El método binomial de valoración de opciones

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1 El método binomial de valoraión de opiones Jan Masareñas Universidad Compltense de Madrid Versión iniial: enero Ultima evisión: otbre El método binomial para n período 2. El método binomial para dos períodos 3. El método binomial para varios períodos 4. De la distribión binomial a la logonormal 5. La valoraión de las opiones de venta Cox, oss y binstein desarrollaron este método de valoraión de opiones, qe tiene la ventaja de qe, además de ser my intitivo, tiliza na matemátia my senilla. Para mostrar s nionamiento vamos a apliarlo a la valoraión de aiones ordinarias y para haer más simple la exposiión omenzaremos sponiendo qe la aión no reparte dividendos. 1. El método binomial para n período Spongamos qe el valor atal de na aión ordinaria es de 100, y qe dentro de n período diho títlo pede tomar n valor de 120, o bien, haber desendido hasta los 90. La probabilidad de qe orra n resltado otro no importa, sólo interesa el abanio de resltados posibles. Si adqirimos por eros na opión de ompra eropea sobre diha aión ordinaria on venimiento dentro de n período y preio de ejeriio 100, sabemos qe podrá valer 20 eros, si el preio de la aión se sitúa en 120 ; o bien 0 eros si la otizaión de la aión desiende a 90 (véase la igra 1). 1

2 Fig.1 Preios de la aión ordinaria y valores de s opión de ompra Existe na ombinaión, onsistente en adqirir n número determinado de aiones ordinarias al mismo tiempo qe se emite na opión de ompra sobre ellas, tal qe la artera ormada proporionará el mismo ljo de aja tanto si el preio de la aión ordinaria asiende omo si desiende. Esta ombinaión es importante porqe pase lo qe pase on el preio de la aión ordinaria, el ljo de aja de la artera será siempre el mismo, es deir, no variará y, por tanto, será ierto; en otras palabras areerá de riesgo. A diha ombinaión se la denomina artera de arbitraje, ratio de obertra o delta de la opión. Así pes, si H es el número de aiones ordinarias qe ompramos por ada opión de ompra emitida tendremos qe si: a) El valor de la aión ordinaria dentro de n período es de 120, y el de la opión de ompra, 20. Por tanto, el ljo de aja de la artera será igal a smar el valor de merado de las aiones y restarle el valor intrínseo de la opión de ompra: H x b) El valor de la aión ordinaria dentro de n período es de 90 y el de la opión de ompra, 0 (la opión no será ejerida y, por tanto, s valor es nlo). El ljo de aja de la artera de arbitraje será igal a: H x 90-0 igal a 2/3. De donde igalando ambos ljos de aja y despejando H obtendremos n valor 120 H H 0 H 2/3 2

3 Esto es, la artera ormada por 2/3 de na aión ordinaria y la venta de na opión de ompra sobre ella 1 no tiene ningún riesgo (pase lo qe pase siempre tendrá el mismo valor) y, por tanto, el rendimiento qe se obtendrá on ella, a lo largo del periodo onsiderado, obligatoriamente 2 será n rendimiento sin riesgo ( ): Fljo de aja Inversión 1 + De tal manera qe si, por ejemplo, el preio de la aión ese de 120 y el tipo libre de riesgo drante ese período ese del 6%, tendríamos qe el valor del ljo de aja sería: 2/3 x , y el de la inversión: 2/3 x Así pes, despejando de la sigiente eaión obtendremos el valor atal de la opión de ompra: ,06 10, / Si la opión de ompra valiese en el merado 11 deberíamos vender na opión de ompra y adqirir 2/3 de na aión ordinaria on lo qe, anqe el ljo de aja sería de 60 (igal qe antes, pes en s állo nada tiene qe ver el preio de ompra de la opión), obtendríamos n rendimiento sin riesgo sperior al 6% (por lo qe el arbitraje entraría en aión vendiendo masivamente opiones de ompra y omprando aiones on lo qe al inal el rendimiento obtenido sería del 6%, momento en el qe el arbitraje dejaría de atar al no onsegir ningún rendimiento extraordinario): 60 2 / ,078 7,8% Ahora qe hemos visto ómo se alla el ratio de obertra a través de n ejemplo nmério vamos a obtenerlo a través de na órmla. Para ello llamaremos S al preio de la aión sbyaente en la atalidad, SU será el preio de la aión dentro de n período si es alista, pes si ese bajista se le denominaría SD (donde U y D son los oeiientes por los qe hay qe mltipliar el valor atal de la aión, S, para obtener 1 O si se preiere, la artera ormado por 2 aiones ordinarias y la venta de 3 opiones de ompra de ellas. 2 Porqe si no el arbitraje se enargará de poner las osas en s sitio. 3

4 s preio al inal del período). Por otra parte, el preio de la opión de ompra en la atalidad sería, siendo y d, respetivamente, para los asos en qe el preio de la aión ordinaria haya asendido o haya bajado (véase la igra 2). Fig.2 Preios de la aión ordinaria y valores de la opión de ompra El ljo de aja esperado al inal del período será: a) Si los preios sben: H x SU - b) Si los preios bajan: H x SD - d obertra: Igalando ambas eaiones y despejando H, obtendremos el valor del ratio de - d H S (U - D) Así, por ejemplo, si sstitimos las variables por los valores qe manejábamos en el aso anterior y donde U 1,2 y D 0,9 obtendremos: 20-0 H 2/ (1,2-0,9) Si ahora pretendemos obtener na expresión qe alle el valor de la opión de ompra () omenzaremos operando on la expresión de la rentabilidad obtenida a través de la relaión existente entre el ljo de aja esperado (por ejemplo, H x SU - ) y la inversión iniial (H x S - ): 4

5 1 + H SU - H S - operando obtendremos: HS + HS - - HSU - HS (1 + - U) + (1 + ) sstityendo ahora H por s valor y eliminando S del denominador y del nmerador: - d U - D (1+ - U) + (1+ ) Ahora, haiendo n alto en nestra demostraión, vamos a denominar: a) p b) 1- p 1+ U - D U - D - (1+ U - D ) Estos valores representan la probabilidad implíita 3 de asenso (p) y la de desenso (1-p) del valor de la aión sbyaente. Así, por ejemplo, si sstitimos en la eaión de p las variables por los datos del ejemplo on el qe venimos trabajando obtendremos dihas probabilidades: p (1 + 0,06-0,9) (1,2-0,9) 53,33% de qe asienda 1-p 46,66% de qe desienda Por tanto, si ahora retomamos nestra demostraión y sstitimos parte de la eaión anterior por el valor de 1-p, obtendremos: - ( - d ) (1 - p) (1 + ) 5

6 p + d (1 - p) (1 + ) ahora despejando, obtendremos la expresión qe alla el valor atal de la opión de ompra según el método binomial, qe omo se pede apreiar onsiste en allar la media ponderada de los ljos de aja proporionados por la opión de ompra tanto si el preio del ativo sbyaente asiende omo si desiende, y tilizando omo ponderaiones las probabilidades implíitas de qe diho preio del ativo sba o aiga. Y todo ello atalizado al tipo libre de riesgo: p + d 1+ (1- p) Conretando, el preio teório de la opión de ompra es igal al valor atal de la media ponderada de los ljos de aja qe diha opión proporiona en s eha de venimiento. Para demostrar qe ésta es la eaión qe bsamos sstitiremos las variables por ss valores: (20 x 0, x 0,4666) (1,06) 10, El método binomial para dos períodos Con objeto de obtener el valor de la opión de ompra eropea 4 para varios períodos, primeramente vamos a apliar el método binomial para n par de ellos. Así qe si segimos tilizando los datos del ejemplo qe venimos manejando y segimos sponiendo qe el oeiiente de reimiento del preio de la aión es U 1,2 y qe el de dereimiento sige siendo D 0,9 podremos ver omo, transrridos n par de períodos, la otizaión de la aión ordinaria ha podido asender hasta n máximo de 144, o bien aabar desendiendo hasta n mínimo de 81, o tomar n valor intermedio de 108. El valor de la opión de ompra eropea se alla restando el preio de ejeriio (100 ) del valor de la aión al inal del segndo período, sabiendo qe si el resltado 3 Esta espeie de probabilidad es netral al riesgo, es deir, no tiene nada qe ver on la mayor o menor aversión qe el inversor tenga al riesgo, entre otras osas, porqe, omo hemos demostrado anteriormente, no hay riesgo si se tiliza la ombinaión de H aiones ordinarias y la venta de na opión de ompra. 6

7 es negativo el valor de la opión será ero. Así, tendremos tres posibles valores de la opión de ompra al inal del segndo período: 44, 8 y 0 eros, respetivamente. Fig. 3 Preios de la aión y valores de la opión en el aso de dos períodos El proeso omenzará de dereha haia la izqierda, periodo a periodo. Primeramente deberemos allar valor de la opión de ompra al inal del primer período, tanto en el aso de asenso de la otizaión de la aión ( ) omo de desenso ( d ) en nión de los posibles valores qe peda tomar la misma al inal del segndo período. Para ello tilizaremos las expresiones matemátias analizadas en el epígrae anterior. Así, por ejemplo tendremos: p + d (1- p) 44 0, , ,06 p + dd (1- p) 8 0, , ,06 d d 25,66 eros 4,025 eros Una vez qe tenemos estos dos valores podemos allar el preio teório de la opión de ompra eropea a través de la misma expresión matemátia: p + d 1+ (1- p) 25,66 0, ,025 0,466 14,68 eros 1,06 4 Aqella qe sólo se pede ejerer en la eha de venimiento 7

8 Por tanto el valor de la opión de ompra para dos períodos es de 14,68. esmamos ahora todo el proeso: la valoraión omienza on los ljos de aja del último período qe son onoidos, lego se va retroediendo haia la izqierda hasta llegar al momento atal. El proedimiento es my senillo anqe algo tedioso ando hay mhos períodos. Esto último es importante, pesto qe para obtener n valor realista de la opión neesitamos elegir U y D idadosamente y dividir el tiempo hasta el venimiento en na mltitd de peqeños sbperíodos. Conorme vayamos amentando el número de sbperíodos y, por onsigiente, rediendo el tiempo de los mismos pasaremos de onsiderar el tiempo omo na variable disreta a onsiderarlo na variable ontina. En realidad, para nos resltados válidos el tiempo hasta el venimiento debería ser dividido al menos en nos 50 sbperíodos. Por otro lado, los ratios de obertra deberán ser reallados para ada ndo del grao ando hay dos o más períodos de tiempo. Así, por ejemplo: - d 44-8 Ndo H 1 S (U - D) 120 (1,2-0,9) d - dd 8-0 Ndo d H 0,297 S (U - D) 90 (1,2-0,9) - d 25,66-4,025 Ndo H 0,72 S (U - D) 100 (1,2-0,9) El ratio de obertra del ndo es igal a la nidad pesto qe la opión de ompra se enentra laramente dentro de la zona "in the money" por lo qe el ljo de aja será siempre positivo. Conorme el tiempo transrre es neesario revisar el ratio de obertra y si el tiempo hasta el venimiento se divide en n gran número de sbperíodos entones el ratio de obertra se pede tilizar para determinar la exposiión al riesgo on bastante exatitd. 3. El modelo binomial para varios períodos No es mi intenión expliar la matemátia qe apliada a na serie de períodos (basada en el triánglo de Pasal y en la ombinatoria) proporiona la expresión de la binomial 8

9 para la valoraión de las opiones de tipo eropeo. Como riosidad mostraremos la expresión de la misma: 1 (1+ ) n n k 0 n p k k (1- p) n-k máx k n-k {(SU D - X),0} Casi todas las variables ya son onoidas a exepión de "n" qe india el número de pasos en los qe se desompone el proeso binomial, y X qe representa el valor del preio de ejeriio. En resmen, la expresión onsidera qe la opión vale simplemente el valor atal de los ljos de aja esperados a lo largo de n árbol binomial on n pasos, yos prinipales spestos básios son: 1º. La distribión de los preios de las aiones es na binomial mltipliativa. 2º. Los mltipliadores U y D (y, por ende, las varianzas de los rendimientos) son los mismos en todos los períodos. 3º. No hay ostes de transaión, por lo qe se pede estableer na obertra sin riesgo para ada período entre la opión y el ativo sin neesidad de realizar ningún oste irreperable. 4º. Los tipos de interés sin riesgo se sponen onstantes. Es importante realar qe no es neesario asmir qe los inversores tengan na determinada atitd haia el riesgo, de heho el modelo spone na netralidad ante el riesgo porqe se pede onstrir na artera de arbitraje qe elimina totalmente el riesgo de la inversión. Si el valor de la opión no oinide on el allado a través del modelo, entones se pede onsegir n beneiio sin riesgo. 4. De la distribión binomial a la distribión logonormal En el proeso de állo mltipliativo del modelo binomial podríamos sponer qe el ator de desenso D es igal a la inversa del ator de asenso U, lo qe provoaría qe los rendimientos del ativo serían simétrios. Ahora bien, téngase en enta qe para qe esto seda deberemos medir diho rendimiento a través del logaritmo de la relaión entre el preio en n momento determinado (S t ) y el del momento preedente (St-1). 9

10 Esto es así, debido a qe si, por ejemplo, el preio de na aión drante tres instantes de tiempo onsetivos vale 100, 120 y 100 eros, respetivamente, ss rendimientos serán del 20% (es deir, ) y del -16,66% (es deir, ), omo se observa el valor absolto de ambas antidades no es simétrio anqe el asenso y desenso sea el mismo en eros, lo qe ambia es la base sobre la qe se alla diha variaión. Sin embargo, si apliamos el állo logarítmio obtendremos nos rendimientos de: Ln( ) 18,23% y Ln( ) -18,23%, lo qe sí los hae simétrios. Por lo tanto, los preios qe se distribyen según na normal logarítmia tendrán nos rendimientos distribidos normalmente, qe serán allados según la expresión: r t Ln (S t S t-1 ) En la igra 4 se mestra n ejemplo de n árbol binomial donde los oeiientes de asenso y desenso son, respetivamente, U 1,2 y D 1/U 0,833, qe se extiende a lo largo de seis períodos y qe omienza on n valor de la aión de 100. La amplitd de n árbol binomial dependerá del tamaño de U y del número de pasos en los qe se desompone. El spesto eqivalente para n ativo yos rendimientos se distribyen según na normal, es qe la varianza de los rendimientos es onstante en ada período. Así, si la varianza del período es σ 2, la varianza para t años será σ 2 t. Mientras qe la desviaión típia será σt a la qe se le sele denomin ar volatilidad del ativo. Fig.4 Árbol binomial de seis períodos y distribión de los preios Si σ es la desviaión típia de los rendimientos por período, t el número de años hasta el venimiento y n el número de períodos en los qe se sbdivide t, el proeso 10

11 binomial para el ativo proporiona nos rendimientos normalmente distribidos en el límite si: U e σ(t/n) y D 1/U e -σ(t/n) Así, por ejemplo, si S ; σ 0,3; t 0,5 años; 10% y n 10 iteraiones (es deir, ada sbperíodo es igal a 0,05 años): U e 0,3(0,5/10) 1,06938 y D 1/U 0,93512 además, según las eaiones qe vimos en el primer epígrae obtendremos nos valores de las probabilidades netrales al riesgo igales a (el tipo de interés sin riesgo semestral es el 5%): p [(1+ (0,05/10)) 0,93512] / (1, ,93512) 0, p 0,4796 Las distribiones normal-logarítmias de los preios tienen na orma semejante a na ampana asimétria y podemos pensar qe onorme el tiempo va transrriendo la distribión se va ampliando, lo mismo qe le orre al árbol binomial. Como se apreia en la igra 5 en la qe se mestra na opión de ompra ot-o-the-money, omenzando en el momento ero ando el preio de la aión sbyaente es S, onorme el tiempo pasa la distribión se amplia hasta qe na parte de ella spera, o no, al preio de ejeriio (E) en la eha de venimiento. En diha eha, los ljos de aja de la opión se representan por la zona sombreada qe se enentra por enima de E. El valor atal de la opión de ompra según el método de Blak y Sholes es senillamente el valor atal de diho área. 11

12 Fig.5 El valor de la opión amenta onorme la distribión del preio amenta al transrrir el tiempo 5. La valoraión de las opiones de venta En este epígrae vamos a valorar na opión de venta (pt option) teniendo en enta qe pede ejererse antiipadamente, si se trata de na de tipo ameriano, y qe este ejeriio antiipado pede ser preerible a esperar a ejererla en la eha de venimiento. En la igra 6 se mestra el esqema de los posibles movimientos de la aión ordinaria y del valor de la opión de venta en la eha de venimiento (para n preio de ejeriio igal a 100 ). Para allar el valor de la opión de venta en el momento atal ataremos de la misma manera qe en el aso de la opión de ompra. Fig.6 Distribión de los preios de la aión ordinaria y de los valores de la opión de venta La obertra se pede obtener vendiendo n número determinado de aiones ordinarias y na opión de venta, simltáneamente. Sin embargo, para ser onsistentes on la obtenión del preio de las opiones de ompra, spondremos qe se adqirirán hp aiones, dónde h p será el ratio de obertra qe tendrá signo negativo. Así pes: 12

13 a) Si el valor de la aión dentro de n período asiende, el valor del ljo de aja será h p SU - P b) Si el valor de la aión dentro de n período desiende, el valor del ljo de aja será h p SD - P d Igalando ambas eaiones y despejando h p, obtendremos el valor del ratio de obertra: h p P - Pd S (U - D) Así, por ejemplo, si sstitimos las variables por los valores qe manejábamos en el aso anterior: h p (0-10) [100 x (1,2-0,9)] -1/3. Si ahora repetimos los mismos desarrollos matemátios qe para las opiones de ompra llegaremos a la expresión qe nos da el valor de la opión de venta (P): P P p + Pd (1- p) 1+ Sstityendo los valores del ejemplo y sabiendo qe la probabilidad intrínsea de asenso p se alla de la misma orma qe en el aso de la opiones de ompra, obtendremos: P (0 x 0, x 0,4666) (1,06) 4,4025 Si ahora qisiéramos omprobar la paridad "pt-all" no tendremos más qe sstitir en las expresión: P C - S + VA(E) 10, (100 1,06) 4,4025 En el esqema de la igra 7 se mestra el valor de la opión de venta de tipo eropeo ando hay dos períodos. El állo omienza por los valores de la dereha qe son obtenidos a través de la onoida expresión Máx{E-S,0}, lego nos moveremos haia la izqierda allando los valores de las opiones de venta (P y Pd) para terminar on el állo de la opión de venta eropea hoy (P 3,682). Si allásemos el va- 13

14 lor de la opión de venta ameriana la osa ambiaría pesto qe P 0 y Pd 10 (es deir, al poder ejerer la opión de venta ganamos 10, mientras qe si no pdiésemos haerlo el valor teório de la opión sería 8,3647, on lo qe está laro qe se ganan 1,6353 si se pede ejerer la opión), lo qe proporiona n valor de P 4,4025. Con ello se ompreba omo el valor de la opión de venta ameriana es sperior al valor de la opión de venta eropea. Fig.7 Distribión de los preios de la aión ordinaria y de los valores de la opión de venta de tipo eropeo en el aso de dos períodos Bibliograía COX,J., OSS,S., y UBINSTEIN,M.: "Options priing: a simpliied approah". Jornal o Finanial Eonomis. nº Págs.: COX,J., y UBINSTEIN, M.: Options Markets. Prentie Hall. Englewood Clis (NJ) DIEZ, Lis y MASCAEÑAS, Jan: Ingeniería Finaniera. MGraw Hill. Madrid (2 ed.) ECKL, S., OBINSON,J. y THOMAS, D.: Finanial Engineering. Basil Blakwell. Oxord FENANDEZ, Pablo: Opiones y Valoraión de Instrmentos Finanieros. Desto. Bilbao FENANDEZ, Pablo: "Valoraión y ejeriio antiipado de la pt ameriana". Análisis Finaniero. nº Págs: GEMMILL, Gordon: Options Priing. MGraw Hill. Londres LAMOTHE, Prosper: Opiones sobre Instrmentos Finanieros. MGraw Hill. Madrid NATEMBEG, S.: Option Volatility and Priing Strategies. Probs. Chiago

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