7. Tratamiento. del azar

Transcripción

1 7. Tratamiento del azar

2 Matemáticas 2º ESO 1. Actividades de introducción 2. Sorteos 3. Juegos 4. Procesos dinámicos y simulación 5. Muestreo 6. Asignar probabilidades 7. Descripción estadística 8. Actividades de evaluación 224

3 Tratamiento del azar 1. Actividades de introducción MONEDAS Si lanzas una moneda 10 veces y obtienes: cara, cara, cara, cruz, cara, cara, cara, cruz, cara, cara, qué esperas que salga al lanzarla nuevamente?. Experiencia aleatoria es aquella en la que pueden obtenerse indistintamente cualquiera de sus resultados posibles. En cada realización concreta de la experiencia no es posible saber a priori cuál de los posibles resultados ocurrirá. MÁS RÁPIDO MENOS RIESGO? Las estadísticas demuestran que la gran mayoría de los accidentes de automóvil se producen a velocidades menores de 120 km / h. Esto quiere decir que si siempre circulásemos, pongamos, a 130km/h iríamos más seguros. A tí que te parece?. La relación estadística entre dos variables no implica necesariamente una relación de causa-efecto. UN SORTEO Juan y Pedro son amigos. Uno de ellos tiene que realizar un trabajo. Para decidir quien lo va a hacer deciden realizar un sorteo. Se les ocurren diferentes procedimientos para sortear: a) Hacemos una carrera y el último será el que tenga que trabajar. b) Lanzamos una moneda. Si sale cara hace Pedro el trabajo. Si sale cruz lo hace Juan. 225

4 Matemáticas 2º ESO c) Lanzamos un dado cada uno. Hará el trabajo el que saque el número más alto. d) Metemos dos papelitos en una bolsa con nuestros nombre. Sacamos uno. El nombre del papel será el del que se libra. Qué opinas sobre cada uno de los anteriores procedimientos para sortear?. Un sorteo aleatorio es la elección al azar de un objeto o de una alternativa que no está sesgada ni por el material que se usa para sortear ni por el procedimiento del sorteo. Lo decisivo en un sorteo es que no pueda predecirse con seguridad el resultado. MICROBIOS Material: cinco dados por pareja, fichas para representar los microbios. Organización: parejas. Vamos a simular cómo evoluciona una colonia de cinco microbios (las cinco fichas que tienes sobre la mesa) a lo largo de varias generaciones. Estas cinco fichas representan los microbios de la primera generación. Para saber los microbios que habrá en la generación siguiente tienes que lanzar para cada ficha un dado (en total cinco dados). Si sale 1-2, la ficha desaparece (el microbio muere) y si sale la ficha se duplica ( el microbio se duplica ). Antes de ponerte a simular contesta las siguientes preguntas: Qué crees que ocurrirá con la colonia de microbios a largo plazo, crecerá, desaparecerá o se mantendrá estable?. Cuántos microbios crees que habrá en la quinta generación?. Puedes usar una plantilla como ésta para anotar los resultados de la simulación: GENERACIÓN Nº MICROBIOS 5 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 Investiga qué ocurre si se cambian las reglas de reproducción-muerte. La simulación permite que situaciones reales sean tratadas en términos de sorteos. Mediante la simulación es posible predecir la evolución de poblaciones cuyo comportamiento está influído por el azar. 226

5 Tratamiento del azar SUMA FINAL Material: un dado, tabla para anotar los resultados Organización: por parejas. Es un juego para dos jugadores. En cada partida se lanza un dado 10 veces. Cada vez que sale 1 ó 2 se suma un punto y en caso contrario se suman cero puntos. Cada jugador intenta adivinar la suma de cada partida. Gana el jugador que más se aproxima a la suma final después de cinco partidas. Para anotar los resultados se usa una tabla como la que sigue: PARTIDA PREDICCIÓN JUGADOR A PREDICCIÓN JUGADOR B RESULTADO DE LA EXPERIENCIA Nº LANZAMIENTOS P1 10 P2 10 P3 10 P4 10 P5 10 SUMA FINAL 50 La frecuencia absoluta de un resultado es el número de veces que ocurre dicho resultado. La frecuencia relativa de un resultado es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de experiencias. Al aumentar el número de experiencias, los resultados obtenidos se van acercando cada vez más a los resultados teóricos. Por el contrario, si el tamaño de la muestra es pequeño, los resultados contenidos en ella pueden desviarse mucho de los teóricos. 227

6 Matemáticas 2º ESO 2. Sorteos RULETA DECIMAL Organización: gran grupo. Si giras esta ruleta una vez puedes obtener los números Qué número crees que es más fácil que salga?. Cómo puedes usar esta ruleta para: 1. elegir una persona entre dos. 2. elegir una persona entre siete. 3. elegir una persona de tu clase. 4. elegir una persona entre 100?. SORTEO DE CUADROS DE UN TABLERO Disponemos de un tablero de 36 casillas como el de la figura, de una ficha y dos dados. Utilizaremos uno de los dados para sortear casillas horizontales y el otro para sortear las verticales. Una vez lanzados los dados colocaremos la ficha en la posición que indiquen los resultados obtenidos. Por ejemplo, esta colocación de la ficha corresponde al resultado 3 en el dado de horizontales y 5 en el dado de verticales, que lo expresaremos así: (3, 5). 228

7 Tratamiento del azar Juega no menos de 10 veces y anota de esta forma las posiciones de la ficha en el tablero. Con estas 10 posiciones puedes hacer una gráfica sobre papel cuadriculado. Qué ocurre si aparece alguna posición repetida?. Compara tu gráfica con la de tus compañeros. Qué crees que es más fácil, ocupar las casillas centrales o las laterales?. 3. Juegos ENCERRADO Es un juego para dos jugadores. Material: un tablero como el de la figura, 1 ficha roja y 1 azul (una para cada jugador), y 23 fichas negras (para indicar las casillas ocupadas). Se sortea quién empieza. El primer jugador coloca su ficha en la casilla que quiera. El segundo jugador puede poner la suya en cualquier casilla menos en la ocupada por el primero. En las siguientes jugadas, cada jugador, alternativamente, puede desplazar su ficha a una de las casillas libres, moviéndola horizontal, vertical o diagonalmente desde su última posición, siempre que no encuentre en el camino ninguna casilla ocupada. Cuando abandone una casilla, deja en ella una ficha negra para señalar que ya está ocupada. 229

8 Matemáticas 2º ESO Por ejemplo, si en la situación de la figura hay que mover la ficha roja, puede ir a una cualquiera de las casillas numeradas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Gana el jugador que realiza el último movimiento. Juega cinco veces con un compañero y, al final de cada partida, indica la parte de tablero que ha quedado libre. De acuerdo con esto, qué partida crees que se ha jugado con una estrategia mejor?. EL ENCUENTRO Dos jugadores se mueven dibujando en una trama cuadrada de puntos como la de la figura, de acuerdo con las siguientes reglas: a) Cada jugador elige uno de los puntos de la trama como punto de partida. Se sortea el orden de salida. b) El jugador 1 avanza (horizontal o verticalmente) desde el punto en que está hasta otro punto de la trama. El jugador 2 avanzará paralelamente al jugador 1 una longitud doble. En la figura tienes dos movimientos posibles de los dos jugadores. c) Al comienzo de la partida se fija el número de movimientos. Al terminar, si ambos jugadores han llegado al mismo punto, gana el jugador 1; en caso contrario, gana el otro jugador. Cómo debe moverse el primer jugador para ganar?. 230

9 Tratamiento del azar EL FERIANTE Material: ruleta, clip para efectuar los giros. Organización: parejas o grupos de cuatro. Un feriante te invita a jugar con su ruleta por el módico precio de 8 duros por partida. Si la aguja cae en cualquiera de los sectores 1, 2, 3, entonces te paga 4 duros; si se cae en los sectores 4, 5, te paga 6 duros, y si cae en el sector 6 te paga 12 duros. Crees que el feriante perderá o ganará dinero?. Podéis jugar dos compañeros, uno haciendo de feriante y otro de cliente a ver lo que pasa. Observad y anotad los resultados de 10 partidas para comentarlos entre todos. Podéis utilizar una tabla como la siguiente: RESULTADOS SECTOR 6 SECTOR 4-5 SECTOR FRECUENCIA GANANCIA La media de los valores 3 y 5 es La media de los valores 3, 4 y 5 es En general, la media de un conjunto de valores se obtiene sumando dichos valores y dividiendo entre el número total de ellos. 4 La media de los valores 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5 es '

10 Matemáticas 2º ESO Observa que la frecuencia absoluta de 3 es f(3)=3 y la frecuencia absoluta de 5 es f(5)=4. Por tanto, la media se obtiene multiplicando cada valor por su frecuencia absoluta, sumando los productos obtenidos y dividiendo la suma entre el número total de valores. La media obtenida se llama media ponderada. El peso de cada valor es su frecuencia absoluta. TRES RULETAS Material: tablero con las tres ruletas, clip para girar, plantilla para anotar los resultados. Es un juego para dos jugadores. El primer jugador elige una de las tres ruletas A, B o C y el segundo una de las dos ruletas que quedan. Cada uno gira la ruleta que ha elegido 10 veces y anota en su plantilla la cantidad que gana o pierde en cada giro y lo que ha ganado o perdido en total. JUGADOR... RULETA ELEGIDA... GANANCIA giro 1... giro 2... giro 3... giro 4... giro 5... giro 6... giro 7... giro 8... giro 9... giro Total... El vencedor de la partida será el que obtenga el mejor resultado global después de los diez giros. Después de que los jugadores hayan jugado varias partidas, deben contestar las siguientes preguntas: Cuál crees que es la mejor ruleta para jugar?. Por qué?. 232

11 Tratamiento del azar Cuánto esperas ganar o perder al final si giras la ruleta A 100 veces?. Y si giras las mismas veces la ruleta B?. Y la ruleta C?. Para recoger los resultados utiliza las siguientes tablas: RULETA A GANANCIA 10 8 FRECUENCIA RULETA B GANANCIA 12 4 FRECUENCIA RULETA C GANANCIA FRECUENCIA La ganancia total de un juego se obtiene sumando las ganancias obtenidas en cada partida. Pero en la práctica es más rápido hacerlo así: se multiplica cada ganacia por su frecuencia absoluta y se suman los productos obtenidos. La ganancia media de un juego se obtiene calculando la media ponderada de las ganancias obtenidas en cada partida, es decir: se multiplica cada ganancia por su frecuencia absoluta, se suman los productos obtenidos y se divide entre el número de partidas. Observa que: Ganancia total Ganancia media = nº de partidas 4. Procesos dinámicos y simulación LAS PULGAS Material: fichas numeradas 1-2-3, tablero para simular, plantilla para recoger resultados. Organización: por parejas. TIEMPO PULGAS EN PERRO 1 PULGAS EN PERRO 2 0 minutos minuto 2 minutos 3 minutos

12 Matemáticas 2º ESO Hoy me he puesto de acuerdo con mi vecino para salir a pasear nuestros perros juntos. Mi perro tiene hoy tres pulgas y el de mi vecino ninguna. Vengo observando desde hace tiempo en las pulgas una rara costumbre cuando dos perrros se encuentran: cada minuto una pulga cualquiera salta para cambiar de un perro a otro. Tendré que esperar mucho tiempo para que las tres pulgas de mi perro pasen al de mi vecino?. HAZLO CON UN DADO DE PARCHÍS Material: un dado de parchís. Organización: gran grupo. Simula, con un dado de parchís la realización de cada una de las experiencias que se enuncian a continuación: a) El lanzamiento de una moneda. b) El giro de esta ruleta. 234

13 Tratamiento del azar c) El lanzamiento de este dado. d) El giro de esta otra ruleta. SALTOS EN UN SEGMENTO Una pulga parte del punto 0 del segmento de la figura. Cada segundo, efectúa, al azar, un salto a derecha o izquierda. Al llegar a 3, saltará obligatoriamente a 2 y desde 3 a 2. Visitará unos puntos más que otros?. Cuánto tiempo invertirá en volver al punto de partida?. Y en ir de extremo a extremo?. 235

14 Matemáticas 2º ESO PASEOS ALEATORIOS SOBRE POLIEDROS Una hormiga está situada en el vértice O del tetraedro de la figura. Recorrer una arista le cueta un minuto. En cada vértice elige por sorteo uno de los tres caminos posibles. Cuánto tiempo tardará en volver al punto de partida O, por término medio?. Repite el ejercicio para un cubo. 5. Muestreo EL ESTANQUE Material: un sobre opaco con un número (desconocido para los alumnos) de fichas de colores. Organización: grupos de cuatro. En un estanque hay peces de distintas especies. Queremos saber qué proporción hay de peces de cada especie y cuántas especies diferentes hay, pero, como el agua está muy turbia, no podemos contarlos a simple vista. Decidimos sacar un pez, anotar su especie (pero, para que no muera tenemos que devolverlo inmediatamente al agua) y repetir la misma operación varias veces. Qué porcentaje de peces de cada especie hay?. 236

15 Tratamiento del azar DADO OCTAÉDRICO Tenemos un dado octaédrico (poliedro de 8 caras, triángulos equiláteros). Sus caras están numeradas con ceros y unos, pero no sabemos cuántos ceros ni cuántos unos hay. Al lanzarlo 300 veces, hemos obtenido los siguientes resultados: Cuántos ceros y cuántos unos crees que hay en el dado?. CEROS Y UNOS Se lanza un dado icosaédrico (poliedro de 20 caras, triángulos equiláteros). Sus caras están numeradas con 0 y 1, pero desconocemos la proporción. Después de 300 lanzamientos construimos la serie: Cómo están distribuídos los 0 y 1 en el dado?. 237

16 Matemáticas 2º ESO 6. Asignar probabilidades URNA BINARIA Organización: grupos de cuatro. Una urna como la que tienes aquí dibujada con una bola blanca y otra negra se llama una urna binaria. Cada vez que haces una extracción puedes obtener bola blanca (B) o bola negra (N). Si haces dos extracciones (devolviendo después de cada extracción la bola extraída a la urna) puedes obtener resultados como BB (primera blanca y segunda blanca) o NB (primera negra y segunda blanca). Si efectúas dos extracciones qué crees que es más fácil obtener BB o BN?. Si haces tres extracciones (con devolución a la urna), por cuál de los resultados siguientes apuestas? saldrán las tres blancas saldrán dos blancas y una negra saldrán dos negras y una blanca saldrán las tres negras. Nota.- Puede que no tengas la urna y las bolas para realizar esta experiencia en la práctica, pero seguro que puedes simularla usando otros recursos que tengas más a mano. LETRAS AL AZAR Material: monedas y barajas en blanco. Organización: por parejas. a) La cara de una moneda representa la letra P y la cruz la letra I. Lanza dos veces la moneda. Es muy probable que se obtenga la palabra PI?. b) Tienes tres cartas. Una con la letra A, otra con la letra I y otra con la letra R, en una de sus caras. Al azar ponlas ordenadas, una tras otra. Es muy probable que obtengas así la palabra IRA?. 238

17 Tratamiento del azar BARAJAS Y URNAS Material: barajas en blanco, sobres. Organización: por parejas. a) Barajamos 4 cartas, cada una de las cuales tiene escrita una letra: A, A, N, S. Las ponemos sobre la mesa boca abajo y destapamos por orden tres cartas que serán respectivamente la primera, segunda y tercera letras de una palabra. Cuál es la probabilidad de obtener de este modo el nombre ANA?. b) Tenemos tres sobres idénticos con letras en su interior: 1º sobre...pepe 2º sobre...bebe 3º sobre... TILA Elegimos uno de los sobres y sin mirar extraemos una letra de su interior. Cuál es la probablidad de que la letra sea la E?. c) Dispones ahora de cuatro cartas. Las letras C, O, O, R están dibujadas en sus caras, respectivamente. Es muy fácil que al ordenarlas al azar obtengas la palabra CORO?. La probabilidad de un suceso se obtiene dividiendo el número de casos favorables a dicho suceso entre el número total de sucesos posibles: p(a) = nº de casos favorables nº de casos posibles fórmula que se conoce como Ley de probabilidad de Laplace. La probabilidad de un suceso se expresa en forma de fracción, número decimal o porcentaje respecto del número total de casos posibles. Para hallar el número de casos favorables o posibles se utiliza un diagrama de árbol: 239

18 Matemáticas 2º ESO RULETAS a) Si giramos la aguja de esta ruleta y la dejamos parar al azar, cuál es la probabilidad de que caiga en el rojo?. b) Al hacer girar la aguja y dejar que se mueva libremente, cuál es la probabilidad de que caiga en alguno de los colores rojo, verde o azul?. CAMPAMENTO JUVENIL En un campamento juvenil hay 32 jóvenes españoles, 13 franceses, 8 ingleses, 15 magrebíes y 23 argentinos. Se elige al azar al portavoz de ellos. Qué probabilidad hay de que sea español?. 240

19 Tratamiento del azar URNA De una urna con 7 bolas rojas, 5 verdes, 3 amarillas, 11 negras y 3 azules, sacamos una bola al azar. Cuál es la probabilidad de que sea roja?. Cuál es la probabilidad de que no sea negra?. UNA CLASE Los alumnos de una clase se distribuyen del siguiente modo: CHICAS CHICOS CON GAFAS 3 6 SIN GAFAS Elegimos al azar a una persona de esa clase. Calcula la probabilidad de que: a) Sea chica. b) Tenga gafas. c) Sea una chica con gafas. BARAJA En una baraja de 40 cartas sacas una al azar. Qué probabilidad asignarías a los siguientes casos? a) Que sea oro b) Que sea rey c) Que sea rey de oros d) Que sea oro y copas e) Que sea oro o copas o espadas o bastos. 241

20 Matemáticas 2º ESO BARRACÓN DE FERIA En un barracón de feria proponen un juego que consiste en ensartar anillas en un pivote. Cada jugada cuesta 50 céntimos, que dan derecho a lanzar 4 anillas. Para conseguir un premio hay que tener al final de la jugada más de 10 puntos. Las reglas para ganar o perder puntos son: Por cada acierto se suman 5 puntos. Por cada fallo se restan 3 puntos. Con cuántos puntos se puede acabar el juego?. Crees que es fácil ganar?. NÚMEROS CON CUATRO BOLAS En un ábaco de cinco barras coloca cuatro bolas. Tienes que ponerlas todas. En cada barra, mete las bolas que quieras. Cuántos números distintos puedes representar?. Si lo necesitas, dibuja ábacos como el de la figura. Y si utilizas como máximo cuatro bolas?. Cuántos números de cinco cifras que tengan 1, 2, 3 4 unos puedes escribir?. TELEFONO Dispones de tantas monedas de 5, 10, 20 y 50 céntimos como necesites y gastas en una conferencia 2,25 euros. Busca todas las combinaciones posibles de monedas que has podido utilizar. Organiza tus respuestas. Ejemplo: 2,25= , 2,25= , 2,25= ,25= 242

21 Tratamiento del azar MONEDAS a) Tengo en mi bolsillo varias monedas. Entre ellas hay monedas de 5 cents, de 10 cents, de 20 cents y de 50 cents. Si cojo con la mano tres monedas, cuánto dinero creéis que tengo en la mano?. Y si cojo cuatro monedas?. b) Ahora tengo nueve monedas que valen en total 3,75 euros. Qué monedas creéis que tengo en la mano?. Puede haber más de una respueta?. SUMA 9 O SUMA 10? Lanzamos dos dados cúbicos. Qué es más fácil, obtener suma 9 o suma 10?. Y si lanzamos tres dados?. A qué suma apostarías en cada caso?. LAS BOLAS Este es un juego para dos jugadores. Necesitas una bola blanca, 10 bolas negras y una bolsita para meter las bolas. El jugador 1 mete en la bolsa una bola blanca y tantas bolas negras como quiera (entre 1 y 10), delante del jugador 2. Este último saca dos bolas sin mirar y debe adivinar si son iguales o no. Si acierta, gana un punto. En caso contrario, lo gana el jugador 2. A continuación se devuelven las bolas a la bolsa y es el jugador 1 el que saca dos bolas e intenta acertar si son iguales o no. Juega unas 20 veces con un compañero, observando lo que ocurre y anotando los resultados, sin cambiar el número de bolas negras. A la vista de cómo se ha desarrollado el juego, podrías decir si, con ese número de bolas negras en la bolsa, te conviene apostar a las dos bolas iguales o no?. Repite el proceso variando el número de bolas negras en la bolsa. Completa las casillas que puedas de la siguiente tabla: Número de bolas negras Pronóstico

22 Matemáticas 2º ESO APUESTAS Se admiten apuestas: Lanzamos un dado que consta de dos triángulos equiláteros y tres cuadrados (prisma triangular): Qué es más fácil, que salga un triángulo o que salga un cuadrado?. En qué proporción deberían efectuarse las apuestas para que el juego fuera equitativo?. RULETAS Y DADOS Lanzar un dado cúbico, con sus caras numeradas con tres 0 y tres 1, es equivalente a lanzar una moneda. El 1 del dado equivale a la cara de la moneda y el 0 a la cruz. También es equivalente efectuar el sorteo de cara-cruz con una ruleta dividida en dos sectores. Con cartulina y agujas puedes construir ruletas equivalentes a dados, que te pueden servir para realizar sorteos si no dispones de dados apropiados (más difíciles de construir que las ruletas). Construye plantillas de ruletas equivalentes a dados en cada uno de los casos siguientes: 1) Un dado cúbico con un 1 en dos de sus caras, una X en otras dos y un 2 en las otras restantes. 2) Idem con un 1 en tres de sus caras, una X en dos caras y un 2 en la restante. 3) Un dado icosaédrico (20 caras) con un 0 en quince de sus caras y un 1 en las otras cinco. 4) Un dado icosaédrico con un 1 en diez de sus caras, una X en ocho y un 2 en las otras dos. Ordena de menor a mayor facilidad los casos en los que puede aparecer una X. DIANAS a) Cómo elegirías al azar un punto de cada una de las dianas que siguen?. 244

23 Tratamiento del azar b) Un jugador apuesta cierta cantidad de dinero a que el punto elegido al azar estará en el interior de la región sombreada, mientras que otro apuesta la misma cantidad a que caerá en la zona blanca. Quién tiene ventaja?. 7. Descripción estadística LOTERÍA PRIMITIVA Conoces cómo funciona la lotería primitiva?. Te lo recordamos de forma resumida: Se sortean 6 números del 1 al 49. Por ejemplo, un resultado del sorteo podría ser: Si esta combinación la has escrito previamente en un boleto, ganas un premio proporcional al dinero recaudado. Además se sortea un séptimo número, el complementario y un reintegro que permiten aumentar el premio. En la tabla que sigue se muestran las veces que ha salido cada número en los 41 primeros sorteos de Verás que hay números que han salido más de 10 veces. Escríbelos. Otros, sin embargo, han salido menos de 5 veces. Podrías decir el número que ha salido menos veces?. Si hubieras jugado en el sorteo 42, sabiendo esto, a qué números habrías apostado?. Explica tu respuesta. Repetición de números de la combinación ganadora Incluído el número complementario Hasta el sorteo 41 /

24 Matemáticas 2º ESO UNA ENCUESTA En una encuesta realizada a 900 personas, padres y madres de alumnos de ESO, contestaron así: Cuántos padres contestaron en cada uno de los apartados que aparecen en los gráficos de sectores?. Haz un diagrama de barras con los datos anteriores. LICENCIADOS Aquí tienes unos datos publicados por El País el 12 de noviembre de 1995, proporcionados por la Secretaría de Estado y Universidades de Educación. a) Construye una tabla de frecuencias absolutas y relativas. Expresa estas frecuencias relativas en porcentajes. b) Dibuja un gráfico de sectores. 246

25 Tratamiento del azar JUEGOS OLÍMPICOS Aquí tienes una tabla con el número de países y atletas participantes en cada una de las seis últimas olimpíadas. Año Ciudad Países Atletas 1964 Tokio (Japón) México (México) Munich (RFA) Montreal (Canadá) Moscú (URSS) Los Angels (EEUU) El dibujo de la antorcha olímpica simboliza los juegos de Munich de Haciendo ampliaciones y reducciones de este dibujo en una fotocopiadora, serías capaz de confeccionar un diagrama que muestre las diferencias de participación en las seis últimas olimpiadas?. Haz primero un diagrama según el número de países participantes. Intenta después hacer otro que refleje el número de atletas. Los diagramas obtenidos se conocen con el nombre de pictogramas. TU CLASE Junto con otros dos compañeros recoge información sobre algún aspecto que te interese de la clase. Te sugerimos: tiempo invertido en llegar al instituto, horas diarias frente a la TV, número de hermanos, altura, peso, etc. Presenta la información recogida en una tabla de doble entrada. Por ejemplo, si tienes datos sobre la altura de tus compañeros, los resumirás en una tabla como la que sigue: ALTURA FRECUENCIA 247

26 Matemáticas 2º ESO Y si has trabajado con el número de hermanos (incluyéndose uno mismo), tu tabla será parecida a la siguiente: NÚMERO DE HERMANOS FRECUENCIA (Número de alumnos) Representa los datos que tienes en un diagrama que te parezca adecuado (barras, rectángulos, pictogramas, sectores). Intenta sacar conclusiones de la información que has recogido. Ven mucho la TV tus compañeros?. Cuál es la altura media de tu clase?. Cuál es el tiempo medio que tardan en llegar al instituto?. Obtienes algún resultado sorprendente?. Intenta explicarlo o justificarlo de alguna forma. TU CENTRO Organización: grupos de cuatro. El número de respiraciones por minuto varía de un estudiante a otro. Cuál sería el número de respiraciones considerado normal para los estudiantes de tu clase?. Y para los estudiantes de tu centro?. Conoces alguna causa que pueda influir en el número de respiraciones que hace una persona por minuto?. Queremos obtener información de todo el centro pero sin entrevistar a todos las personas. 248

27 Tratamiento del azar ZURDOS Y DIESTROS Se ha relacionado muchas veces el ser zudo con ser artista. Miguel Angel y Leonardo De Vinci eran zurdos. En una escuela de arquitectura se hizo una estadística, comprobándose que de un total de 17 profesores, 5 eran zurdos y 2 lo habían sido de niños. De un total de 484 estudiantes, 79 eran zurdos. Vamos con las apuestas!. Cada grupo de alumnos, después de deliberar, hará una apuesta contra otro grupo acerca del porcentaje de zurdos que hay en el instituto. Como es casi imposible acertar el porcentaje exacto, se harán apuestas del tipo el porcentaje de zurdos está comprendido entre el 10% y el 15%. Sólo admitiremos una diferencia del 5% entre la menor y la mayor estimación. Diseña una encuesta apropiada que permita tener cierto grado de representatividad. A cuántas personas habrá que encuestar en cada clase?. Hay que preguntar en todas las clases o sólo en algunas? En cuántas?. Una vez obtenidos los datos, presenta la información en forma de tablas de frecuencias y usando un diagrama de sectores. Halla la media y el rango. JUVENTUD En la siguiente tabla tienes unos datos (correspondientes a 1984), que nos permiten comparar la edad de los habitantes de dos países. Países Población (miles de habitantes) Total 0-14 años años 65 ó más años R. F. de Alemania Marruecos Halla la frecuencia relativa correspondiente a cada intervalo de edades y dibuja un diagrama de sectores para cada país. En cuál de los dos países te parece que la población es más joven?. 249

28 Matemáticas 2º ESO 1. Actividades de evaluación DADOS PARA HACER QUINIELAS Material: dados para rellenar quinielas. Organización: individual. Algunas personas prefieren rellenar sus quinielas al azar y para eso utilizan un dado como el que tienes sobre la mesa. Conoces el juego de las quinielas?. Si no es así, infórmate con tu profesor antes de comenzar las siguientes tareas: 1. Haz una descripción lo más detallada posible del dado. 2. Por qué crees que se ha construído así?. Qué información habrá consultado la persona que lo ha inventado?. 3. Se lanza el dado. Si sale 1 gana A, si sale X gana B y si sale 2 gana C. Si B apuesta 4 duros, cuánto deben apostar A y C?. 4. Si lanzas el dado 1000 veces, cuántas veces esperas que salga cada resultado 1, X o 2?. MOTOS Haz un diagrama adecuado para representar la producción mundial de motos en 1978 de acuerdo con los datos de la siguiente tabla: Producción mundial de motos (1978) País Número de motos Japón Italia Alemania (RFA) España Austria 7629 Francia 3779 Tiene sentido dibujar un diagrama de sectores?. Y un pictograma?. Si elegimos al azar una moto de las fabricadas en 1978, qué probabilidad hay de que se haya fabricado en Japón?. Y de que se halla fabricado en España?. Y en Italia?. Cual es la probabilidad de que no se haya fabricado ni en Austria ni en Francia?. 250

29 Tratamiento del azar MEDIA ARITMÉTICA a) Una clase de 40 alumnos se divide en tres grupos para calcular la nota media de Inglés, resultando lo siguiente: 10 alumnos nota media alumnos nota media alumnos nota media 7 1 Cuál es la nota media de los 40 alumnos de la clase?. b) En una empresa trabajan 11 personas y sus sueldos respectivos son los siguientes: PERSONAS SUELDOS euros/mes euros/mes euros/mes euros/mes euros/mes euros/mes Calcula el sueldo medio de la empresa. Te parece que es representativo de la situación de la empresa?. Cómo podrías asignar en este caso un valor representativo?. SUELDOS Dos empresarios discuten sobre el sueldo de sus empleados. Uno de ellos asegura que el sueldo más representativo de su empresa es de 1713,33 euros; el segundo niega esto, diciendo que el más representativo es de 1400 euros. Observa la distribución de sueldos de la empresa. A cuál de los dos darías la razón?. SUELDO Nº DE EMPLEADOS Qué porcentaje de empleados cobra menos de 1400 euros al mes?. Y más de 1400 euros al mes?. Si elegimos al azar un empleado de esa empresa, qué sueldo es más probable que cobre?. 251

30 Matemáticas 2º ESO GOLES En la siguiente tabla tienes los resultados de una jornada de liga de primera división: RESULTADOS At. Bilbao 0 Extremadura 0 R. Valladolid 1 R. Madrid 1 Barcelona 1 R. Celta 0 Sporting 1 Deportivo 1 Valencia 3 Hercules 2 Sevilla 0 R. Betis 3 Logroñés 0 Rayo Vallecano Compostela 0 R. Oviedo 2 Tenerife 5 Espanyol 1 R. Zaragoza 0 Racing 2 At. Madrid 2 R. Sociedad 2 2 Calcula el número de goles marcados en cada encuentro y halla la media y el rango CAMBIO DE MONEDAS En la siguiente tabla tienes la equivalencia de algunas monedas extranjeras en el mercado de divisas el dia 29 de noviembre de

31 Tratamiento del azar MERCADO DE DIVISAS - Viernes 29 Pesetas 1 dólar EEUU dólar canadiense franco francés libra esterlina libra irlandesa franco suizo marco alemán florín holandés corona sueca corona danesa corona noruega marco finlandés dólar austríaco Halla el cambio máximo y mínimo en pesetas. Calcula el rango. LIGA DE BALONCESTO Durante la temporada las estadísticas sobre algunos de los equipos de la división de honor de baloncesto dan los siguientes datos: EQUIPO Tiros de cerca Tiros de lejos Tiros de 3 puntos Tiros libres Real Madrid Joventut Barcelona Cacaolat CAI Zaragoza Español En las cuatro últimas columnas de tiros de cerca, tiros de lejos, tiros de 3 puntos y tiros libres, el primer número indica los intentos y el segundo los aciertos. Para cada equipo calcula el porcentaje de aciertos en: tiros de cerca, tiros de lejos, tiros de tres puntos y tiros libres. Después calcula el rango para cada tipo de tiros. 253

32 Matemáticas 2º ESO 254