Trabajo, Energía y Potencial

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1 Cátedra de Física Experimental II Física III Trabajo, Energía y Potencial Prof. Dr. Victor H. Rios 2015

2 METAS DE APRENDIZAJE Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: A calcular la energía potencial eléctrica de un conjunto de cargas. El significado e importancia del potencial eléctrico. A determinar el potencial eléctrico que un conjunto de cargas produce en un punto en el espacio. El uso de las superficies equipotenciales para visualizar la forma en que varía el potencial eléctrico en el espacio. A emplear el potencial eléctrico para calcular el campo eléctrico.

3 Contenidos - El concepto físico de trabajo. - Energía potencial eléctrica. - Energía para la formación de un sistema de cargas puntuales discretas. - Aplicaciones a cristales iónicos - Energía en el caso de sistemas continuos. - Potencial y campo electrostático de una carga puntual. - Mostraciones en clase

4

5 Introducción Este capítulo trata de la energía que se asocia con las interacciones eléctricas. Cada vez que se enciende una luz, un reproductor de CD o un aparato eléctrico, se utiliza energía eléctrica, un e- lemento indispensable de nuestra sociedad tecnológica. Así como el concepto de energía hizo posible resolver con facilidad algunos tipos de problemas de mecánica, el empleo de las ideas de energía hace más fácil la solución de una variedad de problemas de electricidad. Cuando una partícula con carga se mueve en un campo eléctrico, el campo ejerce una fuerza que efectúa trabajo sobre la partícula. Este trabajo siempre se puede expresar en términos de la energía potencial eléctrica. Así como la energía potencial gravitatoria depende de la altura de una masa sobre la superficie terrestre, la energía potencial eléctrica depende de la posición que ocupa la partícula con carga en el campo eléctrico. Describiremos la energía potencial eléctrica utilizando un concepto nuevo, llamado potencial eléctrico o simplemente potencial. Es frecuente que en el estudio de los circuitos, una diferencia de potencial entre un punto y otro reciba el nombre de voltaje. Los conceptos de potencial y voltaje son cruciales para entender la manera en que funcionan los circuitos eléctricos, y tienen aplicaciones de gran importancia en los haces de electrones que se utilizan en la radioterapia contra el cáncer, los aceleradores de partículas de alta energía y muchos otros aparatos.

6 Energía potencial eléctrica La fuerza de atracción entre dos masas es conservativa, del mismo modo se puede demostrar que la fuerza de interacción entre cargas es conservativa. El trabajo de una fuerza conservativa, es igual a la diferencia entre el valor inicial y el valor final de una función que solamente depende de las coordenadas que denominamos energía potencial. B A F. dl E pa E pb El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria. dw = F * dl = F dl cosθ = F * dr Fig.2 Esquema de la trayectoria donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partícula cargada q en la dirección radial.

7 Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante r A del centro de fuerzas y la posición final B, distante r B del centro fijo de fuerzas. Fig.2 Esquema de la trayectoria El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B. La fuerza de atracción F, que ejerce la carga fija Q sobre la carga q es conservativa. La energía potencial es : El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r =, E p =0

8 Energía potencial de una distribución de cargas discretas Vamos a calcular ahora la energía necesaria para formar la distribución uniforme de cargas positivas. O bien, la energía que se liberaría cuando la distribución uniforme de carga positiva explotase de modo que cada parte de ella estuviese a una distancia infinita una de la otra. Determinaremos la expresión de la energía de un sistema de tres cargas, y la generalizamos para una distribución continua de carga. Consideremos un sistema de tres cargas puntuales fijas q 1, q 2 y q 3, tal como se indica en la fig.3 q 1 q 1 q 1 Fig. 3 q 2 q 3 q 2 q 3 q 2 q 3 La energía de este sistema U vale :

9 Llamando V 1 al potencial producido por las cargas q 2 y q 3 en la posición que ocupa q 1. La energía de la carga q 1 en el campo producido por las otras dos es: q 2 q 3 Análogamente, llamando V 2 al potencial producido por las cargas q 1 y q 3 en la posición que ocupa q 2. La energía de la carga q 2 en el campo producido por las otras dos es: q 1 q 3 Del mismo modo, llamando V 3 al potencial producido por las cargas q 1 y q 2 en la posición que ocupa q 3. La energía de la carga q 3 en el campo producido por las otras dos es: q 1 Sumando estas tres contribuciones obtenemos el doble de las energías del sistema de partículas q 2

10 Ejemplo 1 - Sistema de cargas puntuales Dos cargas puntuales se localizan en el eje x, q 1 = - 2e en x = 0 y q 2 =+e en x = a. a) Determine el trabajo que debe realizar una fuerza externa para llevar una tercera carga puntual q 3 = + e del infinito a x = 2a. b) Determine la energía potencial total del sistema de tres cargas. SOLUCIÓN La figura presenta el arreglo final de las tres cargas. a) El trabajo que debe hacer una fuerza externa sobre q3 es igual a la diferencia entre dos cantidades: la energía potencial U asociada con q3 cuando está en x = 2a y la energía potencial que tiene cuando está infinitamente lejos. La segunda de éstas es igual a cero, por lo que el trabajo que debe realizarse es igual a U. Las distancias entre las cargas son r13 = a y r23 = a, por lo que a partir de la ecuación anterior Si q3 se lleva del infinito a lo largo del eje + x, es atraída por q1 pero repelida con más fuerza por q2; por ello, debe hacerse un trabajo positivo para llevar q3 a la posición x = 2a.

11 b) La energía potencial total del conjunto de tres cargas está dado por la ecuación : Física III -15

12 Generalización de la expresión de la energía para el caso continuo N i q i V i U N j ij j i r q k V 1 N i N j ij j i j i r q q k U 1 1 ; 2 Z r ' v X Y dq' r ( r ' ) dτ' Consideremos el caso de la distribución Volumétrica, la energía será: ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 r r V r d r V q U i i i Fig. 7 donde Física III -15

13 Concepto de potencial Del mismo modo que hemos definido el campo eléctrico, el potencial es una propiedad del punto P del espacio que rodea la carga Q. Definimos potencial V como la energía potencial de la unidad de carga positiva imaginariamente situada en P, V = E p / q. El potencial es una magnitud escalar V Q r La unidad de medida del potencial en el S.I. de unidades es el volt (V)

14 Relaciones entre fuerzas y campos Una carga en el seno de un campo eléctrico E experimenta una fuerza proporcional al campo cuyo módulo es : F = q E Fig. 15 Campo eléctrico cuya dirección es la misma, pero el sentido puede ser el mismo o el contrario dependiendo de que la carga sea positiva o negativa. Relaciones entre campo y diferencia de potencial

15 En la fig. 16, vemos la interpretación geométrica. Fig. 6 Interpretación de E y V

16 CAMPOS CONSERVATIVOS CONDICION ELECTROSTATICA El campo eléctrostático E es conservativo, lo que quiere decir que la integral del E a lo largo de un camino cerrado es: c E. dl 0 Prueba Un campo vectorial E independiente del tiempo es conservativo cuando se deriva de un campo escalar V(r) es denominado potencial de E, es decir existe una función V (r) tal que: E V V x V iˆ y ˆ V j z kˆ Dado el potencial V podemos calcular el vector campo eléctrico E, mediante el operador gradiente. Cuando se cumple esta condición podemos escribir: dv ( r) V. dr E. dr es una diferencial exacta.

17 Interpretación física En particular, si F U representa el campo de fuerzas El trabajo mecánico para trasladar una partícula de A a B, será: Ya que W AB F. dr r ( B) r ( A) F. dr du U ( B) U ( A) du U( B) U( A) y z A F r r (B) (A) U( r ) es la energía potencial de la partícula en el campo de fuerzas x B F El trabajo del campo será: W AB U( B) U( A) U Si el camino entre A y B es cerrado ( A= B), resulta: W AA F. dr C 0

18 Trabajo realizado por el campo eléctrico El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una carga q cuando se mueve desde una posición en el que el potencial es V A a otro lugar en el que el potencial es V B es: W B F. dl EpA EpB q ( VA VB A ) Fig. 7 Campo y potencial eléctrico

19 A partir de la ecuación W B F. dl EpA EpB q ( VA VB A ) a) El campo eléctrico realiza un trabajo W cuando una carga positiva q se mueve desde un lugar A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más bajo, Si q > 0 y VA > VB entonces W > 0 b) El campo eléctrico realiza un trabajo cuando una carga negativa q se mueve desde un lugar B en el que el potencial es más bajo a otro A en el que el potencial es más alto. c) Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga positiva q desde un lugar B en el que el potencial es más bajo hacia otro lugar A en el que el potencial más alto. d) Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga negativa q desde un lugar A en el que el potencial es más alto hacia otro lugar B en el que el potencial más bajo.

20 Electrón volts La magnitud e de la carga del electrón se usa para definir una unidad de energía que es útil en muchos cálculos con los sistemas atómico y nuclear. Cuando una partícula con carga q se desplaza de un punto en el que el potencial es Vb a otro en que es Va, el cambio en la energía potencial U es Si la carga q es igual a la magnitud e de la carga del electrón, x de potencial es Vab, el cambio en la energía es C, y la diferencia Esta cantidad de energía se define como 1 electrón volt (1 ev): A menudo se utilizan los múltiplos mev, kev, MeV, GeV y TeV. CUIDADO Recuerde que el electrón volt es una unidad de energía, no una unidad de potencial ni de diferencia de potencial!!!

21 Ejemplo 2 - Fuerza eléctrica y potencial eléctrico En el interior de un acelerador lineal, un protón (carga +e = x C se desplaza en línea recta de un punto a a otro punto b una distancia total d = 0.50 m. A lo largo de esta línea, el campo eléctrico es uniforme con magnitud E =1.5 x 10 7 V/m = 1.5 x10 7 N/C en la dirección de a a b. Determine a) la fuerza sobre el protón; b) el trabajo realizado sobre este por el campo; c) la diferencia de potencial Va -Vb. SOLUCIÓN a) La fuerza sobre el protón está en la misma dirección que el campo eléctrico, y su magnitud es b) La fuerza es constante y está en la misma dirección que el campo eléctrico, de manera que el trabajo efectuado sobre el protón es

22 c) La diferencia de potencial es el trabajo por unidad de carga, que es Se obtiene el mismo resultado con más facilidad si se recuerda que 1 electrón volt es igual a 1 volt multiplicado por la carga e. Como el trabajo realizado es 7.5 x 10 6 ev y la carga es e, la diferencia de potencial es (7.5 x 10 6 ev) / e = 7.5 x 10 6 V. Ejemplo 3 - Potencial debido a dos cargas puntuales Un dipolo eléctrico consiste en dos cargas puntuales, q1 = +12 nc y q2 = -12 nc, colocadas a una distancia de 10 cm una de la otra (figura ). Calcule los potenciales en los puntos a, b y c sumando los potenciales debidos a cada carga. SOLUCIÓN Para encontrar V en cada punto, se hace la suma algebraica

23 En el punto a el potencial debido a la carga positiva q1 es y el potencial debido a la carga q2 es El potencial Va en el punto a es la suma de éstos: Con cálculos similares se demuestra que en el punto b el potencial debido a la carga positiva es V, el potencial debido a la carga negativa es V, y En el punto c, el potencial debido a la carga positiva es El potencial debido a la carga negativa es 2830 V, y el potencial total es igual a cero: El potencial también es igual a cero en el infinito (infinitamente lejos de ambas cargas).

24 Bibliografía - Alonso; Finn. "Física ". Cap. 21. Addison-Wesley Iberoamericana. - Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 22. McGraw-Hill. - Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 29. CECSA. - Roller; Blum. "Física". Cap. 28. Reverté. - Serway. "Física". Cap. 25. McGraw-Hill. - Tipler. "Física". Cap. 20. Reverté.

25 Energía potencial eléctrica: La fuerza eléctrica causada por cualquier conjunto de cargas es una fuerza conservativa. El trabajo W realizado por la fuerza eléctrica sobre una partícula con carga que se mueve en un campo eléctrico se representa por el cambio en una función de energía potencial U. La energía potencial eléctrica para dos cargas puntuales q y q 0 depende de su separación r. La energía potencial eléctrica para una carga q 0 en presencia de un conjunto de cargas q 1, q 2, q 3 depende de la distancia de q 0 a cada una de las demás cargas.

26 Potencial eléctrico: El potencial, denotado por V, es energía potencial por unidad de carga. La diferencia de potencial entre dos puntos es igual a la cantidad de trabajo que se requeriría para trasladar una unidad de carga de prueba positiva entre esos puntos. El potencial V debido a una cantidad de carga se calcula mediante una suma (si la carga es un conjunto de cargas puntuales) o mediante integración (si la carga es una distribución). La diferencia de potencial entre dos puntos a y b, también llamada potencial de a con respecto a b, está dado por la integral de línea de El potencial de un punto dado se encuentra obteniendo primero y después resolviendo la integral.

27 Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial eléctrico: Si se conoce el potencial V como función de las coordenadas x, y y z, las componentes del campo eléctrico en cualquier punto están dadas por las derivadas parciales de V.

28 Apéndice Física III -15

29 El dipolo eléctrico El dipolo eléctrico es un tipo de distribución de carga que se presenta frecuentemente como veremos en el tema dedicado a los dieléctricos. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, una positiva +Q y otra negativa -Q del mismo valor, separadas una distancia d. El potencial en el punto P distante r 1 de la carga Q y r 2 de la carga +Q es Expresamos r 1 y r 2 en función de r y q, que es la posición del punto P expresada en coordenadas polares. Fig. 17 Dipolo eléctrico Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, podemos obtener una buena aproximación empleando el desarrollo en serie

30 Para expresar de forma aproximada los cocientes r / r 1 y r / r 2. Despreciando los términos de orden superior a d 2 / r 2 El potencial se expresa en función de r y θ Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inversa del cuadrado de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con la inversa de r.

31 Fig. Potencial del Dipolo Eléctrico Física III -15

32 Uniones Intermoleculares Se establecen entre átomos cargados eléctricamente y que pertenecen a dos especies químicas distintas. Las especies químicas son iones o moléculas. La carga eléctrica proviene de que estas especies son iones, o átomos involucrados en un dipolo permanente o en un dipolo inducido. Fuerzas Moleculares de Van der Waals La base de las fuerzas de van der Waals es la existencia de dipolos eléctricos en las moléculas Estos dipolos pueden ser permanentes, fugaces o inducidos. - m + + H O + H Los dipolos permanentes derivan de la asimetría de las cargas electrónicas. -

33 Fuerzas Moleculares de Van der Waals Física III -15 El momento dipolar permanente se determina por espectroscopía (efecto Stark) o por la constante dieléctrica. Momentos Dipolares (m) m [D] CCl 4 0 H 2 0 H HCl 1.08 HI 0.42 D (Debye): 3.3 x C/m

34 Fin Física III -15

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