Estudio de un problema: El gato en la escalera. El lugar geométrico. por Dr. Orlando Planchart Márquez

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1 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 1 Estudio de un problema: El gato en la escalera. El lugar geométrico. por Dr. Orlando Planchart Márquez Introducción Visualizar un diagrama significa simplemente formar una figura mental del diagrama, pero visualizar un problema es comprender el problema en términos de un diagrama o de una figura visual. Zimmerman y Cunningham (1991) En la búsqueda de experiencias didácticas en las que se conjuguen la construcción de conceptos matemáticos con la visualización, modelación y tecnología hemos abordado el estudio del lugar geométrico a partir de una situación particular: simulación de una escalera pegada a una pared que se desliza y en la escalera hay un gato sostenido. Como primera interrogante, se planteó a un grupo de estudiantes que describieran la trayectoria que sigue el gato en la caída y como segunda, hallar el lugar geométrico definido en forma algebraica. En este estudio, también se les requirió a los estudiantes que simularan con el programa Cabrí II el deslizamiento de la escalera y la trayectoria de un punto (el gato). En este escenario de la geometría dinámica se pudo seguir el proceso de construcción del lugar geométrico y asignar la ecuación de una elipse, de acuerdo con las condiciones que rigen el programa. Se suscitó una contradicción entre lo que realmente sucede y lo que simula el programa: en la realidad (experimento del laboratorio) cuando se suelta la escalera, ésta se desprende de la pared en algún momento. Este fenómeno físico involucra diferentes variables y genera como lugar geométrico una parábola. Contrario a lo que sucede en el ambiente Cabrí II: la punta superior de la escalera queda siempre adherida a la pared lo que conduce a generar una elipse como lugar geométrico. En la investigación se pudo observar las dificultades y obstáculos de visualización y de tipos cognitivos que en muchos casos no permitieron a los estudiantes participantes del estudio abordar el problema de manera efectiva y dar una respuesta correcta. La explicación y análisis del problema en el contexto de la física, que condujo a una parábola como lugar geométrico (Parte II), la llevó a cabo el profesor Carlos Oliveras quien aportó mucho con los conocimientos de la física (caída de los cuerpos, centro de masa, gravedad, etc.) para explicar el fenómeno en estudio. Propósito Muchos investigadores de matemática educativa han enfatizado en el papel que juega la visualización en la adquisición de los conceptos matemáticos. Miguel de Guzmán (1996) señaló que parece que se puede percibir una cierta tendencia hacia el papel de la visualización en el quehacer matemático. Esto lo confirman los numerosos trabajos que se han publicado y expuesto en congresos de matemática en los últimos años. También, señaló Miguel de Guzmán que una visualización incorrecta puede conducir a errores por diversos motivos. Unas veces porque la figura no puede sugerir una situación que en realidad no tiene lugar. El estudio que nos ocupa refleja este carácter de la matemática y específicamente en el campo de la geometría. Con relación a ello nos hemos planteado el siguiente objetivo:

2 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 2 Investigar si los estudiantes son capaces de seguir la trayectoria de un punto en particular de manera correcta, es decir detectar el lugar geométrico que genera el movimiento de un punto. El problema por su naturaleza, se puede abordar en forma geométrica, en un ambiente de geometría dinámica, en forma algebraica y de manera puramente física. Por lo tanto, se propusieron además los siguientes objetivos: - Identificar las dificultades que tienen los estudiantes al construir el lugar geométrico de un objeto, en una situación particular, en la que se simula la caída de un gato en una escalera. - Analizar el proceso de simulación del problema en el ambiente de geometría dinámica, utilizando el programa Cabri II, además analizar la simulación del problema y los lugares geométricos que resulten. - Responder el problema tomando en cuenta variables que predominan en este tipo de fenómenos físicos. El lugar geométrico y la tecnología Sin duda, la aparición de la tecnología ha generado cambios en la manera de plantear y desarrollar las clases de matemáticas en el salón de clases. Hitt (2003) señaló: el avance tecnológico ha influido notablemente en el desarrollo de nociones teóricas que antes se tomaban en cuenta, pero que no eran consideradas como cruciales en términos de explicar el aprendizaje de conceptos matemáticos. Actualmente, con la tecnología, es importante el estudio de las diferentes representaciones de los objetos matemáticos en ambientes muy diferentes a los que se seguían en el pasado A través de dispositivos tecnológicos es posible seguir el proceso de construcción de muchas áreas de la matemática, a través de algunas de sus representaciones, y acercarnos, dentro de lo que plantea un objetivo didáctico, al concepto matemático. Se puede ver la diferencia entre el trabajo manual (lápiz, regla y papel) con que se explicaban las clases de geometría, y la rapidez y exposición visual con que responden las computadoras, calculadoras y otros dispositivos electrónicos dirigidos por software adecuados para tal finalidad. Se puede considerar que el uso de los software y dispositivos permiten alternativas, de tal manera que la experiencia de aprendizaje sea una de tipo conceptual y no sólo procedimental, esto si se proponen estrategias que conduzcan al fin de tipo conceptual. En la pasada década, en la enseñanza de la matemática se incentivó aún más el uso de programación para simular y modelar algunas situaciones, también en las construcciones de conceptos geométricos; en esta etapa se definió la geometría dinámica. Con respecto a ello, Moreno (2001) señaló: La geometría dinámica cambia la forma de la enseñanza de la geometría. Tanto la práctica educativa como la investigación han reconocido que la nueva forma de exploración geométrica es diferente a la que se puede llevar a cabo mediante los instrumentos clásicos, regla y compás y el razonamiento basado en figuras mal dibujadas. No son diferencias de apariencias. Con tales software, Cabrí Geometre II, Geometers Sketspad y otros, se pudieron retomar demostraciones y construcciones que estaban olvidadas.

3 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 3 Entre los conceptos que han sido retomados por la geometría dinámica, está que se refiere al lugar geométrico. El lugar geométrico es el recorrido que hace el punto bajo ciertas condiciones determinadas en el plano cartesiano. Un ejemplo sencillo que puede ilustrar la idea del lugar geométrico, es el desplazamiento del punto (x,y) cuando este punto se mantiene a la misma distancia de dos puntos diferentes en el plano. La trayectoria de este punto resulta una recta y la expresión algebraica será una ecuación lineal. Asímismo, un círculo se define y construye como el punto que se desplaza a la misma distancia de otro punto llamado centro. La construcción de lugares geométricos pasa por reflexionar y articular relaciones figurales, mentales y algebraicas que en este estudio se debaten entre la parábola y la elipse. De acuerdo con Otero, Greca y Lang da Silva (2003), lograr que los estudiantes construyan representaciones mentales adecuadas que les permitan predecir y explicar, según los patrones científicamente aceptados, es una tarea muy compleja en la que interviene una cantidad de factores, en los que se encuentran las características de las representaciones externas que se emplean para enseñar y comunicar conocimiento y la manera en que dichas representaciones son utilizadas. En ciertas actividades, las variables no se identifican claramente, así lo señaló Hitt (1996): el deslizamiento de un objeto en un plano inclinado indujo en algunos profesores la obtención de una gráfica lineal (tiempo contra velocidad) que sigue la forma del dibujo (fenómeno de traslación icónica, Monk 1992, pág 176). Esto demuestra que la variable independiente no es identificada y aislada para contextualizarla en una de sus representaciones analítica y gráfica. Otro elemento que se debe tomar en cuenta para abordar el estudio de los lugares geométricos es la imaginación que poseen los individuos. Según Shwartz, citado en Otero, Greca y Lang da Silva (2003) la imaginación física ocurre cuando alguien imagina un objeto que está causando un cambio sobre otro e incorpora las causas, es decir, los aspectos dinámicos de un fenómeno físico construyendo una representación interna dentro de las acciones mutuas entre un cuerpo y otro, que estaría escasamente vinculado con la visión perceptiva de dichas acciones. El problema El objeto de la investigación tuvo como epicentro el planteamiento del siguiente problema: Un gato está montado en una escalera y la escalera resbala en el piso., El gato permanece agarrado a la escalera. Qué figura hace el gato en su caída? Dibuja el lugar geométrico. Determina el lugar geométrico en forma algebraica. Fig. 1

4 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 4 Metodología El problema en cuestión que genera el estudio se les planteó a ocho estudiantes del curso de Geometría Analítica. Los participantes son maestros de matemáticas de escuela secundaria (de grado 7 a grado 11). El contenido del curso se enfatizó principalmente en el estudio de las cónicas, además de estudiar vectores, sistemas de coordenadas polares y gráficas. En el estudio de las cónicas, el proceso de enseñanza se basó, primeramente, en el desarrollo y construcción algebraica de los problemas y como complementación, la construcción de los lugares geométricos utilizando el programa Cabri II. Cada estudiante contó con su computadora portátil en el salón de clases lo que le permitiría hacer sus construcciones geométricas. En algunos casos se les proveyeron las instrucciones para construir como lugar geométrico, figuras geométricas, tales como la parábola, la elipse y la hipérbola. En síntesis, el procedimiento consistió en lo siguiente: se les propusieron los problemas del libro de la clase, los estudiantes los resolvían o se esforzaban para encontrar la ecuación algebraica que representaba el lugar geométrico y luego debían hallar la expresión algebraica del lugar geométrico o construir la figura en el entorno de la geometría dinámica. Luego de la fase de resolución de problemas, se les expuso en forma verbal el problema que nos ocupa, de la escalera y el gato, y ellos respondieron en una hoja de papel (en la sección siguiente se muestran las respuestas y se analizan). A las dos semanas siguientes se entrevistaron a cinco de los participantes que habían respondido el cuestionario. En la pizarra y al frente de los compañeros explicaron sus respuestas, estas entrevistas fueron grabadas en vídeo.. Al final, cuando se concluyó con las entrevistas, se simuló la caída del gato con la escalera (ver figura 1) y se expuso en forma lenta la situación donde se delineó la grafica o la aproximación del lugar geométrico que se esperaba. Esto fue motivo de discusión, como se pudo observar en el video. Por último, se propuso que este problema fuera simulado con el programa Cabrí II, para hacer las comparaciones con las gráficas que había propuesto cada grupo. Un estudiante pudo hacer esta construcción y la mostró a los demás compañeros (se incluye en este trabajo). Resultados y discusión En la siguiente tabla se puede ver las respuestas gráficas por grupo y a continuación (más abajo se describen en forma detallada) las respuestas de cada estudiante. Respuestas gráficas Observaciones Dos estudiantes (H.A.R y S.S.G) consideraron que el desplazamiento del punto tendía a ser una recta vertical.

5 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 5 Cinco estudiantes (J.T.M, W.P.C, C.R, E.J.B y K.C.R) coincidieron en que el desplazamiento del punto era de una gráfica exponencial decreciente o en caso extremo un recta decreciente. R.C.L pudo darse cuenta que el lugar geométrico que determinaba el punto tendía a semejarse a una parábola. 1 1 Tabla 1. Respuestas al cuestionario Figura 2 Como se puede observar en la tabla 1, los estudiantes respondieron al problema de los siguientes modos: unos (A) consideraron que la gráfica o lugar geométrico que se generaba era una recta perpendicular al eje x, otros, (B) en su mayoría consideraron que la grafica era una de tipo exponencial decreciente, y otro (C) estudiante la graficó como una parábola. Con respecto al grupo A, para H.A.R el desplazamiento del gato (el punto) hace una gráfica (figura 2) que se aproxima a una recta vertical, no observó cambio en x. La estudiante respondió; Que la escalera estaba apoyada en la pared, la escalera se movió con el gato hacia la derecha. Mientras que S.S.O graficó el lugar geométrico (figura 3) con una pequeña tendencia de recta vertical a una pequeña curva. No considera que sea una línea vertical. Ella explicó que A medida que la escalera baja el gato también va bajando. Figura 3 Hay una leve inclinación al principio, pero es constante al final es como caída libre. Figura 4 Para el grupo B, J. T. M consideró que en la caída se describía una función lineal con pendiente negativa, se pueden observar los puntos en una recta inclinada (figura 4). J. T. M coloca el punto por debajo del punto medio del segmento (la escalera) y no percibe que en su dibujo de la situación el gato se ha desplazado en la escalera al llegar al suelo.

6 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 6 Mientras que W. P. C expresó claramente en el dibujo que el desplazamiento toma un comportamiento lineal decreciente. Como se puede ver en la figura 5, el estudiante calcula la pendiente para hallar la ecuación de la recta, por lo tanto, acepta que el desplazamiento determina una recta; señala textualmente que: A medida que disminuye la altura (y) se acerca la valor (o) en el eje de x. Figura 5 Figura 6 G. Q. T La estudiante dibuja una serie de puntos en forma de recta inclinada, como se puede ver en la figura 6. Para ella, la distancia del extremo superior de la escalera crece a medida que baja la escalera. E. J. B. considera que en la caída de la escalera el gato también se desplazó, lo podemos observar en la figura 7. El estudiante dice que la aceleración de la caída hace que el gato se desplace a la izquierda. El lugar geométrico en forma algebraica es: Figura 7 Figura 8 2 y = x + a. El estudiante proporciona más información, escribe x-1 como una distancia de desplazamiento y también a. La estudiante K.G.R consideró que al bajar la escalera el gato cambia un poco de posición. Muestra varias gráficas del gato en las que ha cambiado de posición de manera muy evidente. El desplazamiento que hace el gato es bastante grande termina cerca del extremo opuesto de la escalera. En K.G.R dominó la presencia de una gráfica en decrecimiento y olvidó la otra situación.

7 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 7 Por último el grupo C, R.L.C en su primera respuesta estuvo de acuerdo en que el lugar geométrico era una función decreciente en forma exponencial. Luego, el estudiante hizo una revisión y se ayudó de un lápiz y pudo ver la gráfica del lugar geométrico como lo muestra la figura 9, a la derecha. Las entrevistas en el salón de clases y análisis Figura 9 Dos semanas después de responder el cuestionario, se entrevistaron a cuatro estudiantes del grupo participante. Las entrevistas fueron video grabadas en el salón de clases en presencia de los estudiantes participantes. Consistió en que describieran y explicaran en la pizarra como era la gráfica del problema planteado. En su intervención J. T. M corrigió su respuesta. Informó que en su casa simuló varias veces la situación y pudo observar que el lugar geométrico tendía a ser una parábola y no una exponencial decreciente como había respondido él anteriormente. Mientras C.R. mantuvo su posición anterior con pequeñas variantes. En el caso de H.A.R, ella mantuvo su posición acerca del lugar geométrico y fue difícil sacarla de esa idea a pesar que se le mostró la simulación como se vio en el vídeo y se observaba que la gráfica tendía a ser parte de una parábola o parte de una elipse. R.C.L comprendió la situación y supo manejar las imágenes y estructuras que se producían en el proceso del problema. Simulación del problema con el programa Cabrí II Se les propuso a los participantes que construyeran la simulación con el programa Cabrí. Sólo uno de ellos pudo hacer la simulación y éste la mostró a sus compañeros. Como hemos dicho anteriormente, se encontró que el lugar geométrico que se generó fue el de una parte de una elipse, que en la primera impresión se vio como una parábola como lo señaló uno de los maestros en la entrevista. Esto se comprobó con la función ECUACIÓN Y COORDENADAS del programa Cabrí II. En este ambiente de la geometría dinámica de Cabrí II se descartan propiedades inherentes a los cuerpos en movimiento en la naturaleza, en este caso la caída de un gato en la escalera (sin fricción). El profesor Oliveras (del área de física) analizó este problema a la luz de las ecuaciones de Lagrange y confirmó los resultados utilizando los recursos de videos y el programa Logger Pro 3. El profesor Oliveras concluyó que el lugar geométrico era una parábola, como lo puede ver el trabajo: El lugar geométrico del gato en la escalera, un análisis físico.

8 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 8 Figura 10. Proceso de la modelación con el programa Cabrí II. Conclusión Se puede considerar que la situación promovió un conflicto de tipo visual cognitivo. Los estudiantes, cuando respondieron a la pregunta del problema, en su mayoría no percibieron el desplazamiento real del gato (o del punto) con respecto al cuadrante. Lo percibieron como un desplazamiento en la escalera, es decir, mostraron una tendencia a fijarse en un parámetro, sólo el desplazamiento de la escalera a la derecha. Esto los llevó a considerar el lugar geométrico como una gráfica exponencial decreciente. Una imagen mental está asociada a otra imagen que no permite en última instancia dar una respuesta correcta. Se puede concluir que los estudiantes no distinguieron las variables que dominan el fenómeno, esto condujo a un conflicto o tal vez a un obstáculo de corte geométrico. También, se puede señalar que hay dificultades en el proceso de la percepción del objeto matemático. En el trabajo de Planchart (2002) se explica que la percepción visual, en algunas ocasiones, puede perturbarse la aprehensión del objeto. En otras ocasiones, tiene que ver con los tipos de imágenes que se establezcan en los individuos, ciertos elementos figurales provocan que los estudiantes den respuestas incorrectas. En nuestro estudio con la geometría dinámica de Cabrí II se descartan la fricción, el peso de la escalera, la aceleración y no se observa que la escalera se separe de la pared al final de la caída. En estas condiciones se produce una elipse, pero cuando se toman en cuenta todos los factores físicos este lugar geométrico produjo una parábola. En la investigación se pretendió dar una respuesta primeramente geométrica y luego una representación de tipo algebraica. En el plano didáctico se observó el conflicto dado al momento de describir el lugar geométrico. En la búsqueda que se hizo inicialmente de la fórmula con la ayuda de Cabrí II, se contradijo cuando se abordó desde el punto de vista físico que tomó en cuenta todos los factores que afectan la caída de la escalera, lo que resultó interesante. Por último, se puede señalar que en muchos libros de texto para hacer los problemas amigables se descartan algunas propiedades que son intrínsecas al fenómeno, por ejemplo, casos de problemas de física, cuando se omite la fricción, la resistencia del aire.

9 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 9 Referencias Hitt F. (1996) Sistemas semióticos de representación del concepto de función y su relación con problemas epistemológicos y didácticos. Investigaciones en matemática educativa, editor Hitt F. Grupo Editorial Iberoamericana. Hitt F. (2003) Una reflexión sobre la construcción de conceptos matemáticos en ambientes con tecnología. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. X, No Greca y Fernando Lang da Silva. Revista electrónica de enseñanza de la ciencias Vol. 2 N o 1 Año Meel D. (2003) Modelos y teorías de la comprensión matemáticas: Comparación de los modelos de Pirie y Kieren sobre la evolución de la comprensión matemática y la Teoría APOE. Relime Vol. 6., Núm. 3 Noviembre Moreno L. (2001). De la herramienta al instrumento: Una perspectiva informática. Educación matemática Vol.13 No.2 Planchart Orlando E. (2002) La visualización y la modelación en la adquisición del concepto de función. Universidad Autónoma del Estado de Morelos (Tesis doctoral). Orlando Planchart Márquez, oplancha@ponce.inter.edu.catedrático Asociado de Matemáticas Licenciatura, Universidad de Oriente, Venezuela. Ph. D. Universidad Autónoma del Estado de Morelos. M.S. Politécnico Nacional de México