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1 Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica División de Estudios de Posgrado Creación de una herramienta matemática para la optimización de servicios en un centro de distribución por Miguel Mata Pérez en opción al grado de Doctor en Ingeniería con especialidad en Ingeniería de Sistemas San Nicolás de los Garza, Nuevo León marzo 2008

2 Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica División de Estudios de Posgrado Creación de una herramienta matemática para la optimización de servicios en un centro de distribución por Miguel Mata Pérez en opción al grado de Doctor en Ingeniería con especialidad en Ingeniería de Sistemas San Nicolás de los Garza, Nuevo León marzo 2008

3 Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica División de Estudios de Posgrado Los miembros del Comité de Tesis recomendamos que la Tesis Creación de una herramienta matemática para la optimización de servicios en un centro de distribución, realizada por el alumno Miguel Mata Pérez, con número de matrícula , sea aceptada para su defensa como opción al grado de Doctor en Ingeniería con especialidad en Ingeniería de Sistemas. El Comité de Tesis Dr. Igor S. Litvinchev Asesor Dr. César E. Villarreal Rodríguez Revisor Dra. Ada M. Álvarez Socarrás Revisor Dr. Fernando López Irarragorri Revisor Dr. Boris Peltsverger Revisor Vo. Bo. Dr. Alan G. Castillo Rodríguez División de Estudios de Posgrado San Nicolás de los Garza, Nuevo León, marzo 2008

4 A mi esposa, porque su esfuerzo fue mayor que el mío. A Miguel, Alma, Mariana y Karla, por quienes todo esfuerzo siempre vale la pena.

5 Índice general Agradecimientos XIV Resumen XVI 1. Introducción Estructura de la tesis Descripción del problema El centro de distribución El problema Antecedentes Objetivo Justificación Hipótesis El centro de distribución El centro de distribución Estructura del centro de distribución Manejo del producto El proceso de almacenamiento Almacenaje fijo y almacenaje dinámico Espacios preferenciales y temperatura Reconfiguración y consolidación Asignación de puertos El problema v

6 Índice general vi El problema de la disposición de almacén Antecedentes Introducción al problema de disposición de almacén Práctica reciente Disposiciones dispersas Revisión de la literatura Recibo y embarque Diseño de la disposición Almacenaje Selección de pedidos El modelo matemático Programación lineal entera mixta Supuestos El modelo Conjuntos Parámetros Variables Planteamiento matemático Algunos comentarios al modelo Sobre la naturaleza de algunas variables Reducción del modelo Conclusiones del capítulo Aplicación del modelo La regla ABC Un ejemplo pequeño Conclusiones del capítulo Propiedades teóricas del modelo Antes de comenzar

7 Índice general vii 5.2. Factibilidad Integralidad de las variables de flujo Preprocesamiento Fijando variables Implicaciones entre variables Desigualdades válidas Cotas superiores Submodelos Fijando las variables de asignación de vehículos No existe inventario Las variables de viaje son relajadas linealmente Dimensiones del modelo Sugerencias de implementación Consideraciones sobre algunos parámetros Andenes de carga y descarga Parámetros de capacidad Parámetros de costo Calculando la temperatura de los espacios de almacenaje Cálculo de un parámetro para medir la temperatura Eligiendo preferencias Qué hacer en caso de infactibilidad Disminuyendo las dimensiones del modelo Agregación de espacios de almacenaje Agregación de productos Resolviendo a gran escala El problema a gran escala Las dimensiones del modelo Las dimensiones en la práctica Soluciones a gran escala

8 Índice general viii 7.2. Un heurístico basado en relajación lineal Relajar y fijar Aplicación de la técnica de relajar y fijar Observaciones y resultados Conclusiones del capítulo Relajación lagrangiana Primera propuesta Subproblemas Observaciones Modificación a la primera propuesta Observaciones Segunda propuesta Observaciones Aportación teórica Modificación a la segunda propuesta Observaciones Relajación lagrangiana y fijar Observaciones Tercera propuesta Observaciones Modificación a la tercera propuesta Observaciones Aportación teórica Relajación lagrangiana y fijar Observaciones Conclusiones del capítulo Generación de casos de prueba Diseños de almacén Cálculo de parámetros

9 Índice general ix Tiempos de traslado Capacidades Ofertas, demandas e inventarios Costos Conclusión Experimentación computacional Medición de resultados A la búsqueda del óptimo Modo de comparación de resultados Experimentación computacional Relajar y fijar Primera relajación lagrangiana Segunda relajación lagrangiana Tercera relajación lagrangiana Relajación lineal y método exacto Análisis de los resultados Cotas primales Cotas duales Intervalos Conclusiones del capítulo Conclusiones Contribuciones Conclusiones Trabajo futuro A. Programación lineal 141 A.1. Breve historia A.2. Problema general de la programación lineal A.2.1. Hipótesis de la programación lineal

10 Índice general x A.2.2. Manipulaciones del problema general A.3. Representación matricial A.3.1. Formas canónica y estándar B. Programación entera 147 B.1. Clasificación y formulaciones B.2. Ramificar y acotar B.2.1. Dividir y vencer B.2.2. Enumeración implícita B.2.3. Algoritmo de ramificar y acotar C. Unimodularidad total 151 C.1. Matrices totalmente unimodulares C.2. El problema de transporte C.2.1. Definición del problema de transporte D. Relajación lagrangiana 155 D.1. Relajación y cotas D.1.1. Relajación D.1.2. Cotas D.2. Relajación lagrangiana D.3. El método de subgradiente D.3.1. Ajuste de parámetros E. Herramientas computacionales 160 E.1. Generalidades de GAMS E.2. Generalidades de Cplex E.2.1. Programación Lineal E.2.2. Programación entera mixta E.3. GAMS/Cplex Bibliografía 165

11 Índice de figuras 2.1. Un centro de distribución Distintas unidades de manejo del producto Flujo en un centro de distribución Temperaturas de un almacén según su disposición Disposición de almacén con pasillos angulados Reconfiguración de la disposición en un cambio de periodos Consolidación del almacén para iniciar un nuevo periodo Disposición del almacén considerando las demandas típicas Disposición funcional y disposición celular Disposiciones con varios grados de dispersión Usando la disposición dispersa para construir células virtuales Esquema auxiliar para asociar los conjuntos básicos Esquema auxiliar para asociar los conjuntos de flujo Almacén del ejemplo Zonas de preferencia para el ejemplo Soluciones de disposición para el primer ejemplo Inventario inicial para el segundo ejemplo Soluciones de disposición para el ejemplo Temperaturas de un almacén según su flujo Almacén con una zona de descarga y dos de embarque Temperaturas del almacén para cada acceso xi

12 Índice de figuras xii 6.4. Distintas temperaturas para el almacén según su ponderación Agregación de espacios de almacenaje Diseños de almacenes usados en la experimentación

13 Índice de tablas 5.1. Fijando variables Relaciones entre las variables Cotas superiores para las variables de flujo Dimensiones del modelo Parámetros auxiliares para cálculo de tiempos Resultados de la técnica de relajar y fijar Resultados de la primera propuesta lagrangeana Resultados de la segunda propuesta lagrangeana Resultados de la tercera propuesta lagrangeana Resultados de la modificación a la tercera propuesta Resultados de la relajación lineal y el método exacto Cotas primales Cotas duales Intervalos xiii

14 Agradecimientos Quiero expresar mi más profundo agradecimiento a todas aquellas personas que de una forma u otra han hecho posible la realización de este trabajo. Amicomité de tesis. A mi asesor, al Dr. Igor S. Litvinchev, por su amistad, apoyo y comprensión, y por darme las bases y conocimientos necesarios para la realización de este proyecto. A la Dra. Ada M. Álvarez, el Dr. César E. Villarreal, el Dr. Fernando López y el Dr. Boris Peltsverger, pues sus certeros consejos y comentarios contribuyeron valiosamente a que el proyecto tomara una mejor forma. A mis profesores del Posgrado en Ingeniería de Sistemas por que, con su amistad y conocimientos, me impulsan a ser mejor. En particular al Dr. Óscar L. Chacón por su apoyo y consejo y al Dr. Rodolfo Garza por sus valiosos comentarios y charlas que me brindaron diversos enfoques del problema de investigación. A la Universidad Autónoma de Nuevo León, y en particular a la División de Estudios de Posgradode la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, por el apoyo al proyecto y a la formación académica de nuestro posgrado. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por el apoyo económico para la realización de este proyecto. A la empresa de consultoría SINTEC por proveer este y otros problemas de su experiencia cotidiana y su disposición de trabajar con nuestro posgrado. A los buenos compañeros del Posgrado en Ingeniería de Sistemas, por la amistad. En particular a mi compañera de doctorado Gabriela García, con quien comxiv

15 Agradecimientos xv partí clases, conocimientos y recursos. A Jania A. Saucedo, mi compañera de proyectos. A Israel Cano, por su apoyo dentro y fuera del proyecto. A mis compañeros Fernando Reyes, Fernando Pérez y Nancy por hacerme saber que aún puedo contar con ellos. A mis padres, por la educación que me brindaron, por los valores, los consejos y buenos ejemplos, cosas tales que me incitan a ser mejor cada día, para mi familia, mis amigos y mi sociedad. A mis hermanos, por el apoyo incondicional que siempre me brindaron. A mi esposa, por ser el apoyo fuerte en los momentos difíciles, la compañera en todo, por complicado que sea, y la motivación para seguir adelante. A mis hijos, por ser el motor de mi vida. Pero sobre todas las cosas, gracias a Dios, quien me lo ha dado todo.

16 Resumen Miguel Mata Pérez. Candidato para el grado de Doctor en Ingeniería con especialidad en Ingeniería de Sistemas. Universidad Autónoma de Nuevo León. Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Título del estudio: Creación de una herramienta matemática para la optimización de servicios en un centro de distribución Número de páginas: 175. Objetivos y método de estudio: El centro de distribución es una componente esencial en la cadena de suministro. En él se reciben los productos de los proveedores, se almacenan por el tiempo necesario, se reorganizan y reempacan para, finalmente, distribuirlos a los clientes. Existen diversos movimientos en el centro de distribución, transportando paquetes de productos entre las diversas zonas según lo requieran los pedidos. Dichos movimientos pueden generar gastos innecesarios y mermar la productividad. Es deseable encontrar una forma eficiente de llevar a cabo el proceso de almacenamiento de tal manera que el flujo del centro de distribución sea mínimo. xvi

17 Resumen xvii El problema de la disposición de almacén consiste en, dadas una disposición actual, ofertas y demandas, asignar o reasignar los productos a los espacios del área de almacenaje del centro de distribución de tal manera que el costo de operación sea mínimo. El objetivo del presente trabajo es el de desarrollar una herramienta matemática, un modelo de programación lineal entera mixta, que pueda ser usada como apoyo alatomadedecisión para el problema de la disposición de almacén. La solución debe proveer una configuración óptima bajo los supuestos y el criterio de desempeño definidos. Contribuciones y conlusiones: La contribución principal de este trabajo consiste en la creación de un modelo de programación lineal entera mixta, una herramienta matemática que puede ser usada como apoyo en la toma de decisiones respecto al problema de la disposición de espacio del centro de distribución. El empleo de esta herramienta se traduce en un ahorro en los costos de operación del almacén y un uso más eficiente del espacio. Minimiza los flujos dentro del almacén e incrementa la calidad del servicio, y ofrece un ahorro de tiempo y esfuerzo al tomador de decisiones. Se desarrolla integralmente un soporte teórico que garantiza el correcto y eficiente funcionamiento del modelo creado. El problema de estudio es relevante en la práctica por su fuerte impacto económico en las empresas. Ello hace necesaria una herramienta automatizable que ayude al tomador de decisiones permitiéndole invertir menor tiempo en su solución y ofreciendo una mejor respuesta que se adecue cada vez mejor a las necesidades del entorno actual. La programación matemática ha mostrado ser una herramienta muy eficiente en la solución de problemas de optimización, por su gran versatilidad para modelar problemas asociados con la optimización, y porque en la actualidad, gracias a los

18 Resumen xviii grandes avances teóricos en el área y los impresionantes logros electrónicos, los ordenadores modernos son capaces de dar excelentes soluciones en tiempos razonables. El modelo matemático desarrollado en el presente trabajo es versátil y da una respuesta aceptable al problema de la disposición de almacén. Dada la naturaleza de gran escala del problema, han debido ser creadas algunas herramientas de solución, basadas principalmente en la estrategia de relajación. Se presenta un heurístico basado en la estrategia relajar y fijar y algunas herramientas más poderosas basadas en el concepto del dual lagrangiano. Firma del asesor: Dr. Igor S. Litvinchev

19 Capítulo 1 Introducción En este primer capítulo se describe esencialmente el trabajo de tesis. Se hace una breve descripción del problema y sus antecedentes. Por último, se proporcionan la justificación y el objetivo del trabajo. 1.1 Estructura de la tesis La estructura del presente trabajo de tesis ha sido elaborada con el objetivo de crear un cuerpo comprehensivo, incluso para los lectores menos familiarizados con los temas que se tratan. Con esta intención se presenta en los apéndices material que consideramos de utilidad para la mejor comprensión del presente trabajo. La tesis ha sido organizada en once capítulos. A continuación se hace una descripción de lo que podrá ser encontrado en cada uno de ellos, a excepción del presente capítulo cuyo contenido ha sido descrito ya. En el capítulo segundo se presenta una descripción detallada del problema y sus antecedentes, se hace una revisión en la literatura del estado actual del problema. Se describen algunas estrategias y políticas de almacenaje según los enfoques recientes para el problema general de almacenamiento en la cadena de suministro, así como los rumbos actuales de investigación. El capítulo tercero presenta nuestra propuesta, comenzando por una descripción de la herramienta empleada se detallan los supuestos de modelación y el criterio 1

20 Capítulo 1. Introducción 2 de desempeño. Se presenta el planteamiento del modelo matemático de programación lineal entera mixta y se concluye con algunas observaciones al modelo. El cuarto capítulo presenta, mediante un ejemplo pequeño, algunos aspectos de la aplicación del modelo matemático para la solución del problema de la disposición del almacén. Los resultados del modelo son comparados con una regla simple de uso común en la práctica. El capítulo cinco proporciona una base teórica para el modelo matemático. Se estudian algunas propiedades como factibilidad, integralidad y preprocesamientos. En contraparte, en el capítulo seis se hacen algunas consideraciones prácticas que conviene tomar en cuenta para la implementación de la herramienta. En los dos capítulos siguientes se presentan las herramientas creadas para resolver el problema a gran escala. El capítulo siete presenta una técnica basada en el heurístico de relajar y fijar, mientras que el capítulo ocho presenta una serie de propuestas basadas en el poderosa herramienta de relajación lagrangiana. Los capítulos noveno y décimo presentan los detalles de la experimentación computacional y sus resultados. En el capítulo nueve se presenta la forma en que fueron creados los casos de prueba, mientras que en el capítulo diez se presentan los análisis y comentarios de los resultados. El último capítulo presenta las conclusiones generales del trabajo de tesis, así como sugerencias de posible trabajo futuro. 1.2 Descripción del problema Motivación: El presente problema ha sido propuesto por la empresa líder en logística y cadena de suministro Sintec, quien lo encuentra frecuentemente en la práctica.

21 Capítulo 1. Introducción El centro de distribución El almacén es una componente esencial en la cadena de suministro. En él se reciben los productos de los proveedores, se almacenan por el tiempo necesario para después distribuirlos a los clientes. El centro de distribución es un almacén en el cual la función de distribución del producto es más importante que la de almacenamiento. En él se almacenan los productos, se reorganizan y reempacan para su embarque a los clientes. Existen, por lo tanto, diversos movimientos en el centro de distribución, transportando con montacargas paquetes de productos entre las diversas zonas según lo requieran los pedidos. Dichos movimientos pueden generar gastos innecesarios y mermar la productividad. Por ello es deseable encontrar una forma eficiente de llevar a cabo el proceso de almacenamiento de tal manera que el flujo dentro del centro de distribución sea mínimo. Como es natural, el diseño del centro de distribución repercute fuertemente en el costo de operación pues siempre existen espacios más accesibles a los andenes que otros. De igual manera, las ofertas y demandas hacen una distinción en los productos pues existen algunos que requieren mayor movimiento que otros. Como resultado de esto, se crea una regla intuitiva para la disposición del espacio de almacenaje: productos preferenciales deben ocupar espacios preferenciales El problema El problema de la disposición de almacén consiste en, dadas una disposición actual del almacén, ofertas y demandas, asignar o reasignar si es conveniente, los productos a los espacios del área de almacenaje del centro de distribución de tal manera que el costo de operación por distribución sea mínimo. Por otra parte, el centro de distribución debe ofrecer un servicio eficiente en cuanto al tiempo de respuesta. Para ello, se considera como parte del problema el

22 Capítulo 1. Introducción 4 asignar los vehículos de carga a los andenes del centro de distribución de tal manera que el tiempo de arribo y embarque sean mínimos Antecedentes Los administradores de los centros de distribución han recurrido a muchos métodos para alcanzar este objetivo. Algunos de los métodos más modernos incluyen automatizar y computarizar el sistema de almacenamiento, encontrar la mejor localización de almacenamiento para cada producto, agrupar las órdenes y seleccionarlas en un recorrido, y minimizar las distancias de viajes para el proceso de selección. Sin embargo, aún es común encontrar en la práctica reglas simples para atender el problema de asignación de espacios de almacenaje. Las más comunes, como ABC o familias de productos, tratan de explotar lo mejor posible la idea simple productos preferenciales deben ocupar espacios preferenciales, pero tienen importantes limitaciones. Los estudios existentes se orientan principalmente a enfoques de simulación y heurísticos [11, 30]. En escasas ocasiones han sido propuestos modelos matemáticos de optimización para resolver simplificaciones o casos específicos del problema [30, 43]. También han sido sugeridas ideas basadas en disposiciones dispersas que suponen ser fácilmente reconfigurables [13]. La idea de asignación de puertos ha sido comúnmente estudiada en forma independiente. En general los estudios se basan en el problema de asignación. Algunos estudios pueden verse en [8, 30, 70]. El presente trabajo desarrolla un enfoque basado en programación matemática explotando la idea de disposición dispersa. Antecedentes de este trabajo pueden verse en [54].

23 Capítulo 1. Introducción Objetivo Desarrollar una herramienta matemática que pueda ser usada como apoyo a la toma de decisión para el problema de la disposición de almacén. La solución debe proveer esencialmente una configuración para el almacén, es decir, en qué espaciosde almacenaje colocar qué productos de tal manera que los movimientos sean mínimos bajo el criterio de desempeño definido y tal que la calidad de servicio al cliente sea óptima. 1.4 Justificación El problema de diseño del almacén y uso del área de almacenaje es común no sólo en los centros de distribución. El costo de operación del almacén suele considerarse uno de los más importantes dentro de la cadena de suministro por lo que las empresas han buscado mejorar la eficiencia del centro de distribución. La mejora del proceso de almacenaje dentro del centro de distribución no sólo se traduce en una disminución de costos, sino que también mejora la calidad del servicio, objetivo importante dentro de un ambiente comercial cada vez más agresivo. Este problema ha sido resuelto mediante reglas simples. Los principales estudios existentes se enfocan en soluciones obtenidas mediante herramientas de simulación y heurísticos. La gran complejidad del problema ha debilitado el interés por la creación de herramientas exactas, y las pocas existentes se consideran imprácticas computacionalmente. La práctica, que no puede detenerse por apreciaciones teóricas, ha debido dar solución al problema de la asignación del espacio de almacenaje mediante métodos aproximados o reglas generales. 1.5 Hipótesis El problema de la disposición de almacén puede ser resuelto mediante una herramienta matemática basada en un modelo matemático de programación lineal

24 Capítulo 1. Introducción 6 entera mixta que, bajo ciertas hipótesis, proporcione la configuración óptima para el acomodo de los productos. El empleo de esta herramienta se traduce en un ahorro enloscostosdeoperación del almacén y un uso más eficiente del espacio. También minimiza los flujos dentro del almacén e incrementa la calidad del servicio. Sin mencionar que definitivamente significa un ahorro de tiempo y esfuerzo al tomador de decisiones.

25 Capítulo 2 El centro de distribución En este capítulo se hace una descripción general del problema de la disposición de almacén y sus antecedentes. Se detallan algunas estrategias y políticas de almacenaje según enfoques recientes para el problema general de almacenamiento, así como losrumbosactualesdeinvestigación. Descripciones detalladas de la operación del almacén, el centro de distribución y otros puntos tocados en este capítulo pueden encontrarse en [9] y[30]. 2.1 El centro de distribución El almacén es una componente esencial en la cadena de suministro. Sirve como enlace entre los proveedores y los clientes. En él se reciben los productos de los proveedores, se almacenan por el tiempo necesario para después elaborar los pedidos y distribuirlos a los clientes. En él se efectúan importantes funciones como: Amortiguar el flujo del producto a través de la cadena de suministro para compensar la variabilidad causada por factores como estacionalidad de los productos o lotificación generada durante la producción o la transportación. Consolidar producto y reducir el costo de transportación. Acopiar los productos de varios proveedores y repartir un surtido de éstos a varios clientes. 7

26 Capítulo 2. El centro de distribución 8 Procesar los productos para darles un valor agregado como ensamblado, creación de estuches, colocación de precios, etiquetado, personalización de productos para determinados clientes, etcétera. El centro de distribución es un almacén en el cual la función de distribución del producto es más importante que la de almacenamiento. Para Gross [29], las operaciones por distribución tienen un costo de alrededor de % del costo total en un sistema de almacenamiento tradicional. Es de esperar que el porcentaje sea mayor en un centro de distribución. Así, para Coyle et al. [17] el costo de operación por distribución es de alrededor del 65 % del costo total de operación del almacén Estructura del centro de distribución Desde el punto de vista físico, en el centro de distribución pueden distinguirse una zona de descarga, una de almacenaje, una de selección 1 y una de embarque (ver figura 2.1). Figura 2.1: Un centro de distribución. La zona de descarga consiste en un conjunto de puertos o andenes donde arriban los vehículos de carga (camionetas, camiones, trálieres, etcétera) de los proveedores 1 Usualmente llamada en la práctica zona de picking porsunombreeninglés.

27 Capítulo 2. El centro de distribución 9 para descargar los productos. En general, y dependiendo de su naturaleza, las unidades de un producto son agrupados en paquetes, los cuales son dispuestos en palés para su transportación. Desde la zona de descarga el producto debe ser llevado a la de almacenaje. La zona de almacenaje, o simplemente almacén, es donde permanecerá elpro- ducto hasta su distribución, ésta cuenta con espacios bien definidos de almacenamiento donde son colocados los productos según una disposición 2 previamente planeada. Estos espacios pueden ser de distintos tamaños o capacidades pues en ocasiones se manejan productos de distintas dimensiones. En un momento determinado, cada espacio está ocupado con un solo tipo de producto, aunque a veces se permite que algunos espacios sean llenados con más de un tipo producto. Un espacio determinado podría estar reservado para cierta gama de productos o prohibido para otros, según su naturaleza (equipamiento especial, dimensiones, etcétera), es decir, para determinados espacios existen productos que pueden almacenarse en él y otros que no. En el área de selección se conforman, de ser necesario, pedidos para su embarque. Consiste en un conjunto de mesas de trabajo donde se preparan los pedidos de algunos clientes. Los productos típicamente arriban en paquetes grandes y deben partir en paquetes más pequeños. Por ejemplo, algunos productos pueden llegar en palés pero pueden requerir ser embarcados en piezas; otros productos pueden ser embarcados tal como arriban. Así, cuando la cantidad de piezas de algún producto requeridas en un pedido no es afín al número de piezas en los paquetes alguno debe ser abierto y, tras seleccionar los productos requeridos, el sobrante debe ser devuelto a almacenaje. En otras ocasiones algunos productos son enviados a esta zona simplemente para conformar un paquete manejable para el cliente. Asociado al área de selección debe existir un subalmacén, que puede ser una parte de la zona de almacenaje, en el cual es colocado el producto sobrante de la 2 Tal disposición suele denominarse en la práctica layout, por su nombre en inglés.

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