los nombres de las celdas A2 y B2.) 4. En la celda E2, necesitas introducir una fórmula para calcular el costo. Qué fórmula debes introducir? Introduce tus fórmulas de área y costo en la hoja de cálculos. Prueba las fórmulas al introducir el valor de longitud 11 en la celda A2 y el valor del ancho 7 en la celda B2. 5. Tu hoja de cálculos te da valores correctos de perímetro, área y costo para un corral que mide 11 pies por 7 pies? Cómo lo sabes? Si tus fórmulas no están correctas, corrígelas. 6. Puede Miguel solventar la construcción un corral de 11 pies por 7 pies? 7. Cambia los valores de longitud y ancho en las celdas A2 y B2 por la longitud y ancho de tu elección. Qué ocurre con los valores de las otras columnas? Ahora copiarás tus fórmulas hacia abajo hasta la fila 25 de la hoja de cálculos. Esto te permitirá introducir diferentes valores de longitud y ancho en cada recta. Los siguientes son los pasos para copiar la fórmula del perímetro: Sombrea desde la celda C2 hasta la C25. Selecciona el comando Fill Down. A B C D E F G 1 Longitud Ancho Perímetro Área Costo 2 =2*A2+2*B CAPÍTULO 8 Geometría y medición

64 8. Selecciona la celda C3. Qué fórmula aparece en esta celda? Ahora selecciona la celda C18. Qué fórmula aparece aquí? Qué hace el comando Fill Down? Copia las fórmulas para área y costo verticalmente hasta la fila 25. Ahora puedes observar al mismo tiempo el perímetro, área y costo para diferentes corrales. Encuentra el corral más grande Prueba diferentes valores de longitud y ancho para tratar de encontrar el corral más grande que Miguel pueda solventar. Introduce un par de valores diferentes en cada fila. 9. Cuáles son las dimensiones y el área del corral rectangular más grande que Miguel puede solventar? 10. Cómo sabes que el corral que encontraste en la pregunta 9 es el más grande posible? 11. Podrá Max tener ahora más espacio para moverse en su nuevo corral que con su correa? Explica. Qué aprendiste? 12. Crea una hoja de cálculos que calcule la circunferencia, área y costo de corrales circulares con diferentes radios. Usa 3.14 como una aproximación para. A B C D 1 Radio Circunferencia Área Costo Calcula el radio y área aproximados del corral circular más grande que Miguel podría construir con el cercado. 14. En qué se diferencia el área del corral circular más grande del área del corral rectangular más grande? Datos de interés Los perros parecidos a los mastines modernos fueron usados por cazadores de la edad de hielo para ayudarlos a atrapar animales de caza mayor como el mamut lanudo. LECCIÓN 8.4 Calcula áreas 527

65 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica 1. Escoge un objeto de tu casa con una superficie no rectangular que quepa en una hoja de papel cuadriculado. (Algunas ideas: una lata de sopa, tu zapato, una plancha.) Traza la superficie sobre el papel cuadriculado y estima su área. 2. Estos paralelogramos están dibujados en una cuadrícula de un centímetro: A B C a. Calcula el área de cada paralelogramo. b. Dibuja un rectángulo que tenga la misma área que el paralelogramo A. c. Dibuja un rectángulo que tenga la misma área que el paralelogramo C. 3. Calcula el área de este paralelogramo: 12 pulg 5 pulg 7 pulg 4. Puedes usar la formula del área de un paralelogramo, A b h, para calcular el área de un rectángulo? De ser así, dónde están la base y altura en el rectángulo? Si no, por qué no? 5. Un paralelogramo tiene un área de 42.6cm 2. La altura del paralelogramo es de 8 cm Cuál es la longitud de la base? 6. Estos triángulos están dibujados en una cuadrícula de un centímetro: A C D B a. Calcula el área de cada triángulo. b. Para cada triángulo, dibuja un paralelogramo con el doble del área del triángulo. 528 CAPÍTULO 8 Geometría y medición impactmath.com/self_check_quiz

66 Calcula el área de cada triángulo. Redondea tus respuestas en centésimas cm 1.72 cm 3.78 cm 4.58 cm 0.96 cm 2.40 cm 9. Considera este triángulo. a. Cuál de las medidas dadas usarías para calcular el área del triángulo? Por qué? 2.17 cm 3.46 cm 4.08 cm b. Cuál es el área del triángulo? Redondea tu respuesta en centésimas. 10. El paralelogramo se creó transformando por cizallamiento el paralelogramo Z. Este proceso involucra deslizar uno de los lados del paralelogramo a lo largo de una recta paralela al lado opuesto. Z a. Crea dos paralelogramos más cizallando el paralelogramo Z. (En cada caso, desliza la parte superior del paralelogramo.) b. Cambia su área un paralelogramo al transformar por cizallamiento? Explica. c. Ahora, transforma por cizallamiento el paralelogramo Z para crear un paralelogramo con el perímetro más pequeño posible. Cómo se ve este nuevo paralelogramo? d. Meela transformó por cizallamiento el paralelogramo Z para crear esta figura. Dice que dibujó el paralelogramo transformado con el mayor perímetro posible. Estás de acuerdo con ella? Explica. LECCIÓN 8.4 Calcula áreas 529

67 En los Ejercicios 11 al 13, usa la tecla π de tu calculadora para aproximar. (Si tu calculadora no tiene la tecla π. Usa 3.14 como una aproximación para.) Redondea tus respuestas en centésimas. 11. Calcula el área de un círculo con radio de 8.5 pulgadas. 12. Calcula el área de un círculo con diámetro de 15 pies. 13. Calcula el área de un círculo con circunferencia de 90 pies. 14. Un perro está atado en el centro de un patio con una correa de 15 pies. 15 pies a. Cuál es la figura del área en la que puede jugar el perro? b. Cuál es el área del espacio en la cual puede jugar el perro, en pies cuadrados? c. Supón que, en lugar de estar atado en el centro del patio, el perro está atado en la esquina de la casa. Cuál es el área del espacio en la que puede jugar el perro, en pies cuadrados? (Los lados de la casa son más grandes que la correa.) 10 pies Conecta& amplía 15. Este paralelogramo tiene un área de cm 2. Calcula los valores de a, b, c y d en centésimas de centímetro. d c b 4.83 cm a 6.21 cm 530 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

68 16. En este ejercicio, dibujarás paralelogramos. a. Dibuja tres paralelogramos diferentes cuya base tenga 15 cm de longitud y cuya altura sea de 7 cm. b. Cuál de tus paralelogramos tiene el menor perímetro? Cuál tiene el mayor perímetro? c. Podrías dibujar un paralelogramo con la misma base y altura y un perímetro aún menor? De ser así, dibújalo. Si no, explica por qué no. 17. Una baraja ha sido empujada como se muestra. Observa que los lados de la baraja tienen la forma de paralelogramos " " La baraja contiene 52 cartas. Cada carta tiene de pulgada de grosor, pulgadas de longitud y pulgadas de ancho. Calcula el área sombreada del paralelogramo. 18. A continuación hay un plano de planta para un museo, dividido en cuatro paralelogramos y un rectángulo. Calcula el área del piso en centésimas de metro cuadrado. 2.8 m 1.6 m 2.8 m 2.1 m 2.6 m 6.6 m 6.6 m 2.6 m 2.1 m 2.8 m 1.6 m 2.8 m 19. El área de este triángulo es de 782 centímetros cuadrados. Calcula a y b en décimas de centímetro cm b 29.5 cm 36.7 cm a LECCIÓN 8.4 Calcula áreas 531

69 20. En un triángulo equilátero, los tres lados tienen la misma longitud. Supón que el área de un triángulo equilátero es 27.7 cm 2 y la altura es 6.9 cm Cuál es el tamaño de los lados del triángulo? 21. Un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos, llamados bases. La altura es la longitud de un segmento perpendicular desde una base hasta la otra. Recuerda Dos rectas o segmentos son paralelos si nunca se encuentran, sea cual sea su extensión. Base Altura Base a. Calcula el área de este trapecio: 3 cm 7.1 cm 5 cm 7.8 cm 5 cm 9 cm b. Cuál de las medidas dadas usaste para calcular el área? c. Reto Escribe una fórmula para el área de un trapecio A si las longitudes de las bases son B y b y la altura es h. Explica cómo calculaste tu respuesta. (Ayuda: Divide el trapecio en dos triángulos o forma un paralelogramo a partir de dos copias de este trapecio.) b h B 532 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

70 Recuerda En un polígono regular, todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos tienen la misma medida. 22. Cualquier polígono regular se puede dividir en triángulos idénticos. Este hexágono se divide en seis triángulos idénticos. a. Calcula el área de cada triángulo y el área del hexágono en décimas de centímetro cuadrado. Explica cómo calculaste las áreas. 3 cm 2.6 cm 3 cm 3 cm b. Esta fórmula se puede usar para calcular el área de un polígono regular: A 1 2 perímetro del polígono altura de un triángulo Demuestra que esta fórmula te da el área correcta para el hexágono anterior. c. Por qué crees que funciona esta fórmula? d. Una señal de Pare tiene la forma de octágono regular. Este dibujo de un octágono está dividido en ocho triángulos idénticos. Usa la fórmula de la Parte b para calcular el área de una señal de Pare. 12 pulg 14.5 pulg e. Brett calculó el área de una señal de Pare al rodearla con un cuadrado. De qué tamaño son los lados del cuadrado? De qué tamaño son los lados perpendiculares de los triángulos pequeños en las esquinas del cuadrado? 12 pulg 14.5 pulg f. Explica cómo Brett pudo haber calculado el área. Demuestra que este método te da la misma área que calculaste en la Parte d. LECCIÓN 8.4 Calcula áreas 533

71 Datos de interés La fuente más alta del mundo, situada en Fountain Hills, Arizona, dispara chorros de agua de 8 toneladas a 560 pies en el aire, 10 pies más alto que el monumento a Washington. 23. El consejo del pueblo Smallville planea construir una fuente circular rodeada por una pasaje cuadrado de concreto. La fuente tiene un diámetro de 4 yardas. La caminata tiene un perímetro exterior de 28 yardas. Calcula el área del pasaje en décimas de yarda cuadrada. 24. El área superficial de una figura tridimensional es la suma de las áreas de sus caras. Por ejemplo, este cubo está hecho de seis caras, cada una con un área de 9 pulg 2. Entonces, su área de superficie total es 9 6, ó 54, pulg 2. a. Calcula el área de superficie de esta caja rectangular: 4 yardas 3 pulg 3 pulg 3 pulg 1.5 pies 3 pies 2 pies b. Reto Para calcular el área superficial de un cilindro, puedes imaginarlo como tres piezas separadas: el fondo y la tapa circular y el rectángulo que los enrolla. Calcula el área de superficie de este cilindro. (Ayuda: Necesitas calcular la longitud del rectángulo. Para hacer esto, piensa cómo se relaciona esta longitud con los círculos.) 3 cm 6.5 cm 3 cm 3 cm 6.5 cm 534 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

72 Repaso mixto Geometría Calcula el perímetro de cada figura cm cm 5 pies propias En t us palabras Explica las semejanzas y diferencias entre las fórmulas de área que estudiaste en esta lección cm cm 1 cm 2 cm 5 cm Calcula cada suma o diferencia. 2 cm 4 pulg 4 pulg ,545 1, Por separado Hannah y Rosita escribieron reglas para el número de mondadientes en cada término de esta sucesión: Término 1 Término 2 Término 3 Término 4 Ambas niñas usaron t para representar el número de mondadientes y n para representar el término numérico. Usa palabras o diagramas para explicar por qué cada regla es correcta. a. La regla de Hannah: t 2 n 2 n b. La regla de Rosita: t 4 4 (n 1) 36. Sinopsis Rachel puso un termómetro en un vaso de precipitados con líquido. Anotó la temperatura del líquido cada 5 minutos. De los datos que recopiló, ella escribió una ecuación para representar la temperatura T del líquido en grados centígrados después de m minutos. T m Usa la ecuación de Raquel para calcular la temperatura del líquido después de 10 minutos. LECCIÓN 8.4 Calcula áreas 535

73 El teorema de Pitágoras V O C A B U L A R I O triángulo rectángulo En esta lección, aprenderás un postulado matemático famoso que se conoce como el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras expresa una relación notable entre los triángulos rectángulos, triángulos que tienen un ángulo de 90 y los cuadrados. Antes de investigar el teorema, practicarás el cálculo del área de un cuadrado dibujado en papel de puntos. MATERIALES Copia del cuadrado Explora Calcula el área exacta de este cuadrado. Describe el método que usaste. Investigación V O C A B U L A R I O hipotenusa cateto 1 Triángulos rectángulos y cuadrados Cada triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Los otros dos lados se llaman catetos. Hipotenusa Cateto Cateto 536 CAPÍTULO 8 Geometría y medición La relación expresada en el teorema de Pitágoras implica las áreas de los cuadrados construidos a los lados del triángulo rectángulo. En el siguiente problema, tratarás de descubrir esa relación.

74 MATERIALES copias de las figuras papel de puntos Datos de interés El teorema de Pitágoras se llamó así por el matemático griego Pitágoras, quien vivió aproximadamente del año 580 al 550 a.c. Serie de problemas A Los Problemas 1 al 4 muestran triángulos rectángulos con cuadrados dibujados en sus lados. Calcula el área exacta de cada cuadrado y registra tus resultados en una copia de esta tabla. Área del Área del Área del cuadrado en el cuadrado en el cuadrado en el Problema lado a(unidades 2 ) lado b (unidades 2 ) lado c (unidades 2 ) b c a Una columna iónica en Olimpia, Grecia. 2. b c a 3. b c a LECCIÓN 8.5 El teorema de Pitágoras 537

75 4. a c b 5. Busca un patrón en tu tabla. Para los casos que consideraste, cuál es la relación entre las áreas de los tres cuadrados? 6. Dibuja tu propio triángulo rectángulo en papel de puntos. También se mantiene la relación que describiste en el Problema 5 para tu triángulo? Los problemas de la Serie de problemas A ilustran el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido en la hipotenusa del triángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos en los catetos. Datos de interés Pitágoras vivió hace 2,500 años, pero el famoso teorema que lleva su nombre se dio a conocer aún antes. Los registros muestran que los babilonios entendieron el teorema alrededor de 1,500 a.c., más de 900 años antes de que naciera Pitágoras! Con frecuencia el teorema de Pitágoras se determina de esta forma: Si c es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo y a y b son las longitudes de los catetos, entonces a 2 b 2 c 2. El siguiente diagrama ilustra esta idea. a 2 b 2 b a c c2 a 2 b 2 c CAPÍTULO 8 Geometría y medición

76 MATERIALES 8 copias del triángulo 1 copia de cada cuadrado tijeras A través de la historia, se han encontrado nuevas maneras para probar el teorema de Pitágoras, es decir, para demostrar que siempre es verdadero. En la Serie de problemas B, explorarás una de esas pruebas. Serie de problemas B En este problema, usarás triángulos y cuadrados de papel para construir una prueba del teorema de Pitágoras. Empieza con un triángulo rectángulo con cuadrados dibujados a sus lados. Con cuidado corta ocho copias del triángulo y una copia de cada cuadrado. a c b Usa cuatro copias del triángulo y el cuadrado del lado c, para hacer este cuadrado: Usa cuatro copias del triángulo y los cuadrados de los lados a y b, para hacer este cuadrado: 1. Los dos cuadrados que hiciste tienen la misma área. Explica cómo sabes que esto es verdadero. Ahora quita los cuatro triángulos de cada cuadrado que construiste. 2. Describe lo que queda en cada cuadrado. 3. Explica por qué el área de lo que quedó debe ser la misma para ambos cuadrados. 4. Explica cómo tu trabajo en esta Serie de problemas demuestra que a 2 b 2 c 2. LECCIÓN 8.5 El teorema de Pitágoras 539

77 Comparte & resume Enuncia el teorema de Pitágoras en tus propias palabras. Tal vez quieras hacer un dibujo para ilustrar lo que quieres decir. Investigación 2 Usa el teorema de Pitágoras En esta investigación, tendrás la oportunidad de practicar el uso del teorema de Pitágoras. Serie de problemas C Calcula cada área restante. Luego usa las áreas de los cuadrados para calcular las longitudes laterales del triángulo ? 9 unidad unidad unidad 2 16 unidad 2? 3. 4.? 13 unidad unidad 2? 9 unidad unidad CAPÍTULO 8 Geometría y medición

78 Si conoces las longitudes de cualquiera de los dos lados de un triángulo rectángulo, puedes usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del tercer lado. E J E M P L O Un triángulo rectángulo tiene catetos de 1 pulgada y 2 pulgadas de longitud. Qué tamaño tiene la hipotenusa? 2 pulg 1 pulg? Datos de interés Es posible que los egipcios no conocieran el teorema de Pitágoras, pero los que construyeron las pirámides sabían que un triángulo con longitudes laterales de 3, 4 y 5 unidades debe ser un triángulo rectángulo. Estos antiguos constructores usaron un instrumento de cuerda como el que se muestra aquí para verificar que formaran ángulos rectos perfectos en las esquinas de las pirámides. Si a y b representan las longitudes de los catetos y c representa la longitud de la hipotenusa, el teorema de Pitágoras dice que a 2 b 2 c 2. En el triángulo que se muestra a continuación, a = 1, b = 2 y c es la longitud de la hipotenusa. Entonces, c c 2 5 c 2 Por lo tanto, c 5 o alrededor de 2.24 pulgadas. La gran esfinge en Giza, Egipto LECCIÓN 8.5 El teorema de Pitágoras 541

79 Serie de problemas D Calcula cada longitud lateral faltante. Luego calcula el área del triángulo cm? 7 cm 25 cm? 3. Un jardín rectangular mide 9 metros por 12 metros. Supón que quieres caminar del punto A al punto B. A 4 cm No pise el césped! 9 metros 12 metros B a. Si obedeces el letrero y caminas alrededor del césped, cuánto caminarás? b. Si ignoras el letrero y caminas directamente a través, cuánto caminarás? 4. Un diamante de béisbol es un cuadro que mide 90 pies en cada lado. Cuál es la distancia de la base del bateador a la segunda base? Segunda base Tercera base 90 pies 90 pies Primera base 90 pies 90 pies base del bateador 542 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

80 Datos de interés En Tailandia, la pelea de cometas es un deporte popular. Una competencia de pelea de cometas significa un mínimo de dos cometas pesadas, en forma de estrella llamadas chulas y por lo menos cuatro cometas ligeras, en forma de diamante llamadas pakpaos. Aunque los pakpaos son, por lo general, manipulados por una sola persona, puede requerir hasta 20 personas para manejar un chula. 5. Carolina y Marcus vuelan una cometa. Carolina detiene la cometa y ha soltado 80 pies de cuerda para la cometa. Marcus está parado a 25 pies de Carolina y directamente debajo de la cometa. A qué distancia del suelo se encuentra la cometa? Asume que Carolina detiene la cuerda 3 pies por encima del suelo. Explica cómo calculaste tu respuesta. 6. Las regulaciones de seguridad dicen que las rampas para las sillas de ruedas no pueden ser muy inclinadas. Supón que, por cada pie que se eleva una rampa para sillas de ruedas, ésta debe cubrir una distancia horizontal de por lo menos 11.5 pies. Rampa 11.5 pies Una rampa se construye hacia la entrada de un restaurante que está a 2.5 pies arriba del suelo. a. Qué distancia horizontal requiere la rampa? b. Qué tan larga debe ser la rampa? 3 pies 1 pie 80 pies 11.5 pies 25 pies 7. Reto Calcula los valores de c y h. Explica el método que usaste. 1 pie c h 5 cm 12 cm & Comparte & resume Escribe tu propio problema que pueda resolverse usando el teorema de Pitágoras. Luego demuestra cómo puedes resolver tu problema. LECCIÓN 8.5 El teorema de Pitágoras 543

81 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica Calcula el área exacta de cada figura. Se dibujaron en cuadrícula punteada de 1 centímetro En este ejercicio, observarás la relación entre las áreas de los semicírculos dibujados a los lados del triángulo rectángulo. a. Calcula el área, en unidades cuadradas, para cada semicírculo en este dibujo: a c b b. Calcula el área de cada semicírculo en este dibujo: a c b c. Calcula el área de cada semicírculo en este dibujo: a c b d. En los casos que observaste, hay alguna relación entre las áreas de los tres semicírculos? De ser así, descríbela. 544 CAPÍTULO 8 Geometría y medición impactmath.com/self_check_quiz

82 Calcula cada área faltante cm 2? 1 2 cm 2? 23.5 cm cm2 Calcula la longitud lateral faltante cm? 20 cm 30 cm 12 cm? 8. Los catetos de este triángulo rectángulo tienen la misma longitud. De qué tamaño son?? 10 cm 9. Para garantizar la seguridad de sus trabajadores, una compañía de pinturas requiere que la base de una escalera esté a 1 pie de la pared por cada 4 pies que alcanza en la pared.? a. Si una escalera alcanza 8 pies en la pared, a qué distancia de la pared debería estar su base? b. De qué tamaño debería ser la escalera para alcanzar una altura de 8 pies? 8 pies? c. Reto Qué altura máxima puede alcanzar una escalera de 10 pies? 10. Ciencia física Durante su ascenso inicial, un avión voló 14.4 millas, alcanzando una altitud de 5 millas. Después del ascenso inicial, a qué distancia estaba el avión de su punto de partida, medido a lo largo del suelo? 14.4 millas?? 5 millas LECCIÓN 8.5 El teorema de Pitágoras 545

83 Conecta& amplía Datos de interés La palabra agudo tiene muchos significados. Aquí hay sólo algunos: tener una punta afilada astuto de sabor penetrante vivo, gracioso de alto grado 11. Sabes que un triángulo rectángulo tiene un ángulo que mide 90. En un triángulo acutángulo, los tres ángulos tienen medidas menores que 90. En un triángulo obtusángulo, un ángulo tiene una medida mayor que 90. Triángulo acutángulo Triángulo obtusángulo a. Se dibujan tres triángulos acutángulos sobre la cuadrícula de puntos en centímetros y se dibujan cuadrados a sus lados. Calcula el área de cada cuadrado y anota los resultados en una tabla como la siguiente. Triángulos acutángulos Área de cuadrado Área de cuadrado Área de cuadrado Triángulo del lado a del lado b del lado c I II III b c a III a c b b a I c II 546 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

84 b. Sigue las instrucciones de la Parte a para estos tres triángulos obtusángulos. Triángulos obtusángulos Área de cuadrado Área de cuadrado Área de cuadrado Triángulo del lado a del lado b del lado c I II III III a c b a c II b a b c I Datos de interés La palabra obtuso tiene otros varios significados: torpe lento para entender difícil de comprender c. Basándote en tu trabajo en este ejercicio, cuál de los siguientes enunciados crees que sea verdadero para triángulos acutángulos? Cuál crees que es verdadero para triángulos obtusángulos? i. La suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños es menor que el área del cuadrado grande. Esto es, a 2 b 2 c 2. ii. La suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños es igual que el área del cuadrado grande. Esto es, a 2 b 2 c 2. iii. La suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños es mayor que el área del cuadrado grande. Esto es, a 2 b 2 c 2. LECCIÓN 8.5 El teorema de Pitágoras 547

85 En tus propias palabras Explica qué es el teorema de Pitágoras y cómo se usa para calcular longitudes. 12. El Sr. Mackenzie construyó una mesa. Él tenía la intención de que la mesa fuera rectangular, pero no está seguro de que resultó de esa manera. Midió cuidadosamente la mesa y determinó que las longitudes laterales son de 60 pulgadas y 45 pulgadas y la diagonal es 73.5 pulgadas. Es la mesa un rectángulo? Explica cómo lo sabes. 60 pulg 73.5 pulg 45 pulg 13. Maddie y Jo construyen una cerca y quieren asegurarse que cada poste haga un ángulo de 90 con el suelo. Maddie sostiene un extremo de una pieza de 5 pies de cuerda en un punto a 4 pies arriba en un poste. Jo estira la cuerda tirante y pone el otro extremo en el suelo. 4 pies 5 pies Si el poste hace un triángulo rectángulo con el suelo, qué distancia alcanzará el cordón desde la base del poste? 14. Masako y Kai encontraron el sillón perfecto para su sala, pero no están seguros si va a caber a través del portal. El portal mide 37 pulgadas de ancho y 79 pulgadas de alto. Ellos saben que le pueden quitar las patas al sillón. Esta es una vista lateral del sillón sin sus patas. 27 pulg 27 pulg 39 pulg 39 pulg 548 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

86 El sillón es muy ancho para que quepa si lo cargan verticalmente, pero Marcus piensa que puede caber si lo inclinan así: En este ejercicio, usarás el teorema de Pitágoras para determinar si el sillón cabe a través del portal. a. Explica por qué cada uno de los segmentos punteados que se muestran aquí tienen 12 pulgadas de longitud. Luego calcula la longitud del segmento c y explica cómo lo calculaste. Redondea tu respuesta en décimas de pulgada. c b. Calcula la longitud del segmento d en décimas de pulgada. d c. El segmento b divide el segmento d en mitad. Calcula la longitud del segmento b en décimas. d b d. Cabrá el sillón a través del portal? Explica cómo lo sabes. LECCIÓN 8.5 El teorema de Pitágoras 549

87 Repaso mixto Evalúa cada expresión ( ) Geometría Calcula el área de cada figura cm cm 5 pies cm cm 1 cm 2 cm 2 cm 4 pulg 5 cm 4 pulg 25. Luke se comió 80% de las fresas que recogió. Si recogió 30 fresas, cuántas se comió? 26. La clase de la Sra. Friel tiene 25 alumnos. De estos alumnos, 23 se fueron de paseo al museo. Qué porcentaje de la clase no fue al museo? 27. Estadísticas Jahmal encuestó a alumnos en la cafetería sobre su almuerzo favorito. Determinó que el % prefiere la pizza. Si 80 alumnos le dijeron a Jahmal que prefieren pizza, a cuántos alumnos encuestó? 28. Sinopsis Devon, Kyle y Kristi juegan con la aguja giratoria. Toman turnos para girar la aguja. Cada vez que la aguja cae en azul, Devon anota un punto. Cada vez que cae en verde, Kyle anota un punto. Y cada vez que cae en blanco, Kristi anota un punto. Crees que el juego es justo? Explica. Azul Verde Blanco 550 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

88 Capítulo 8 Repaso & autoevalución V O C A B U L A R I O ángulo agudo área base de un paralelogramo base de un triángulo cuerda circunferencia diámetro altura de un paralelogramo altura de un triángulo hipotenusa operaciones inversas cateto ángulo obtuso paralelogramo cuadrado perfecto perímetro perpendicular radio ángulo recto triángulo rectángulo raíz cuadrada MATERIALES transportador regla cordón Resumen del capítulo En este capítulo, exploraste ideas sobre geometría y medidas. Empezaste trabajando con ángulos. Mediste ángulos y dibujaste ángulos con medidas dadas. Observaste las relaciones entre los ángulos formados por rectas intersecadas y encontraste una regla para calcular la suma de ángulos para un polígono que se basa en el número de ángulos (o lados) que tiene. Después calculaste los perímetros de polígonos sumando las longitudes laterales y estimaste los perímetros de objetos curvos usando un cordón y aproximando con polígonos. También aprendiste que la circunferencia de cualquier círculo dividido por el diámetro es igual a, y usaste este hecho para encontrar la fórmula para el perímetro de un círculo. Aprendiste que el área de una figura es el número de unidades cuadradas que caben dentro de ella. Estimaste áreas de figuras contando cuadrados y aprendiste fórmulas para calcular áreas de rectángulos, paralelogramos, triángulos y círculos. Aprendiste sobre la operación de elevar al cuadrado y cómo se relaciona con las áreas de los cuadrados. Después aprendiste sobre la operación inversa al extraer la raíz cuadrada y calculaste o estimaste las raíces cuadradas de muchos números. Finalmente, investigaste el teorema de Pitágoras, el cual expresa la relación entre las áreas de cuadrados dibujados sobre los lados de un triángulo rectángulo. Estrategias y aplicaciones Las preguntas de esta sección te ayudarán a repasar y aplicar las ideas y estrategias importantes desarrolladas en este capítulo. Mide ángulos y dibuja ángulos con medidas dadas 1. Víctor midió estos ángulos con un transportador. Dijo que ambos ángulos miden 130. a. Cómo sabes que Víctor está equivocado? b. Qué error crees que cometió Víctor? c. Qué consejo le darías para ayudarle a medir ángulos correctamente? 2. Dibuja un ángulo que mida 320 y explica los pasos que seguiste. impactmath.com/chapter_test Repaso y autoevalución 551

89 Calcula y estima perímetros 3. Considera esta figura: a. Describe dos métodos para estimar el perímetro de la figura. b. Usa uno de los métodos que mencionaste en la Parte a para estimar el perímetro de la figura. 4. Menciona si el siguiente diagrama proporciona suficiente información para calcular el perímetro de la figura. Si lo hace, calcula el perímetro. Si no lo hace, menciona qué información adicional necesitarías para calcular el perímetro. 1 cm 1.5 cm 2 cm Datos de interés En 1999, con la ayuda de una computadora, el valor de se calculó con 206 billones de cifras decimales. Si la computadora imprimiera 1,000 dígitos por segundo, tomaría 1 alrededor de 6 2 años imprimir todos esos dígitos decimales! 4.5 cm 1 cm Entiende y la fórmula para la circunferencia de un círculo 5. Explica qué es y cómo se relaciona con la circunferencia de un círculo. 6. Describe cómo puedes calcular la circunferencia de un círculo si conoces su radio. 552 CAPÍTULO 8 Geometría y medición

90 Calcula y estima áreas 7. Si dos figuras tienen el mismo perímetro, deben tener la misma área? Usa palabras y dibujos para ayudarte a explicar tu respuesta. 8. Calcula el área de este paralelogramo en centímetros y explica los pasos que seguiste: 9. En este capítulo, aprendiste cómo calcular el área de un triángulo. a. Describe qué son la base y la altura de un triángulo. b. Explica cómo calcular el área de un triángulo si conoces las longitudes de la base y de la altura. c. Cómo se relaciona el cálculo del área de un triángulo con el cálculo del área de un paralelogramo? 10. Un CD tiene un diámetro de alrededor de 12 cm. El agujero en el centro del CD tiene un diámetro de cerca de 1.5 cm. Calcula el área de un CD, sin incluir el agujero, en décimas de centímetro cuadrado. Explica cómo calculaste tu respuesta. Repaso y autoevalución 553

91 Entiende y aplica las ideas de elevar al cuadrado y extraer la raíz cuadrada 11. En este capítulo, aprendiste cómo elevar un número al cuadrado y cómo extraer la raíz cuadrada de un número. a. Explica lo que significa elevar un número al cuadrado. Da un ejemplo. b. Explica lo que significa sacar la raíz cuadrada de un número. Da un ejemplo. c. Explica cómo sabes que elevar el cuadrado y sacar la raíz cuadrada son operaciones inversas. Da un ejemplo si te ayuda a explicar tu razonamiento. 12. Cómo puedes predecir si el cuadrado de un número será mayor que, menor que o igual al número original? 13. Estima 3 4 en décimas sin usar tu calculadora. Explica cada paso. Entiende y aplica el teorema de Pitágoras 14. El tamaño de un televisor se da en términos la de longitud de la diagonal de su pantalla. Por ejemplo, un televisor de 19 pulgadas tiene una pantalla con una longitud diagonal de 19 pulgadas. 19 pulg La pantalla del televisor de la Sra. Perelló tiene una longitud aproximada de pulgadas y un ancho aproximado de pulgadas. Cuál es el tamaño de su televisor? Escribe tu respuesta en pulgadas y explica cómo lo calculaste. Demuestra tus destrezas Calcula la medida de cada ángulo CAPÍTULO 8 Geometría y medición