Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 23

Transcripción

1 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 23 ante el movimiento de la cuña, se debe encontrar la dirección del movimiento del bloque. La dirección del movimiento se obtiene a través de operaciones vectoriales que representan la cinemática del bloque, considerando los planos y las intersecciones respecto al eje gravitacional (vertical). La explicación del vector del movimiento se encuentra más adelante en el capítulo de Diseño de Anclajes. Respecto a la dirección del movimiento los tipos de falla de la barra o cable de anclaje pueden ser [5]: Desprendimiento o Pullout, falla por tracción, falla de cabezal o Stripping y falla por corte. La Figura 1-8, presenta los tipos de fallas de la barra o cable de anclaje respecto a la dirección del movimiento. Desprendimiento Falla por Tracción Bloque Inicial Falla de Cabezal Falla por Corte R Bloque Movilizado Sección de Excavación Figura 1-8. Mecanismo de falla de la barra o cable de anclaje según la cuña de roca En la Figura 1-8 se observa la incidencia del bloque inestable en la falla del elemento de anclaje. Según la ubicación del anclaje respecto al movimiento de la cuña, se puede presentar uno o más mecanismos de falla en la barra o cable de anclaje. La Figura 1-9, identifica dos planos que delimitan el bloque inestable, uno sobre el cual se realiza el movimiento (plano deslizante) y otro en el cual se genera la separación (plano de tracción).

2 24 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles Discontinuidad de tracción a: Tracción + Corte b: Tracción pura c: Tracción + Corte d: Corte + Tracción e: Corte puro f: Corte + Compresión Dirección del vector de movimiento Discontinuidad de corte Figura 1-9. Mecanismo de falla de la barra o cable de anclaje según su ubicación. Fuente: Adaptado de Windsor, 1996 [6]. En la Figura 1-9 se observan seis mecanismos de falla posibles para una posible dirección de movimiento del bloque inestable. En los casos (a), (b) y (c) el anclaje se ubica sobre el plano de tracción, y se presenta un anclaje sometido principalmente a esfuerzos de tracción, donde adicionalmente para los casos (a) y (c) se esperaría un componente de corte. En los casos (d), (e) y (f) el anclaje atraviesa el plano de corte, lo que representa un anclaje sometido principalmente a esfuerzos de corte, donde adicionalmente en el plano (d) se espera un componente de tracción y en el plano (f) un componente de compresión. La forma en que se evalúa la resistencia del anclaje ante uno u otro mecanismo de falla, se hace mediante la utilización de factores de eficiencia. En el caso de cables la resistencia al corte y a la compresión es muy baja, lo cual le atribuye un coeficiente de eficiencia cercano a cero cuando el anclaje se ubica en los sectores señalados para los casos (d), (e) y (f), y cercano a uno en los casos restantes donde actúa principalmente la resistencia a la tracción. Para el caso donde se considera una barra compuesta por fibra de vidrio, es similar a lo comentado para los cables, a diferencia que la fibra de vidrio presentaría una resistencia mayor ante la compresión en el caso (f). La barra metálica de acero presenta mayor eficiencia al corte respecto a los cables y barra de fibra de vidrio, lo cual le representa un mayor coeficiente de eficiencia en los casos (d), (e) y (f). El coeficiente de eficiencia se debe adoptar en función de la

3 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 25 inclinación del anclaje respecto a la dirección del movimiento, donde se destaca que la mayor resistencia al corte respecto a un plano de falla se logra con pernos inclinados entre 15 y 30 grados [1], o a un ángulo igual a la resistencia friccional de la discontinuidad Ø en la dirección del movimiento [5]. Otro factor que se debe revisar para determinar la eficiencia del perno además de su inclinación respecto al movimiento, es la ubicación del anclaje respecto al centroide de la cuña inestable, donde es usual que se desprecie la incidencia de momentos. La resistencia a la tracción ha sido ampliamente investigada por diversos autores, entre los que se encuentran algunos ensayos desarrollados por Stillborg (1994) en Luleå University en Suecia [3]. La Figura 1-10, presenta los resultados obtenidos por Stillborg en distintos tipos de anclajes ante esfuerzos de tracción. En la Figura 1-10 la fuerza de tracción en toneladas se ubica en la ordenada y la deformación en milímetros medida en el cabezal de la barra de anclaje se encuentra en la abscisa. Anclaje mediante resina y fibra de vidrio Ø 22 mm Carga (toneladas) Anclaje mediante resina y barra de acero Ø 20 mm Anclaje tipo Swellex Anclaje mediante lechada y barra de acero Ø 20 mm a 150 mm Anclaje mecánico Ø 17,3 mm a 150 mm Anclaje tipo Split Set SS39 Deformación (mm) Figura Resultados obtenidos por Stillborg para diversos anclajes. Fuente: Adaptado de Hoek [1]. En la Figura 1-10, se observa una mayor resistencia en el anclaje conformado por la fibra de vidrio, pero con una mayor deformación. Esto sucede porque los elementos de fibra de vidrio presentan una mayor resistencia a la tracción, pero con menor módulo de

4 26 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles deformación respecto al elemento de acero. Se observa una resistencia similar en el sistema de anclaje mediante lechada respecto al sistema mediante resina, logrando una mayor deformación creep el sistema compuesto por lechada. En la figura también se identifica el anclaje de expansión mecánica como el de menor resistencia a bajas deformaciones. El anclaje tipo Swellex se observa con mayor resistencia respecto al anclaje de tipo Split Set. En el diseño de sostenimiento mediante anclajes no sólo importa la resistencia de rotura o fluencia, también importa la deformación requerida para conseguir la carga de diseño. Al comparar los resultados obtenidos con fibra de vidrio y el elemento metálico, se observa que para una carga de 10 t el elemento metálico se deformó un poco menos que un milímetro mientras la fibra de vidrio se deformó un poco más de cinco milímetros, lo que corresponde a una deformación aproximadamente cinco veces mayor de la fibra de vidrio respecto a la barra metálica. Bajas deformaciones en rocas rígidas pueden generar la plastificación de la roca, donde la consideración de un sistema de anclajes altamente deformable puede que no evite un mecanismo de falla diferente a las cuñas de roca. La fibra de vidrio presenta gran utilidad en el sostenimiento del frente de excavación, donde se requiere de un material temporal de baja resistencia al corte para poder continuar con el avance de la excavación. Por lo anterior, para evitar una deformación inadecuada del macizo rocoso un sistema de anclaje como lo es cuando se considera fibra de vidrio, debe ser activo para lograr la carga especificada en el diseño. Las deformaciones de los sistemas también pueden surgir como consecuencia de la deformación de la placa, arandela y tuerca, que conforman el cabezal del sistema de anclaje. La Figura 1-11, presenta de forma general la curva esfuerzo deformación que toman los sistemas de anclaje ante la aplicación de cargas de tracción realizados por Stillborg. De acuerdo a la Figura 1-11 y según lo establecido por Stillborg, el pre-tensionamiento del sistema de anclaje requerido para evitar deformaciones excesivas se debe realizar hasta el punto P. El pre-tensionamiento se ve casi que obligatorio para los sistemas de anclaje mecánico, según se observa en la figura Figura En la práctica, para la verificación de la capacidad de carga de los sistemas de anclaje se deben realizar ensayos in-situ de pull-out o desprendimiento. Usualmente durante construcción se ensayan 5 anclajes por cada 50 instalados, 8 horas después de la instalación para los anclajes pasivos, y una hora luego de su instalación para anclajes activos. La carga lograda durante el ensayo corresponde al 90% de la carga especificada en el diseño.

5 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 27 Carga (kn) P Deformación (mm) Figura Curva general de fuerza deformación, obtenida por Stillborg para anclajes mecánicos. Fuente: Adaptado de Stillborg (1994) [4]. Se debe mencionar que los sistemas de anclaje mediante cables logran mayores longitudes, aunque en la actualidad son varios los fabricantes que presentan grandes longitudes mediante traslapos de barras metálicas eficientes. La longitud mínima de los anclajes en túneles según el Cuerpo de Ingenieros de los Estados Unidos es de 2 m. Respecto al análisis de cuñas, al considerar una distribución de anclajes se deben obtener las longitudes que atraviesan la cuña inestable y las longitudes que atraviesan las cuñas, para poder definir de forma acertada el sostenimiento inducido por un patrón o sistema de sostenimiento. Por otra parte, cuando el anclaje no atraviesa el centroide de la cuña inestable, se debe considerar la incidencia de los momentos, los cuales podrían reducir el factor de seguridad. El diseño del perno además de su longitud y resistencia, debe considerar su localización y dirección, analizando el escenario del movimiento posible de la cuña dadas unas cargas externas Falla del contacto roca lechada La falla en el contacto roca lechada sucede cuando se vence la resistencia friccional en la pared de la perforación, donde se presenta el contacto entre el material de relleno y la roca. La Figura 1-12, identifica la zona donde actúa la resistencia friccional en el contacto roca-lechada durante un proceso de pre-tensionamiento.

6 28 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles Lechada F T Barra Longitud de empotramiento Figura Esquema de resistencia friccional en el contacto roca lechada durante el proceso de pre-tensionamiento. El pre-tensionamiento del anclaje se realiza mediante la aplicación de la carga F, generando la resistencia cortante T. La carga F actúa como una acción y la carga T como una reacción. La resistencia T en el contacto de la lechada con la pared de la perforación se debe al confinamiento que ejerce el relleno y a la adherencia del material de relleno con la roca. Debido a que la resistencia friccional se desarrolla en el perímetro de la perforación, la magnitud de la fuerza de fricción resistente depende del diámetro de la perforación y de la longitud de empotramiento. El esfuerzo de fricción en el contacto lechada roca se encuentra en función de la capacidad de la roca perforada para resistir la transferencia de esfuerzos, lo que corresponde a una propiedad intrínseca del macizo. El esfuerzo de fricción en el contacto roca lechada en macizos rocosos más fracturados o de baja calidad geotécnica presentan un menor valor respecto a macizos menos fracturados y de mejores propiedades mecánicas. En macizos rocosos fracturados la re-inyección de lechada es una técnica usada para incrementar el confinamiento del material de relleno. En el caso particular de cuñas de roca, la longitud del empotramiento se encuentra en función de la superficie de falla o discontinuidad que atraviesa el sistema de anclaje. La Figura 1-13, presenta la resistencia friccional en el contacto roca lechada cuando se presenta un mecanismo de falla en cuña. La Figura 1-13, presenta claramente la incidencia de la geometría de la cuña de roca en la resistencia del sistema de anclaje, donde se aprecia la importancia de la longitud del anclaje. Por lo general, en taludes los anclajes se diseñan para que la resistencia friccional en el contacto roca lechada sea mayor a la resistencia a la tracción de la barra, lo que en túneles representa sistemas ineficientes de gran longitud. Esto se analiza en mayor profundidad más adelante en el capítulo de Diseño de Anclajes.

7 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 29 Cuña de roca F Lechada T Barra Longitud de empotramiento Figura Esquema de resistencia friccional en el contacto roca lechada durante el mecanismo de falla en cuña Falla del contacto barra lechada Al igual que en el contacto roca lechada, en el contacto barra lechada se presenta una resistencia friccional que impide que el anclaje se desprenda del relleno. La Figura 1-14, presenta el esquema de la resistencia friccional en el contacto barra lechada durante el proceso de pre-tensionamiento. Lechada F A Barra Longitud de adherencia Figura Esquema de resistencia friccional en el contacto barra lechada durante el proceso de pre-tensionamiento. El esfuerzo de resistencia en el contacto barra lechada es denominado por varios autores como el esfuerzo de adherencia A. Para aumentar el esfuerzo de adherencia del sistema de anclaje se deben usar barras corrugadas que aumenten la fricción en el contacto con la lechada. Investigaciones realizadas sobre esfuerzos de adherencia de los sistemas de anclaje han demostrado que el valor obtenido supera la resistencia friccional en el contacto lechada roca [2]. Considerando que el sistema de anclaje se diseña para que falle la barra o cable antes que el contacto roca lechada, se asume que la falla en el contacto barra lechada no sucede cuando se realiza un correcto diseño del sistema.

8 30 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 2 Bloques de Roca Inestables En el capítulo anterior se presenta la importancia del bloque inestable en la definición de la resistencia del sistema de anclaje. En este capítulo se presenta la metodología utilizada para definir la ubicación, la forma, el volumen, las áreas, los perímetros y los vectores unitarios internos y externos del bloque de roca inestable, siendo lo fundamental debido a la incidencia que tienen en el diseño de un sistema de anclajes ante el mecanismo de falla en cuña. La ubicación y la forma del bloque inestable permiten calcular la longitud y la dirección del sistema de anclaje que lo atraviesa. El tamaño del bloque representado por su volumen, los perímetros y las áreas, permiten estimar las acciones y reacciones del posible movimiento. La ubicación y los vectores unitarios internos o externos a las áreas del bloque, definen la dirección del posible movimiento. Los bloques de roca se componen de material rocoso delimitados por discontinuidades, y son inestables cuando presentan una posibilidad cinemática de ingresar a la sección de excavación de la obra subterránea. Las discontinuidades definen el contacto entre el bloque de roca y la roca circundante, siendo la superficie de falla del mecanismo en cuña. Para determinar el bloque de roca potencialmente inestable se utilizan las expresiones matemáticas que definen las orientaciones de las discontinuidades y de las intersecciones entre discontinuidades. La teoría considerada para obtener la geometría del bloque de roca se basa en las expresiones matemáticas que definen la orientación de las líneas de intersección entre las discontinuidades, y para obtener las expresiones matemáticas de la línea de intersección se utilizan los vectores normales a los planos de discontinuidad. La Figura 2-1, presenta el vector de intersección conformado entre dos planos de discontinuidad. Plano de discontinuidad 1 Plano de discontinuidad 2 Vector de Intersección Figura 2-1. Vector de intersección entre dos planos de discontinuidad.

9 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 31 Como se observa en la Figura 2-1, la línea de intersección se puede entender como un vector unitario, donde se requiere conocer su sentido y dirección. Matemáticamente los planos de discontinuidad y las líneas de intersección se definen mediante vectores unitarios, siendo en el caso de un plano de discontinuidad el vector normal. El sentido de los vectores se considera hacia el hemisferio inferior y la orientación se define mediante los cosenos directores unitarios. La Figura 2-2, presenta como se define una línea recta al proyectar el vector de intersección e un plano, y al establecer un punto de origen o de referencia, por donde pasa la recta. Recta de intersección proyectada Punto de origen o de referencia Vector de intersección en el espacio x y Plano de Proyección x y Figura 2-2. Proyección de un vector en un plano, al definir un punto de origen o de referencia. En este capítulo se demostrará como el análisis de las intersecciones proyectadas permitirán identificar los bloques de roca inestables, de volumen máximo, al proyectar los vectores de intersección en un plano perpendicular al eje de un túnel. Inicialmente se definen las expresiones matemáticas de los vectores que definen los planos de discontinuidad y líneas de intersección, seguido de la descripción de la metodología propuesta para la obtención de las características fundamentales de los bloques de roca inestables. Finalmente se realiza una comparación con los resultados obtenidos en un programa de cómputo desarrollado por Rocscience. 2.1 Vectores unitarios de las discontinuidades y líneas de intersección Los elementos que permiten orientar los planos de discontinuidad para su fácil interpretación y posterior análisis, son: Rumbo y Buzamiento. Los elementos considerados para orientar las intersecciones entre planos de discontinuidad son: Buzamiento y Azimut de Buzamiento. Para unificar la forma de presentar la orientación del vector unitario de las discontinuidades y líneas de intersección, se utiliza el azimut de buzamiento.

10 32 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles Para orientar los planos de discontinuidad y líneas de intersección se adopta el sistema coordenado x ( ) positivo al Norte, y ( ) positivo al Este y z () positivo hacia el hemisferio inferior, garantizando que se cumple la regla de la mano derecha. La interpretación visual que ofrece la representación estereográfica equiángulo, facilita el análisis trigonométrico requerido para obtener los cosenos directores de los vectores rumbo y buzamiento de las discontinuidades e intersecciones. El análisis trigonométrico de la representación estereográfica permite obtener los cosenos directores. Los vectores de rumbo y la proyección del buzamiento en un plano definido por el azimut de buzamiento, son requeridos para la demostración matemática del vector de buzamiento. La Figura 2-3, presenta la orientación de los vectores Rumbo, Buzamiento y Azimut de Buzamiento en el hemisferio inferior de la representación estereográfica. Figura 2-3. Vector de rumbo, buzamiento y azimut de buzamiento, en hemisferio inferior de la representación estereográfica. En la Figura 2-3 se observa el sistema coordenado N-S y E-W en el plano de proyección de la red estereográfica, sobre el cual se encuentra el vector del Rumbo de la discontinuidad. En esta figura se observa el ángulo del azimut de buzamiento " " entre el Norte y el vector del azimut de buzamiento. A continuación se presenta el procedimiento matemático que demuestra las expresiones de los cosenos directores para los vectores unitarios de rumbo y buzamiento Vector Unitario del Rumbo Como se observa en la Figura 2-3, si el vector unitario Rumbo se adopta a 90 del azimut de buzamiento y no registra componente en el coseno director del eje z, positivo

11 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 33 hacia el hemisferio inferior, significa que el vector unitario Rumbo se encuentra en función sólo del ángulo " ". El azimut de buzamiento ( ) se encuentra entre 0 y 360. La Figura 2-4, presenta la ubicación del vector rumbo en cada uno de los cuadrantes, en función del azimut de buzamiento, sobre el plano de proyección estereográfica. Figura 2-4. Representación del vector rumbo, en los cuadrantes de la red estereográfica. En la Figura 2-4, se identifica el ángulo que se forma entre la línea Este Oeste (E W) y el vector unitario del Rumbo. Este ángulo es de 360 en el primer cuadrante, es en el segundo cuadrante, es 180 para el tercer cuadrante y de 180 para el cuarto cuadrante. Estos ángulos cumplen las siguientes identidades trigonométricas en la función seno y coseno respectivamente: sen360 sen sen180 sen 180 cos360 cos cos180 cos 180 Las anteriores relaciones trigonométricas permiten que para cualquier valor de " " la función senα representa el coseno director en x del vector unitario del rumbo, y la función cosα representa el coseno director en y. De esta forma, el vector unitario del Rumbo en la discontinudiad, en función del azimut de buzamiento ( ), que cumple para todos los cuadrantes es:

12 34 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles!"# $%&"' $()* (2-1) El vector de la expresión anterior se define como unitario por presentar una magnitud igual a 1, lo cual se comprueba con la siguiente expresión: 2 r -./senα0 1 $/cosα Vector Unitario del Buzamiento La Figura 2-5, presenta el ángulo de Buzamiento "β" en el corte generado por el vector del Azimut de Buzamiento. En esta figura, el vector de Buzamiento se encuentra en verdadera magnitud, dirigiéndose hacia el Este. Figura 2-5. Vector de Buzamiento en verdadera magnitud, sobre el plano del Azimut de Buzamiento. Para considerar que se trata de un vector unitario, se asume que la magnitud del vector es igual a uno. Según la Figura 2-5, el vector que representa la inclinación presenta las siguientes componentes: ı 0 ; ȷ cosβ ; k senβ La expresión anterior indica que el vector unitario del buzamiento proyectado sobre el plano N-S y E-W presenta una magnitud igual a 89:;. La Figura 2-6, presenta la ubicación del vector unitario del Azimut de Buzamiento en cada uno de los cuadrantes del plano de proyección de la red estereográfica. En esta figura se observa la magnitud proyectada del vector unitario de buzamiento, y el ángulo que forma el vector de azimut de buzamiento con la línea E-W.

13 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 35 Figura 2-6. Representación del vector unitario del Azimut de Buzamiento, en los cuadrantes de la red estereográfica. Ejecutando el mismo procedimiento realizado con el vector unitario del Rumbo, se obtiene que las componentes del vector unitario del Buzamiento son las siguientes: ı sen90º =cosβ>sen90º=cos cos90º=sen?=cosβ ı cos =cosβ ȷ cos90º =cosβ>cos90º=cos $sen90º=sen?=cosβ ȷ sen =cosβ k senβ De acuerdo a las expresiones anteriores, el vector unitario del Buzamiento A %& =%&BC*$! =%&BD*$!B) (2-2) Las siguientes ecuaciones comprueban que se trata de un vector unitario:

14 36 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles Eb 2 E G>cos =cosβ? 1 $>sen =cosβ? 1 $>senβ? 1 Eb 2 E Gcos 1 β=>cos 1 $sen 1?$sen 1 β Eb E Vector Unitario de Intersección El vector Unitario de la Intersección entre dos planos de discontinuidad es igual al producto cruz entre los vectores normales a los planos de discontinuidad dividido entre su magnitud, de acuerdo a la siguiente expresión:! H (2-3) Donde,! : H es el vector unitario normal al plano H, y! es el vector unitario normal al plano b. El vector unitario normal al plano a, es igual al producto cruz entre los vectores unitarios de Buzamiento y Rumbo, dividido en su magnitud de acuerdo a la siguiente H! H H K@ H K H (2-4) El orden del producto H H de la ecuación anterior, garantiza un vector normal hacia el hemisferio inferior, es decir, en dirección z positiva hacia abajo. Utilizando la ecuación (3-4), se resuelve la determinante la siguiente matriz de 3x3, para obtener el vector normal a la discontinuidad H : Det.Pcosα = cosβ senα = cosβ senβp n L ı ȷ k senα cosα 0 n L ı =>cosα=senβ? ȷ =>senα=senβ? $k=>senα=senα=cosβ$cosα=cosβ=cosα? n L cosα=senβı senα=senβȷ $ cosβ=>senα 1 $cosα 1?k Finalmente se obtiene el vector normal unitario al plano H con la siguiente expresión:! %&"= H!BC *!"=!BD * $%&B) R (2-5)

15 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 37 Al igual que los anteriores vectores unitarios, se comprueba que la expresión (3-5) corresponde a un vector unitario. De acuerdo a la ecuación (3-3), se debe resolver el producto cruz entre los dos vectores unitarios normales a los planos "a" y "b". El producto cruz entre estos dos vectores unitarios se obtiene de resolver el siguiente determinante: ı ȷ k n L n T Det.Pcosα L =senβ L senα L =senβ L cosβ L P cosα T =senβ T senα T =senβ T cosβ T Resolviendo el determinante de la expresión anterior, se tiene el siguiente resultado: n n L T ı >senα L =senβ L =cosβ T $senα T =senβ T =cosβ L? ȷ >cosα L =senβ L =cosβ T $cosα T =senβ T =cosβ L?$ k>cosα L =senβ L =senα T =senβ T cosα T =senβ T =senα L =senβ L? La anterior expresión se puede reducir de la siguiente forma: n n L T ı =Dx$ȷ =Dy$k =Dz Dónde: Dx senα L =senβ L =cosβ T $senα L =senβ T =cosβ L =%&B H!" H =!B H (2-6) Dy >cosα L =senβ L =cosβ T $cosα T =senβ T =cosβ L? XZ %&" H =!B H =%&B H (2-7) Dz cosα L =senβ L =senα T =senβ T cosα T =senβ T =senα L =senβ L Dz senβ T =senβ L =>cosα L =senα T cosα T =senα L? =!B H " H? (2-8) La magnitud del producto cruz entre vectores unitarios es la siguiente: \!! GXY \ $XZ \ $X[ \ (2-9)

16 38 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles Finalmente, la expresión que representa el vector unitario de Intersección es el siguiente: HI@ XY C ]XZ D ]X[ )^ \ GXY \ ]XZ \ ]X[ \ (2-10) Para obtener el buzamiento de esta línea de intersección, se igualan las ecuaciones (3-2) y (3-10), en su componente vertical "": :en/β _LIT 0 B ahi@! Ib c Dz 2 GDx 2 $Dy 2 $Dz 2 X[ \ d GXY \ ]XZ \ ]X[ \ (2-11) Para obtener el azimut de buzamiento, se Igualan las ecuaciones (3-2) y (3-10), en sus componentes Norte y Este " "," ". cos/α _LIT 0=cos/β _LIT 0 Dx 2 GDx 1 $Dy 1 $Dz 1 " ahi@ %& Ib e sen/α _LIT 0=cos/β _LIT 0 " ahi@! Ib c b = XY g (2-12) %&/B ahf@ 0 \.XY \ ]XZ \ ]X[ \ Dy 2 GDx 1 $Dy 1 $Dz 1 b = XZ \ d (2-13) %&/B ahf@ 0 GXY \ ]XZ \ ]X[ \ Es importante el orden en que se realiza el producto cruz entre los vectores unitarios normales a los planos de discontinuidad, según la ecuación (3-3), entre los planos denominados como h" y i". La forma de identificar que no se trata del orden correcto es porque un mal ordenamiento resulta en un valor del Buzamiento β _LIT " negativo, al utilizar la expresión (3-11). Un Buzamiento negativo de la línea de intersección representa que el vector no se dirige hacia el hemisferio inferior de proyección. Luego de identificar el orden correcto de los planos h" y i", se obtiene el azimut de buzamiento de la intersección "" ahi@ " mediante la expresión (3-12) y se realizan las siguientes revisiones: si el componente jk de la expresión (3-7) es positivo se utiliza el ángulo encontrado directamente de la expresión (3-12), de lo contrario el azimut es 360 menos el dato obtenido de la expresión (3-12).

17 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles Geometría del Máximo Tamaño del Bloque Inestable Definición de Bloque Inestable y Bloque Crítico El Bloque Inestable en una excavación subterránea consiste en una pirámide de roca delimitada por los planos de discontinuidad con posibilidad cinemática de ingresar a la sección de excavación, y es un Bloque Crítico cuando presenta el máximo tamaño que puede tomar. El Bloque Crítico considera el máximo volumen de material rocoso delimitado por discontinuidades capaz de ingresar al túnel, y por cada sección de excavación existen varios Bloques Críticos. La Pirámide de Roca se refiere a la forma que toma el bloque inestable, delimitado por la interacción de las discontinuidades presentes en un macizo rocoso. El tamaño del Bloque Crítico depende; del tamaño y la forma de la sección de excavación del túnel, de la orientación y pendiente del alineamiento del túnel, y del vector unitario de la Intersección entre planos de discontinuidad o del vector unitario del Azimut de Buzamiento de las discontinuidades consideradas. Una Pirámide de roca se forma si en el macizo rocoso se presentan al menos tres familias de discontinuidades, para que se generen tres líneas de intersección. Para que el Bloque Inestable sea un Bloque Crítico al menos dos de las tres intersecciones entre planos de discontinuidad deben ser tangentes a la sección de excavación. El Bloque Crítico se obtiene al considerar tres sistemas de discontinuidades, debido a que si se incluye un cuarto sistema éste sólo podría reducir su volumen. La Figura 2-7, presenta dos vistas en perspectiva de un Bloque Crítico ubicado en la bóveda de un túnel con sección de excavación circular, junto con los elementos que definen la forma del Bloque Crítico, es decir, la Pirámide de Roca. En la Figura 2-7 se observa la ubicación del Ápice, que se define como la punta del Bloque Inestable. Cuando el Ápice hace parte de uh Bloque Crítico, se denomina Ápice Crítico. Son Vértices los puntos de corte o contacto entre las intersecciones de los planos de discontinuidad que forman el Bloque Crítico y la sección de excavación. La Figura 2-7 presenta tres vértices, uno por cada intersección entre planos de discontinuidad.

18 40 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles Ápice Ápice Plano de Discontinuidad 1 Plano de Discontinuidad 3 Plano de Discontinuidad 2 Plano de Discontinuidad 1 Vértice Tangente entre planos 1 y 3 (VT[1-3]) Vértice Tangente entre planos 2 y 3 (VT[2-3]) Vértice Secante entre planos 1 y 2 (VS[1-2]) (a) (b) Figura 2-7. Vista en perspectiva (a) y (b) de un Bloque Crítico ubicado en la bóveda de un túnel con sección de excavación circular. Un Vértice es Tangente cuando es producto del contacto entre la sección de excavación y una intersección entre planos de discontinuidad que es tangente a la sección. La Figura 2-7 presenta dos vértices tangentes, uno en el contacto de la sección con la intersección entre los planos 1 y 3, y otro en el contacto de la sección con la intersección entre los planos 2 y 3. Se denomina Vértice Secante cuando es producto del corte entre la sección de excavación y una intersección que no es tangente a la sección. La Figura 2-7 presenta un vértice secante, en el contacto de la sección con la intersección entre los planos 1 y 2. La Figura 2-8, presenta la vista frontal del mismo Bloque Crítico de la Figura 2-7, al considerar una sección de excavación circular. Esta figura adicionalmente señala las intersecciones entre los planos de discontinuidad que delimitan la Pirámide de Roca. El plano yz que corresponde a una vista frontal de la sección de excavación presentada en la Figura 2-8, permite identificar claramente cuáles son las dos intersecciones tangentes y cuál es la intersección secante a la sección de excavación circular. El plano yz, corresponde a un corte perpendicular al eje del túnel, donde se aprecia en verdadera magnitud la sección de excavación.

19 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 41 Intersección entre planos 1 y 2 Intersección entre planos 2 y 3 Plano de Discontinuidad 2 Ápice Intersección entre planos 1 y 3 Plano de Discontinuidad 1 Vértice Tangente entre planos 2 y 3 (VT[2-3]) Vértice Secante entre planos 1 y 2 (VS[1-2]) Vértice Tangente entre planos 1 y 3 (VT[1-3]) Figura 2-8. Vista frontal de un Bloque Crítico ubicado en la bóveda de un túnel con sección de excavación circular. En la Figura 2-8 se observa que el Ápice Crítico, correspondiente al Bloque Crítico, se obtiene directamente del cruce entre las dos intersecciones tangentes a la sección de excavación, la intersección entre los planos 2 y 3, y la intersección entre los planos 1 y 3. La otra intersección puede ser o tangente o secante a la sección de excavación, para que se conforme la Pirámide de Roca. En el caso de la Figura 2-8, la intersección entre los planos 1 y 2 es secante a la sección de excavación. En la Figura 2-7 y Figura 2-8, se observa que existen otras intersecciones adicionales a las ocasionadas en el contacto entre planos de discontinuidad, y son las que se forman en el contacto entre los planos de discontinuidad y la sección de excavación o cara libre. A cada plano de discontinuidad le corresponde una intersección con la sección de excavación. La proyección de las líneas de intersección en un plano perpendicular al eje del túnel, es la base de la metodología adoptada para la identificación de Bloques Críticos. A continuación se presenta una descripción del método Técnica alternativa para la obtención de Bloques Críticos: Líneas principales y secundarias El método denominado como Líneas Principales y Secundarias, consiste en una técnica alternativa a las teorías existentes para ubicar las coordenadas del ápice y de los vértices que le dan la forma el Bloque Crítico.

20 42 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles Esta técnica consiste en proyectar las intersecciones entre planos de discontinuidad, tres para el volumen máximo, en un plano que corta perpendicular al eje del túnel. La Figura 2-8, muestra un ejemplo de corte perpendicular al eje del túnel, donde se ve en verdadera magnitud la geometría de la sección de excavación convencional en túneles prismáticos, junto con los elementos que componen esta sección: solera, hastiales y bóveda. La bóveda es la parte más alta o clave de la sección de excavación, los hastiales son las paredes y la solera es el piso. y Recta Principal de intersección proyectada Vector de intersección en el espacio z Vértice tangente de la recta principal (VTP) Plano de Proyección y z Rectas Secundaria de intersección proyectada Vértice tangente de la recta secundaria (VTS) Figura 2-9. Rectas de una Intersección proyectada, con dos puntos de referencia tangentes a la sección de excavación. Sobre el plano de proyección propuesto, se observan las proyecciones de las aristas de la Pirámide de Roca conformadas por las intersecciones entre los planos de discontinuidad. Al considerar planos de discontinuidad que no son oblicuos, las proyecciones de las intersecciones se presentan en forma de rectas y sin verdadera magnitud. Existen al menos dos posibilidades para que las proyecciones de las líneas de intersección entre planos de discontinuidad sean tangentes a la sección de excavación, por la parte superior (recta principal) o inferior (recta secundaria) a la sección de excavación. La Figura 2-9, presenta las dos posibilidades de que la proyección de la intersección sea tangente a la sección de excavación. En la Figura 2-9, se observan dos rectas de igual pendiente, originadas luego de proyectar el vector de intersección entre dos planos de discontinuidad en un plano perpendicular al eje del túnel. La recta proyectada es una Recta Principal cuando es tangente a la parte superior de la sección de excavación, y es una Recta Secundaria, cuando es tangente a la parte inferior de la sección de excavación. El calificativo de Principal y Secundario, sólo se hace para distinguir las rectas proyectadas de igual pendiente e identificar de forma rápida y sencilla el sector donde se realiza la tangencia. En el caso de una proyección vertical, donde no se puede diferenciar entre la tangencia superior e inferior a la sección de excavación, es indiferente la asignación del nombre.

21 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 43 Un Vértice Tangente es Principal VTP cuando es producto de la tangencia de una Recta Principal, y es un Vértice Tangente Secundario VTS cuando es producto de la tangencia de una Recta Secundaria. A cada una de las rectas tangentes a la sección de excavación les corresponde una ecuación, compuesta de una pendiente y de un dato de corte con el eje de la ordenada. La pendiente sale directamente de la proyección del vector unitario de Intersección, mientras el corte con el eje ordenado depende de la ubicación y la forma de la sección de excavación. La técnica alternativa para la obtención de Bloques Críticos: Líneas Principales y Secundarias, plantea que: Todo vértice tangente principal (VTP) o secundario (VTS), hace parte de al menos dos Bloques Críticos. Los Ápices Críticos que conforman un Bloque Crítico se encuentran en el cruce entre dos Rectas Principales o Secundarias. Lo que significa que todo cruce entre Rectas Principales o Secundarias hace parte de un Posible Ápice. El procedimiento que se debe seguir para la obtención de las Pirámides de Roca que conforman los Bloques Críticos es el siguiente: I. Vector Unitario de las Intersecciones: Establecer un sistema de discontinuidades y obtener el vector unitario de la Intersección entre los planos de discontinuidad. II. Proyección del Vector Unitario de las Intersecciones en un plano perpendicular al eje del túnel: Debido a que el eje del túnel puede no presentar el mismo sistema coordenado con el que se obtienen los cosenos directores del vector unitario de la intersección, se requiere de una matriz de transformación. III. Ecuaciones de las Rectas Principales y Secundarias, y coordenadas de los Vértices Tangentes: Obtener la pendiente de la recta de intersección proyectada. Analizar la sección de excavación y obtener el dato de corte con el eje ordenado de la recta proyectada para que sea tangente en la parte superior e inferior de la sección de excavación. En este paso se encuentran las ecuaciones de las Rectas Principales y Secundarias de cada una de las intersecciones proyectadas, y las coordenadas de todos los Vértices Tangentes.

22 44 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles IV. Identificación de Posibles ápices: Al igualar las ecuaciones de las Rectas Principales y Secundarias, se obtienen los posibles ápices proyectados en un plano que corta perpendicularmente el eje del túnel. V. Establecer los Ápices Críticos: Luego de identificar las coordenadas de los Posibles Ápices se completa una matriz de diferencias entre las coordenadas de los posibles ápices y los vértices tangentes. La matriz permite identificar dos Ápices Críticos por cada Vértice Tangente. VI. Completar la Pirámide de Roca: Asociados dos Vértices Tangentes a un Ápice Crítico, se obtiene el Vértice Secante que completa los elementos requeridos por la Pirámide de Roca. Luego de completar los seis pasos anteriores, se calculan los perímetros, áreas y volúmenes de los Bloques Críticos: Una vez se han establecido los tres vértices y el ápice para cada uno de los Bloques Críticos se calculan los perímetros de las intersecciones entre planos de discontinuidad y entre planos de discontinuidad y sección de excavación, las áreas de los planos de discontinuidad y pared de excavación, y el volumen del Bloque Crítico. A continuación se presentan cada uno de los pasos establecidos para la obtención del Bloque Crítico en una sección de excavación circular. I. Vector Unitario de las Intersecciones Para la obtención del vector unitario de las intersecciones se deben utilizar las ecuaciones presentadas en el numeral Vectores unitarios de las discontinuidades y líneas de intersección. II. Proyección del Vector Unitario de las Intersecciones en un plano perpendicular al eje del túnel La Figura 2-10, presenta las rectas principales y secundarias que se obtienen de la combinación de intersecciones entre tres sistemas de discontinuidades, y su contacto tangencial con la sección de excavación circular. En la Figura 2-10, se observan las proyecciones de las líneas de intersección Principales y Secundarias, por ejemplo, la intersección entre los planos 1 y 2 forman la recta Secundaria S(1-2) y Primaria P(1-2) con pendiente m(1-2). Al ser tres los sistemas de discontinuidades considerados, son tres las intersecciones que se deben proyectar.

23 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 45 Figura Representación gráfica de las líneas principales y secundarias. Se observa que las coordenadas en el plano de proyección, perpendicular al eje del túnel, pueden no ser las mismas definidas como x al Norte, y al Este y z hacia abajo, establecidas para encontrar el vector unitario de intersección. Para proyectar en un sistema coordenado diferente es necesario realizar una transformación vectorial, desde el sistema coordenado N, E y Z al plano de proyección x, y y z. El nuevo sistema coordenado propuesto es: x en dirección del túnel, y en dirección ortogonal hacia el costado derecho del túnel, y z en dirección ortogonal hacia abajo del eje del túnel. En el plano de proyección perpendicular al eje del túnel se proyectan las intersecciones en sus coordenadas y y z, lo que plantea la necesidad de transformar los vectores de intersección obtenidos en el paso anterior. Para la transformación del sistema coordenado se encuentra una matriz denominada como Matriz de Transformación, que al ser multiplicada por el vector unitario de intersección obtenido del paso anterior lo transforma a sus nuevas coordenadas x y z. La Figura 2-11, presenta el sistema coordenado transformado.

24 46 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles ESTEREOGRÁFICA W(-Y) N(X) βt αt βt X' RUMBO DEL TÚNEL EJE DEL TÚNEL PLANO VERTICAL QUE CONTIENE EL EJE DEL TÚNEL EN HEMISFERIOR SUPERIOR S(-X) βt Z' αt Y' E(Y) PLANO VERTICAL QUE CONTIENE EL EJE DEL TÚNEL PLANO PERPENDICULAR AL EJE DEL TÚNEL Z Figura Sistema coordenado transformado x y z. En la Figura 2-11 se observa la dirección del nuevo sistema coordenado, donde el eje x se encuentra en la dirección del túnel, el eje y en dirección perpendicular al eje x y sobre el plano xy, y el eje z cumpliendo la regla de la mano derecha respecto a los ejes x y. De la figura se observa que el plano perpendicular al eje del túnel corresponde al plano y z, El plano trasformado x y z puede ser igual al plano sin trasformar xyz, si el eje del túnel coincide con la línea Norte-Sur. La Matriz de Transformación está compuesta por los cosenos directores de la rotación de cada uno de los ejes. Para obtener los cosenos directores entre los ejes anteriores y los ejes transformados se utiliza el producto vectorial punto. A continuación se presentan las expresiones desarrolladas Matriz de Transformación De acuerdo a la Figura 2-11, l m es el azimut de buzamiento del túnel, el cual orienta el eje del túnel sobre el plano N-E o x-y, y n m el buzamiento o pendiente en grados del túnel. El vector que define la dirección del túnel en sus coordenadas es: Y %&"p =%&B p # $!" p =%&B p ' $!B p )* (2-14) El vector sobre plano xy, y perpendicular al eje del túnel es: Z!"p # $%&" p ' $()* (2-15) El vector perpendicular a los vectores q k, se obtiene del producto cruz entre los vectores q k, y se define como sigue:

25 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 47 [ %&"p =!B p #!" p =!B p ' $%&B p )* (2-16) La transformación es la siguiente: la dirección del túnel se define como el eje x en reemplazo del eje x; la dirección del vector y, perpendicular al eje x, reemplaza el vector y; mientras el vector z reemplaza el vector z. Los vectores unitarios que representan los ejes cartesianos originales, sin transformar, son: Y b# $(' $()* (2-17) Z (# $b' $()* (2-18) [ (# $(' $b)* (2-19) Para encontrar los cosenos directores entre los ejes, se utiliza el producto punto de la siguiente forma: Entre la dirección del túnel x (3-14) y el eje Norte x (3-17), cosθ s t,s vcosα w=cosβ w ı $senα w =cosβ w ȷ $senβ w kx v1ı $0ȷ $0kx %&z Y t,y %&" p=%&b p (2-20) Entre la dirección del túnel x (3-14) y el eje Este y (3-18), cosθ s t,{ vcosα w=cosβ w ı $senα w =cosβ w ȷ $senβ w kx v0ı $1ȷ $0kx %&z Y t,z!" p=%&b p (2-21) Entre la dirección del túnel x (3-14) y el eje vertical z (3-19), cosθ s t, vcosα w=cosβ w ı $senα w =cosβ w ȷ $senβ w kx v0ı $0ȷ $1kx %&z Y t,[!b p (2-22) Entre el vector y (3-15) y el eje Norte x (3-17), cosθ { t,s vsenα w ı $cosα w ȷ $0kx v1ı $0ȷ $0kx %&z Z t,y!" p (2-23) Entre el vector y (3-15) y el eje Este y (3-18), cosθ { t,{ vsenα w ı $cosα w ȷ $0kx v0ı $1ȷ $0kx %&z Z t,z %&" p (2-24)

26 48 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles Entre el vector y (3-15) y el eje vertical z (3-19), cosθ { t, vsenα w ı $cosα w ȷ $0kx v0ı $0ȷ $1kx %&z Z t,[ ( (2-25) Entre el vector z (3-16) y el eje Norte x (3-17), cosθ t,s vcosα w=senβ w ı senα w =senβ w ȷ $cosβ w kx v1ı $0ȷ $0kx %&z [ t,y %&" p=!b p (2-26) Entre el vector z (3-17) y el eje Este y (3-18), cosθ t,{ vcosα w=senβ w ı senα w =senβ w ȷ $cosβ w kx v0ı $1ȷ $0kx %&z [ t,z!" p =!B p (2-27) Entre el vector z (3-17) y el eje vertical z (3-19), cosθ t, vcosα w =senβ w ı senα w =senβ w ȷ $cosβ w kx v0ı $0ȷ $1kx %&z [ t,[ %&B p (2-28) Finalmente, se obtiene la matriz de transformación vectorial: ~ } %&" p =%&B p!" p =%&B p!b p ~ e!" p %&" p ( g } %&" p =!B p!" p =!B p %&B p (2-29) La transformación vectorial, permitirá encontrar la pendiente de las intersecciones entre planos de discontinuidad proyectadas, mediante la siguiente ecuación: [ƒ Zƒ (2-30) La transformación del vector unitario de Intersección, obtenido del paso anterior, al sistema coordenado x y z es:

27 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 49 x Š y z ˆ cosα w =cosβ w senα w =cosβ w senβ w Œ Œ Œ senα w cosα w 0 Œ Œ cosα w =senβ w senα w =senβ w cosβ w Ž Dx Š KI K LIT Dy KIK LIT Dz KIKˆ LIT En consecuencia las componentes del vector unitario transformado son las siguientes: XY ƒ %&" p =%&B p XY K K $!" ah@ p=%&b p XZ K K $!B ah@ p X[ XZ ƒ!" p XY K K $%&" ah@ p XZ K K ah@ K K ah@ X[ ƒ %&" p =!B p XY K K!" ah@ p=!b p XZ K K $%&B ah@ p X[ K K ah@ (2-31) (2-32) (2-33) III. Ecuaciones de las Rectas Principales y Secundarias, y coordenadas de los Vértices Tangentes: Según la ecuación (3-30), la pendiente de la intersección proyectada en el plano y z es: HI@ I%&/" ahf@ 0=! B ah@ XY K K I!/" ahf@0=! B ah@ XZ ah@ K K ]%& B ah@ X[ ah@ K K ah@ I!/" ahf@ 0 XY K K ]%&/" ahf@0 XZ ah@ K K ah@ (2-34) En la ecuación (3-34), la pendiente toma un valor positivo si la recta proyectada presenta el buzamiento hacia el costado derecho de la sección de excavación, y negativo si buza hacia el costado izquierdo. Luego de encontrar las pendientes, se identifican los puntos denominados como Vértices Tangentes, dos por cada intersección Vértices Tangentes de Rectas Principales y Secundarias Los vértices tangentes se obtienen al comparar la ecuación de las rectas proyectadas de las intersecciones con la ecuación correspondiente a la sección de excavación. La ecuación de la sección de excavación en el caso de análisis corresponde al de una circunferencia. Considerando una sección de excavación circular de diámetro D T, a una profundidad H T desde la superficie del terreno, se establece la formulación.

28 50 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles La Figura 2-12, presenta los dos vértices tangentes al considerar una línea de intersección entre dos planos de discontinuidad ( i, j ) y una sección de excavación circular. En esta figura se observan dos vértices tangentes, uno en el sector superior de la sección de excavación, en el contacto con la recta principal denominado como Vértice Tangente Principal de la intersección i-j (VTP[i-j]), y el otro en la sector inferior denominado como Vértice Tangente Secundario de la intersección i-j (VTS[i-j]). De estas rectas se conoce el ángulo de buzamiento, denominado como Buzamiento de intersección transformado, por tratarse de un ángulo proyectado. Figura Vértices tangentes principales y secundarios dada una intersección proyectada i-j. De la ecuación (3-34), se obtiene la pendiente proyectada, y de ésta se obtiene el buzamiento de intersección i-j transformado ; I mediante la siguiente expresión: β I tan I m ab Luego de encontrar el buzamiento proyectado y dada una proyección de la intersección entre los planos i y j, las coordenadas y,z de los vértices tangentes son: En el contacto con la recta principal, vértice tangente principal ( œ ), Z žÿ CID X p /\=! B CD (2-35)

29 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 51 [ žÿ CID p X p /\=%& B CD (2-36) En el contacto con la recta secundaria, vértice tangente secundario ( œ ), Z žÿcid X p /\=! B CD (2-37) [ žÿcid p $X p /\=%& B CD (2-38) En las expresiones anteriores se observa que un valor de n œ positivo, presenta valores positivos en la coordenada y, y valores negativos en este parámetro presentan valores de igual signo en la coordenada y. Para encontrar la constante Db que determina el corte de las rectas Principales o Secundarias ( ) con el eje de la ordenada y, se utiliza la siguiente ecuación: X@ CID [ žÿ CID Z žÿ CID =ŸH! B CD (2-39) Reemplazando las expresiones (3-35) y (3-36) para obtener la constante Db de la recta principal, y las expresiones (3-37) y (3-38) para la recta secundaria, se completa la información de la ecuación las rectas de intersección proyectadas: Z =ŸH!/B CŸ>CID? 0$X@ CID (2-40) Existen casos especiales: ; I ( y ; I (. Para ; I ( se cumplen todas las ecuaciones anteriores, mientras para ; I ( no se halla la constante Db de la recta. En el caso de n œ (, no se utilizan las expresiones (2-39) y (2-40), las cuales son sustituidas por: Z Z žÿ CID (2-41) Otro caso especial, surge cuando la inclinación del túnel es igual a la inclinación de la intersección, y la dirección del eje del túnel es similar al azimut de buzamiento de la intersección, es decir, cuando n m ; I y l m ª«:. En este caso, la intersección forma parte de un denominado Bloque Infinito, que se visualiza como un punto en el plano y, z. De cumplirse la condición mencionada, no se tiene en cuenta esta intersección en el análisis. La Figura 2-13, presenta un esquema de Bloque Infinito.

30 52 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles Ápice Bloque Infinito Y' X' Y' Z' Sección de Excavación Z' Figura Esquema de Bloque Infinito. En la Figura 2-13, se aprecia como en el plano perpendicular al eje del túnel y z la intersección que induce el Bloque Infinito no proyecta una recta. IV. Identificación de Posibles ápices Una vez se han encontrado las ecuaciones de las rectas principales y secundarias proyectadas en un plano perpendicular al eje del túnel, de cada una de las líneas de intersección, se obtienen los puntos donde éstas se intersecan entre sí. Cada punto de corte entre rectas proyectadas se considera un posible ápice, debido a que se trata de un punto ubicado en el espacio donde coinciden dos rectas tangentes a la sección de excavación. La cantidad de posibles ápices se obtiene mediante la siguiente sumatoria: ±I 4 ² La función anterior establece que al considerar dos sistemas de discontinuidades son 4 los posibles ápices, al considerar tres sistemas son doce, y al considerar cuatro sistemas de discontinuidad es 24 el número de Posibles Ápices. Para encontrar los puntos de corte entre las rectas se igualan cada una de sus correspondientes ecuaciones. A continuación se presentan las expresiones para encontrar las coordenadas y, z, de los posibles ápices entre dos intersecciones conformadas por los planos i, j, k con buzamientos proyectados distintos a ( :