Microeconomia Avanzada 1

Transcripción

1 Microeconomia Avanzada 1 Sjaak Hurkens 2011 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 1/53

2 Teoría de la Empresa producción costes conducta de la empresa Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 2/53

3 Producción Definición (Plan de producción) Un plan de producción para la empresa j, es un vector l-dimensional y j = (y j1,..., y jl ) IR l donde y jk > 0 denota un output para la empresa j, y jk < 0 denota un input, y y jk = 0 representa que la mercancía k no forma parte del proceso de producción de la empresa j. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 3/53

4 Producción Definición (Conjunto de prosibilidades de producción) El conjunto de posibilidades de producción de la empresa j, que denotamos como Y j IR l, es el conjunto de todos los planes de producción técnicamente viables. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 4/53

5 Producción output Y j yj 0 input Figure: El conjunto de posibilidades de producción Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 5/53

6 Producción Definición (Tecnología) Una tecnología para una empresa es un proceso que permite transformar unas mercancías (inputs) en otras (outputs). Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 6/53

7 Producción: supuestos propiedades de Y j (i) Y j es no vacío y cerrado. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 7/53

8 Producción: supuestos propiedades de Y j (i) Y j es no vacío y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 7/53

9 Producción: supuestos propiedades de Y j (i) Y j es no vacío y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). No es posible producir algo a partir de nada. Formalmente, si y j Y j tal que k, y jk 0, entonces, y j = 0. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 7/53

10 Producción: supuestos propiedades de Y j (i) Y j es no vacío y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). (iii) Posibilidad de suspender la actividad. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 7/53

11 Producción: supuestos propiedades de Y j (i) Y j es no vacío y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). (iii) Posibilidad de suspender la actividad. Esta propiedad dice 0 Y j. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 7/53

12 Producción: supuestos propiedades de Y j (i) Y j es no vacío y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). (iii) Posibilidad de suspender la actividad. (iv) Free disposal. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 7/53

13 Producción: supuestos propiedades de Y j (i) Y j es no vacío y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). (iii) Posibilidad de suspender la actividad. (iv) Free disposal. Esta propiedad nos dice que la empresa puede eliminar sin coste las mercancías (inputs o outputs) que tiene en exceso. Formalmente, si yj 1 Y j y yj 2 es tal que yjk 2 y jk 1, k = 1, 2,..., l, entonces y 2 j Y j. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 7/53

14 Producción: supuestos propiedades de Y j (i) Y j es no vacío y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). (iii) Posibilidad de suspender la actividad. (iv) Free disposal. (v) Irreversibilidad de la producción. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 7/53

15 Producción: supuestos propiedades de Y j (i) Y j es no vacío y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). (iii) Posibilidad de suspender la actividad. (iv) Free disposal. (v) Irreversibilidad de la producción. Esta propiedad dice que no es posible cambiar el papel de los inputs y de los outputs en el proceso de producción, excepto en el caso trivial de la inactividad. Formalmente, si y j = (y j1, y j2,..., y jl ) es un plan de producción, el plan de producción y j = ( y j1, y j2,..., y jl ) que obtenemos cambiando los inputs por outputs y viceversa no es factible. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 7/53

16 Producción: posibles propiedades (vi) rendimientos no crecientes a escala: y j Y j, λ [0, 1] λy j Y j Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 8/53

17 Producción: posibles propiedades (vi) rendimientos no crecientes a escala: y j y j Y j, λ [0, 1] λy j Y j output y j output λy j λy j Y j Y j (a) 0 input (b) 0 input Figure: Rendimientos no crecientes a escala. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 8/53

18 Producción: posibles propiedades (vii) rendimientos no decrecientes a escala: y j Y j, λ 1 λy j Y j Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 9/53

19 Producción: posibles propiedades (viii) rendimientos constantes a escala: y j Y j, λ 0 λy j Y j Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 10/53

20 Producción: posibles propiedades (viii) rendimientos constantes a escala: y j Y j, λ 0 λy j Y j λy j output y j Y j 0 input Figure: Rendimientos constantes a escala. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 10/53

21 Producción: posibles propiedades (ix) aditividad: yj 1, yj 2 Y j yj 1 + yj 2 Y j Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 11/53

22 Producción: posibles propiedades (x) convexidad: yj 1, yj 2 Y j, λ [0, 1] λyj 1 + (1 λ)yj 2 Y j Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 12/53

23 Producción: posibles propiedades (x) convexidad: yj 1, yj 2 Y j, λ [0, 1] λyj 1 + (1 λ)yj 2 Y j La convexidad combina varias ideas: - La perfecta divisibilidad de los planes de producción - Los rendimientos no crecientes ( si 0 Y j ) - Si consideramos dos planes de producción que generan el mismo output pero utilizan diferentes combinaciones de inputs, podemos construir un nuevo plan de producción utilizando una media ponderada de los inputs de los dos planes de producción anteriores y el output resultante será como mínimo tan grande como el correspondiente a los planes de producción iniciales. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 12/53

24 Producción: posibles propiedades (x) convexidad: output y 2 j y 1 j Y j 0 input Figure: Convexidad Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 12/53

25 Producción Distingir inputs (z) y outputs (ỹ): y j = (z j1, z j2,..., z jν ; y jν+1, y jν+2,..., y jl ) = (z j, ỹ j ), donde z j Z j IR ν y ỹ j Ỹj IR l ν. Dada la convención de inputs negativos, z jk 0, k = 1, 2,..., ν y y jk 0, k = ν + 1, ν + 2,..., l. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 13/53

26 Producción Distingir inputs (z) y outputs (ỹ): y j = (z j1, z j2,..., z jν ; y jν+1, y jν+2,..., y jl ) = (z j, ỹ j ), donde z j Z j IR ν y ỹ j Ỹj IR l ν. Dada la convención de inputs negativos, z jk 0, k = 1, 2,..., ν y y jk 0, k = ν + 1, ν + 2,..., l. Definición (Conjunto de necesidades de inputs) Dado un vector de outputs ỹ j Ỹj, el conjunto de necesidades de inputs asociado es V j (ỹ j ) = {z j : (z j, ỹ j ) Y j }. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 13/53

27 Producción Sobre el conjunto V j (ỹ j ) vamos a introducir dos propiedades: (i) V j (ỹ j ) es comprensivo. Formalmente, ante dos vectores de inputs z 1 j y z 2 j si z 1 j V j (ỹ j ) y z 2 j z1 j, entonces z2 j V j (ỹ j ). Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 14/53

28 Producción Sobre el conjunto V j (ỹ j ) vamos a introducir dos propiedades: (i) V j (ỹ j ) es comprensivo. Formalmente, ante dos vectores de inputs z 1 j y z 2 j si z 1 j V j (ỹ j ) y z 2 j z1 j, entonces z2 j V j (ỹ j ). (ii) V j (ỹ j ) es convexo. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 14/53

29 Producción Sobre el conjunto V j (ỹ j ) vamos a introducir dos propiedades: (i) V j (ỹ j ) es comprensivo. Formalmente, ante dos vectores de inputs z 1 j y z 2 j si z 1 j V j (ỹ j ) y z 2 j z1 j, entonces z2 j V j (ỹ j ). (ii) V j (ỹ j ) es convexo. (iii) nesting: Si ỹ 1 j ỹ 2 j, entonces V j(ỹ 1 j ) V j(ỹ 2 j ). Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 14/53

30 Producción z 1 j 0 z 1 zj 2 j 0 z 2 j Q j (ỹ j ) V j (ỹ j ) V j (ỹ 2 j ) V j (ỹ 1 j ) (a) (b) Figure: Conjunto de necesidades de inputs Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 15/53

31 Producción Definición (Isocuanta) Dado un vector de outputs ỹ j, definimos la isocuanta asociada como la frontera de su conjunto de necesidades de inputs. Formalmente, Q j (ỹ j ) = {z j : (z j, ỹ j ) Y j, } (z j, ỹ j ) Y j, para cualquier ỹ j ỹ j, ỹ j ỹ j. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 16/53

32 Producción Definición (La función de transformación) F j : IR l IR tal que Y j = {y j IR l : F j (y j ) 0}. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 17/53

33 Producción Definición (La función de transformación) F j : IR l IR tal que Y j = {y j IR l : F j (y j ) 0}. y j output {y j : F j (y j ) = 0} Y j = {y j : F j (y j ) 0} 0 input Figure: La función de transformación. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 17/53

34 Producción Definición (tasa marginal de transformación) F j (y j ) y jh TMT hk (y j ) =. F j (y j ) y jk TMT es la pendiente de la frontera de transformación. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 18/53

35 Producción Caso especial: un único output Definición (función de producción) f j : IR l 1 IR output y = f j (z) Y j 0 input Figure: La función de producción. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 19/53

36 Producción Definición (relación técnica de de sustitución) RTS = TMT RTS hk (y) = f j (z j ) z jh f j (z j ) z jk RTS es la pendiente de la isocuanta correspondiente al nivel de producción ȳ.. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 20/53

37 Producción Ejemplo (La tecnología Cobb-Douglas) Conjunto de producción Y = {( z 1, z 2, y) IR 2 IR/y z α 1 z β 2 }, α, β IR + Cuando α + β > 1 la tecnología exhibe rendimientos crecientes; si α + β = 1 los rendimientos son constantes; si α + β < 1 tenemos rendimientos decrecientes. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 21/53

38 Producción Ejemplo (La tecnología Cobb-Douglas) Conjunto de necesidades de inputs V (ȳ) = {( z 1, z 2 ) IR 2 /ȳ z α 1 z β 2 } Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 21/53

39 Producción Ejemplo (La tecnología Cobb-Douglas) Isocuantas Q(ȳ) = {( z 1, z 2 ) IR 2 /ȳ = z α 1 z β 2 } Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 21/53

40 Producción Ejemplo (La tecnología Cobb-Douglas) Función de producción f (z 1, z 2 ) = z α 1 z β 2 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 21/53

41 Producción Ejemplo (La tecnología Leontieff) Conjunto de producción Y = {( z 1, z 2, y) IR 2 IR/y min{az 1, bz 2 }} Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 22/53

42 Producción Ejemplo (La tecnología Leontieff) Conjunto de necesidades de inputs V (ȳ) = {( z 1, z 2 ) IR 2 /ȳ min{az 1, bz 2 }} Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 22/53

43 Producción Ejemplo (La tecnología Leontieff) Isocuantas Q(ȳ) = {( z 1, z 2 ) IR 2 /ȳ = min{az 1, bz 2 }} Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 22/53

44 Producción Ejemplo (La tecnología Leontieff) Función de producción f (z 1, z 2 ) = min{az 1, bz 2 } Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 22/53

45 Producción z 2 z 2 V (y 2 ) V (y 2 ) 0 (a) Q(y 2 ) Q(y 1 ) z 1 0 (b) Q(y 2 ) Q(y 1 ) z 1 Figure: Las tecnologías Cobb-Douglas y Leontieff. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 23/53

46 Producción Propiedades de la función de producción (i) f j es no decreciente. (free disposal) Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 24/53

47 Producción Propiedades de la función de producción (i) f j es no decreciente. (free disposal) (ii) f j es cuasicóncava. (convexidad conj. nec. de inputs) Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 24/53

48 Producción Propiedades de la función de producción (i) f j es no decreciente. (free disposal) (ii) f j es cuasicóncava. (convexidad conj. nec. de inputs) (iii) f j exhibe rendimientos no decrecientes a escala si α > 1, f j (αz j ) αf j (z j ). Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 24/53

49 Producción Propiedades de la función de producción (i) f j es no decreciente. (free disposal) (ii) f j es cuasicóncava. (convexidad conj. nec. de inputs) (iii) f j exhibe rendimientos no decrecientes a escala si α > 1, f j (αz j ) αf j (z j ). (iv) f j exhibe rendimientos no crecientes a escala si α > 1, f j (αz j ) αf j (z j ). Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 24/53

50 Producción Propiedades de la función de producción (i) f j es no decreciente. (free disposal) (ii) f j es cuasicóncava. (convexidad conj. nec. de inputs) (iii) f j exhibe rendimientos no decrecientes a escala si α > 1, f j (αz j ) αf j (z j ). (iv) f j exhibe rendimientos no crecientes a escala si α > 1, f j (αz j ) αf j (z j ). (v) f j exhibe rendimientos constantes a escala si α > 0, f j (αz j ) = αf j (z j ). Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 24/53

51 Producción La elasticidad de sustitución mide la variación porcentual del cociente entre dos inputs h y k con respecto a la variación porcentual de la RTS asociada en un punto ȳ. Formalmente, Definición (elasticidad de sustitución) σ hk = (z jk /z jh ) (z jk /z jh ) RTS hk RTS hk ȳ = (z jk/z jh ) RTS hk RTS hk (z jk /z jh ) ȳ. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 25/53

52 Producción La elasticidad de sustitución mide la variación porcentual del cociente entre dos inputs h y k con respecto a la variación porcentual de la RTS asociada en un punto ȳ. Formalmente, Definición (elasticidad de sustitución) σ hk = (z jk /z jh ) (z jk /z jh ) RTS hk RTS hk ȳ = (z jk/z jh ) RTS hk RTS hk (z jk /z jh ) Ejemplo CES: f (z 1, z 2 ) = (z ρ 1 + zρ 2 )1/ρ (ρ < 1, ρ 0) σ = 1 1 ρ ȳ. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 25/53

53 Producción z 2 z 2 σ =0 σ = y 2 0 (a) y 1 z 1 y 2 y 1 0 z 1 (b) Figure: Convexidad y substituibilidad. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 26/53

54 Producción La elasticidad de escala mide el aumento porcentual que experimenta el nivel de producción cuando se aumentan todos los factores en la misma proporción. El interés de esta medida viene dado porque una función de producción puede presentar rendimientos crecientes a escala para ciertos niveles de los factores y rendimientos decrecientes a escala para otros. Ello genera la necesidad de definir una medida local de los rendimientos a escala. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 27/53

55 Producción Definición (La elasticidad de escala) e(z j ) = f j (αz j ) f j (αz j ) α α = f j(αz j ) α = α f j (αz j ) α=1 α=1 n k=1 f j z jk z jk f j (z j ) e(z j ) > 1: rendimientos crecientes localmente e(z j ) = 1: rendimientos constantes localmente e(z j ) < 1: rendimientos decrecientes localmente Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 28/53

56 Producción Observación: elasticidad de producción del input k f j z jk z jk f j (z j ) = PMarg k PMed k = e k (z j ) Ejemplo: f (z 1, z 2 ) = A(1 + z α 1 z β 2 ) 1 (α, β > 0) Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 29/53

57 Comportamiento de la empresa Suponemos que la empresa está intersada en maximizar beneficios: o, equivalente, max Π j (p, y j ) = max y j Y J y j Y J l p k y jk k=1 max y j l p k y jk s.a. F j (y j ) 0 k=1 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 30/53

58 Comportamiento de la empresa Suponemos que la empresa está intersada en maximizar beneficios: o, equivalente, max Π j (p, y j ) = max y j Y J y j Y J l p k y jk k=1 max y j l p k y jk s.a. F j (y j ) 0 k=1 No siempre existe una solución! Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 30/53

59 Comportamiento empresa β y j β y j tgγ = α tgβ = p1 p 2 Y j Y j γ 0 γ 0 z j z j (a) (b) Figure: Equilibrio y RCE. si α > p 1 p 2 no hay equilibrio puesto que la empresa puede escoger y j arbitrariamente grande y obtener beneficios arbitrariamente grandes. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 31/53

60 Comportamiento empresa β y j β y j tgγ = α tgβ = p1 p 2 Y j Y j γ 0 γ 0 z j z j (a) (b) Figure: Equilibrio y RCE. si α = p 1 p 2 cualquier plan de producción es una solución al problema del productor. En todos estos equilibrios, sin embargo el beneficio de la empresa es nulo. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 31/53

61 Comportamiento empresa β y j β y j tgγ = α tgβ = p1 p 2 Y j Y j γ 0 γ 0 z j z j (a) (b) Figure: Equilibrio y RCE. si α < p 1 p 2 hay un único equilibrio en el que la empresa obtiene beneficios nulos. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 31/53

62 Comportamiento empresa Si la función de transformación es diferenciable, podemos caracterizar la solución del problema del productor a partir de las condiciones de primer orden, También Π j (y j ) y jk = p k λ F j(y j ) y jk = 0, k = 1, 2,..., l. correspondencia de oferta η j (p) = {y j Y j : TMT hk (y j ) = p h p k. l p k y jk es máximo}. k=1 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 32/53

63 Comportamiento empresa Si la función de transformación es diferenciable, podemos caracterizar la solución del problema del productor a partir de las condiciones de primer orden, También Π j (y j ) y jk = p k λ F j(y j ) y jk = 0, k = 1, 2,..., l. correspondencia de oferta η j (p) = {y j Y j : TMT hk (y j ) = p h p k. l p k y jk es máximo}. k=1 Si este conjunto tiene un único elemento lo denotamos yj (p) y lo denominamos la función de oferta. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 32/53

64 Comportamiento empresa El caso de un output: max pf l 1 j(z j ) w k z jk. z j 0 k=1 Las condiciones de primer orden son (para inputs activos (z jk > 0)) p f j(z j ) z jk w k = 0, k = 1, 2,..., l 1 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 33/53

65 Comportamiento empresa El caso de un output: max pf l 1 j(z j ) w k z jk. z j 0 k=1 Las condiciones de primer orden son (para inputs activos (z jk > 0)) p f j(z j ) z jk w k = 0, k = 1, 2,..., l 1 El producto marginal de cada input activo k es igual a (w k /p). (ingreso marginal = coste marginal) Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 33/53

66 Comportamiento empresa El caso de un output: max pf l 1 j(z j ) w k z jk. z j 0 k=1 Las condiciones de primer orden son (para inputs activos (z jk > 0)) p f j(z j ) z jk w k = 0, k = 1, 2,..., l 1 El producto marginal de cada input activo k es igual a (w k /p). (ingreso marginal = coste marginal) La relación técnica de sustitución entre dos inputs es igual al ratio de sus precios, RTS hk = w h /w k. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 33/53

67 Comportamiento empresa y j F (y j (p)) tgβ = p 1 /p 2 p y j (p) {y j : k p k y jk = Π} Y j β {y j : k z j p k y jk = Π} Figure: La maximización del beneficio. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 34/53

68 Comportamiento empresa Propiedades de la función de beneficios Π j (p) i) Π j (p) es homogénea de grado uno; Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 35/53

69 Comportamiento empresa Propiedades de la función de beneficios Π j (p) i) Π j (p) es homogénea de grado uno; ii) Π j (p) es convexa; Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 35/53

70 Comportamiento empresa Propiedades de la función de beneficios Π j (p) i) Π j (p) es homogénea de grado uno; ii) Π j (p) es convexa; iii) Π j (p) es continua; Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 35/53

71 Comportamiento empresa Propiedades de la función de beneficios Π j (p) i) Π j (p) es homogénea de grado uno; ii) Π j (p) es convexa; iii) Π j (p) es continua; iv) Si Y j es convexo, entonces Y j = {y j IR l : k p ky jk Π j (p) p 0}; Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 35/53

72 Comportamiento empresa Propiedades de la función de beneficios Π j (p) i) Π j (p) es homogénea de grado uno; ii) Π j (p) es convexa; iii) Π j (p) es continua; iv) Si Y j es convexo, entonces Y j = {y j IR l : k p ky jk Π j (p) p 0}; v) η j (p) es homogénea de grado cero; Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 35/53

73 Comportamiento empresa Propiedades de la función de beneficios Π j (p) i) Π j (p) es homogénea de grado uno; ii) Π j (p) es convexa; iii) Π j (p) es continua; iv) Si Y j es convexo, entonces Y j = {y j IR l : k p ky jk Π j (p) p 0}; v) η j (p) es homogénea de grado cero; vi) Si Y j es convexo (estrictamente convexo), entonces η j (p) es un conjunto convexo (una función) para todo p. ; Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 35/53

74 Comportamiento empresa Propiedades de la función de beneficios Π j (p) i) Π j (p) es homogénea de grado uno; ii) Π j (p) es convexa; iii) Π j (p) es continua; iv) Si Y j es convexo, entonces Y j = {y j IR l : k p ky jk Π j (p) p 0}; v) η j (p) es homogénea de grado cero; vi) Si Y j es convexo (estrictamente convexo), entonces η j (p) es un conjunto convexo (una función) para todo p. ; vii) (Lema de Hotelling) Si η j ( p) = {(yj1,..., y jl )}, entonces Π j = yjk p k p, k = 1, 2,..., l; Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 35/53

75 Comportamiento empresa Propiedades de la función de beneficios Π j (p) i) Π j (p) es homogénea de grado uno; ii) Π j (p) es convexa; iii) Π j (p) es continua; iv) Si Y j es convexo, entonces Y j = {y j IR l : k p ky jk Π j (p) p 0}; v) η j (p) es homogénea de grado cero; vi) Si Y j es convexo (estrictamente convexo), entonces η j (p) es un conjunto convexo (una función) para todo p. ; vii) (Lema de Hotelling) Si η j ( p) = {(yj1,..., y jl )}, entonces Π j = yjk p k p, k = 1, 2,..., l; viii) Si η j (p)es una función diferenciable en p, entonces Dη j ( p) = D 2 Π j ( p) es una matriz simétrica y semidefinida positiva con Dη j ( p) p = 0. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 35/53

76 Comportamiento empresa Demostración Lema de Hotelling Sea η j (p ) una solución del problema del productor a los precios p. Da beneficios Π j (p ) = p η j (p ). Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 36/53

77 Comportamiento empresa Demostración Lema de Hotelling Sea η j (p ) una solución del problema del productor a los precios p. Da beneficios Π j (p ) = p η j (p ). Fijemos ahora todos los precios excepto el de la mercancía k. Supongamos ahora que para cualquier p k la empresa continua utilizando η j (p ). Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 36/53

78 Dado que las dos funciones Sjaak Hurkens son tangentes Microeconomia enavanzada el punto 1 p, las 36/53 Comportamiento empresa Demostración Lema de Hotelling Sea η j (p ) una solución del problema del productor a los precios p. Da beneficios Π j (p ) = p η j (p ). Fijemos ahora todos los precios excepto el de la mercancía k. Supongamos ahora que para cualquier p k la empresa continua utilizando η j (p ). Π j(p 1,..., p k 1,p k,p k+1,..., p l ) p ky jk + h k p hy jh p k p k Figure: El lema de Hotelling.

79 Comportamiento empresa Ejemplo: Cobb-Douglas f (z 1,..., z n ) = n i=1 zα i i donde α i > 0 y α i < 1. Calcular la función de oferta, la función de beneficios. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 37/53

80 Comportamiento empresa La oferta agregada Sea y j la oferta (plan de producción) de la empresa j. Entonces y = j y j es la oferta agregada. El conjunto de producción total es Y = j Y j := {y y N : y j Y j }. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 38/53

81 Comportamiento empresa La oferta agregada Sea y j la oferta (plan de producción) de la empresa j. Entonces y = j y j es la oferta agregada. El conjunto de producción total es Y = j Y j := {y y N : y j Y j }. Entonces 0 Y, IR l + Y, Y es convexo, Y ( Y ) {0}. (este es un supuesto!) Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 38/53

82 Comportamiento empresa Definimos la correspondencia de oferta agregada, η(p) como η : IR l + Y, η(p) = j η j (p). Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 39/53

83 Comportamiento empresa Definimos la correspondencia de oferta agregada, η(p) como η : IR l + Y, η(p) = j η j (p). Las propiedades de la correspondencia de oferta agregada 1 η(p) es homogénea de grado cero en p; 2 η(p) es cerrado y convexo para todo p IR l +; 3 Para cualquier p IR l + tal que η(p) sea no vacío, η(p) es hemicontinua superior en p. 4 Para cualquier p IR l + tal que η(p) sea no vacío, los beneficios agregados se maximizan si y sólo si cada empresa maximiza sus beneficios individualmente, cuando las empresas toman el sistema de precios p como dado. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 39/53

84 Costes El problema de la empresa de minimizar costes de producción está muy relacionado con su problema de maximizar beneficios. Además, minimizar costes es siempre posible, incluso cuando existen rendimientos crecientes de escala o cuando el mercado de outputs no es competitivo. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 40/53

85 Costes minimizar costes min z j wz j sujeto a z j V j (ỹ j ) Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 41/53

86 Costes minimizar costes min z j wz j sujeto a z j V j (ỹ j ) La solución z j (w, ỹ j) la denominamos función de demanda condicionada de los factores. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 41/53

87 Costes minimizar costes min z j wz j sujeto a z j V j (ỹ j ) La solución z j (w, ỹ j) la denominamos función de demanda condicionada de los factores. El valor de la combinación de inputs solución de este problema (wz j (w, ỹ)) es una función c j(w, ỹ j ) que denominamos función de coste. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 41/53

88 Costes La figura representa la solución del problema de minimización de coste para el caso de dos inputs. En esta figura representamos la función de costes a partir del mapa de ĺıneas isocoste y el conjunto de requerimientos de inputs asociado al vector de producción ỹ j. z j1 V j (ỹ j ) z j1 0 z j2 z j2 Figure: La minimización del coste. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 42/53

89 Costes Las propiedades de la función de coste c j (w, ỹ j ) son las siguientes: i) La función de coste es homogénea de grado uno en w; ii) La función de coste es no decreciente en ỹ j ; iii) La función de coste es cóncava en w; iv) La función de coste es continua en w. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 43/53

90 Costes w k z jk + h k w hz jh C j (w 1,..., w k 1,w k,w k+1,..., w l ) w k w k Figure: La concavidad de la función de coste. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 44/53

91 Costes La función de demanda condicionada de factores z j (w, ỹ j) satisface las propiedades siguientes: i) z j es homogénea de grado cero en w. Es decir, si z j soluciona el problema de la minimización de coste para (w, ỹ j ), entonces también es una solución minimizadora de coste para (αw, ỹ j ), α > 0. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 45/53

92 Costes La función de demanda condicionada de factores z j (w, ỹ j) satisface las propiedades siguientes: i) z j es homogénea de grado cero en w. ii) Si V j (ỹ j ) es convexo, el conjunto {zj } de soluciones del problema de minimización del coste para (w, ỹ j ) es convexo; Si V j (ỹ j ) es estrictamente convexo, la solución es única. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 45/53

93 Costes La función de demanda condicionada de factores zj (w, ỹ j) satisface las propiedades siguientes: i) zj es homogénea de grado cero en w. ii) Si V j (ỹ j ) es convexo, el conjunto {zj } de soluciones del problema de minimización del coste para (w, ỹ j ) es convexo; iii) (Lema de Shephard) Supongamos que c j (w, ỹ j ) es continuamente diferenciable en w (para un ỹ j dado) al vector de precios w. Sea zj una solución del problema de minimización del coste para (w, ỹ j ). Entonces, zjk = c j(w, ỹ j ) (w, k = 1, 2,..., n. w k,ỹ j ) Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 45/53

94 Costes La función de demanda condicionada de factores z j (w, ỹ j) satisface las propiedades siguientes: i) z j es homogénea de grado cero en w. ii) Si V j (ỹ j ) es convexo, el conjunto {zj } de soluciones del problema de minimización del coste para (w, ỹ j ) es convexo; iii) (Lema de Shephard) Entonces, zjk = c j(w, ỹ j ) (w, k = 1, 2,..., n. w k,ỹ j ) iv) Si zj (w) es una función diferenciable en ŵ, entonces Dz j (ŵ, ỹ j ) = D 2 c j (ŵ, ỹ j ) es una matriz simétrica y semidefinida negativa con Dzj (ŵ, ỹ j)ŵ = 0. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 45/53

95 Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular función de demanda condicionada de factores y función de coste en el caso de f (z 1, z 2 ) = Az α 1 zβ 2. min w 1 z 1 + w 2 z 2 s.a. f (z 1, z 2 ) = ȳ z 1,z 2 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 46/53

96 Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular función de demanda condicionada de factores y función de coste en el caso de f (z 1, z 2 ) = Az α 1 zβ 2. min w 1 z 1 + w 2 z 2 s.a. f (z 1, z 2 ) = ȳ z 1,z 2 RTS 12 = w 1 /w 2 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 46/53

97 Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular función de demanda condicionada de factores y función de coste en el caso de f (z 1, z 2 ) = Az α 1 zβ 2. min w 1 z 1 + w 2 z 2 s.a. f (z 1, z 2 ) = ȳ z 1,z 2 RTS 12 = w 1 /w 2 Aαzα 1 1 z β 2 Aβz α 1 zβ 1 2 = w 1 w 2 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 46/53

98 Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular función de demanda condicionada de factores y función de coste en el caso de f (z 1, z 2 ) = Az α 1 zβ 2. min w 1 z 1 + w 2 z 2 s.a. f (z 1, z 2 ) = ȳ z 1,z 2 Aαzα 1 1 z β 2 Aβz1 αzβ 1 2 αz 2 βz 1 = w 1 w 2 = w 1 w 2 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 46/53

99 Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular función de demanda condicionada de factores y función de coste en el caso de f (z 1, z 2 ) = Az α 1 zβ 2. min w 1 z 1 + w 2 z 2 s.a. f (z 1, z 2 ) = ȳ z 1,z 2 αz 2 βz 1 = w 1 w 2 z 2 = βw 1 αw 2 z 1 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 46/53

100 Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular función de demanda condicionada de factores y función de coste en el caso de f (z 1, z 2 ) = Az α 1 zβ 2. min w 1 z 1 + w 2 z 2 s.a. f (z 1, z 2 ) = ȳ z 1,z 2 z 2 = βw 1 z 1 αw 2 ȳ = Az α 1 z β 2 = Azα 1 ( ) β βw1 z 1 = A αw 2 ( βw1 αw 2 ) β z α+β 1 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 46/53

101 Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular función de demanda condicionada de factores y función de coste en el caso de f (z 1, z 2 ) = Az α 1 zβ 2. min w 1 z 1 + w 2 z 2 s.a. f (z 1, z 2 ) = ȳ z 1,z 2 z 2 = βw 1 z 1 αw 2 ( ) β ( ) β ȳ = Az1 α z β 2 = βw1 βw1 Azα 1 z 1 = A z α+β 1 αw 2 αw 2 z 1 = z 1 (w, ȳ) = ( ( ) ) 1 β α+β ȳa 1 βw1 αw 2 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 46/53

102 Costes: dualidad costes y produccion min w 1 z 1 + w 2 z 2 s.a. f (z 1, z 2 ) = ȳ z 1,z 2 z 2 = βw 1 z 1 αw 2 ȳ = Az α 1 z β 2 = Azα 1 ( ) β βw1 z 1 = A αw 2 ( βw1 αw 2 ) β z α+β 1 z 1 = z 1 (w, ȳ) = z 2 = z 2 (w, ȳ) = ( ( ȳa 1 βw1 αw 2 ( ( ȳa 1 αw2 βw 1 ) β ) 1 α+β ) α ) 1 α+β Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 46/53

103 Costes Ejemplo (cont.) Función de coste: c(w, ȳ) = w 1 z 1 (w, ȳ) + w 2 z 2 (w, ȳ) [ (β ) β = ȳ 1 α+β A 1 α+β α α+β w α+β α β α+β 1 w2 + [( = ȳ 1 α+β A 1 α+β α ) β ( α+β α ) α ] α+β + w β β ( ) α α α+β β w α+β β α α+β 1 w2 β α+β 2 w1 α α+β ] Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 47/53

104 Costes: dualidad costes y produccion Sea c(w, y) = w 2 y w 2 2 4w 1 la función de coste de una empresa. Cual es la tecnología subyacente? Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 48/53

105 Costes: dualidad costes y produccion Sea c(w, y) = w 2 y w 2 2 4w 1 la función de coste de una empresa. Cual es la tecnología subyacente? El lema de Shephard nos da la demanda condicionada de factores: z 1 (w, y) = c w 1 = w 2 2 4w 2 1 (1) z 2 (w, y) = c w 2 = y w 2 2w 1 (2) Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 48/53

106 Costes: dualidad costes y produccion Sea c(w, y) = w 2 y w 2 2 4w 1 la función de coste de una empresa. Cual es la tecnología subyacente? El lema de Shephard nos da la demanda condicionada de factores: Entonces y z 1 (w, y) = c w 1 = w 2 2 4w 2 1 (1) z 2 (w, y) = c w 2 = y w 2 2w 1 (2) y = z 2 + w 2 2w 1 (3) w 2 = z 1 2 2w 1 (4) 1 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 48/53

107 Costes: dualidad costes y produccion Sea c(w, y) = w 2 y w 2 2 4w 1 la función de coste de una empresa. Cual es la tecnología subyacente? Entonces y = z 2 + w 2 (1) 2w 1 y w 2 = z 1 2 2w 1 (2) 1 Finalmente, obtenemos la función de producción: f (z) = y = z z 2. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 48/53

108 Costes En general, podemos recuperar la tecnología o función de producción a partir de la función de costes c j (w, y): l 1 f j (z j1,..., z jl 1 ) = max{y : w k z jk c j (w, y), w IR + l 1 }. k=1 Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 49/53

109 Costes En el caso de una función de producción continua, estrictamente creciente y estrictamente cuasi-cóncava y, que además es homotética, calcular función de coste y demandas condicionadas de factores es más fácil. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 50/53

110 Costes En el caso de una función de producción continua, estrictamente creciente y estrictamente cuasi-cóncava y, que además es homotética, calcular función de coste y demandas condicionadas de factores es más fácil. Definición (Homoteticidad) Una función f j es homotética si (z 1 j, z 2 j ) Z j tal que f j (z 1 j ) = f j (z 2 j ) y α IR + entonces f j (αz 1 j ) = f j (αz 2 j ). Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 50/53

111 Costes En el caso de una función de producción continua, estrictamente creciente y estrictamente cuasi-cóncava y, que además es homotética, calcular función de coste y demandas condicionadas de factores es más fácil. z 2 z 2 αz 2 αz 2 z 2 f(αz) =αy z 2 αz 1 z 1 f(z) =y z 1 αz 1 f(αz) αy f(z) =y 0 (a) z 1 0 (b) z 1 Figure: Homogeneidad y homoteticidad. Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 50/53

112 Costes Teorema Si la función de producción es continua, estrictamente creciente, estrictamente cuasi-cóncava y homotética, entonces 1 c(w, y) = h(y)c(w, 1) donde h(y) es estrictamente creciente 2 z(w, y) = h(y)z(w, 1) donde h(y) es estrictamente creciente Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 51/53

113 Costes Teorema Si la función de producción es continua, estrictamente creciente, estrictamente cuasi-cóncava y homotética, entonces 1 c(w, y) = h(y)c(w, 1) donde h(y) es estrictamente creciente 2 z(w, y) = h(y)z(w, 1) donde h(y) es estrictamente creciente Si la función de producción es homogenea de grado r > 0 1 c(w, y) = y 1/r c(w, 1) 2 z(w, y) = y 1/r z(w, 1) Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 51/53

114 Costes Y y C tg(α) =CMe(ỹ) tg(β) =CMg(ỹ) C(y) β C, p y(p) CMg(y) CMe(y) (a) z α (b) ỹ y (c) y y C C(y) C, p y(p) Y CMe(y) =CMg(y) (d) z y y (e) (f) Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 52/53

115 Costes y C C(y) C, p CMg(y) CMe(y) Y ỹ K y(p) (a) z ỹ (b) y ỹ (c) y y C C(y) C, p CMe(y) Y K y(p) CV Mg(y) (d) z y y (e) (f) Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 53/53