8.1. Maximización de benecio, minimización de coste y la función de coste. December 12, 2011
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- Esther Toro Quintana
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1 Maximización de benecio, minimización de coste y la función de coste December 12, f(λl, λk) (λl) 1 / (λk) 1 /2 λ 1 / λ 1 /2 L 1 / λ 3 / f(k, L) < λf(k, L) f(k,l) La función de producción exhibe rendimientos decrecientes a escala. 2. Min {L,K} CT wl + rk s.a. L 1 / Y Utilizaremos el método de sustitución (también se puede aplicar el método lagrangiano). Primero despejamos en la restricción L en función de K : L ( ) Y K 1 2 Y K 2 A continuación lo introducimos en la función objetivo y obtenemos un problema de maximización sin restricciones: Min {L,K} CT w ( Y K 2) + rk Entonces: CT K 0 1
2 2wY K 3 + r 0 r 2wY 1 K 3 La demanada condicionada del capital es: ( 2wY K(w, r, Y ) r Para encontrar la demanda condicionada del trabajo repetimos el proceso despejando la restricción K en función de L : K )1/3 ( ) 2 Y L 1 / Y 2 L 1 /2 lo introducimos en la función objetivo y obtenemos un problema de maximización sin restricciones: Min {L,K} CT wl + ry 2 L 1 /2 Entonces: CT L 0 w 1 2 ry 2 L 3 /2 0 w ry 2 2L 3 /2 La demanda condicionada del trabajo es: ( ry 2 L(w, r, Y ) 2w )2/3 3. CT wl + rk Sustituimos las demandas encontradas en el apartado anterior: ( ry 2 CT w 2w )2/3 2 ( 2wY + r r )1/3
3 CT 2 2 /3 w 1 w 2 /3 r 2 /3 Y /3 + r 1 r 1 /3 2 1 /3 w 1 /3 Y /3 w 1 /3 r 2 /3 Sacamos factor común: ( ) CT r 2 /3 Y /3 w 1 / /3 21 /3 Coste medio: Coste Marginal: /3 CMe CT Y ( ) CMe Y 1 /3 w 1 /3 r 2 / /3 CMg CT Y ( ) CMg 22 3 Y 1/3 w 1 /3 r 2 / /3 2 /3 Y 1 /3 w 1 /3 r 2 / RT S (L,K) P MgL P MgK F/ L F/ K Calculemos la RTS para f(l, K) 3L 1 /3 K 1 /3 1 3 RT S (L,K) 3L 2 /3 K 1 /3 2/ L1 /3 K L K 1 /3 2 /3 L 1 /3 K 2 /3 K L La RTS es la pendiente de la isocuanta y mide la relación a la que tendrá que sustituir un factor de producción por otro para mantener constante la producción. En este caso, debemos sustituir una unidad de L por una unidad de K para mantener constante la producción. 3
4 2. f(λl, λk) 3 (λl) 1 /3 (λk) 1 /3 λ 1 /3 λ 1 /3 3L 1 /3 K 1 /3 λ 2 /3 f(k, L) < λf(k, L) f(k,l) La función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala. 3. Las funciones de productividad marginal de L y K son: P MgL F L L 2 /3 K 1 /3 P MgK F K L1 /3 K 2 /3 Las funciones de productividad media de L y K son: P MeL f(k, L) L 3L1 /3 K 1 /3 L 3L 2 /3 K 1 /3 P MeK f(k, L) K K 3L1/3 1/3 3L 1 /3 K 2 /3 K. El problema de maximización de benecios de la empresa es: Max {L,K} Π : p f(k, L) wl rk las condiciones de primer orden son: Cojo la segunda ecuación: Π L 0 p L 2 /3 K 1 /3 w Π K 0 p L1 /3 K 2 /3 r p L 1 /3 K 2 /3 r
5 lo sustituyo en la primera ecuación: Entonces: L(w, r, p) L 1 /3 rk 2 /3 p L 2 /3 r2 K /3 p 2 pk 1 /3 ( r 2 K /3 p 2 ) w p 3 r 2 K w K(w, r, p) L 2 /3 p3 r 2 w ( ) /3 r 2 p 3 r 2 w p 2 ( ) r 3 p 3 2 r 2 w p 3 r3 p 6 r p 3 w 2 p3 rw 2 5. Cantidad ofrecida de producto: K(2, 1, 2) L(2, 1, 2) f(2, ) 3 (2) 1 /3 () 1 /3 6 5
6 Calculemos la RTS para f(l, K) L 1 / K 1 / 1 RT S (L,K) L 3 / K 1 / 3/ 1 L1 / K L K 1 / 3 / L 1 / K 3 / K L La RTS es la pendiente de la isocuanta y mide la relación a la que tendrá que sustituir un factor de producción por otro para mantener constante la producción. En este caso, debemos sustituir una unidad de L por una unidad de K para mantener constante la producción. 2. f(λl, λk) (λl) 1 / (λk) 1 / λ 1 / λ 1 / L 1 / K 1 / λ 1 /2 f(k, L) < λf(k, L) f(k,l) La función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala. 3. Las funciones de productividad marginal de L y K son: P MgL F L L 3/ K 1 / P MgK F K L1 / K 3/ Las funciones de productividad media de L y K son: P MeL f(k, L) L L1 / K 1 / L L 3 / K 1 / P MeK f(k, L) K K L1/ 1/ L 1 / K 3 / K 6
7 . El problema de maximización de benecios de la empresa es: Max {L,K} Π : p f(k, L) wl rk las condiciones de primer orden son: Cojo la segunda ecuación: Π L 0 p L 3/ K 1 / w Π K 0 p L1 / K 3/ r p L 1 / K 3 / r lo sustituyo en la primera ecuación: Entonces: L(w, r, p) L 1 / rk 3 / p L 3 / r3 K 9 / p 3 pk 1 / ( r 3 K 9 / p 3 ) w p r 3 K 2 w p2 K(w, r, p) r 3 /2 w 1 /2 L 3 / ( ) 9/ r 3 p 2 r 3 /2 w 1 /2 p 3 ( ) r p 2 3 r 3 /2 w 1 /2 p r p 6 r 9 /2 p w p2 3 /2 r 1 /2 w 3 /2 7
8 5. Cantidad ofrecida de producto: K(,, ) 2 3 /2 1 /2 1 L(,, ) 2 1 /2 3 /2 1 f(1, 1) (1) 1 / (1) 1 / 8
9 8. (a) Max {L,K} Π : p L 1 / wl rk las condiciones de primer orden son: Π L 0 p 1 L 3/ w Π K 0 p 1 2 L1 / K 1/2 r 9
10 De la segunda ecuación saco: p L 1 / K 1 /2 2r K 1 /2 Sustituyo en la primera ecuación: 2r pl 1 / pl1 / 2r p 1 ( ) L 3 / pl 1/ w 2r p 2 L 1 /2 w 8r L 1 /2 8rw p 2 L 1 /2 L(w, r, p) p2 8rw p (8wr) 2 Entonces: ( ) 1/ p p (8wr) 2 2r ( p p (8wr) 1 /2 2r ) p 2 2r(8wr) 1 /2 K(w, r, p) p r 2 8rw p 32r 3 w Oferta de producto: ( p )1/ ( p Y (w, r, p) (8wr) 2 32r 3 w )1/2 p (8rw) p 2 1 / /2 r 3 /2 w p 3 1 /2 8 1 / /2 r 2 w 16 10
11 3. Min {L,K} CT : wl + rk s.a. L 1 / Y Usaremos el método lagrangiano: L(L, K, λ) wl + rk λ(l 1 / Y ) Las tres condiciones de primer orden son: L L 0 w 1 λl 3 / 0 L K 0 r 1 2 λl1 / K 1 /2 0 L λ 0 L1 / Y 0 Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K: Entonces: wl 1 λl 3 / } {{ L } L 1 / Y rk 1 2 λl1 / K 1 /2 K Y 1 λy 1 2 λy L λ Y w K λ Y 2r Sustituimos en la tercera ecuación para despejar λ: ( λ Y ) 1/ ( λ Y ) 1/2 Y w 2r λ (1 /+ 1 /2) Y 1 / (w) 1 / Y 1 /2 (2r) 1 /2 Y λ 3 / Y Y 1 / (w) 1 / Y 1 /2 (2r) 1 /2 Y Y 1 / (w) 1 / Y 1 /2 (2r) 1 /2 Y 1 / (w) 1 / (2r) 1 /2 11
12 ( ) /3 λ Y 1 / (w) 1 / (2r) 1 /2 Y 1/3 (w) 1 /3 (2r) 2 /3 Sustituyo λ en L y K : L(w, r, Y ) Y 1 /3 (w) 1 /3 (2r) 2 /3 Y w Y /3 (2r) 2 /3 (w) 2 /3 ( ) 2/3 1 Y /3 r 2 /3 2 w 2 /3 K(w, r, Y ) Y 1 /3 (w) 1 /3 (2r) 2 /3 Y 2r Y /3 (w) 1 /3 (2r) 1 /3 2 1 /3 Y /3 w 1 /3 r 1 /3 La función de costes a largo plazo será: CT lp w L(w, r, Y ) + r K(w, r, Y ) w ( ) 2/3 1 Y /3 r 2 /3 + r 2 Y 1 /3 w 1 /3 /3 2 w 2 /3 r 1 /3 Sacamos factor común: ( ) 2/3 1 Y /3 r 2 /3 w 1 / /3 Y /3 r 2 /3 w 1 /3 2 ( (1 ) 2/3 ( ) ( ) CT lp (w, r, Y ) + 2 /3) 1 Y /3 r 2 /3 w 1 /3 1 2/ /3 2 2 /3 Y /3 r 2 /3 w 1 /3 3 Y /3 r 2 /3 w 1 / /3 2 2 /3. Función de oferta: ( 3 Max {L,K} Π : p Y p /3 c.p.o Π Y 0 ) Y /3 r 2 /3 w 1 /3 CT /3 Y 1 /3 r 2 /3 w 1 /3 0 Y 1 /3 p 2 2 /3 r2 /3 w 1 /3 12
13 Y (w, r, p) p3 16 r 2 w Es la misma función de oferta que la que encontramos en el apartado Nos esta hablando de la elasticidad: ε CTlp,w CT /CT w/w ) ε CTlp,w ( /3 ( /3 CT w w CT Y /3 r 2 /3 w 2 /3 w ) 1 Y /3 r 2 /3 w 1 /3 3 Si el salario w aumenta en 1 % el coste a largo plazo de producir Y unidades se incrementa en 1 /3%. 6. A corto plazo el capital es jo: Min CT wl + rk s.a. L 1 / Y Aislamos L en la restricción: L K 2 Y la substituimos en la función objetivo para encontrar la función de coste a corto plazo: CT cp (w, r, Y ) w Y K 2 + rk 7. CT cp (1, 1, Y ) CT lp (1, 1, Y ) ( 3 1 Y /3 ) Y /3 1 2 /3 1 1 /3 13
14 (b) 1) 2. Max {L,K} Π : p L 1 /3 K 2 /3 wl rk las condiciones de primer orden son: Π L 0 p 1 3 L 2/3 K 2 /3 w Π K 0 p 2 3 L1 /3 K 1/3 r Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K: 1
15 p 1 3 L 2 /3 } {{ L } K 2 /3 wl L 1 /3 p 2 3 L1 /3 K 1 /3 K K 2 /3 rk Suponiendo que Y L 1 /3 K 2 /3 reformulamos estas expresiones: p 1 3 Y wl p 2 3 Y rk Despejamos L y K para encontrar las demandas óptimas de los factores: L py 3w K 2pY 3r Introducimos las demandas óptimas de los factores en la función de producción: L 1 /3 K 2 /3 Y Sacamos factor común: ( ) 1/3 ( ) 2/3 py 2pY Y 3w 3r ( Y 1 /3+ 2 /3 p ) 1/3 ( ) 2/3 2p Y 3w 3r ( p ) 1/3 ( ) 2/3 2p 0 3w 3r ¾Que problema hay? Cuando la empresa tiene redimientos constantes de escala la función de oferta no está bien denida. Esta empresa es indeferente en cuanto a su nivel de producción. 15
16 (c) Max {L,K} Π : p L 3 / K 3 / wl rk las condiciones de primer orden son: Π L 0 p 3 L 1/ K 3 / w Π K 0 p 3 L3 / K 1/ r Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K: 16
17 p 3 L 1 / } {{ L } K 3 / wl L 3 / p 3 L3 / K 1 / K K 3 / rk Suponiendo que Y L 3 / K 3 / reformulamos estas expresiones: p 3 Y wl p 3 Y rk Despejamos L y K para encontrar las demandas óptimas de los factores: L 3 K 3 Introducimos las demandas óptimas de los factores en la función de producción: py w py r L 3 / K 3 / Y ( ) 3/ ( ) 3/ 3 py 3 py Y w r Y 3 /+ 3 / ( 3 Y 1 /2 Y 1 /2 Y (w, r, p) ( 3 ( 3 ) 3/ ( p 3 w ( 3 ) 3/ ( p 3 w ) 3/ ( p 3 w ) 3/2 ( p 3 w ) 3/ p Y r ) 3/ p r ) 3/ p r ) 3/2 p (w /2 ( r)3 r 3 p) 3 17
18 3. Min {L,K} CT : wl + rk s.a. L 3 / K 3 / Y Usaremos el método lagrangiano: L(L, K, λ) wl + rk λ(l 3 / K 3 / Y ) Las tres condiciones de primer orden son: L L 0 w 3 λl 1 / K 3 / 0 L K 0 r 3 λl3 / K 1 / 0 L λ 0 L3 / K 3 / Y 0 Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K: Entonces: wl 3 λl 1 / } {{ L } L 3 / K 3 / Y rk 3 λl3 / K 1 / K K 3 / Y L λ 3 Y w K λ 3 Y r 3 λy 3 λy Sustituimos en la tercera ecuación para despejar λ: λ 3 /2 ( λ 3Y ) 3/ ( λ 3Y ) 3/ Y w r ( ) 3/2 3 Y 3 /2 w 3 / r 3 / Y λ 3 /2 ( ) 3/2 3 Y 1 /2 w 3 / r 3 / 18
19 Sustituyo λ en L y K : L(w, r, Y ) K(w, r, Y ) λ ( ) 1 3 Y 1 /3 w 1 /2 r 1 /2 La función de costes a largo plazo será: ( ) 1 3 Y 1 /3 w 1 /2 r 3 Y 1 /2 w Y 2 /3 w 1 /2 r 1 /2 ( ) 1 3 Y 1 /3 w 1 /2 r 3 Y 1 /2 r Y 2 /3 w 1 /2 r 1 /2 CT lp w L(w, r, Y ) + r K(w, r, Y ) w Y 2 /3 w 1 /2 r 1 /2 + r Y 2 /3 w 1 /2 r 1 /2 2Y 2 /3 w 1 /2 r 1 /2. Función de oferta: Max {L,K} Π : p Y 2Y 2 /3 w 1 /2 r 1 /2 CT c.p.o Π Y 0 p 3 Y 1 /3 w 1 /2 r 1 /2 Y 1 /3 3 w1 /2 r 1 /2 p 1 Y (w, r, p) (w r)3 /2 ( 3 p) 3 Es la misma función de oferta que la que encontramos en el apartado 1. 19
20 5. Nos esta hablando de la elasticidad: ε CTlp,w 1 2 2Y 2 /3 w 1 /2 r 1 /2 w 1 2Y 2 /3 w 1 /2 r 1 /2 2 Si el salario w aumenta en 1 % el coste a largo plazo de producir Y unidades se incrementa en 1 /2%. 6. A corto plazo el capital es jo: Min CT wl + rk s.a. L 3 / K 3 / Y Aislamos L en la restricción: L K 1 Y /3 la substituimos en la función objetivo para encontrar la función de coste a corto plazo: CT cp (w, r, Y ) w K 1 Y /3 + rk 7. CT cp (1, 1, Y ) CT lp (1, 1, Y ) Y / Y 2 /3 Y /3 2Y 2 / Tenemos una ecuación de segundo grado: Y 2 ± (1)(1)
21 (d) La empresa tiene rendimientos constantes de escala. 21
22 (e) La empresa tiene rendimientos constantes de escala. 8.5 Max {L} Π : pl 1 /2 wl rk c.p.o : Π L 0 1/2 pl 1 /2 w 0 22
23 L 1 /2 2w p L 1 /2 p 2w L(w, p) p2 K (2w) 2 Función de oferta: Y (w, p) ( p 2 )1/2 K ( )1/2 K (2w) 2 p pk 2w 2w ¾Cómo afecta un cambio en el precio del factor trabajo w en la oferta? Y w pk 2 p y K son positivos por lo tanto un aumento de w disminuye la producción. ¾Cómo afecta un cambio en el precio del producto p en la oferta? Y p K 2w w y K son positivos por lo tanto un aumento de p aumenta la producción. 8.6 Entonces: Max {Y } Π : py Y 3 + 7Y 2 17Y 66 c.p.o : Π Y 0 p 3Y 2 + 1Y 17 0 Reescribimos: 23
24 3Y 2 + 1Y (17 p) 0 Tenemos una ecuación de segundo grado: Y 1 ± 1 2 ( 3)( 17 + p) 2( 3) Gráco: p 8, para p 6 2 / f(λl) (λl) α λ α L α Es una función homogénea de grado α. 2. Y L α 2
25 L Y 1 /α CT w Y 1 /α 3. CMg 1 α w Y (1 α) /α. Sí es cierto. CMe w Y 1 /α Y w Y (1 α) /α Min {L,K} 2L + K s.a. 27L 2 K Y Utilizamos el lagrangiano: L(L, K, λ) 2L + K λ(27l 2 K Y ) Condiciones de primer orden: 2 2λ27LK 0 27LK 1 λ 1 λ27l L 2 1 λ 27L 2 K Y 0 27L 2 K Y Igualamos la primera y segunda ecuación: 27LK 27L 2 25
26 K L Sustituimos en la tercera ecuación: 27L 2 L Y Costes Totales: L K ( ) 1/3 Y 27 ( ) 1/3 Y 27 ( ) 1/3 ( ) 1/3 ( ) 1/3 Y Y Y CT
27 2. ( ) 1/3 1 CMe 3 Y 2 /3 27 CMg ( ) 1/3 1 Y 2 / Min {L,K} 2L + K s.a. 27L 2 K Y Aislamos K en la restricción: K Y 27L 2 27
28 y lo sustituimos en la función objetivo: 2L + Y 27L 2 Derivamos con respecto a L e igualamos a zero: 2 2Y 27L 0 L Y 27 Costes Totales: CT 2 27 Y + 1. CMe Y 28
29 CMg
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