INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA NÚMEROS ENTEROS

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1 INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA TABLA DE DESEMPEÑOS El éxito en la vida consiste en siempre seguir adelante. NÚMEROS ENTEROS Comprender las características y propiedades de los números enteros y los representa en la recta numérica y el plano cartesiano. Manejar las relaciones y las operaciones de los números enteros, aplicándolos en la solución de problemas del entorno. Identificar y relacionar las operaciones de potenciación y radicación de números enteros. Resolver polinomios aritméticos con números enteros aplicándolos en la solución de ecuaciones. INDICADORES DE DESEMPEÑOS: Grafica con propiedad en la recta numérica. Grafica con propiedad en el plano cartesiano. Soluciona problemas aplicando las operaciones y propiedades de los números enteros. Soluciona problemas aplicando la potenciación de los números enteros. Soluciona problemas aplicando la radicación de los números enteros. Plantea y resuelve ecuaciones a partir de situaciones reales. Cumple con las tareas y actividades asignadas por el docente. CONTENIDOS: Concepto de número entero Conjunto de los números enteros Representación de los números enteros en la recta numérica Valor absoluto de un número entero. Plano cartesiano Operaciones básicas con números enteros Potenciación de números enteros

2 Radicación de números enteros Polinomios con números enteros Ecuaciones con números enteros Concepto de número entero. NÚMEROS ENTEROS Nace de la necesidad de solucionar problemas de sustracción que no se pueden hacer con los números naturales y sirven para indicar bienes, deudas y la nada. Ejemplos. Conjunto de los números enteros. Recuerda que el conjunto de los números enteros está formado por los números enteros positivos (números naturales), números enteros negativos y el cero. El conjunto de los números enteros negativos unido con el conjunto de los números enteros positivos y el cero forman el conjunto de los números enteros, que representamos con la letra Z. Así, se tiene que Z =* + Z = * +

3 .Representación de los números enteros en la recta numérica. Al ubicar dos números enteros a y b sobre la recta numérica, puede darse sólo una de las siguientes posibilidades: a está a la derecha de b, entonces a > b a está a la izquierda de b, entonces a < b a y b están en el mismo punto, entonces a = b Usualmente, representamos los números enteros sobre una recta horizontal. En ella, escogemos un punto para ubicar el cero; luego, tomamos una unidad de referencia cualquiera y ubicamos lo enteros positivos a la derecha, y los enteros negativos a la izquierda. Actividad Resuelve las siguientes operaciones 1. Encuentre todos los números enteros que son: a. Mayores o iguales que 23 y menores que 32 b. mayores que 0 y menores o iguales que 13 c. mayores que 2 y menores que 3 d. mayores que 7 y menores que 1 mayores 2. Ubique los siguientes valores en la recta numérica a. Los números 0, 10, 10, 20, 20, 30 y 30 b. Los números 27, 28, 29, 30, 31 c. Los números 0, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 3. Resuelve las siguientes situaciones utilizando el concepto de número entero. a. El lunes, Salomé debía en la tienda de la esquina $4500, El viernes siguiente debía $3450. Mejoró o empeoró su situación? b. En Bogotá, el día 19 de enero estaban a 5º bajo cero, y el 20 del mismo mes estaban a 7º bajo cero. Qué día fue más alta la temperatura?

4 c. El buzo A baja a 70 metros bajo el nivel del mar, y el buzo B baja a 81 metros bajo el nivel del mar. Cuál de los dos está más cerca de la superficie? d. El saldo de la empresa LEYMA, S.A. es de $ en números rojos, y el de la empresa Marulo, S.A. es de en números negros. Cuál de las dos está en mejor situación? (utilizando el concepto de ganancia y pérdida). Actividad 1. La figura representa la altura de una colina y la profundidad de un lago. De acuerdo a esta información responde: a. Cómo puedes escribir los números para diferenciar la altura de la colina de la profundidad del lago? b. Qué punto de referencia escogiste para responder? Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número es la distancia que separa al número del punto 0 en la recta numérica. Se denota escribiendo el número entre dos barras verticales:. Sobre la recta numérica, podemos verificar que el valor5 absoluto de cada par de números opuestos es siempre el mismo. Ejemplo Dos automóviles parten de la ciudad A. Uno corre 40 km hacia el norte de esa ciudad y el otro 40 km hacia el sur. +40 =40-40 =40 Podemos concluir que la distancia recorrida por cada automóvil tiene el mismo valor: 40 km. Actividad.

5 1. Halla y escribe frente a cada número entero, su valor absoluto. a. 8 = b. 15 = c = 2. Calcula: a. -40 = b. +3 = d. 20 = e = c. -10 = d. +36 = 3. Completa los espacios en blanco a = 5 b = 5 c = 48 d = 215 e = Dos automóviles parten de la ciudad A Uno recorre 100 km hacia el norte de esa ciudad y el otro 100 km hacia el sur. a. Asigna un número entero a la posición final de cada automóvil. b. Traza una recta numérica; localiza la ciudad A en el punto cero y representa la posición final de cada automóvil. c. Explica porque la distancia recorrida por cada automóvil es el valor absoluto de su posición. 5. Una hormiga sale del hormiguero en busca de hojas y de azúcar. Primero, va por la hoja al árbol y regresa al hormiguero. Luego, va al cubo de azúcar y regresa al hormiguero. a. Representa, con un número entero, la posición del hormiguero, las hojas y el terrón de azúcar. b. Enuncia la distancia recorrida por la hormiga en cada trayecto, si cada representa un metro. 6. Completa la tabla: Numero Entero Opuesto -35 Valor Absoluto

6 Plano cartesiano El plano cartesiano con cuatro cuadrantes permite localizar lugares y movimientos, teniendo en cuenta dos direcciones con sus dos sentidos horizontal y vertical. Los sentidos de la dirección horizontal se representan con signo positivo (+) a la derecha, y a la izquierda con signo negativo (-) Igualmente, los sentidos de la dirección vertical se representan con signo positivo (+) hacia arriba y negativo (-) hacia abajo Cada punto en el plano se determina mediante dos coordenadas. La primera se localiza sobre el eje horizontal y la segunda sobre el vertical. Actividad.

7 1. Cuál ciudad del mapa tomamos como punto de referencia? 2. La ciudad de Medellín, en qué coordenadas se encuentra ubicada? 3. Qué ciudad se encuentra ubicada en las coordenadas (2, 12)? 4. Mitú se encuentra ubicado en las coordenadas. 5. San José Del Guaviare se encuentra ubicado en las coordenadas. 6. Qué ciudad se encuentra ubicada en las coordenadas (-2, 9) 7. Qué ciudad se encuentra ubicada en las coordenadas (-6,-6)? 8. Mocoa se encuentra ubicado en las coordenadas. 9. Florencia encuentra ubicado en las coordenadas. 10. Montería se encuentra ubicado en las coordenadas. 11. Qué ciudad se encuentra ubicada en las coordenadas (-5, 4)? Actividad. 1. Ubica las siguientes parejas ordenadas: E(+2, -3); F(+1, 0); G(-3, -1); H(-4, 5). 2. Escribe las coordenadas de cada vértice en la siguiente figura:

8 Operaciones con números enteros Para adicionar o sustraer números enteros es necesario tener presente que: Signos iguales se suman Signos diferentes se restan Actividad. 1. Realiza las siguientes sumas entre números enteros y grafica en cada caso: a ( 1) = b ( 7) = c. 4 + (+4) = d. 8 + (+6) = 2. Desarrolla las siguientes sumas de números enteros: a ( 19) + (+21) + (12) = b ( 7) + (+5) + ( 2) + ( 13)= c. 8 + (+12) + ( 7) + (+4) + ( 3)= d. 8 + ( 11) + ( 6) + (+7) = 3. En la siguiente tabla se muestran las temperaturas observadas en algunas ciudades a las 7, 15 y 22 horas del 11 día de enero de este año. Considere la información de la tabla para responder las preguntas que se hacen a continuación. Ciudad 7 horas 15 horas 22 horas Bogotá -3 o 7 o -2 o Pasto -4 o 0 o -1 o Pereira 6 o 20 o 9 o Manizales 2 o 13 o 4 o Cali 18 o 29 o 21 o a) En cuál ciudad se registró la temperatura más baja a las 7 de la mañana? b) En cuál ciudad se registró la temperatura más baja a las 10 de la noche? c) Cuánto aumentó la temperatura en cada ciudad entre las 7 de la mañana y las 3 de la tarde? d) Cuánto disminuyó la temperatura en cada ciudad entre las 3 de la tarde y las 10 de la noche?

9 4. Completa la tabla: a b c a+b b+a b+c a+(b+c) (a+c)+b c+(-c) Actividad. 1. Para cada una de las siguientes situaciones, resuelva el problema y represente la solución en una recta numérica. a. El submarino amarillo llegó a -134 metros en su primera inmersión y después se desplazó -75 metros más. Cuántos metros debe subir para volver a la superficie? b. Raúl le pagó al tendero $ y éste le dijo que ahora su cuenta quedaba en $ Cuál era el saldo de Raúl antes de hacer el pago? c. El lunes, la temperatura en Bogotá era de 15º C, el martes descendió seis grados, el miércoles descendió otros seis grados y el jueves otros seis. Si el viernes aumentó un grado, qué temperatura registraba el termómetro en Bogotá ese día? d. Un caracol asciende por una pared de 10 metros de altura, durante el día sube tres metros y en las noches se duerme se resbala y desciende 2 metros, al cabo de cuantos días logra llegar a la cima. 2. Estando en Pereira los excursionistas se interesan por visitar tres sitios turísticos, ubicados al oriente y al occidente de la ciudad, para ello, realizan el recorrido que se muestra en la gráfica y visitan en el orden A, B Y C los tres lugares. Cuál es la localización, con respecto a Pereira, de cada uno de los sitios turísticos? Cuando los excursionistas realizaron el viaje desde Chinchiná hasta Villa María, pasaron por un supermercado. Uno de ellos se bajó a comprar agua y alimentos para el camino. Contaba con $ , gastó en total $ 8900 y guardó el cambio en su bolsillo. Más adelante encontró $ en otro bolsillo Cuánto dinero tiene el excursionista? 3. Cristina y Natalia explora el parque nacional de los nevados. Cristina sube hasta un pico a 450 m. de altura, mientras que Natalia desciende a una planada que está a 620 m. del lugar donde se hospedan. Cuál Es la diferencia entre la altura del lugar al que llega Cristina y el sitio al que baja Natalia?

10 4. Escribe falso o verdadero según corresponda. Si de un número positivo se extrae uno negativo, el resultado siempre es un número positivo Si de un número negativo se extrae uno positivo, el resultado siempre es un número positivo Si de un número negativo se extrae uno positivo, el resultado puede ser un número negativo Si de un número entero se sustrae un entero mayor, el resultado es un número negativo En los números enteros, sustraer no siempre significa disminuir F V Multiplicación de números enteros Si se multiplican dos enteros positivos, el resultado es positivo. Si se multiplican dos enteros negativos, el resultado también es positivo. Si se multiplican un entero positivo y uno negativo, el resultado es negativo. Esta regla es llamada la ley de signos para la multiplicación + x + = + x = + + x = x + = Veamos unos ejemplos: 8 x 20 = x (-8) = -96 (-5) x (-7) = + 35 (-15) X 6 = -90 JUEGO PUEDES ADIVINAR EL DÍA EN QUE NACIÓ TU MEJOR AMIGO!! Voy adivinar el día de tu nacimiento Tienes que concentrarte y realizar las siguientes operaciones Primero multiplica por dos (2) el día en que naciste Ahora súmale cinco (5) al resultado anterior Lo que te dé multiplícalo por 50

11 Réstale 250 al resultado Súmale el número que indica el mes en tus cumpleaños Pregúntale cuanto le dio Ahora mira bien lo que dice tu compañero Ejemplo si él te contesta 2007 Pues el día de tu cumpleaños es el 20 de julio, es decir día 20 del mes 7 Practícalo es divertido EL PRÍNCIPE DE LAS MATEMÁTICAS Carl Friederich Gauss, llamado Príncipe de las Matemáticas, dómino en el siglo XIX en matemáticas, física y astronomía. Desde niño mostró una prodigiosa habilidad con los números. A los tres años de edad, corrigió un error que su padre había cometido en el cálculo de los salarios de unos albañiles que trabajaban para él. A los diez años, su maestro de escuela, que quería paz en clase, ordeno a los niños que sumaran todos los números del 1 al 100. El pequeño Gauss, casi inmediatamente, escribió el resultado en el tablero 5050; Luego explico con mucha sabiduría como lo hizo. Actividad. Aplica la propiedad distributiva y encuentra el resultado 1. Completa la tabla: x a b c a(b+c) bxc c(a-b) Utiliza las propiedades de las operaciones para realizar el cálculo de dos formas diferentes.

12 a. (-8)x(-4)x(-9) = b. ( ), ( )- c. ( ), ( )- División de enteros La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. Si el dividendo tiene el mismo signo que el divisor, el cociente es positivo; Si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo. + : + = + : = + + : = : + = Ejemplo: 10 : 5 = 2 ( 10) : ( 5) = 2 10 : ( 5) = 2 ( 10) : 5 = 2 Actividad. 1. Resuelva las siguientes operaciones: a. 10 x (-14)= b = c. (-5) x (-8)= d (-8)= e. +12 x (+3)= f. 420 (-7)= g. (-11) x (+7)= h. -99 (+11)= i x (-12)= j = k x (-556)= l (+56)= m x (-12)= n. 92 (-88)= o. 521 x (+15)= p. 624 (-13)= 2. María se quedó sin dinero el día 22 y cobraba su próxima quincena el día 30. Cuatro amigos le prestaron $12500 cada uno, y María se terminó de gastar ese dinero el día 29. a) Cuál era el saldo de María el día 30, antes de cobrar la quincena?

13 b) Si el día 30 cobró $143000, cuál fue su saldo después de pagar la deuda Potenciación de números enteros Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales = 6 5 Base de una potencia : La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 6. Exponente de una potencia : El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 5. La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas: 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas. 2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base. Propiedades 1. El cero como exponente a 0 = 1 2. El uno como exponente a 1 = a 3. Producto de potencias con la misma base : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. a m a n = a m + n ( 2) 5 ( 2) 2 = ( 2) = ( 2) 7 = 128

14 4. División de potencias con la misma base : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. a m a n = a m n ( 2) 5 ( 2) 2 = ( 2) 5 2 = ( 2) 3 = 8 5. Potencia de una potencia : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (a m ) n = a m n [( 2) 3 ] 2 = ( 2) 6 = Producto de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases a n b n = (a b) n ( 2) 3 (3) 3 = ( 6) 3 = Cociente de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. a n b n = (a b) n ( 6) = ( 2) 3 = 8 8. Exponente negativo 9. Un número elevado a 1, es el inverso de dicho número.

15 Actividad. Escribe en forma de una sola potencia: = = 3 (5 3 ) 4 = 4 (5 2 3) 4 = 5 (3 4 ) 4 = 6 [(5 3 ) 4 ] 2 = 7 (8 2 ) 3= 8 (9 3 ) 2 = = = 11 (2 2 ) 4 = 12 (4 2 3) 4 = 13(2 5 ) 4 = 14 [(2 3 ) 4 ] 0 = 15 (27 2 ) 5 = 16 (4 3 ) 2 = Actividad. 1. Halla el valor de la siguientes expresiones aplicando las propiedades de la potenciación : 2. Resuelve los cocientes:

16 3. Calcula el resultado: Radicación de números enteros Recordemos que la radicación es la operación inversa de la potenciación y se representa con el símbolo de la figura siguiente. Es la operación mediante la cual se busca un número que multiplicado por sí mismo 2, 3, 4 o más veces nos da el número propuesto. El signo de la radicación se llama radical. Raíz de un Número

17 La raíz de un número es otro número que multiplicado por sí mismo dos o más veces es igual al número dado. Si el número se multiplica por sí mismo 2 veces se llama raíz cuadrada, si se multiplica 3 veces, raíz cúbica; 4 veces, raíz cuarta, etc. Los términos que intervienen en la radicación son: el índice, la cantidad sub - radical, el radical (símbolo de la radicación y la raíz (el resultado buscado). La potenciación y la radicación son operaciones respectivamente opuestas. En el cuadro de la parte inferior encontrarás la relación entre la potenciación y la radicación Propiedades de los radicales Producto de radicales Cociente de radicales Potencia de radicales Raíz de un radical Raíz enésima de una potencia

18 Actividad. Consulta y resuelve los siguientes ejercicios. Calcula los valores de las siguientes potencias: Extraer factores: 1 2 Introducir factores: 1 2 Destrucción de paréntesis Se sigue el siguiente orden en las operaciones 1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º. Calcular las potencias y raíces. 3º. Efectuar los productos y cocientes. 4º. Realizar las sumas y restas. Operaciones combinadas

19 Sin paréntesis Sumas y diferencias = Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen. = = 7 Sumas, restas y productos = Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad. = = Efectuamos las sumas y restas. = = 15 Sumas, restas, productos y divisiones = Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. = = Efectuamos las sumas y restas. = = 10

20 Sumas, restas, productos, divisiones y potencias = Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad. = = Seguimos con los productos y cocientes. = = Efectuamos las sumas y restas. = 26 Con paréntesis (15 4) + 3 (12 5 2) + ( ) 5 + ( )= Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos. = (15 4) + 3 (12 10) + (5 + 4) 5 + (10 8)= Quitamos paréntesis realizando las operaciones. = = 18 Con paréntesis y corchetes [15 ( )] [5 + (3 2 4)] 3 + (8 2 3) = Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. = [15 (8 5)] [5 + (6 4)] 3 + (8 6) =

21 Realizamos las sumas y restas de los paréntesis. = [15 3] [5 + 2] 3 + 2= En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente: = (15 3) (5 + 2) 3 + 2= Operamos en los paréntesis. = = Multiplicamos. = = Restamos y sumamos. = 83 Actividad 1. Resuelva las siguientes operaciones: a. (6-18) 3= b (-20) x (-5) + 2= c = d. [15 - (-20)] x [(-5) + 2]= e x 4= f [(-11) -(-3)]= g. (2 + 3) x 4= h (-11) - (-3)= i. (12 + 8) (4-9)= j (-301) x 49 - (-17)= k = 2. Solucione las siguientes expresiones:

22 3. Resuelve los siguientes polinomios Ecuaciones con números enteros. Lenguaje algebraico Expresiones algebraicas comunes El doble o duplo de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x

23 La mitad de un número: x/2. Un tercio de un número: x/3. Un cuarto de un número: x/4. Un número es proporcional a 2, 3, 4,...: 2x, 3x, 4x,.. Un número al cuadrado: x 2 Un número al cubo: x 3 Dos números consecutivos: x y x + 1. Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2. Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3. Descomponer 24 en dos partes: x y 24 x. Igualdad Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. Identidad Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras. Ecuación Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros.

24 Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación. Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros. Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o s e les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. Resolución de ecuaciones de primer grado En general para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. 2º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. 3º Reducir los términos semejantes. 4º Despejar la incógnita. Ejemplos 1. Despejamos la incógnita:

25 2. Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos: 3. : Agrupamos términos y sumamos: 4. 2x+6 = 20 2x + 6 = 20 2x = x = 14 x = x - 9 = 2x + 3 4x = 2x + 3 4x - 2x = 3 + 9

26 2x = 12 x = x + 9 = 2x - 3 3x + 9 = 2x x - 2x = x = -12 Ejercicios Problemas matemáticos utilizando ecuaciones enteras. Por lo general, en la solución de problemas que implican uso de ecuaciones se siguen los siguientes pasos: Interpretación del enunciado: se distinguen en el enunciado los datos y los que se busca calcular. Luego, se asigna una letra (incógnita) a la información desconocida en el enunciado. Planteamiento y resolución del problema: Se plantea la expresión en forma general, es decir, como una ecuación. Luego, se resuelve la ecuación. Comprobación de la solución: Se verifica la solución, si cumple las condiciones dadas del problema. Ejemplo. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?

27 Años x 35 + x = 3 (5 + x ) 35 + x = x 20 = 2 x x = 10 Al cabo de 10 años. Ejercicios. 1 Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. Cuál es el número? 2 En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12. Cuánto dinero tenía Ana? 3 Por la compra de cuatro cuadernos de igual valor y una regla se pagan $ Si el valor de la regla es de $ 3000, Cuál es el valor de cada cuaderno? Diego Alonso Castaño A Docente