Campo eléctrico Ley de GAUSS y Aplicaciones

Transcripción

1 Física III -15 Física III Campo eléctrico Ley de GAUSS y Aplicaciones Prof. Dr. Victor H. Rios 2015

2 Física III -15 METAS DE APRENDIZAJE Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: La diferencia entre fuerza eléctrica y campo eléctrico. Cómo calcular el campo eléctrico generado por un conjunto de cargas. Cómo usar la idea de las líneas de campo eléctrico para visualizar e interpretar los campos eléctricos. Como calcular las propiedades de los dipolos eléctricos. Cómo determinar la cantidad de carga dentro de una superficie cerrada examinando el campo eléctrico sobre la superficie. Cuál es el significado de flujo eléctrico y cómo se calcula. Cómo relaciona la ley de Gauss al flujo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga encerrada por la superficie. Cómo usar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico debido a una distribución simétrica de la carga. Dónde se localiza la carga en un conductor cargado?.

3 Física III -15 Contenidos -Mostraciones en clase -El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas -Fuerza sobre una carga inmersa en un campo eléctrico -El campo eléctrico de una carga puntual -Campo vectorial -Ejemplo1. Vector de campo eléctrico de una carga puntual -Cálculos de campos eléctricos -Superposición de campos eléctricos -Ejemplo 2. Campo de un anillo con carga -Ejemplo 3. Campo de un disco con carga uniforme -Líneas de campo eléctrico - Flujo de campo eléctrico. - Ley de Gauss. Aplicaciones - Ejemplo 4. Campo de un alambre infinito - Ejemplo 5. Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de cargas. -Conductores - Ejemplo 6. Campo producido por un conductor esférico cargado - Ejemplo 7. Campo creado por una placa conductora infinita cargada

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5 MOSTRACIONES EN CLASE Física III -15

6 Foto Nº 1-2.-Es una foto del generador de carga de Whimshurst (por frotamiento) capaz de generar tensiones del orden de hasta volt con corriente de unos pocos miliamperes.

7 Cuando se conecta el generador de carga a dos placas circulares paralelas y a una cierta distancia entre si y una de ellas tiene pegadas cintas de papel de tres milímetros de ancho por siete centímetros de largo se ve claramente como se orientan según las líneas de campo E entre las placas mientras existan las cargas.

8 Corresponde a una fuente emisora de carga, visualizada al acercar un material conductor aislado (destornillador) la chispa que se ve es de aproximadamente un centímetro la que depende de la tensión de la fuente

9 Vemos un tubo fluorescente conectado a la línea 220 volt AC sin reactancia ni arrancador (como correspondería a una conexión común) el mismo se encuentra sin encender por más que esta conectado a la línea de alimentación.

10 Se ve como se puede lograr el encendido de un tubo fluorescente conectado en forma directa a la red domiciliaria mediante la aplicación de una descarga eléctrica de alta tensión en este caso. Lo que ocurre es que esta alta tensión, es lo necesario para comenzar el proceso de emisión de luz ( al ser excitados los átomos de mercurio que están en su interior).-

11 Vemos como se mueven las cargas dentro de un medio sin resistencia, vacío del foco, el recorrido de las cargas dependen del tamaño del foco, siendo mayor la emisión que si estuviera en aire. Podemos representar las fuerzas perpendiculares a las paredes del foco.

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13 Al acercar el dedo a u- na lámpara incandescente común sometida a una tensión de unos 7000 volt. El filamento es un sistema emisor de carga casi circular, donde podríamos representar al rayo como la fuerza perpendicular al filamento que se dirige desde el polo positivo a tierra potencial cero a través del cuerpo humano (camino de menor resistencia). La carga se dirige principalmente en esa dirección, puede considerarse al filamento como elemento de tensión positiva máxima 7000 volt y el dedo como tensión cero. A partir del filamento la tensión disminuirá en forma gradual a una determinada distancia equidistante del mismo.

14 Superficies equipotenciales

15 Superficies equipotenciales

16 El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas Física III -15 Cuando dos partículas cargadas eléctricamente interactúan en el espacio vacío, cómo sabe cada una que la otra está ahí?, Qué ocurre en el espacio entre ellas que comunica el efecto de una sobre la otra? Podemos comenzar a responder estas preguntas y, a la vez, reformular la ley de Coulomb de una manera muy útil, con el empleo del concepto de campo eléctrico. Veamos la repulsión mutua de dos cuerpos cargados positivamente, A y B (figuras). Suponga que B tiene carga q 0, y sea la fuerza eléctrica que A ejerce sobre B. Es decir, el campo eléctrico en cierto punto es igual a la fuerza eléctrica por unidad de carga que una carga experimenta en ese punto.

17 Fuerza sobre una carga inmersa en un campo eléctrico Física III -15 Si se conoce el campo eléctrico E en cierto punto, la ecuación anterior se reacomoda y da la fuerza F 0 experimentada por una carga puntual q 0 colocada en ese punto. Esta fuerza es igual al campo eléctrico producido en ese punto por cargas distintas de q 0, multiplicado por la carga q 0 : CUIDADO, esta expresión es sólo para cargas de prueba puntuales La fuerza eléctrica F 0 = q 0 E experimentada por una carga de prueba q 0 varía de un punto a otro, de manera que el campo eléctrico también es diferente en puntos distintos. Por esta razón, la ecuación se usa únicamente para calcular la fuerza eléctrica sobre una carga puntual. Si un cuerpo cargado tiene un tamaño suficientemente grande, el campo eléctrico llega a tener magnitudes y direcciones muy distintas en sus diversos puntos, y el cálculo de la fuerza eléctrica neta sobre él puede ser más complicado.

18 Física III -15 Una definición completamente correcta del campo eléctrico tomamos el límite de la ecuación anterior, a medida que la carga de prueba q 0 tiende a cero, y el efecto perturbador de q 0 sobre la distribución de la carga se vuelve despreciable. El campo eléctrico de una carga puntual Consideremos una carga puntual q, y deseamos encontrar el campo eléctrico que produce en el punto P. Es útil introducir un vector unitario que apunte a lo largo de la línea que va del punto de origen al punto del campo (fig a). Si colocamos una pequeña carga de prueba q 0 en el punto del campo P, a una distancia r del punto de origen, la magnitud F 0 de la fuerza está dada por la ley de Coulomb Ecuación vectorial para E

19 Campo vectorial Como puede variar de un punto a otro, No es una cantidad vectorial única, sino un conjunto infinito de cantidades vectoriales, cada una de las cuales está asociada con un punto del espacio. Física III -15 En las figuras se ilustran algunos de los vectores del campo producidos por una carga puntual positiva o negativa. Los campos vectoriales forman parte importante del lenguaje de la física, no sólo en la electricidad y el magnetismo. Un ejemplo de campo vectorial de la vida cotidiana es la velocidad de las corrientes de viento; la magnitud y la dirección de y por lo tanto de sus componentes vectoriales, varían de un punto a otro en la atmósfera.

20 Ejemplo 1. Vector de campo eléctrico de una carga puntual Una carga puntual q = -8.0 nc se localiza en el origen. Obtenga el vector de campo eléctrico en el punto del campo x = 1.2 m, y = -1.6 m. SOLUCIÓN IDENTIFICAR: En este problema se pide calcular el vector de campo eléctrico E debido a una carga puntual. Entonces, es necesario obtener ya sea las componentes de E, o su magnitud y dirección. PLANTEAR: En la figura se ilustra la situación. El campo eléctrico está dado en forma vectorial por la ecuación Física III -15 Para emplear esta ecuación, primero se encuentra la distancia r que hay entre el punto de origen S (la posición de la carga q) y el punto P en el campo, así como el vector unitario que tiene la dirección que va de S a P. EJECUTAR: La distancia entre la carga localizada en el punto de origen S (que en este ejemplo está en el origen O) y el punto P en el campo, es

21 El vector unitario está dirigido del punto de origen al punto del campo. Es igual al vector de desplazamiento del punto de origen al punto del campo (que en la figura se ilustra desviado a un lado para que no oculte los otros vectores), dividido entre su magnitud r: Física III -15 Entonces, el vector de campo eléctrico es EVALUAR: Como q es negativa, tiene una dirección que va del punto del campo a la carga (el punto de origen), en dirección opuesta a. El cálculo de la magnitud y la dirección de se deja al lector

22 Cálculos de campos eléctricos Física III -15 La ecuación da el campo eléctrico causado por una sola carga puntual. Sin embargo, en la mayoría de situaciones reales que implican campos y fuerzas eléctricas, se encuentra que la carga está distribuida en el espacio. Las varillas de plástico y de vidrio cargadas de la figura tiene carga eléctrica distribuida sobre sus superficies El tambor formador de imágenes en una impresora láser.

23 Física III -15 En esta sección aprenderemos a calcular los campos eléctricos causados por varias distribuciones de carga eléctrica Los cálculos de esta clase tienen una importancia enorme para las aplicaciones tecnológicas de las fuerzas eléctricas. Para determinar las trayectorias de los electrones en un cinescopio, de los núcleos atómicos en un acelerador para radioterapia contra el cáncer, de las partículas cargadas en un dispositivo electrónico semiconductor, se tiene que conocer la naturaleza detallada del campo eléctrico que actúa sobre las cargas.

24 Superposición de campos eléctricos Física III -15 Para encontrar el campo originado por una distribución de carga, imaginamos que está constituida por muchas cargas puntuales q 1, q 2, q 3,...En cualquier punto P dado, cada carga puntual produce su propio campo eléctrico por lo que una carga de prueba q 0 colocada en P experimenta una fuerza de la carga q 1 de la carga q 2 y así sucesivamente Del principio de superposición de fuerzas, la fuerza total que la distribución de carga ejerce sobre q 0 es la suma vectorial de estas fuerzas individuales: El efecto combinado de todas las cargas en la distribución queda descrito por el campo eléctrico total E en el punto P. De la definición de campo eléctrico, Éste es el principio de superposición de campos eléctricos.

25 Física III -15 Ejemplo 2. Campo de un anillo con carga Un conductor en forma de anillo con radio a tiene una carga total Q distribuida de manera uniforme en todo su perímetro (figura). Encuentre el campo eléctrico en el punto P que se localiza sobre el eje del anillo a una distancia x del centro. SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Éste es un problema de superposición de campos eléctricos. La dificultad es que ahora la carga se distribuye de manera continua alrededor del anillo, y no en cierto número de cargas puntuales. PLANTEAR: El punto del campo se localiza de manera arbitraria sobre el eje x, como se indica en la figura anterior. La incógnita es el campo eléctrico expresado en ese punto, expresado en función de la coordenada x.

26 Física III -15 EJECUTAR: Como se ilustra en la figura, imaginamos el anillo dividido en segmentos infinitesimales de longitud ds. Cada segmento tiene una carga dq que actúa como fuente de carga puntual del campo eléctrico. Sea de el campo eléctrico a partir de uno de tales segmentos; entonces, el campo eléctrico neto en P es la suma de todas las aportaciones de desde todos los segmentos que constituyen el anillo. Para calcular E x, se observa que el cuadrado de la distancia r a partir de un segmento de anillo al punto P es igual a r 2 = x 2 + a 2. De manera que la magnitud de la contribución de este segmento de al campo eléctrico en P es La componente x, de x, de este campo es: Para encontrar la componente x total, E x, del campo en P, se integra esta expresión a lo largo de todos los segmentos del anillo:

27 Física III -15 Ejemplo 3. Campo de un disco con carga uniforme Encuentre el campo eléctrico que genera un disco de radio R con densidad superficial de carga (carga por unidad de área) positiva y uniforme, s, en un punto a lo largo del eje del disco a una distancia x de su centro. Suponga que x es positiva. SOLUCIÓN IDENTIFICAR: nuestra incógnita es el campo eléctrico a lo largo del eje de simetría de una distribución de carga continua. PLANTEAR: En la figura se ilustra la situación. Se representa la distribución de carga como un conjunto de anillos concéntricos de carga dq, como se indica. Para calcular el campo tenemos que sumar las contribuciones de los anillos EJECUTAR: Un anillo común tiene una carga dq, radio interior r y radio exterior r + dr (figura. Su área da es aproximadamente Igual La carga por unidad de área es :, así La componente del campo de x en el punto P debido a la carga dq es

28 Física III -15 Para calcular el campo total debido a todo el anillo, se integra de x sobre r, desde r=0 hasta r = R : Recuerde que durante la integración x es una constante, y que la variable de integración es r. La integral se evalúa usando la sustitución EVALUAR Suponga que se incrementa el radio R del disco y se agrega simultáneamente carga, de manera que la densidad superficial de carga (carga por unidad de área) se mantiene constante. En el límite en que R es mucho mayor que la distancia x entre el punto del campo y el disco, el término de la raíz se vuelve despreciable por lo pequeño, con lo que se obtiene:

29 Líneas de campo eléctrico Física III -15 El concepto de campo eléctrico es un tanto elusivo debido a que ningún campo eléctrico puede verse directamente. Para visualizarlos, las líneas de campo eléctrico son de gran ayuda y los hace parecer más reales. Una línea de campo eléctrico es una recta o curva imaginaria trazada a través de una región del espacio, de modo que es tangente en cualquier punto que esté en la dirección del vector del campo eléctrico en dicho punto. El científico inglés Michael Faraday ( ) introdujo por primera vez el concepto de líneas de campo. Las llamó líneas de fuerza, aunque es preferible el término líneas de campo.

30 Física III -15 Las líneas de campo eléctrico muestran la dirección de en cada punto, y su espaciamiento da una idea general de la magnitud de en cada punto. Donde es fuerte, las líneas se dibujan muy cerca una de la otra, y donde es más débil se trazan separadas. En cualquier punto específico, el campo eléctrico tiene dirección única, por lo que sólo una línea de campo puede pasar por cada punto del campo. En otras palabras, las líneas de campo nunca se cruzan.

31 Física III -15 Campo y Potencial eléctrico. Sistema de cargas Principio de superposición de campos: El campo neto creado por un sistema de cargas es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las cargas del sistema. E Cargas discretas Total E i i i k q r Distribución continua de carga i ri E dq 3 Total de k 3 i r r Suma de Potenciales : El potencial neto creado por un sistema de cargas es la suma de los potenciales creados por cada una de las cargas del sistema. V Total V i i i k q r i i V Total dv k dq r

32 Física III -15 Línea de cargas Campo producido por un conjunto de cargas iguales e igualmente espaciadas Vamos estudiar un sistema un sistema de n cargas puntuales iguales y equidistantes n > 2, como paso previo a la obtención del campo producido por una distribución continua de carga. El campo eléctrico E producido por n cargas en el punto P, es la suma vectorial de los campos producidos por cada una de las cargas individuales en el punto P. Fig. 23 Línea de cargas donde r i es el vector unitario cuya dirección es la recta que pasa por la carga i y el punto P. El potencial en el punto P, es la suma de los potenciales producidos por cada una de las cargas individuales en el punto P.

33 Física III -15 Distribuciones continuas de carga ( Lineal ) Z r d l d q q ( r ) lím l 0 l dq dl Y Densidad de carga lineal X Fig. 8

34 Física III -15 Ejemplo 4 - Campo producido por un hilo rectilíneo cargado Vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada con una densidad de carga de λ C/m. El campo producido por el elemento de carga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y su módulo es : Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y Fig.9Línea cargada Componente vertical La otra a lo largo del eje horizontal X, y no es necesario calcularla ya que por simetría se anulan de dos en dos. El campo total es la suma de las componentes verticales Y

35 Física III -15 Distribución continua de cargas (superficial y volumétrica) Habiamos visto el caso lineal, ahora para las distribuciones: ( r ' ) Z dq' da' S ( r ' ) Z r ' dq' dv' v r ' X Y X Y q ( r ) lím a 0 a dq da q ( r ) lím V 0 V dq dv Densidad superficial de carga Densidad volumétrica de carga Fig.6

36 Física III -15 Ejemplo 5 - Esfera conductora con carga Una esfera sólida conductora de radio R tiene una carga total q. Encuentre el potencial en todos los lugares, tanto fuera como dentro de la esfera. SOLUCIÓN Del ejemplo de la clase pasada, en todos los puntos fuera de la esfera el campo es el mismo que si la esfera se eliminara y se sustituyera por una carga puntual q. Se considera V = 0 en el infinito, como se hizo para una carga puntual. Por lo tanto, el potencial en un punto en el exterior de la esfera a una distancia r de su centro es el mismo que el potencial debido a una carga puntual q en el centro: El potencial en la superficie de la esfera es En el interior de la esfera, es igual a cero en todas partes; de otra manera, la carga se movería dentro de la esfera. De esta forma, si una carga de prueba se desplaza de un punto a otro en el interior de la esfera, no se efectúa ningún trabajo sobre la carga. Esto significa que el potencial es el mismo en todos los puntos del interior de la esfera y es igual a su valor q/4πε0 en la superficie.

37 Física III -15 LINEAS DE FUERZAS Y SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES PARA UNA CARGA PUNTUAL El campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto P distante r de la carga viene representado por un vector de Módulo dirección radial sentido hacia afuera si la carga es positiva, y hacia la carga si es negativa El potencial del punto P debido a la carga Q es un escalar y vale + +Q - -Q Fig. 10 Campo eléctrico de una carga puntual (positiva y negativa)

38 Física III -15 Un campo eléctrico puede representarse por líneas de fuerza, líneas que son tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos. En la figura, se representan las * Líneas de fuerza de una carga puntual, que son líneas rectas que pasan por la carga. * Líneas equipotenciales son superficies esféricas concéntricas. E x E x E cos r x θ y E y 1 Q 2 4 r E y 0 1 Q 2 4 r 0 x r E sen y r E E E E y x y x y x dy dx y dy x dx E Q 2 r dy y Fig. 11 Líneas de campo y superficies equipotenciales rˆ dx x y V ln y ln c k x Q r x ln c Ecuación de las líneas de campo C r k Q C C Ecuación de circunferencias concéntricas!!!

39 Fisica III -15 Ecuación de las líneas de campo eléctrico y equipotenciales, M. Faraday ( ) Fig. 13 Fig.12 Líneas de campo Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representaremos la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY. La ecuación de las líneas equipotenciales es Fig. 14 Líneas de campo y equipotenciales

40 Fisica III -15 Superficies equipotenciales ( ejemplos) Superficie equipotencial Línea de campo eléctrico Campo producido por dos placas Campo producido por una carga puntual Campo producido por un dipolo

41 Física III -15

42 Física III -15 Gradiente de potencial El campo eléctrico y el potencial se relacionan estrechamente. Si se conoce E en varios puntos, esta ecuación se puede utilizar para calcular las diferencias de potencial. Cómo hacer lo contrario? Si se conoce el potencial V en varios puntos se puede determinar E Considerando que V es función de las coordenadas (x, y, z) de un punto en el espacio, se demostrará que las componentes de se relacionan directamente con las derivadas parciales de V con respecto a x, y y z.

43 Física III -15 Esto es congruente con las unidades de campo eléctrico, V/m. En términos de vectores unitarios, se escribe como En notación vectorial, la siguiente operación se llama gradiente de la función f: El operador denotado por el símbolo se llama grad o del. Así, en notación vectorial, Esto se lee: es el negativo del gradiente de V o es igual al gradiente negativo de V. La cantidad se llama gradiente de potencial. En cada punto, el gradiente de potencial señala en la dirección en que V se incrementa con más rapidez con un cambio de posición. De esta forma, en cada punto la dirección de E es la dirección en que V disminuye más rápido y siempre es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa a través del punto Si es radial con respecto a un punto o un eje, y r es la distancia del punto o eje, la relación correspondiente a las ecuaciones es

44 Superficies equipotenciales Física III -15 El potencial es constante en todos sus puntos :. V( x, y, z) cte El vector gradiente es ortogonal a S. E r V r V i Vi 0 El gradiente va de menores a mayores valores de V. V N E r V j V V r ( V j Vi ) 0 i V 1 V 2 V 0 Vectores campo eléctrico

45 Ejemplo 7 - Potencial y campo de una carga puntual Física III -15 De la ecuación el potencial a una distancia radial r de una carga puntual q. Encuentre el campo eléctrico vectorial a partir de esta expresión para V. SOLUCIÓN Un enfoque alternativo es ignorar la simetría radial, escribir la distancia radial como tomar las derivadas de V con respecto a x, y y z, como en la ecuación Se obtiene

46 Física III -15 y de manera similar, De la ecuación para E, el campo eléctrico es Este enfoque produce la misma respuesta, pero con un poco más de esfuerzo. Como resulta evidente, es mejor aprovechar la simetría de la distribución de carga siempre que sea posible.

47 FLUJO ELECTRICO Física III -15

48 Cómo se podría medir la carga dentro de una caja sin abrirla? Física III -15

49 Física III -15 Concepto de flujo del campo eléctrico Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie S, se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie Φ = E S El vector superficie es un vector que tiene: a) por módulo el área de dicha superficie b) la dirección es perpendicular al plano que la contiene Fig. 10 Esquema para el cálculo de Φ Cuando el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero E es variable en S se puede escribir: E. ds

50 Calculo de Flujo Eléctrico Física III -15

51 Física III -15 Johann Carl Friedrich Gauss ( ) Fue matemático,astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad. Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia.

52 Física III - 15 Ley de Gauss El teorema de Gauss afirma que : El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada : E E. S ds es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido en ε 0, es decir : Q enc / ε 0. Fig. Esquema para el uso del teorema de Gauss Ley de Gauss S E. ds Q enc 0

53 Física III -15 Forma general de la ley de Gauss Suponga que la superficie encierra no sólo una carga puntual q, sino varias cargas, q1, q2, q3,. El campo eléctrico total (resultante) E en cualquier punto es la suma vectorial de los campos E i de las cargas individuales. Sea Q enc la carga total encerrada por la superficie Q enc = q 1 + q 2 + q 3 +. Se obtiene el enunciado general de la ley de Gauss: El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total (neta) dentro de la superficie, dividida entre ε 0 CUIDADO Las superficies gaussianas son imaginarias Recuerde que la superficie cerrada a que se refiere la ley de Gauss es imaginaria; no es necesario que haya un objeto material en la posición de la superficie. A menudo se hace referencia a la superficie cerrada que se menciona en la ley de Gauss como superficie gaussiana.

54 Física III - 15 Aplicación de la ley de Gauss para el cálculo de E Encontrar el flujo eléctrico neto a través de la superficie Si: q 1 = q 4 = +3.1 nc, q 2 = q 5 = -5.9 nc, y q 3 = -3.1 nc ε 0 = 8, F m -1 q enc q1 q2 q N m / C 0 0

55 Superficies esfericas Gaussianas Fisica III - 15 a) Carga puntual positiva b) Flujo Positivo b) Carga puntual negativa Flujo Negativo Cuanto Vale?

56 Física III -15

57 Física III -15 Investigue La figura muestra el campo producido por dos cargas puntuales +q y -q de igual magnitud y signos opuestos (un dipolo eléctrico). Determine el flujo eléctrico a través de cada una de las superficies cerradas, A, B, C y D.

58 Física III -15 Campo eléctrico de una carga puntual Superficie Gaussiana

59 Física III -15 Ejemplo 4. Campo de un alambre cargado infinito El teorema de Gauss afirma que : El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada : E E. S ds es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido en ε 0, es decir : q / ε 0. Fig.11 Esquema para el uso del teorema de Gauss Ley de Gauss S E. ds q enc 0

60 Pasos a seguir para el cálculo de E Física III A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada 2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L. Flujo a través de las bases del cilindro: el campo E y el vector superficie S 1 o S 2 forman 90º, luego el flujo es cero Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es paralelo al vector superficie ds y es constante en todos los puntos de la superficie lateral, S E. ds S E ds cos 0 E S ds E 2 r L El flujo total es: E 2π r L

61 Física III Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q = λ L, donde λ es la carga por unidad de longitud. 4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico E 2 r L L 0 E 2 0 r Conclusión El mismo resultado que hemos obtenido previamente, pero de una forma mucho más simple.

62 Ejemplo 5. Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga El teorema de Gauss afirma : S E. ds Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos: q A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial. 2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Fisica III -15 Fig. 12 Geometría para usar Gauss Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r. El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie ds, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que:. E 4 r E ds E ds cos 0 E ds S S S 2 El flujo total es : E 4π r 2

63 Fisica III Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada Fig.13 Superficies de Gauss usadas. Para r < R. (figura de la izquierda) Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es una parte de la carga total ( en color naranja), que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r. q Q r R 3 3 Para r > R ( figura de la derecha) Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total q = Q

64 Física III Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico se obtiene El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expresión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro para r > R. Concluímos q r E ) ( R r R Q r E ) ( R r r Q E r = R r E ) ( R r R Q r E ) ( R r r Q E

65 Conductores Física III -15 Localización del exceso de carga en un conductor Un conductor se caracteriza por que los portadores de carga se pueden mover libremente por el interior del mismo. Si las cargas en un conductor en equilibrio están en reposo, la intensidad del campo eléctrico en todos los puntos interiores del mismo deberá ser cero, de otro modo, las cargas se moverían originando una corriente eléctrica. Dentro de un conductor de forma arbitraria se traza una superficie cerrada S: S E. ds 0 Fig. 15 Conductor CONCLUSION El campo eléctrico E = 0 en todos los puntos de dicha superficie. El flujo a través de la superficie cerrada S es cero. * La carga neta q en el interior de dicha superficie es nula. Como la superficie cerrada S la podemos hacer tan pequeña como queramos, concluímos que en todo punto P del interior de un conductor no hay exceso de carga, por lo que esta deberá situarse en la superficie del conductor.

66 Prueba experimental de la ley de Gauss Física III -15 Se monta un recipiente conductor, como una olla de metal con tapa, sobre una base aislante. Al principio el recipiente no tiene carga. Después se cuelga una esfera metálica con carga de un cordel aislante (figura a), se hace descender hacia el interior del recipiente, y se coloca la tapa (figura b). Se inducen cargas sobre las paredes del recipiente, como se ilustra. Luego se deja que la esfera toque la pared interior (figura c). La superficie de la esfera se convierte, en efecto, en parte de la superficie de la cavidad. La situación es ahora la misma que la de la figura b; si la ley de Gauss es correcta, la carga neta en la superficie de la cavidad debe ser igual a cero. Es decir, la esfera debe perder toda su carga. Por último, se extrae la esfera para consta-tar que en verdad ha perdido toda su carga. Este experimento lo realizó en el siglo XIX el científico inglés Michael Faraday empleando una hielera de metal con tapa, y se conoce como el experimento de la hielera de Faraday.

67 Física III -15 Ejemplo 6. Campo producido por un conductor esférico de cargado q El teorema de Gauss afirma que: E. ds S 0 Consideremos una esfera metálica de radio R cargada con una carga Q. 1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La distribución de carga tiene simetría esférica luego, la dirección del campo es radial 2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Fig. 21 Esfera metálica Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r. El campo E es paralelo al vector superficie ds, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica por lo que, El flujo total es : E 4π r 2

68 Física III Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada r < R No hay carga en el interior de la esfera de radio r < R, q = 0 r > R Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total q = Q. 4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico En la fig. 22, se muestra la representación del módulo del campo eléctrico E en función de la distancia radial r. Fig.22 Gráfico E = E (r)

69 Física III - 15 Ejemplo 7. Campo creado por una placa plana infinita, cargada Para una placa indefinida cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos: 1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La dirección del campo es perpendicular a la placa cargada, hacia afuera si la carga es positiva y ha-cia la placa si la carga es negativa. 2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base A, cuya generatriz es perpendicular a la placa cargada. El flujo tiene dos contribuciones * Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son paralelos. E A 1 + E A 2 = 2 E A cos0º = 2 E A Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es perpendicular al vector superficie ds, el flujo es cero. El flujo total es por tanto; 2 E A

70 Física III Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada La carga (en la figura de color rojo) en el interior de la superficie cerrada vale : q = σ A donde σ es la carga por unidad de superficie 4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico 2 E A = σ A / ε 0 E = σ / 2 ε 0 El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su dirección es perpendicular a la placa. Esta fórmula la podemos considerar válida para distancias próximas a una placa en comparación con sus dimensiones.

71 Generador electrostático de Van de Graaff Física III -15 El mismo principio que subyace en el experimento de la hielera de Faraday es el que se utiliza en el generador electrostático de Van de Graaff (figura b). La esfera conductora con carga de la (figura a) se remplaza por una banda con carga que lleva carga de manera continua al interior de un casco conductor, sólo para que sea transportada a la superficie externa del casco. Como resultado, la carga en el casco y el campo eléctrico que lo rodea se hacen muy grandes con mucha rapidez. El generador Van de Graaff se utiliza como acelerador de partículas con carga y para demostraciones de física. Fig. a La coraza esférica se carga y descarga en forma alternada con la fuente de energía. Si hubiera algún flujo de carga entre las esferas interna y externa, sería detectado por el electrómetro dentro de la coraza interior. Fig. b Corte transversal de las partes esenciales de un generador electrostático Van de Graaff. El sumidero de electrones en la parte inferior los retira de la banda, lo que da a ésta una carga positiva; en la parte superior, la banda atrae electrones de la coraza conductora y le imparte una carga positiva

72 Física III -15 Bibliografía - Alonso; Finn. "Física ". Cap. 21. Addison-Wesley Iberoamericana. - Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 22. McGraw-Hill. - Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 29. CECSA. - Roller; Blum. "Física". Cap. 28. Reverté. - Serway. "Física". Cap. 25. McGraw-Hill. - Tipler. "Física". Cap. 20. Reverté.

73 Apéndice Física III -15

74 Física III -15 Dipolos eléctricos Un dipolo eléctrico consiste en un par de cargas eléctricas de igual magnitud q pero signo contrario, separadas por una distancia d. Por definición, - El momento dipolar eléctrico p tiene magnitud p = qd. - La dirección de p va de la carga negativa a la carga positiva. Un dipolo eléctrico es un campo eléctrico E que experimenta un par de torsión τ igual al producto vectorial de p y E. La magnitud del par de torsión depende del ángulo Φ entre p y E. La energía potencial U, para un dipolo eléctrico en un campo eléctrico también depende de la orientación relativa de p y E.

75 Física III -15 Campo eléctrico de la Tierra La Tierra (un conductor) tiene una carga eléctrica neta. El campo eléctrico resultante cerca de la superficie puede medirse con instrumentos electrónicos sensibles; su valor medio es de alrededor de 150 N/C, dirigido hacia el centro de la Tierra. a) Cuál es la densidad superficial de carga correspondiente? b) Cuál es la carga superficial total de la Tierra? SOLUCIÓN Dado el campo eléctrico perpendicular, se determina la densidad superficial de carga σ con la (ecuación a) a) De la dirección del campo se sabe que s es negativa (lo que corresponde a dirigido hacia la superficie, por lo que es negativa). De la (ecuación a) b) El área de la superficie de la Tierra es 4πR E 2 donde R E = 6.38 x 10 6 m es el radio terrestre. La carga total Q es el producto 4πR E 2 σ

76 FIN Física III -15