Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional. Alvaro Cofré Duvan Henao

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1 Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional Alvaro Cofré Duvan Henao

2 ii

3 Índice general 1 Sistemas de ecuaciones lineales 1 11 El método de eliminación de Gauss 3 12 Determinantes 8 13 Propiedades del determinante Teorema de Laplace La regla de Cramer 25 2 Relaciones de dependencia lineal El espacio vectorial R n Dependencia lineal Dimensión del espacio vectorial R n Rango de un sistema de vectores Rango de matrices y dependencia lineal Equivalencia de matrices Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales Compatibilidad para sistemas no homogéneos Sistemas homogéneos Soluciones para sistemas arbitrarios 53 3 Álgebra de matrices Producto de matrices Matrices inversas Representación matricial de un sistema de ecuaciones Rango de un producto de matrices 61 4 Vectores en R n Propiedades Subespacios de vectores en R n Variedades lineales Subespacios de soluciones 79 5 Distancia y Volumen en R n Métrica euclidiana Volúmenes y determinantes 85 6 Sistemas de coordenadas Transformación de coordenadas Variedades lineales y sistemas de ecuaciones Volúmenes y sistemas de coordenadas cartesianas 97 iii

4 iv ÍNDICE GENERAL 64 Deformación continua de sistemas de coordenadas Construcción de sistemas ortonormales Distancia y Variedades lineales Movimientos Rígidos Movimientos rígidos en R Movimientos rígidos en R Problemas propuestos 125

5 Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales Nota: La palabra número designa a un elemento de un campo K En nuestro caso K es el campo de los números reales o bien el de los complejos Definición 11 Llamaremos ecuación lineal con n incógnitas a una ecuación del tipo a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n = b (11) Los números a 1,, a n se llaman coeficientes de las incógnitas, al número b se le llama término libre Diremos que la colección ordenada de números (k 1, k 2,, k n ) es una solución de la ecuación si Si b = 0 la ecuación se dice homogénea a 1 k 1 + a 2 k a n k n = b Puesto que alguno de los coeficientes a i en (11) debe ser distinto de cero, podemos suponer que a 1 0 Asignemos valores arbitrarios k 2, k 3,, k n a las incógnitas x 2, x 3,, x n, entonces x 1 = b a 2k 2 a 3 k 3 a n k n a 1 ( ) Claramente, la colección ordenada b a2k 2 a nk n a 1, k 2, k 3,, k n es una posible solución de la ecuación Puesto que esta es solución independientemente de cuáles son los valores de k concluimos que (11) tiene infinitas soluciones Definición 12 Sean a 1 x a n x n = c 1 (12) b 1 x b n x n = c 2 (13) Sean α, β números arbitrarios Diremos que la ecuación α(a 1 x a n x n ) + β(b 1 x b n x n ) = αc 1 + βc 2 (14) es combinación lineal de las ecuaciones (12) y (13) 1

6 2 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sea (k 1, k 2,, k n ) una solución común de (12) y (13) Entonces α(a 1 k a n k n ) + β(b 1 k b n k n ) = αc 1 + βc 2 y (k 1, k 2,, k n ) es solución de (14) Se concluye que si una ecuación es combinación lineal de dos o más ecuaciones lineales entonces toda solución común de las ecuaciones que participan en la combinación lineal es solución de la ecuación Nota: A una colección ordenada del tipo (k 1, k 2,, k n ) la llamaremos n-tupla Definición 13 Consideremos el sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incógnitas a 11 x a 1n x n = c 1 a n1 x a mn x n = c m Diremos que la n-tupla (k 1, k 2,, k n ) es solución del sistema si es solución de cada una de las m ecuaciones del sistema Si c 1 = c 2 = = c m = 0 diremos que el sistema es homogéneo Definición 14 Sean a 11 x a 1n x n = c 1 a m1 x a mn x n = c m (15) b 11 x b 1n x n = d 1 b m1 x b mn x n = d m (16) Supongamos que cada ecuación del sistema (15) es combinación lineal de las ecuaciones del sistema (16) y viceversa Diremos que los sistemas (15) y (16) son equivalentes Teorema 15 Dos sistemas equivalentes tienen exactamente las mismas soluciones Demostración: Sea (k 1,, k n ) solución de (15) Considere la primera ecuación de (16) Ella es una combinación lineal de las ecuaciones del primer sistema Puesto que (k 1, k 2,, k n ) es una solución común entonces es solución de la primera ecuación del sistema (16) Razonando análogamente para cada una de las ecuaciones del sistema (16) hemos demostrado que cada solución del sistema (15) es solución del sistema (16) El mismo argumento permite demostrar que toda solución de (16) es solución de (15) Supongamos ahora que (16) no tiene solución Entonces (15) tampoco puede tenerla y viceversa Se concluye que (15) y (16) tienen exactamente las mismas soluciones Definición 16 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución diremos que es compatible Si tiene exactamente una solución diremos que es compatible determinado, si tiene más de una solución diremos que es compatible indeterminado Si no tiene solución diremos que es incompatible

7 11 EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS 3 11 El método de eliminación de Gauss Consideremos el sistema a 11 x a 1n x n = b 1 (17) a m1 x a mn x n = b m Caso 1: El coeficiente de x 1 es distinto de cero en alguna de las ecuaciones En tal caso podemos suponer que a 11 0 (si es necesario reordenamos las ecuaciones) Caso 2: Si a ij = 0, j = 1,, m simplemente tenemos un sistema de m ecuaciones con n 1 incógnitas Supongamos entonces que a 11 0 Reemplacemos el sistema (17) por un nuevo sistema equivalente, que por lo tanto tiene exactamente las mismas soluciones que (17) Denotemos por EC i a la i-ésima ecuación del sistema (17) Construyamos el nuevo sistema definiendo sus ecuaciones de la manera siguiente: Ecuación 1 = EC 1 Ecuación 2 = EC 2 a 21 EC 1 a 11 Ecuación 3 = EC 3 a 31 a 11 EC 1 Ecuación m = EC m a m1 EC 1 a 11 Obtenemos así un nuevo sistema equivalente a (17) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 22x a 2nx n = b 2 a 32x a 3nx n = b 3 a m2x a mnx n = b m (18) Nota: Cada una de las ecuaciones de (17) se puede reconstruir fácilmente como combinación lineal de las ecuaciones de (18), es por esto que son equivalentes Caso 1: El coeficiente de x 2 es distinto de cero en alguna de las ecuaciones 2, 3,, m Caso 2: Si a 2j = 0 j = 2, 3,, m, procedemos a la eliminación de la incógnita x 3 Supongamos entonces que a 22 0, hacemos lo mismo en (18) Denotemos por EC i a la ecuación i-ésima del sistema, y por EC i a la ecuación i-ésima del sistema a construir

8 4 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definimos entonces al nuevo sistema por EC 1 = EC 1 EC 2 = EC 2 EC EC 3 = EC 3 a 32 4 = EC 4 a 42 a EC 2 22 a EC 2 22 EC m = EC m a m2 a EC 2 22 Obtenemos así un sistema equivalente a (18) (y por lo tanto equivalente a (17)) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 22x 2 + a 23x a 2nx n = b 2 a 33x a 3nx n = b 3 a m3x a mnx n = b m Nota: Si en alguna parte del proceso alguna ecuación tiene todos los coeficientes y el término libre iguales a cero, podemos suprimirla puesto que la ecuación 0 x x x n = 0 es satisfecha por cualquier n-tupla (k 1, k 2,, k n ) Sin en alguna parte del proceso alguna ecuación tiene todos los coeficientes iguales a cero y el término libre distinto de 0 debemos concluir que el sistema es incompatible Supongamos que el sistema es compatible En tal caso pueden presentarse sólo dos situaciones: i) Después de k 1 etapas, las incógnitas x k+1, x k+2,, x n quedan todas eliminadas producto de suprimir ecuaciones del tipo 0 x x n = 0 En tal caso el sistema queda con forma trapezoidal a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1k x k + a 1n x n = b 1 a 22x 2 + a 23x a 2kx k + + a 2nx n = b 2 a 33x a 3kx k + + a 3nx n = b 3 a (k 1) kk x k + + a (k 1) kn x n = b (k 1) k, con a 11 0, a 22 0,, a (k 1) kk 0, donde k < m y k < n Como a (k 1) kk 0 podemos asignar valores arbitrarios a x k+1, x k+2,, x n en la última ecuación y despejar x k Luego reemplazamos en la penúltima ecuación y despejamos x k 1 y así sucesivamente hasta llegar hasta x 1 Hemos obtenido así una solución que depende de n (k 1) parámetros arbitrarios (nadie afirma que sea la única), el

9 11 EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS 5 sistema es compatible indeterminado Ejemplo: Eliminemos x 1 : Eliminemos x 2 : x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 x 4 = 0 3x x 2 + 3x 3 + x 4 = 2 2x 1 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 = 2 x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 3x 2 3x 3 2x 4 = 1 3x 2 3x 3 2x 4 = 1 0 x x x 4 = 0 x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 1 3x 2 3x 3 2x 4 = 1 0 x x 4 = 0 Tenemos k = 3 Tenemos una solución que depende de 4 (3 1) parámetros arbitrarios En la segunda ecuación sea x 3 = λ, x 4 = µ entonces x 2 = 1 3 [3λ+2µ 1] Reemplazando en la primera se tiene x 1 = 1 3 [3λ + 2µ 1] 2λ + µ + 1 = λ µ Obtenemos así una solución [ λ µ + 2 3, λ µ 1 3, λ, µ] donde λ y µ son números arbitrarios Tenemos entonces infinitas soluciones, una para cada par de valores de λ y µ ii) Si k = n el sistema tiene forma triangular a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 22x a 2nx n = b 2 a (n 1) nn x n = b (n 1) n Es claro que en este caso el sistema tiene exactamente una solución puesto que la última ecuación determina el valor de x n en forma única y la penúltima determina el valor de x n 1 en forma única, etc Ejemplo: x 1 + x 2 + x 3 = 0 2x 1 + 2x 2 x 3 = 1 x 1 + x 2 3x 3 = 1

10 6 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Eliminemos x 1 : x 1 + x 2 + x 3 = 0 3x 3 = 1 2x 2 2x 3 = 1 Reordenemos las ecuaciones: x 1 + x 2 + x 3 = 0 2x 2 2x 3 = 1 3x 3 = 1 Luego x 3 = 1 3, 2x 2 = 2( 1 3 ) + 1 x 2 = 1 6, x 1 = = 1 6 Si el sistema es homogéneo, puesto que (0, 0,, 0) es siempre solución tenemos sólo las alternativas de compatible determinado si k = n y compatible indeterminado si k < n Tenemos así: Todo sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas con m < n es compatible indeterminado (sólo puede ser reducido a la forma trapezoidal) Llamaremos matriz del sistema al cuadro rectangular de m n números a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn y matriz ampliada del sistema a a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m Estas definiciones permiten escribir un sistema en forma sintética Ejemplo: El sistema puede escribirse como x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 9 x 1 x 2 + 3x 3 = 2 3x 1 6x 2 x 3 = y pueden hacerse las mismas transformaciones que realizaríamos con las ecuaciones del sistema con las filas de la matriz ampliada, así eliminando x 1 obtenemos

11 11 EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS 7 Eliminando x 2 : luego x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1 Ejemplo: Resolver el sistema Eliminamos x 1 : Antes de eliminar x 2, restemos la segunda ecuación a la cuarta Podemos ver de inmediato que el sistema es incompatible Ejemplo: Resolver el sistema Puesto que el sistema es homogéneo, omitimos la columna de los términos libres y permutamos la primera y la tercera ecuación: Tomemos x 4 = λ arbitrario entonces x 3 = 4 5 λ luego y 7x 2 + 4λ 11λ = 0 x 2 = λ x 1 = 2λ λ 3λ = 3 5 λ

12 8 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 12 Determinantes El método de Gauss nos permite resolver un sistema de ecuaciones pero no proporciona un criterio de compatibilidad en términos de los coeficientes de las incógnitas y los términos libres, menos aún una fórmula que permita encontrar los valores de las incógnitas Sin embargo, una modificación de dicho método aplicado a sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y tres ecuaciones con tres incógnitas permite deducir la llamada regla de Cramer, previa introducción de un nuevo ente matemático: el determinante Primero nos abocaremos a la tarea de introducir esta nueva noción para lo cual necesitamos algunos conceptos auxiliares Sea M un conjunto finito formado por n elementos a los cuales ponemos etiquetas distintas con los números 1, 2,, n Podemos llamar i 1 al objeto que tiene la etiqueta con el número 1, i 2 al objeto que tiene la etiqueta con el número 2,, i n al objeto que tiene la etiqueta con el número n Decimos que i 1, i 2,, i n constituyen un conjunto de n símbolos y como la naturaleza de los objetos no va a jugar papel alguno en lo que sigue supondremos simplemente que el conjunto de n símbolos está formado por los números 1, 2,, n Dichos símbolos pueden ser ordenados en una fila de diversas maneras Por ejemplo, si n = 3 podemos ordenarlos de 6 maneras distintas, a saber: 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, En general, si tenemos n símbolos, el primero de una fila puede ser elegido de n maneras Por cada una de ellas tenemos n 1 maneras de elegir el segundo Por cada una de las n(n 1) maneras de elegir los dos primeros tenemos n 2 maneras de elegir el tercero, así para elegir los tres primeros tenemos n(n 1)(n 2) maneras Continuando la argumentación hasta agotar los recursos tenemos que con n símbolos podemos formar n(n 1)(n 2) (n (n 2))(n (n 1)) = n! filas distintas A cada una de las filas la llamaremos una permutación de ellos y a la fila n que sigue el orden natural la llamaremos permutación natural Definición 17 Si en una permutación cualquiera intercambiamos dos símbolos cualesquiera (no necesariamente contiguos) dejando todos los demás en su sitio obtenemos una nueva permutación Decimos que esta nueva permutación ha sido obtenida de la original mediante una trasposición Por ejemplo, si n = 5, se obtiene de la permutación natural intercambiando 1 y 5 Teorema 18 Consideremos las n! permutaciones de n símbolos Ellas pueden ser escritas en una lista tal que cada permutación que aparece en la lista puede ser obtenida de la anterior mediante una trasposición, y la lista puede empezar con cualquiera de ellas Demostración: El teorema es cierto para n = 2 Supongamos que ha sido demostrado para n = k y consideremos todas las permutaciones de k + 1 símbolos Empecemos la lista con una cualquiera de ellas, digamos i 1 i 2 i 3 i k i k+1

13 12 DETERMINANTES 9 y a continuación escribamos todas aquellas que empiezan con i 1 las cuales son k! Como el símbolo i 1 queda fijo, cada una de ellas puede ser considerada como una permutación de k símbolos y por lo tanto, por la hipótesis de inducción, pueden ser escritas en una lista en que cada una difiere de la anterior en una trasposición llevada a cabo en los símbolos i 2, i 3,, i k+1 y empezando precisamente con i 1 i 2 i 3 i k i k+1 Veamos la última de esta lista preliminar En ella transpongamos i 1 con i 2 y repitamos el proceso Por este método construímos una lista de permutaciones donde hay k! permutaciones que empiezan con i 1, k! que empiezan con i 2,, k! que empiezan con i k+1 ; en total k!(k + 1) = (k + 1)! permutaciones distintas en que cada una difiere de la anterior en una trasposición Corolario 19 Dada una permutación de n símbolos, a partir de ella es posible obtener otra cualquiera mediante una sucesión de transposiciones Definición 110 Sea i 1 i 2 i n una permutación cualquiera Diremos que los símbolos i s e i t forman una inversión si i s > i t pero s < t Por ejemplo, si n = 5 en i 1 = 3, i 2 = 2, i 3 = 4, i 4 = 1, i 5 = Entonces i 1 e i 2 forman una inversión: i 1 > i 2 pero s = 1 < t = 2 i 3 e i 4 forman una inversión: i 3 > i 4 pero s = 3 < t = 4 Definición 111 Una permutación se dice par si sus símbolos forman un número par de inversiones, impar si forman un número impar de inversiones Por ejemplo, si n = 6, es impar, es par Teorema 112 Una trasposición cambia la paridad de una permutación Demostración: Supongamos que los símbolos a trasponer son contiguos i 1 i 2 k l i n Al trasponer obtenemos i 1 i 2 l k i n donde la disposición de k y l con respecto a los restantes n 2 símbolos no ha cambiado luego al pasar de k l a l k quitamos una inversión o agregamos una Supongamos ahora que entre k y l hay s símbolos k i r i r+1 i r+s 1 l Pasamos a i r i r+1 i r+s 1 l k mediante s+1 trasposiciones y luego a l i r i r+1 i r+s 1 k mediante s trasposiciones más En total para obtener la última permutación de la primera realizamos 2s + 1 trasposiciones de términos contiguos, cada una de las cuales cambió la paridad de la permutación (primera parte de la demostración) luego si era par ahora es impar y viceversa

14 10 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Corolario 113 El número de permutaciones pares es igual al número de permutaciones impares Demostración: Hagamos una lista en que cada una difiere de la anterior por una trasposición Como para n 2 n! es par hay n! 2 de cada tipo Definición 114 Sea M el conjunto de n símbolos, sea f : M M 1-1 y sobre Diremos que f es una sustitución de grado n Sean i 1 i 2 i n y α i1 α i2 α in dos permutaciones de M, sea A el cuadro α i1 α i2 α in ( i1 i 2 i n ) (19) Podemos interpretar el cuadro de la siguiente manera: la primera fila es el dominio M de una función f : M M y la segunda fila es su recorrido de modo tal que f(i j ) = α ij, j = 1, 2,, n A la inversa, cada función f : M M que sea 1-1 y sobre puede ser representada por uno de estos cuadros Es claro que podemos identificar al conjunto de estos cuadros con el de las sustituciones de grado n; también es claro que cada sustitución admite diversas representaciones, por ejemplo ( ), ( representan la misma sustitución de grado 3 En general, lo que define a (19) es la asignación f(i j ) = α ij luego siempre es posible obtener, mediante trasposiciones de columnas, una representación de la forma ( ) n (110) α 1 α 2 α 3 α n Lo que no se puede hacer es intercambiar el orden de las dos filas porque ellas juegan distintos papeles, así ( ) y ) ( son distintas sustituciones de grado 4, en la primera f(2) = 4 en tanto que en la segunda f(2) = 3 De (110) es claro que hay n! sustituciones de grado n Volvamos a (19) y consideremos la paridad de ambas filas Cualquier trasposición de dos columnas de (19) hace cambiar solidariamente la paridad de ambas filas, si ellas tienen la misma paridad en una representación ellas tendrán la misma paridad en cualquier otra, análogamente para el caso de paridad opuesta Se concluye que el que ambas filas tengan la misma paridad o paridad opuesta no depende de la representación de la sustitución luego podemos definir ) Definición 115 Diremos que una sustitución de grado n es par si en alguna representación ambas filas tienen la misma paridad y diremos que es impar si en alguna representación ambas tienen paridad opuesta

15 12 DETERMINANTES 11 Nota: La sustitución identidad ( n n ) se considera par De (110) se concluye que hay n! n! 2 sustituciones pares y 2 sustituciones impares (n 2) También es claro que si una sustitución de grado n es par la suma del número de inversiones de ambas filas es par y si es impar dica suma también es impar Se concluye que para juzgar la paridad de una sustitución de grado n es conveniente favorecer la representación ( ) n α 1 α 2 α 3 α n Puesto que la primera fila tiene 0 inversiones, la paridad de la sustitución está determinada por el número de inversiones de la permutación α 1 α 2 α n ( ) ( Ejemplo: es la misma sustitución de grado 5 que Puesto que la permutación presenta cinco inversiones tenemos que la sustitución dada es impar Estamos listos para introducir el concepto de determinante Sea a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (a ij ) a n1 a n2 a nn ) una matriz cuadrada de orden n Consideremos todos los productos posibles de n elementos de (a ij ) donde cada producto contiene exactamente un elemento de cada fila y uno de cada columna, esto es, todos los productos de la forma a 1α1 a 2α2 a nαn (111) donde α 1 α 2 α n es una permutación de los índices 1,2,, n Puesto que para formar (111) podemos elegir primero un elemento de la primera fila de (a ij ), a saber a 1α1, luego uno de la segunda fila, a saber a 2α2 (donde a 2α2 no puede estar en la columna α 1, esto es, α 1 α 2 ), luego uno de la tercera fila a saber a 3 α 3 (donde a 3α3 no puede estar en las columnas α 1 o α 2, esto es α 1 α 2 α 3 ) y así continuamos hasta la fila n, podemos concluir que hay n! de estos productos ya que en (111) los índices fila siempre pueden escribirse en el orden natural Cada uno de los productos (111) tiene naturalmente un signo Si la sustitución ( n α 1 α 2 α 3 α n ) es par le mantenemos dicho signo, si es impar lo multiplicamos por -1 A la suma algebráica de estos n! productos de la forma (111) con los signos adjudicados mediante la regla recién enunciada lo llamaremos determinante de orden n correspondiente a la matriz (a ij ) Si n = 1 diremos que a 11 es el determinante de

16 12 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES orden 1 de la matriz (a 11 ) Al determinante de la matriz (a ij ) lo denotaremos por a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det(a ij ) a n1 a n2 a nn Ejemplo: Sea (a ij ) = Hay 6 productos de la forma (111) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 1α1 a 2α2 a 3α3 donde debemos rellenar α 1, α 2, α 3 con todas las permutaciones posibles de los índices 1,2,3 Los 6 productos posibles son a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 correspondientes a las permutaciones pares 1 2 3, 2 3 1, 3 1 2, ellos mantienen su signo Los otros 3 son a 12 a 21 a 33 correspondientes a las permutaciones impares 2 1 3, 1 3 2, 3 2 1, a 11 a 23 a 32 ellos deben ser multiplicados por -1 Luego a 13 a 22 a 31 det(a ij ) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a Propiedades del determinante Definición 116 Sea (a ij ) una matriz cuadrada de orden n A la matriz cuadrada de orden n (b ij ), donde b ij = a ji i = 1, 2,, n, j = 1, 2,, n la llamaremos la traspuesta de (a ij ), se anota (b ij ) = (a ij ) t Es claro que (b ij ) se obtiene de (a ij ) poniendo las filas de a ij como columnas de b ij Ejemplo: En general si (a ij ) = (a ij ) = (a ij ) t = a 11 a 12 a 1n a 11 a 21 a n1 a 21 a 22 a 2n (a ij) t a 12 a 22 a n2 = a n1 a n2 a nn a 1n a 2n a nn

17 13 PROPIEDADES DEL DETERMINANTE 13 Nota: Cada producto a 1α1 a 2α2 a nαn Propiedad 1: det(a ij ) = det(a ij ) t se llama un término del determinante Es evidente que ambos determinantes tienen los mismos términos, hay que demostrar que el mismo término tiene el mismo signo en det(a ij ) y en det(a ij ) t Sea a 1α1 a 2α2 a nαn un término de det(a ij ) Si llamamos (b ij ) = (a ij ) t tal término es en det(b ij ) b α11b α22 b αnn Si reordenáramos los factores de modo que el producto quede en la forma canónica b 1γ1 b 2γ2 b nγn esto sería lo mismo que llevar la sustitución ( ) ( ) α1 α 2 α n n a la forma 1 2 n γ 1 γ 2 γ 3 γ n ( ) α1 α Pero esta última tiene la misma paridad que 2 α n la cual a su vez ( 1 2 ) n n tiene la misma paridad que (la suma del número de inversiones es la α 1 α 2 α 3 α n misma) Se concluye que a 1α1 a 2α2 a nαn det(b ij ) tiene el mismo signo considerado como término de De la propiedad 1 se deduce que cualquier afirmación sobre las filas del determinante es válidad para sus columnas y viceversa, por esta razón las propiedades que siguen sólo se demostrarán para las filas del determinante Propiedad 2: Si para algún i, 1 i n, a ij det(a ij ) = 0 = 0 j = 1, 2,, n entonces En efecto, cada término contiene un factor de la i-ésima fila (definición de determinante) luego todos los términos son iguales a cero Propiedad 3: Si un determinante se obtiene de otro permutando dos filas todos los términos del primer determinante serán términos del segundo pero con signos contrarios, es decir, al permutar dos filas el determinante sólo cambia de signo Supongamos que permutamos las filas i y j, i < j Sea (b ij ) la matriz que se obtiene al permutar las filas Consideremos un término cualquiera del determinante original, a 1α1 a 2α2 a iαi a jαj a nαn y su signo está determinado por la paridad de ( ) 1 2 i j n α 1 α 2 α i α j α n

18 14 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES En el nuevo determinante él es b 1α1 b 2α2 b jαi b iαj b nαn (a iαi pasa a la fila j pero permanece en la columna α i, análogamente para a jαj ) y su signo está determinado por la paridad de ( 1 2 j i n α 1 α 2 α i α j α n ) Puesto que 1 2 j i n se obtiene de 1 2 i j n mediante una trasposición, ambas permutaciones tienen paridad contraria y por consiguiente ambas sustituciones tienen paridad contraria Se concluye que a 1α1 a 2α2 a nαn aparece en el nuevo determinante con signo opuesto al que tenía en el determinante original Propiedad 4: Un determinante con dos filas iguales es igual a cero Supongamos que det(a ij ) = d y supongamos que las filas i, j son iguales Entonces al intercambiar las filas i, j obtenemos el mismo determinante, pero por la propiedad 3, obtenemos el determinante con signo opuesto luego d = d d = 0 Propiedad 5: Si se multiplican todos los elementos de una fila del determinante por un número k, el determinante queda multiplicado por k Supongamos que multiplicamos todos los elementos de la fila i por k Por la definición de determinante cada término queda multiplicado por k Nota: El factor común de todos los elementos de una fila puede ser extraído como un factor del determinante Ejemplo: a b c d e f = a b c d e f Propiedad 6: Un determinante con dos filas proporcionales es igual a cero Supongamos que a ir = ka jr r = 1, 2,, n Por la propiedad 5 es posible extraer factor común de la fila j, queda así un determinante con dos filas iguales Propiedad 7: Escribamos la i-ésima fila de det(a ij ) como a ij = b j + c j j = 1, 2,, n Entonces det(a ij ) es igual a la suma de dos determinantes cuyas filas son, salvo la fila i, las mismas que las del original, y la fila i del primer sumando es b 1 b 2 b n y la fila i del segundo sumando es c 1 c 2 c n

19 13 PROPIEDADES DEL DETERMINANTE 15 En efecto, a 1α1 a 2α2 a nαn = a 1α1 a 2α2 (b j + c j ) a nαn = a 1α1 b j a nαn + a 1α1 c j a nαn Pero el primer sumando es un término del determinante original salvo que su fila i ha sido reemplazada por b 1 b 2 b n, análogamente para el segundo sumando Ejemplo: a b c d e f = a b c d e f = a b c d e f a b c d e f Definición 117 Diremos que la i-ésima fila de det(a ij ) es combinación lineal de las demás filas del determinante si hay constantes k 1, k 2,, k i 1, k i+1,, k n tales que i 1 a ij = k r a rj + k r a rj j = 1, 2,, n r=1 r=i+1 Ejemplo: Consideremos el determinante a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 1 + 2b 1 a 2 + 2b 2 a 3 + 2b 3 La tercera fila es combinación lineal de las filas 1 y 2, k 1 = 1, k 2 = 2, entonces a 3j = 2 b r a rj j = 1, 2, 3 r=1 Nota: Es posible que algunos de los k r sean iguales a cero En tal caso la fila i es combinación lineal de algunas de las restantes filas pero con la argucia de tomar los restantes k r como iguales a cero podemos fingir que es combinación lineal de todas las filas En el caso en que todos los k r menos uno sean iguales a cero, por ejemplo k j 0, obtenemos que la fila i, i j es combinación lineal de la fila j, esto es, la fila i es proporcional a la fila j Se concluye que la proporcionalidad se puede considerar como un caso particular de combinación lineal Propiedad 8: Si una de las filas del determinante es combinación lineal de las demás, el determinante es igual a cero Supongamos que la i-ésima fila es combinación lineal de las demás filas Descompongamos el determinante en una suma de determinantes cuyas filas son todas iguales a las del determinante original salvo la i-ésima, tal como lo permite la propiedad 7 Cada uno de estos, o bien tiene una fila de ceros, o bien tiene dos filas proporcionales, en ambos casos el sumando en cuestión es igual a cero

20 16 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Propiedad 9: El determinante no cambia si a los elementos de una fila se agregan los elementos de otra fila multiplicados por un mismo número Supongamos que a la i-ésima fila se le agrega la j-ésima multiplicada por k Obtenemos un determinante cuya i-ésima fila es a ir + ka jr, r = 1, 2,, n Tal como antes usamos la propiedad 7 Nota: Es claro que el determinante no cambia si a una fila se le agrega una combinación lineal de las demás Ejemplo: Calcule = am + bp cm + dp an + bq cn + dq usando la propiedad 7 = am an am + dp cn + dq + bp bq cm + dp cn + dq = am an cm cn + am an dp dq + bp bq cm cn + bp bq dp dq = 0 + ad m n p q + bc p q m n + 0 usando la propiedad 3 = ad p q m n + bc p q m n = (bc ad) p q m n Ejemplo: Calcule Por la propiedad 5 = = , aplicando la propiedad 9 las filas 2, 3, 4, 5 tenemos: =

21 13 PROPIEDADES DEL DETERMINANTE 17 Por definición de determinante, todos los términos deben contener exactamente un elemento de la primera columna, luego sobreviven sólo aquellos sumandos que contienen a a 11 = 1 y exactamente un elemento de las filas 2, 3, 4, 5 y un elemento de las columnas 2, 3, 4, 5 Entonces un término típico del desarrollo es de la forma 1 a 2α2 a 3α3 a 4α4 a 5α5 cuyo signo está dado por la sutitución ( ) α 2 α 3 α 4 α 5 la cual tiene la misma paridad que la sustitución de grado 4 ( α 2 α 3 α 4 α 5 ) (el conjunto M de símbolos es 2, 3, 4, 5) puesto que 1 no forma ninguna inversión con los restantes símbolos Se concluye que = = = = = = = = = = = = = 952 Ejemplo: Encuentre las raíces de x = x 2 Para x = 1 y para x = 1 las dos primeras filas quedan iguales luego el polinomio es divisible por (x 1)(x + 1) Análogamente para las filas 3 y 4 con x = ±2 Luego el determinante (que es un polinomio de grado 4) es de la forma c(x 2 4)(x 2 1), nos

22 18 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES falta el valor de c Haciendo x = 0 tenemos c = = Utilizando la misma argumentación que en el ejercicio anterior vemos que un término típico del determinante es a 1α1 a 2α2 a 3α3 a 44, (a 44 = 4) luego c = = = luego c = 3 Ejemplo: Calcule el determinante de la matriz de n n dada por { a si i j a ij = x si i = j Sumando a la primera columna todas las demás queda el siguiente determinante: a i1 = x + (n 1)a, i = 1, 2,, n a 1j = a, j = 2, 3,, n a ij = a, i j, i = 2, 3,, n, j = 2, 3,, n a ii = x, i = 2, 3,, n Luego el determinante es igual a [x + (n 1)a], donde es el determinante dado por a i1 = 1, i = 1, 2,, n a 1j = a, j = 2, 3,, n a ij = a, i j, i = 2, 3,, n, j = 2, 3,, n a ii = x, i = 2, 3,, n Restemos la primera fila a todas las demás filas, aplicamos la misma argumentación que en ejercicios anteriores y tenemos que el determinante pedido es [x + (n 1)a]d donde d es un determinante de orden (n 1) dado por { 0 i j a ij = x a i = j, i = 2, 3,, n El único término distinto de cero de dicho determinante es (x a)(x a) (x a) (n 1 veces) y su signo está dado por ( 2 3 n ) 2 3 n luego el determinante pedido vale [x + (n 1)a](x a) n 1 Ejemplo: Calcule el determinante de Vandermonde a 1 a 2 a n = a 2 1 a 2 2 a 2 n a n 1 1 a n 1 2 a n 1 n

23 14 TEOREMA DE LAPLACE 19 En forma sucesiva restamos a la fila k la fila k 1 multiplicada por a 1, k = n, n 1, n 2,, 2 Entonces = a 2 a 1 a 3 1 a n a 1 0 a 2 (a 2 a 1 ) a 3 (a 3 a 1 ) a n (a n a 1 ) 0 a2 n 2 (a 2 a 1 ) a n 2 3 (a 3 a 1 ) a n 2 n (a n a 1 ) = (a 2 a 1 )(a 3 a 1 ) (a n a 1 )d donde d es un determinante de Vandermonde de orden n 1 Por demostrar: El determinante de Vandermonde es igual al producto de todas las diferencias posibles a i a j, 1 j < i n La afirmación es verdadera para n = 2 y acabamos de demostrar que si es válida para n 1 también es válida para n 14 Teorema de Laplace Puesto que es difícil calcular un determinante usando directamente la definición, buscaremos un teorema que reduzca el cálculo de un determinante de orden n a uno de n 1, lo cual permite, en principio, remontarse al cálculo de determinantes de orden 2 Definición 118 Sea d un determinante de orden n, sea k entero, 1 k n 1 En la matriz (a ij ) elegimos arbitrariamente k filas y k columnas Consideremos la matriz formada por los elementos que están en las intersecciones de las k filas y k columnas elegidas Al determinante de orden k de esta matriz se le llama menor de orden k del determinante d (es el determinante que se obtiene de borrar n k filas y n k columnas de d) Ejemplo: Sea d = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 Un menor de orden 1 se obtiene escogiendo la fila 2 y la columna 3, el menor es a 23 = a 23 Un menor de orden 2 se obtiene escogiendo las filas 2,3 y las columnas 2, 4, el menor es a 22 a 24 a 32 a 34 Si borramos la fila 1 y la columna 1 obtenemos el menor de orden 3 dado por a 22 a 23 a 24 a 32 a 33 a 34 a 42 a 43 a 44

24 20 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición 119 Sea M un menor de orden k de d, 1 k n 1 Suprimamos las k filas y las k columnas en cuyas intersecciones se encuentra M Las restantes (n k) filas y (n k) columnas forman un menor M llamado el menor complementario de M En el ejemplo previo, el menor complementario de a 22 a 24 a 32 a 34 es a 11 a 13 a 41 a 43 Definición 120 Supongamos que el menor M de orden k se encuentra en las filas i 1, i 2,, i k y en las columnas j 1, j 2,, j k, sea M su menor complementario Si S M = i 1 + i i k + j 1 + j j k, llamaremos adjunto de M a ( 1) S M M En el ejemplo previo, el adjunto de a 22 a 24 a 32 a 34 es ( 1) a 11 a 13 a 41 a 43 Lema 121 Sea d un determinante de orden n, sea M un menor de orden k, sea M su menor complementario Sea A un término de M (con el signo que tiene en M), sea B un término de M (con el signo que tiene en M ) Entonces ( 1) S M AB es un término de d (con el signo que le corresponde en d) Demostración: Supongamos que M está formado por las primeras k filas y primeras k columnas Como S M = 2( k), ( 1) S M = 1 Sea A = a 1α1 a 2α2 a kαk, su signo está determinado por la sustitución ( ) k, α 1 α 2 α 3 α k sea l su número de inversiones Un término cualquiera de M es B = a (k+1)βk+1 a (k+2)βk+2 a nβn, su signo en M está dado por β k+1 β k+2 β n ( k + 1 k + 2 n ) sea l su número de inversiones AB tiene exactamente un factor de cada fila y cada columna de d luego es un término de d El signo de AB en el producto MM está determinado por ( 1) l+l, su signo en d está determinado por la sustitución ( ) 1 2 k k + 1 k + 2 n α 1 α 2 α k β k+1 β k+2 β n Pero como los α no pueden formar inversión con los β, ella tiene l + l inversiones, su signo en d también está determinado por ( 1) l+l,

25 14 TEOREMA DE LAPLACE 21 Supongamos ahora que M está formado por las filas i 1 < i 2 < < i k y las columnas j 1 < j 2 < < j k Llevemos el menor M al ángulo superior izquierdo, esto es, mediante trasposiciones de filas y trasposiciones de columnas formamos un nuevo determinante cuyas primeras k filas y primeras k columnas son las k filas y k columnas de M Para esto llevamos a cabo (i 1 1) + (i 2 2) + + (i k k) = i 1 + i i k trasposiciones de filas y (j 1 1) + (j 2 2) + + (j k k) = j 1 + j j k trasposiciones de columnas, el nuevo determinante d es igual a pero k(k + 1) es par luego d = ( 1) S M d ( 1) i 1+i 2 + +i k +j 1 +j 2 + +j k k(k+1) d, k(k + 1) 2 k(k + 1) 2 Puesto que en el proceso indicado no cambian ni las filas ni las columnas que constituyen a M ni tampoco su orden relativo, M sigue siendo el menor complementario de M en d Sea A un término de M, B un término de M Como el orden relativo de las filas y columnas de M no ha cambiado, A sigue teniendo el mismo signo como término de M en la nueva posición de M, análogamente para B Entonces, por la primera parte de la demostración, AB es un término de d Pero todos los términos de d son términos de d si los multiplicamos por ( 1) S M puesto que ( 1) S M d = ( 1) 2S M d = d luego ( 1) S M AB es un término de d El lema nos permite reducir el cálculo de un determinante de orden n a un determinante de orden n 1 Notación: Sea M = a ij un menor de 1 1 del determinante d Su menor complementario es de orden (n 1) y lo designaremos por M ij Designaremos por A ij = ( 1) i+j M ij al adjunto de M Teorema 122 Sea i una fila cualquiera de d Entonces d = a ij A ij j=1 Demostración: Por el lema, cada término del desarrollo a ij A ij es un término de d con el signo que le corresponde en d Sea A un término del desarrollo a ir A ir, si j r, A no puede ser un término del desarrollo a ij A ij puesto que A contiene al elemento a ir de la i-ésima fila en tanto que a ij A ij contiene al elemento a ij de la i-ésima fila, j r El desarrollo a ij A ij contiene (n 1)! términos de d con el signo que les corresponde en d, a ij A ij contiene n(n 1)! términos distintos de d con el signo que les corresponde j=1 en d y puesto que d consta de n! términos se tiene que a ij A ij es d j=1

26 22 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Notación: Diremos que de la i-ésima fila a ij A ij es el desarrollo del determinante por los adjuntos j=1 Es obvio que también es posible desarrollar el determinante por los adjuntos de una columna cualquiera Ejemplo: Desarrollar d = por los adjuntos de la tercera fila d = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)3+4 ( 1) Del ejemplo se concluye que mientras más ceros tiene la fila, más fácil es el desarrollo Así, usando sistemáticamente las propiedades del determinante es posible transformarlo de modo que quede una fila que tiene un 1 y (n 1) ceros, así el cálculo de un determinante de orden n se reduce al cálculo de un sólo determinante de orden n 1 Ejemplo: Sea d = Realice las siguientes transformaciones: Sume a la segunda fila tres veces la quinta fila Reste a la cuarta fila cuatro veces la quinta fila Luego desarrolle por los adjuntos de la tercera columna, se obtiene d = ( 1) En este último determinante realice las siguientes transformaciones:

27 14 TEOREMA DE LAPLACE 23 Sume a la primera fila dos veces la segunda fila Reste a la tercera fila tres veces la segunda fila Reste a la cuarta fila dos veces la segunda fila Luego desarrolle por los adjuntos de la primera columna, se obtiene d = = { } = = = 8{ 13( ) + 36(25 34)} = 8{ } = = 1032 Corolario 123 Sea i j, entonces Demostración: a ik A jk = 0 a ij A jk puede interpretarse como el desarrollo por los adjuntos de la j-ésima fila de un determinante igual al original salvo que la j-ésima fila es b jk = a ik k = 1, 2,, n Pero éste es un determinante cuya i-ésima fila y j-ésima fila son iguales luego vale cero Definición 124 Una matriz a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn se dice triangular superior si a ij = 0 siempre que i > j, o bien triangular inferior si a ij = 0 siempre que i < j Teorema 125 El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de los elementos en su diagonal Demostración: Claramente el teorema es cierto si n = 1 Sea d el determinante de la matriz (a ij ) Supongamos que la matriz es triangular superior y desarrollemos por los adjuntos de la primera columna, obtenemos d = a i1 A i1 = a 11 A 11, pero A 11 es el determinante de la matriz que resulta de eliminar la primera fila y la primera columna, que es también triangular superior Luego si suponemos cierto el teorema para matrices de n 1 filas y n 1 columnas tenemos que A 11 = a 22 a 33 a nn, de donde se tiene que el teorema es cierto por inducción Si la matriz es triangular inferior, su traspuesta es triangular superior y los elementos de su diagonal permanecen invariantes

28 24 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Teorema 126 (Laplace) Sea d un determinante de orden n, sea 1 k n 1 Elijamos k filas (o k columnas) del determinante y consideremos todos los menores de orden k que se pueden formar con dichas k filas (o k columnas) La suma de los productos de dichos menores por sus respectivos adjuntos es d Antes de dar la demostración veamos un ejemplo Sea d = Desarrollamos por los menores de la primera y tercera columnas ( esto es k = 2 y elegimos las columnas 1 y 3) d = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) Demostración: Sean i 1, i 2,, i k las filas escogidas, sea A = a 1α1 a 2α2 a nαn un término cualquiera del determinante d En A hay exactamente un elemento de cada una de las filas i 1, i 2,, i k Supongamos que ellos están en las columnas α i1, α i2,, α ik Consideremos el producto B = a i1α i1 a i2α i2 a ik α ik B contiene exactamente un elemento de cada fila y un elemento de cada columna del menor M formado por las filas i 1, i 2,, i k y las columnas α i1, α i2,, α ik El producto de los restantes factores de A contiene exactamente un elemento de cada fila y un elemento de cada columna del menor complementario M de M Se concluye que, al menos en valor absoluto, A es un término del desarrollo indicado en el enunciado del teorema El número de términos de dicho desarrollo es ( n k) k!(n k)! = n! y según el lema, cada uno es un término de d Pero sólo hay uno que contiene los mismos factores que A, si difiriese en signo con A entonces no sería término de d Hemos demostrado que todos los términos de d aparecen entre los indicados en el enunciado del teorema y que estos son exactamente n!, esto prueba el teorema propuesto

29 15 LA REGLA DE CRAMER La regla de Cramer Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n (112) Sea d el determinante de la matriz del sistema, supondremos que d 0 Si (112) es compatible, sea (α 1, α 2,, α n ) una solución Entonces a 11 α 1 + a 12 α a 1n α n = b 1 a 21 α 1 + a 22 α a 2n α n = b 2 a n1 α 1 + a n2 α a nn α n = b n (113) Sea j arbitrario, 1 j n, multipliquemos la primera igualdad de (113) por A 1j (el adjunto de a 1j ), la segunda por A 2j,, la enésima por A nj y sumándolas se obtiene ( n ) ( n ) ( n ) a i1 A ij α 1 + a i2 A ij + α a in A ij α n = b i A ij a ij A ij = d y si r j, a ir A ij = 0, luego Pero dα j = b i A ij b i A ij es el desarrollo de un determinante idéntico a d salvo por su j-ésima columna que es reemplazada por la solumna de los términos libres b 1, b 2,, b n Si d j b i A ij entonces α j = d j d 1 j n (114) Se concluye que si d 0 y el sistema es compatible entonces la solución es única y está dada por (114) A la inversa, supongamos que d 0 y reemplacemos la n-tupla ( d1 lado izquierdo de (112) Veamos que sucede en la i-ésima ecuación: Pero r=1 a ir d r d = 1 d 1 d n a ir r=1 s=1 b s A sr = s=1 [ 1 d { 0 si i s a ir A sr = si i = s r=1 d d d, d2 ] a ir A sr b s r=1 d,, dn d ) en el

30 26 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES luego la ecuación se satisface para 1 i n Se concluye que α j = dj d 1 j n es una solución del sistema de ecuaciones y por lo tanto si d 0 el sistema es compatible, tenemos así la regla de Cramer: Teorema 127 Si el determinante d de la matriz de un sistema de ecuaciones lineales es distinto de cero, el sistema tiene solución única dada por (α 1, α 2,, α n ), α j = d j d 1 j n donde d j es idéntico al determinante d salvo por la j-ésima columna que se reemplaza por la columna de los términos libres Nota: Todo sistema homogéneo es compatible (admite siempre la solución trivial (0, 0,, 0), si d 0 esta es la única solución Se concluye que si un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas tiene soluciones distintas de la trivial necesariamente su determinante d es igual a cero Estamos en condiciones de demostrar que si un determinante d es igual a cero al menos una de sus filas es combinación lineal de las demás Para esto consideremos el sistema homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas cuya matriz (a ij ) es aquella cuyas filas son las filas del determinante d Si aplicamos el método de Gauss obtenemos un sistema cuyo determinante es igual a cero, puesto que el método de eliminación de Gauss consiste esencialmente en restar a una ecuación ciertas combinaciones lineales de las ecuaciones que la preceden y mediante estas operaciones el valor del determinante del sistema no cambia Esto significa que dicho sistema sólo puede ser reducido a un sistema trapezoidal, esto es, alguna de las ecuaciones debe haber sido eliminada, pues de lo contrario habría sido obtenido un sistema triangular, cuya matriz tendría un determinante distinto de cero pues sería el producto de los elementos en la diagonal, que serían todos distintos de cero Pero para que eso suceda, al menos una de las ecuaciones debe ser combinación lineal de las demás precisamente porque el método de eliminación consiste en restar a una ecuación ciertas combinaciones lineales de las ecuaciones que la preceden La afirmación también es verdadera para las columnas de d puesto que el sistema cuya matriz es la traspuesta de (a ij ) también tiene determinante igual a cero Puesto que un sistema homogéneo que se puede llevar mediante el método de Gauss a un sistema trapezoidal admite soluciones no triviales, se concluye también que si el determinante de un sistema homogéneo es igual a cero dicho sistema tiene soluciones distintas de la trivial Ejemplo: Resolver el sistema d = = 27

31 15 LA REGLA DE CRAMER 27 d 1 = d 3 = = 81 d 2 = = 27 d 4 = α 1 = 3 α 2 = 4 α 3 = 1 α 4 = 1 = 108 = 27 Ejemplo: Dado el sistema λ λ 0 encuentre los valores de λ para los cuales el sistema admite una solución no trivial Necesariamente Entonces λ λ λ λ = λ = 0, λ (λ + 2) = 0 luego para cualquier valor de λ el sistema admite sólo la solución trivial

32 28 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

33 Capítulo 2 Relaciones de dependencia lineal 21 El espacio vectorial R n Para construir la teoría general de los sistemas de ecuaciones lineales introduciremos un objeto algebraico auxiliar Sea n un natural arbitrario, llamaremos espacio vectorial n-dimensional y lo designaremos por R n a la siguiente estructura algebraica: sus elementos serán todas las n-tuplas α = (a 1, a 2,, a n ) de números reales Diremos que dichas n-tuplas son vectores de R n, nos referiremos a ellas como vectores a secas Por ejemplo, R 2 es el conjunto de los pares ordenados de números reales, R 3 es el conjunto de los tríos ordenados de números reales Los números a 1, a 2,, a n se llaman las componentes de la n-tupla Diremos que α = (a 1, a 2,, a n ), β = (b 1, b 2,, b n ) son iguales si y sólo si a i = b i i = 1, 2,, n En R n definimos las siguientes operaciones: Sean α = (a 1, a 2,, a n ), β = (b 1, b 2,, b n ), llamaremos suma de los vectores α y β al vector α + β = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n ) De la definición de suma y de la conmutatividad y asociatividad de la suma de números vemos que la suma de vectores es conmutativa y asociativa: α + β = β + α, α, β R n α + (β + γ) = (α + β) + γ, α, β, γ R n Llamaremos vector nulo a 0 = (0, 0,, 0), es claro que es el único vector de R n que tiene la siguiente propiedad: α + 0 = α α R n Llamaremos inverso aditivo del vector α = (a 1, a 2,, a n ) a α = ( a 1, a 2,, a n ) 29

34 30 CAPÍTULO 2 RELACIONES DE DEPENDENCIA LINEAL y es el único vector tal que α + ( α) = 0 Al vector α + ( β) = (a 1 b 1, a 2 b 2,, a n b n ) lo llamaremos la diferencia de los vectores α y β, se anota simplemente como α β Sea α R n, k un número real, llamaremos producto del vector α por el número real k al vector kα αk = (ka 1, ka 2,, ka n ) Es evidente que la operación tiene las siguientes propiedades: i- 1 α = α α R n ii- k(α + β) = kα + kβ α, β R n, k R iii- (k 1 + k 2 )α = k 1 α + k 2 α α R n, k 1, k 2 R iv- k 1 (k 2 α) = (k 1 k 2 )α α R n, k 1, k 2 R El lector puede verificar que 0 α = 0, ( 1)α = α para todo α R n, y si kα = 0 entonces k = 0 ó α = 0 22 Dependencia lineal Definición 21 Sean α 1, α 2,, α s R n Diremos que el vector β es combinación lineal de los vectores α 1, α 2,, α s si existen números reales l 1, l 2,, l s tales que β = s l i α i Definición 22 Diremos que los vectores α 1, α 2,, α s son linealmente dependientes si hay números reales k 1, k 2,, k s no todos nulos tales que s k i α i = 0 En caso contrario diremos que los vectores α 1, α 2,, α s son linealmente independientes El conjunto de vectores es linealmente independiente si y sólo si la única combinación lineal de ellos que es igual a cero es la trivial, esto es, (aquella en que todos los k i son cero) 0 α α α n Vemos que todo conjunto de vectores que contiene al vector cero es linealmente dependiente, si α i = 0 tomemos k j = 0 si j i, k i 0 y se tiene 0 α α k i α i α n = 0

35 23 DIMENSIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL RN 31 Teorema 23 El conjunto de vectores α 1, α 2,, α s, s 2 es linealmente dependiente si y sólo si al menos uno de ellos es combinación lineal de los otros Demostración: Supongamos que hay k 1, k 2,, k s no todos nulos tales que 0 Sin pérdida de generalidad podemos suponer que k 1 0 Entonces α 1 = s i=2 k i k 1 α i A la inversa, supongamos que hay l 2, l 3,, l s tales que α 1 = α 1 tome k 1 = 1, k i = l i, i = 2, 3,, s Ejemplo: En R 3 sean s l 2 α 2 = 0, i=2 s k i α i = s l 2 α 2 Entonces α 1 = (5, 2, 1) α 2 = ( 1, 3, 3) α 3 = (9, 7, 5) α 4 = (3, 8, 7) Es fácil ver que 4α 1 α 2 3α 3 + 2α 4 = 0, el sistema de cuatro vectores es linealmente dependiente También 2α 1 + α 2 α 3 = 0 luego α 1, α 2, α 3 también son linealmente dependientes como también lo son α 2, α 3, α 4 Nota: Supongamos que de los s vectores α 1, α 2,, α s hay r de ellos linealmente dependientes, r < s, entonces el conjunto α 1, α 2,, α s es linealmente dependiente En efecto, sin pérdida de generalidad podemos suponer que α 1, α 2,, α r son linealmente dependientes y por lo tanto hay k 1, k 2,, k r no todos nulos tales que Elija k r+1 = k r+2 = = k s = 0 k 1 α k r α r = 0 Es obvio que si un conjunto de vectores es linealmente independiente, todo subconjunto de él es linealmente independiente Notación: Cuando un sistema de vectores es linealmente dependiente diremos que es ld, si es linealmente independiente diremos que es li i=2 23 Dimensión del espacio vectorial R n Es claro que en R n hay sistemas de n vectores que son li, considere el sistema e 1 = (1, 0, 0,, 0) e 2 = (0, 1, 0,, 0) e n = (0, 0, 0,, 1)

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