Apuntes De Electromagnatismo.

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1 Apuntes De Electromagnatismo. Prof. Bernabe Franco. Prof. Carlos Javier Jaimes O. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander. Textos Universitarios 2013

2 Contenido Introducción Campos Eléctricos Unidades Ley de coulomb para sistemas discretos o sistemas de cargas puntuales Fuerza entre dos cargas puntuales Campo eléctrico Campo eléctrico en un punto p situado a una distancia r de una carga q Campo eléctrico en un punto p debido a un sistema de n cargas puntuales Cálculo del campo eléctrico de un sistema continuo o una distribución continua de carga Constantes Ejercicios Resueltos Ley de Gauss Ley de Gauss Flujo eléctrico Ejercicios Resueltos Potencial Eléctrico Diferencia de potencial Potencial eléctrico en un punto próximo a una carga puntual Potencial eléctrico en un punto próximo a un sistema de n cargas puntuales Potencia eléctrico en un punto próximo a una distribución continua de carga Energía potencial eléctrica Ejercicios Resueltos Capacitores Y Dielectricos Definición de capacitor (o condensador)

3 CONTENIDO Definición de capacitancia Unidad de capacidad Clases de capacitores Capacitor de placas planas paralelas Capacitor cilíndrico Capacitor esférico Combinación de capacitores Energía almacenada en un capacitor Densidad de energía Capacitancia de un capacitor con dieléctrico Variaciones de energía debidas a la intromisión de un dieléctrico en un capacitor Ejercicios Resueltos Corriente Y Resistencia Eléctrica Corriente eléctrica Resistencia y ley de ohm Resistencia y temperatura Energía eléctrica y potencia Ejercicios Resueltos Corriente Y Resistencia Eléctrica Fuerza electromotriz Resistores en serie y en paralelo Transformación y, y Puente de Wheatstone Leyes de Kirchhoff Circuito RC Campos Magnéticos Campo magnético Fuerza magnética sobre un conductor que conduce corriente Momento de torsión sobre un lazo de corriente (espira) situado en un campo magnético Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético Ejercicios resueltos

4 8 Ley De Faraday Ley de inducción de Faraday FEM de movimiento Ley de Lenz FEM inducidas y campos eléctricos Generadores y motores Ecuaciones de Maxwell Bibliografía... 59

5 Introducción Hacia casi todos los ámbitos que nos rodean, que dirijamos nuestra mirada encontraremos testigos de la actividad humana relacionada con las aplicaciones de los campos eléctricos y magnéticos, y aún en sitios no afectados por el hombre, la actividad de la naturaleza afecta en sus fenómenos eléctricos y magnéticos todo. El estudio a nivel elemental introductorio que se hace de la materia electromagnetismo en el tercer nivel de varias de las tecnologías tiene importancia aclaratoria sobre los principios físicos involucrados y en algunos casos es vital su comprensión de los fenómenos vistos para una mayor comprensión y aplicaciones posteriores. Estos apuntes del docente sin duda serán de ayuda, aunque sin ninguna duda no reemplazaran aquellos textos de la bibliografía que se mencionan y que tienen una gran profundidad y acompañados de una experiencia experimental mucho mayor que la que estos apuntes puedan aportar. Sin embargo la intención es ser un aporte rápido y útil de ayuda al estudiante diligente y aplicado.

6 1 Campos Eléctricos 1.1 Unidades Cuando se hacen cálculos en los cuales se aplique la Ley de Coulomb, la carga debe estar en coulomb y la distancia en metros. La constante de proporcionalidad de la fuerza, se expresa en [N m 2 /C 2 ]. 1.2 Ley de coulomb para sistemas discretos o sistemas de cargas puntuales La fuerza electrostática ejercida sobre la carga j-ésima, está dada por el vector suma de las fuerzas ejercidas por cada una de las otras cargas individuales: F j = N F ji i= j=1 i j Cuando se aplica la ley de Coulomb a sistemas de cargas que interactúan, es importante utilizar el principio de superposición, que consiste en sumar las fuerzas que cada carga ejerce sobre una carga determinada. El principio de superposición también se utiliza para determinar el campo eléctrico resultante. 1.3 Fuerza entre dos cargas puntuales La fuerza que la carga q 1 ejerce sobre la carga q 2 está dada por Donde ˆr es un vector dirigido de q 1 a q 2. F 21 = k e q 1 q 2 r 2 ˆr

7 3 1.4 Campo eléctrico El campo eléctrico en cualquier punto del espacio se define como la razón de la fuerza eléctrica por unidad de carga, ejercida sobre una carga de prueba pequeña y positiva situada en el punto donde el campo es determinado: E = F q Campo eléctrico en un punto p situado a una distancia r de una carga q La ley de Coulomb conduce a la siguiente expresión: Donde ˆr está dirigido de la carga q hacia el punto P. E = k e q r 2 ˆr 1.6 Campo eléctrico en un punto p debido a un sistema de n cargas puntuales Del principio de superposición se sigue que: E = k e i q i ri 2 ˆr i 1.7 Cálculo del campo eléctrico de un sistema continuo o una distribución continua de carga La expresión general para determinar el campo eléctrico sobre un punto del espacio, cercano a la distribución de carga, usando la ley de Coulomb es: En este caso se debe tener en cuenta: E = k e dq r 2 ˆr 1. La densidad de carga: (caso uniforme) ρ = Q V = dq dv, para una distribución volumétrica de carga. σ = Q A = dq da, para una distribución superficial de carga.

8 4 Campos Eléctricos λ = Q L = dq dl, para una distribución lineal de carga. 2. La simetría, la cual permite simplificar los cálculos. 1.8 Constantes Carga del electrón e = C. Masa del electrón m e = kg. Masa del protón m p = kg. Constante de Coulomb k e = N m 2 /C Ejercicios Resueltos 1. Tres cargas puntuales están localizadas en los vértices de un triángulo equilátero. Calcule la fuerza neta sobre la carga de Solución. El campo eléctrico debido a la carga de 2µ, es: Pero: E 1 = k e q r 2 ˆr = (9x109 N m 2 /C 2 )(2x10 6 C) (0.5 m) 2 ˆr ˆr = cos60 0 î + sen60 0 ĵ = 0.5î ĵ

9 5 Luego: E 1 = (3.6x10 4 î x10 4 ĵ)n/c El campo eléctrico debido a la carga de 4µ C, es: donde E 1 = k e q r 2 ˆr = (9x109 N m 2 /C 2 )( 4x10 6 C) (0.5 m) 2 ˆr Luego: ˆr = cos60 0 î sen60 0 ĵ = 0.5î 0.86 ĵ E 2 = (7.2x10 4 î 1.23x10 5 ĵ)n/c El campo eléctrico resultante, está dado por: E = E 1 + E 2 = (1.08x10 5 î 6.11x10 4 ĵ)n/c Luego la fuerza neta sobre la carga de 7µ C, es: F = q E = (7.0µC)(1.08x10 5 î 6.11x10 4 ĵ) N C F = q E = (7.56x10 1 î 4.2x10 1 ĵ)n 2. Determine la fuerza eléctrica que una línea finita de carga de longitud l y densidad carga uniforme λ, ejerce sobre una carga puntual q situada a una distancia y sobre su mediatriz, como se indica en la figura:

10 6 Campos Eléctricos Solución. d F = df(cosθ ĵ + senθ î) d F = k eqλ dx x 2 (cosθ ĵ + senθ î) + y2 F = d F = k e qλ Por simetría, la integral anterior se reduce a: F = Sustituyendo el valor de cosθ, se sigue que: l/2 l/2 d F = k e qλ dx x 2 (cosθ ĵ + senθ î) + y2 l/2 l/2 dx x 2 (cosθ ĵ) + y2 F = d F = k e qλ l/2 l/2 dx y (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 ĵ Usando la fórmula de integración: dx x = (x 2 + a 2 ) 3 / 2 a 2 x 2 + a, 2 se obtiene: F = d F = k eqλy y 2 x l/2 x 2 + y 2 l/2 ĵ F == k eqλ y F == k eqλl y l/2 (l/2) 2 + y 2 ( l/2) (l/2) 2 + y 2 1 ĵ (l/2) 2 + y 2 ĵ

11 7 3. Determine el campo eléctrico a una distancia x, sobre el eje de un anillo radio a, que tiene una carga Q distribuida uniformemente. A qué distancia del centro del anillo se presenta el máximo valor del campo eléctrico y diga cuál es. Solución. λ dl x d E P = de cosθ î = k e (x 2 + a 2 ) (x 2 + a 2 ) î d E P = de cosθ î = k e λ dl x (x 2 + a 2 ) (x 2 + a 2 ) î λx E P = k e (x 2 + a 2 ) 2 3 dl î λx(2π a) E P = k e (x 2 + a 2 ) 3 î 2 Qx E P = k e (x 2 + a 2 ) 3 î 2 La distancia a la cual se obtiene el máximo valor del campo eléctrico se obtiene de acuerdo al criterio de la primera derivada, así: Luego simplificando se obtiene: de dx = 0 (x2 + a 2 ) 3 / 2 3x 2 (x 2 + a 2 ) 1 / 2 (x 2 + a 2 ) 3 = 0 x 2 + a 2 = 3x 2 2x 2 = a 2 x = a 2 El máximo valor del campo eléctrico es: ( Q a/ ) 2 Qa E = k e (a 2 + (a/ = k e 2) 2)3 / 2 (3a 2 /2) 3 / 2 E = k e Qa/ 2 (3a 2 /2)(3a 2 /2) 1 2 Q = 4π ε 0 (3a/2)(3a 2 ) 2 1 Q E = 6 3π ε 0 a 2

12 2 Ley de Gauss 2.1 Ley de Gauss La ley de Gauss constituye un método alternativo para calcular el campo eléctrico producido por distribuciones de carga de elevada simetría. La ley de Gauss dice que el flujo eléctrico neto que atraviesa una superficie hipotética gaussiana cerrada es igual a la carga neta dividida por la permitividad eléctrica del vacío ε 0. ϕ e = E d A = q in, ε 0 donde q in representa la carga neta dentro de la superficie y E representa el campo eléctrico en cualquier punto sobre la superficie cerrada. El símbolo representa una integral sobre una superficie cerrada. El campo eléctrico situado a una distancia r de una carga puntual q se determina usando el Teorema de Gauss de la siguiente manera: ϕ e = E d A = EdA = E da = E(4πr 2 ) = q ε Flujo eléctrico Es una medida del número de líneas de campo eléctrico que penetran alguna superficie. El flujo eléctrico tiene las unidades de N m 2 /C.

13 9 Para una superficie plana situada en un campo eléctrico uniforme, el flujo eléctrico depende del ángulo que forma la normal a la superficie y la dirección del campo eléctrico. Observaciones ϕ = E A = E A cosθ 1. Para el caso de una superficie cerrada general situada dentro de un campo eléctrico no uniforme, el flujo eléctrico se calcula integrando la componente normal del campo eléctrico sobre la superficie en cuestión. ϕ = super ficie E d A El flujo eléctrico neto a través de las superficies de diversas formas que rodean una carga q, es el mismo. 2. La ley de Gauss establece que el flujo ϕ evaluado sobre una superficie hipotética gaussiana cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida por la constante de permitividad eléctrica del vacío ε 0. Si no hay carga en el interior de la superficie cerrada el flujo eléctrico neto a través de la superficie es cero. Esto significa que el número de líneas que entra a la superficie es igual al número de líneas que sale de la superficie. 3. El campo eléctrico es cero en un conductor en equilibrio electrostático. 4. El exceso de carga sobre un conductor aislado se sitúa totalmente sobre su superficie.

14 10 Ley de Gauss 5. El campo eléctrico justamente en el exterior de un conductor cargado es perpendicular a la superficie del conductor y tiene una magnitud igual a σ/ε 0, donde σ es la carga por unidad de área. 6. En los conductores de forma irregular la carga eléctrica tiende a acumularse en los sitios donde el radio de curvatura es más pequeño, es decir en las regiones con puntas. 7. La ley de Gauss debe ser escogida de tal manera que tenga la misma simetría de la distribución de carga. 8. La superficie gaussiana debe escogerse de tal manera que incluya los puntos donde se desea calcular el campo eléctrico. 9. La dirección del campo está determinada por la simetría de la distribución. 10. La superficie gaussiana puede dividirse en varias superficies, sobre las cuales debe analizarse el ángulo que forma el campo eléctrico con el diferencial de área. 11. La carga total encerrada por la superficie gaussiana puede obtenerse de la expresión: q = dq, donde dq puede expresarse para las diferentes distribuciones de carga mediante: dq = λdl, dq = σda dq = ρdv, para los casos de distribución de carga lineal, superficial o volumétrica. 2.3 Ejercicios Resueltos 1. Determine el campo eléctrico en el interior y en el exterior de una esfera aislante de densidad de carga uniforme ρ, radio a y carga total positiva Q. Solución. (a) Para puntos situados en el exterior de la esfera r > R, la esfera se comporta como si fuera una carga puntual, veamos,. E d A = Q/ε 0

15 11 Pero,. Entonces, E d A = E d A cos0 0 = EdA E da = Q/ε 0, Además, Entonces, da = 4π r 2, Despejando E, se obtiene. E(4π r 2 ) = Q/ε 0. E = 1 4πε 0 Q r 2 ; r > R (b) Para puntos situados en el interior se debe calcular la carga situada en el interior de la superficie gaussiana usando la densidad de carga, así Teniendo en cuenta que Se sigue que E d A = Q in ε 0 = ρ(4π r3 /3) ε 0 E d A = E d A cos0 0 = EdA E(4π r 2 ) = Q 4π a 3 3 (4π r 3 /3) ε 0 E = Q r Qr 4π a 3 = k e ε 0 a 3 ; r < R Esto significa que cuando se hace la gráfica del campo eléctrico dentro de la esfera aislante de radio a en función de la distancia r, es una línea recta.

16 12 Ley de Gauss 2. Calcule el campo eléctrico debido a un cascarón esférico delgado, de radio a y carga total Q distribuida uniformemente sobre su superficie, en puntos interiores y exteriores. Solución. (a) Para puntos exteriores el cascarón esférico se comporta como una carga puntual, veamos, Usando la ley de Gauss, se sigue que E d A = Q/ε 0 pero, entonces, E d A = E d A cos0 0 = EdA E da = Q/ε 0 además da = 4π r 2 luego, E(4π r 2 ) = Q/ε 0 Despejando E, se obtiene E = 1 4πε 0 Q r 2 ; r > R (b) Para puntos situados dentro del cascarón el campo eléctrico es nulo. Veamos: De la ley de Gauss, E d A = Q/ε 0 pero, la superficie gaussiana, en esta oportunidad no envuelve ninguna carga eléctrica, puesto que en los conductores toda la carga se localiza sobre su superficie, por tanto, E d A = 0 E = 0.

17 13 3. Determine el campo eléctrico a una distancia r de una línea infinita de carga positiva con densidad lineal de carga uniforme lambda. Solución. Aplicando la ley de Gauss, se obtiene, E d A = Q in /ε 0 = λ l ε 0 Debemos tener en cuenta que la integral cerrada se reduce solamente a la integral sobre la superficie lateral de la superficie gaussiana cilíndrica. Por lo tanto se obtiene luego, O también, E(2π rl) = λ l/ε 0 λ E = (2π r)ε 0 E = 2k e λ r.

18 14 Ley de Gauss 4. Determine el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor con densidad superficial de carga uniforme σ. Solución. De la ley de Gauss se sigue que E d A = σ A/ε 0. Integrando sobre las dos bases del cilindro de área A, se sigue que Simplificando por A, se obtiene 2EA = σ A/ε 0 E = σ /2ε 0.

19 3 Potencial Eléctrico 3.1 Diferencia de potencial La diferencia de potencial entre dos puntos B y A situados en un campo eléctrico, se define como el trabajo por unidad de carga, hecho por un agente externo para mover una carga (lentamente para estar seguros de que permanece en equilibrio) de prueba q 0 (pequeña y positiva), desde A hasta B. V B V A = W A B q 0 = B B F d l q 0 E d l A A = q 0 q 0 Por lo tanto, simplificando se sigue que la diferencia de potencial entre los puntos B y A se obtiene por la integración a lo largo de la trayectoria de A a B: V B V A = Para el caso en el cual el campo eléctrico es uniforme, la diferencia de potencial solo depende de la distancia d paralela al campo E: B A E d l V B V A = Ed 3.2 Potencial eléctrico en un punto próximo a una carga puntual El potencial eléctrico calculado en un punto situado en la vecindad de una carga puntual a una distancia r, considerando que el potencial en el infinito es nulo viene dado por: V = k q r

20 16 Potencial Eléctrico 3.3 Potencial eléctrico en un punto próximo a un sistema de n cargas puntuales El potencial eléctrico en punto en la proximidad de un sistema de N cargas puntuales (sistema discreto), asumiendo que el potencial en el infinito es cero, está dado por: V = k e N i=1 q i r i 3.4 Potencia eléctrico en un punto próximo a una distribución continua de carga El potencial eléctrico en un punto próximo a una distribución continua de carga (sistema continuo), respecto al infinito en donde el potencial se define como cero, se puede calcular integrando la contribución debida a un elemento de carga dq, sobre la línea, superficie o volumen que contenga toda la carga, así: V = k e dq r donde de acuerdo al caso, el diferencial de carga puede expresarse en términos de la densidad de carga, mediante: dq = λdl; dq = σda; dq = ρdv 3.5 Energía potencial eléctrica La energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales separadas una distancia r, representa el trabajo requerido para ensamblar el sistema desde una separación infinita. Si las dos partículas tienen cargas de igual signo la energía es positiva, pero si tienen cargas de signos opuestos la energía es negativa. La expresión para la energía electrostática viene dada por: U = k e q 1 q 2 r 12 La energía potencial eléctrica total de un sistema de N cargas puntuales se obtiene sumando la energía para cada par de cargas y sumando los términos algebraicamente: o también: donde U se denomina energía de ensamble. U = 1 2 k e U = k e N j>i N i=1 N q i q j j=1 r i j j i N i = 1 q i q j r i j

21 17 La autoenergía o energía potencial eléctrica de un sistema continuo puede obtenerse mediante: U = 1 2 ε 0 Cuando se conoce la función potencial en una región del espacio, el vector de campo eléctrico se puede calcular como el gradiente negativo del potencial: E = V E 2 dv En coordenadas cartesianas el gradiente negativo se expresa mediante: E = V = î V x ĵ V y ˆk V z Las componentes escalares del campo eléctrico en coordenadas cartesianas, están dadas por: E x = V x ; E y = V y ; E z = V z En coordenadas cilíndricas el campo eléctrico puede expresarse mediante: E = V = ˆρ V ρ ˆφ 1 V ρ φ ˆk V z En coordenadas esféricas el campo eléctrico puede expresarse mediante: E = V = ˆr V r ˆθ 1 V r θ ˆφ 1 V rsenθ z 3.6 Ejercicios Resueltos 1. Determine la diferencia de potencial entre los puntos B y A, situados en las proximidades de una carga puntual q. Solución V B V A = B A B E d l = Edl cos180 0 A

22 18 Potencial Eléctrico B V B V A = A B Edl = A B Edr = k e q A dr r 2 Si B ( dr 1 V B V A = k e q r 2 = k eq 1 ) r B r A A r A y definimos V = 0, eliminando el subíndice, se sigue que: V = k e q/r 2. Potencial eléctrico en un punto P situado a una distancia x sobre el eje de una anillo cargado uniformemente de radio a y carga total Q. Solución V = k e dq r 2πA = k e λ 0 dl x 2 + a 2 V = k e λ (2πa) x 2 + a = k Q 2 e x 2 + a 2

23 4 Capacitores Y Dielectricos 4.1 Definición de capacitor (o condensador) Es un dispositivo que consta de dos conductores (llamados conductores, armaduras o placas) que poseen cargas iguales y opuestas y que sirve para almacenar cargas energía. 4.2 Definición de capacitancia La capacitancia de un capacitor se define como la carga sobre cualquiera de las placas (electrodos o armaduras) dividida por la diferencia de potencial eléctrico entre ellas. C = Q V = Q V C es una constante cuyo valor depende de la geometría del sistema (tamaño, forma, separación de las placas y naturaleza del medio dieléctrico que llena el espacio entre las placas). Por convenio Q es la carga situada sobre el electrodo, placa o armadura positiva del capacitor y es la diferencia de potencial entre el electrodo con carga positiva y el electrodo con carga negativa. V 4.3 Unidad de capacidad La unidad de capacidad en el sistema mks y SI se denomina Faradio (F): 1F = 1C/V. 4.4 Clases de capacitores Entre los condensadores de capacitancias fijas y variables se encuentran:

24 20 Capacitores Y Dielectricos - El condensador de placas planas paralelas - El condensador cilíndrico - El condensador esférico. 4.5 Capacitor de placas planas paralelas C = Q V = σa = σa d Ed = σa σ ε E d l 0 d = ε 0A d 0 La capacidad es proporcional al área de cualquiera de las placas e inversamente proporcional a la distancia de separación de las placas. 4.6 Capacitor cilíndrico C = Q V = λl V a V b = λl a = λl E d l a Edr b b C = λl a λ 2πε 0 b dr r = 2πε 0 l ln ( ) a = 2πε 0 l b ln ( ) b a La capacidad es directamente proporcional a la longitud del capacitor e inversamente proporcional al logaritmo natural de la razón entre el radio b del cilindro exterior y el radio a del cilindro interior.

25 Capacitor esférico C = Q V = Q V a V b = Q Q a = E d l a Edr b b C = Q a Q 4πε 0 b = dr r 2 4πε ( 0 ab 1a 1 ) = 4πε 0 (b a) b 4.8 Combinación de capacitores La capacidad equivalente a n capacitores conectados en paralelo está dada por: C = n C i i=1 La capacidad equivalente a n capacitores conectados en serie está dada por: La expresión anterior se obtiene de la relación: C = 1 n 1 C i=1 i n 1 C = 1 i=1 C i La capacidad equivalente es menor que la capacidad de cualquiera de los capacitores de la combinación. Cuando se tienen solamente dos capacitores conectados en serie, la capacidad equivalente es igual a la razón del producto de las capacidades a la suma de las capacidades: C = C 1C 2 C 1 +C 2

26 22 Capacitores Y Dielectricos 4.9 Energía almacenada en un capacitor U = Q2 2C = 1 2 QV = 1 2 CV Densidad de energía La densidad de energía está dada por: u E = 1 2 ε 0E Capacitancia de un capacitor con dieléctrico Cuando la región entre las placas de un capacitor se llena completamente con un material de constante dieléctrica K, la capacidad aumenta en el factor K: C = K ε 0A d 4.12 Variaciones de energía debidas a la intromisión de un dieléctrico en un capacitor carga constante U U 0 = U 0 K U 0 = U 0 ( K 1 K ) ; U U 0 = KU 0 U 0 = (K 1)U 0 ; potencial constante Ejercicios Resueltos 1. Evalúe la capacitancia equivalente de la figura. Todas las capacitancias valen C. Solución

27 23 En el primer lazo hay un capacitor de capacitancia C 1 = C. En el segundo lazo hay dos capacitores en serie que tienen una capacitancia equivalente C 2 = CC C +C = C 2 En el tercer lazo hay tres capacitores en serie que tienen una capacitancia equivalente 1 C 3 = 1 C + C 1 + C 1 = C 3 Luego la capacitancia equivalente se obtiene como si se tuvieran tres capacitores y conectados en paralelo, por tanto: C 1, C 2 C 3 C = C 1 +C 2 +C 3 = C + C 2 + C 3 = 11 6 C 2. Un capacitor esférico de capacitancia C está compuesto por dos superficies esféricas tales, que el radio de una es dos veces el de la otra. Halle el volumen entre las esferas. Solución El volumen entre las esferas está dado por: volumen = 4 3 π(2r)3 4 3 πr3 = 28 3 πr3 3. Una placa conductora de espesor d y área A se inserta dentro del espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas con espaciamientos y área superficial A como en la figura anexa. Cuál es la capacitancia del sistema?

28 24 Capacitores Y Dielectricos Solución La capacitancia del sistema se calcula como si tratara de dos capacitores conectados en serie, así: Teniendo en cuenta que: C = C 1C 2 C 1 +C 2 Luego: C 1 = C 2 = ( C = ( 2 ε 0 A s d 2 ε 0 A s d 2 ε 0A ); ( s d 2 ε 0A ) ( s d 2 ) 2 ) = ε 0A s d

29 5 Corriente Y Resistencia Eléctrica 5.1 Corriente eléctrica Corriente es la taza a la cual fluye carga por una superficie dada A. Si Q es la cantidad de carga que pasa esta área en un intervalo de tiempo t, la corriente promedio, Iprom es la carga que pasa por A en la unidad de tiempo: I prom = Q t La corriente instantánea I se define como el límite diferencial de la ecuación anterior: La unidad SI de corriente es el Ampere(A). I = dq dt 1A = 1C 1s Si n representa el número de portadores de carga móvil por unidad de volumen, entonces el número de portadores de portadores de carga móvil en el elemento de volumen A?x, mostrado en la figura anexa, está dado por: na x Por lo tanto, la carga en este elemento es: Q = (na x)q

30 26 Corriente Y Resistencia Eléctrica donde q es la carga en cada partícula. Si los portadores se mueven con una velocidad vd, la distancia que se mueven en un tiempo?t es: Luego: Luego la corriente en el conductor está dada por: x = v d t Q = (nav d t)q I = nqav d La velocidad es una velocidad promedio conocida como velocidad de arrastre o velocidad de deriva. v d 5.2 Resistencia y ley de ohm Cuando las cargas se mueven bajo la acción de un campo eléctrico dentro de un conductor producen una corriente. El campo eléctrico dentro del conductor puede existir cuando hay cargas en movimiento. Densidad de Corriente: La densidad de corriente se define como la corriente por unidad de área: La densidad de corriente es una cantidad vectorial: J = I A = nqv d J = nq v d Una densidad de corriente J = nq v d se establece en un conductor cuando se mantiene una diferencia de potencial a través del conductor. Si la diferencia de potencial es constante, la corriente también lo es. Por lo general la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico: J = σ E donde la constante de proporcionalidad recibe el nombre de conductividad del conductor. A la ecuación anterior se le conoce como ley de Ohm, la cual establece que en muchos materiales, la constante de proporcionalidad entre la densidad de corriente y el campo eléctrico es una constante σ, que es independiente del campo eléctrico que produce la corriente. Para el caso de campo eléctrico uniforme, la diferencia de potencial se relaciona con el campo eléctrico a través de un conductor de área A y longitud l, por medio de la relación:

31 27 V = El Luego, sustituyendo E en la ley de Ohm se tiene: J = σ V l Pero, teniendo en cuenta que: J = I A Entonces: I A = σv l I = σa V l siendo R la resistencia del conductor, la cual está dada por: R = El inverso de la conductividad es la resistividad ρ: l σa = V I = V R ρ = 1 σ Luego: R = ρ l A La resistividad se expresa en Ohmio-metro (Ω m) y la conductividad se expresa en (Ω m) 1 = ohm. Para el caso de un cable coaxial que consta de dos conductores cilíndricos (uno macizo y otro hueco), de radios a y b respectivamente, de la expresión diferencial correspondiente a una sección de conductor dada por: se sigue para el caso particular del cable coaxial, que: Integrando se obtiene: b R = a dr = dr = ρ dl A dr = ρ dr 2πrl ρ b dr 2πL r = ρ ( ) b 2πL ln a a

32 28 Corriente Y Resistencia Eléctrica 5.3 Resistencia y temperatura En todos los metales la resistividad aumenta con el incremento de la temperatura, aproximadamente en forma lineal: donde? es la resistividad a la temperatura T (en 0C), ρ = ρ 0 [1 + α(t T 0 )] ρ 0 es la resistividad a determinada temperatura de referencia T0 (que suele considerarse igual a 200C) y? es el coeficiente de temperatura de resistividad.. Este coeficiente puede expresarse como: α = 1 ρ 0 ρ T Análogamente, la resistencia varía con la temperatura de acuerdo a:. R = R 0 [1 + α(t T 0 )] 5.4 Energía eléctrica y potencia La tasa a la cual la carga Q pierde energía al atravesar un resistor es: U t = Q t V = IV Como la tasa a la cual la carga pierde energía es igual a la potencia P disipada P en el resistor, tenemos: P = IV

33 29 Teniendo en cuenta que V=IR, podemos expresar la potencia disipada por un resistor en las siguientes formas: P = I 2 R = V 2 R 5.5 Ejercicios Resueltos 1. Suponga que la corriente que circula por un conductor disminuye exponencialmente con el tiempo de acuerdo con I(t) = I 0 e t τ donde l 0 es la corriente inicial (en t=0) y τ es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considere un punto de observación fijo dentro del conductor. (a) Cuánta carga pasa por este punto entre t = 0 y t = τ? (b) Cuánta carga pasa por este punto entre t = 0 y t = 10τ? (c) Cuánta carga pasa entre t = 0 y t =? Solución (a) De la definición de intensidad de corriente instantánea: I = dq dt dq = Idt Sustituyendo la expresión dada para I e integrando se sigue que: Q 0 τ dq = 0 I 0 e τ t τ dt = ( τ) 0 I 0 e t τ ( 1 ) dt τ Q = ( τ)i 0 [e t τ ] τ 0 Q = ( τ)i 0 [e 1 1] Q = I 0 τ[1 e 1 ] = ( )I 0 τ = 0.632I 0 τ (b) Para los límites entre t = 0 y t = 10τ, se utiliza el mismo procedimiento, obteniéndose la siguiente expresión: Q = ( τ)i 0 [e t τ ] 10τ 0

34 30 Corriente Y Resistencia Eléctrica Q = ( τ)i 0 [ e 10τ τ e 0 ] Q = τi 0 [ e 10 1 ] = I 0 τ[1 e 10 ] = 0.999I 0 τ (c) Análogamente, para los límites entre t = 0 y t =, se obtiene: Q = ( τ)i 0 [e t τ ] 0 = τi 0[e e 0 ] Q = I 0 τ[0 1] = I 0 τ 2. Un conductor coaxial con una longitud de 20m está compuesto por un cilindro interior con un radio de 3.0mm y un tubo cilíndrico exterior concéntrico con un radio interior de 9.0mm. Una corriente de fuga distribuida uniformemente de 10µA fluye dentro de los dos conductores. Determine la densidad de la corriente de fuga (en A/m 2 ) a través de una superficie cilíndrica (concéntrica con los conductores) que tiene un radio de 6.0mm. Solución J = I A = I 2πrL = (10µA)(10 6 A/µA) 2π( m)( m) J = A/m 2

35 6 Corriente Y Resistencia Eléctrica 6.1 Fuerza electromotriz Una fuente de fuerza electromotriz es cualquier dispositivo que produce un campo eléctrico y que puede originar un movimiento de cargas en un circuito. La unidad S.I de fuerza electromotriz es el voltio. En el circuito mostrado en la figura anexa, el voltaje V = V b V a entre los terminales de la batería es: V = ε Ir De aquí se sigue que: ε = V + Ir (1) Este voltaje resulta igual al potencial a través de la resistencia de carga o resistencia externa R, es decir: V = IR Igualando las dos ecuaciones anteriores se sigue que la corriente del circuito es: I = ε R + r (2) El siguiente gráfico muestra las variaciones de potencial a medida que se recorre el circuito en el sentido de las manecillas del reloj.

36 32 Corriente Y Resistencia Eléctrica La potencia suministrada I ε se convierte en la potencia disipada en la resistencia de carga I 2 R y la potencia disipada en la resistencia interna I 2 r, como se expresa a continuación en forma analítica, multiplicando la ecuación (1) por I, así: Iε = I 2 R + I 2 r La máxima potencia perdida en la resistencia de carga ocurre cuando R = r, como se demuestra a continuación: ( ) ε 2 P = I 2 R = R R + r Derivando P con respecto a R e igualando a cero se obtiene: [ ] dp dr = d R ε2 dr (R + r) 2 [ ] dp dr = (R + r) 2 2R(R + r) ε2 (R + r) 4 = 0 Luego, simplificando se obtiene: (R + r) 2 = 2R 2 + 2Rr R = r 6.2 Resistores en serie y en paralelo a. Conexión en Serie: La corriente que circula por cada resistor es la misma. La caída de potencial entre los extremos de la combinación es igual a la suma de las caídas de potencial ocurridas en cada resistor. Para el caso de dos resistores R 1 y R 2 conectados en serie se tiene: V = V 1 +V 2 = IR 1 + IR 2 = I(R 1 + R 2 )

37 33 Luego los dos resistores conectados en serie se pueden sustituir por uno solo que tenga una resistencia equivalente dada por: R eq = R 1 + R 2 N resistores conectados en serie, pueden ser sustituidos por un solo resistor que tenga una resistencia equivalente dada por: R eq = R 1 + R 2 + = N R n n=1 b. Conexión en Paralelo: La diferencia de potencial entre los extremos de cada resistencia es la misma. La corriente I se distribuye en cada resistor, de tal manera que para el caso de dos resistores: Luego: Por lo tanto: I = I 1 + I 2 = V + V [ 1 = V + 1 ] R 1 R 2 R 1 R 2 [ ] 1 I = V R eq 1 R eq = 1 R R 2 (3) R eq = R 1R 2 R 1 + R 2 La expresión (3) puede generalizarse para N resistores conectados en paralelo, así: R eq = 1 N 1 R n n=1 6.3 Transformación y, y

38 34 Corriente Y Resistencia Eléctrica R a R b R 1 = R a + R b + R c R b R c R 2 = R a + R b + R c R c R a R 3 = R a + R b + R c R a = R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 2 R b = R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 3 R c = R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R Puente de Wheatstone Se utiliza para medir resistencias desconocidas utilizando un circuito conocido como puente de Wheatstone. El circuito consta de un galvanómetro, una batería, una resistencia desconocida R x y tres resistores conocidos R 1, R 2, y R 3, donde R 1 es un resistor variable. Variando el valor de la resistencia conocida R 1 se logra que la lectura en el galvanómetro sea cero, lo cual significa que el potencial en el punto a debe ser igual al potencial en el punto b y en este caso se dice que el puente está balanceado. Según estas consideraciones se tiene: I 1 R 1 = I 2 R 2 (1) I 1 R 3 = I 2 R x (2)

39 35 Dividiendo (1) por (2), se encuentra que: R x = R 2R 3 R 1 (3) La expresión (3) permite calcular la resistencia desconocida R x. 6.5 Leyes de Kirchhoff 1. Ley de Mallas o Ley de Voltajes (LKV): La suma de las corrientes que entran a cualquier nodo o unión debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del nodo o unión. Esta ley expresa el principio de conservación de la carga. 2. Ley de Mallas o Ley de Voltajes (LKV): La suma algebraica de los cambios o variaciones de potencial a través de todos los elementos alrededor de cualquier lazo de un circuito cerrado debe ser cero. Esta ley surge del principio de conservación de la energía. Para aplicar la segunda ley deben tenerse en cuenta las siguientes reglas: a. Cuando se recorre un resistor en el sentido de la corriente, la diferencia de potencial a través del resistor es IR. b. Cuando se recorre un resistor en sentido opuesto a la corriente, la diferencia de potencial a través del resistor es IR. c. Cuando una fem se recorre de a +, la diferencia de potencial es ε. d. Cuando se recorre una fem de + a la diferencia de potencial es ε. 6.6 Circuito RC Consideremos el siguiente capacitor en serie con un resistor, una batería y un interruptor: Cuando se cierra el interruptor y se aplica la Ley de Kirchhoff de voltajes, se obtiene: ε IR q C = 0 (1) En el instante en que el circuito se cierra la carga en el capacitor es cero, luego haciendo q = 0, de la ecuación anterior se encuentra que la corriente inicial del circuito es:

40 36 Corriente Y Resistencia Eléctrica ε = I 0 R I 0 = ε R (2) Cuando el capacitor se carga hasta su valor máximo Q, las cargas dejan de fluir y la corriente en el circuito se hace cero. Reemplazando la corriente por cero en la ecuación (1) se sigue que: ε q C = 0 Q = Cε La expresión para la carga en función del tiempo se obtiene resolviendo la ecuación diferencial (1), en donde al hacer la sustitución I = dq/dt se encuentra que: Separando variables se tiene: dq dt = ε R q RC RC dq dt = Cε q Integrando se obtiene: q 0 dq q εc = 1 RC dt dq q εc = 1 t dt RC 0 ln[q εc] q 0 = 1 RC t ln [ ] q εc = 1 εc RC t [ ] q εc = e RC t εc q εc = εce t RC q = εc εce t RC q(t) = εc(1 e t RC ) q(t) = Q(1 e t RC )

41 37 La expresión para la corriente en función del tiempo se obtiene a partir de la definición I = dq/dt, así: Teniendo en cuenta que I 0 = ε/r, se sigue que: I = dq dt = εc RC e t RC I = dq dt = I 0e t RC Cuando se carga el capacitor y se desconecta la batería, se puede calcular la variación de la carga en función del tiempo, en el proceso denominado descarga del capacitor, a partir de la ley de voltajes de Kirchhoff, así: IR q C = 0 Teniendo en cuenta que se produce una reducción o decrecimiento de la carga, se sigue que la corriente viene dada por I = dq/dt, por lo tanto: Separando variables: q C = Rdq dt dq q = 1 RC dt

42 38 Corriente Y Resistencia Eléctrica Integrando: q Q dq q = 1 t dt RC 0 [lnq] q Q = t RC lnq lnq = 1 RC t ln q Q = 1 RC t q Q = e t RC q = Qe t RC La intensidad de corriente en el proceso de descarga está dada por: En la ecuación anterior la corriente inicial es: I = dq dt = 1 RC Qe t RC = I 0 e t RC I 0 = Q RC

43 7 Campos Magnéticos En el siglo XIII A.C. los chinos utilizaron por primera vez la brújula, que básicamente consta de una aguja magnética. Los griegos descubrieron en el año 800 A.C. que ciertas piedras como la magnetita (Fe 3 O 4 ) atraían pedacitos de hierro. Todo imán tenga la forma que tenga tiene dos polos llamados polo norte y polo sur. Los polos diferentes se atraen y los polos iguales se repelen. Los polos magnéticos no pueden aislarse es decir no se han podido encontrar monopolos. En el año de 1819 Hans Chistian Oersted encontró que una corriente eléctrica en un alambre desviaba una aguja de una brújula situada en sus proximidades, dando origen a la ciencia del ELECTROMAGNETISMO, que relaciona efectos eléctricos con efectos magnéticos. 7.1 Campo magnético El campo magnético se encuentra rodeando cualquier sustancia magnética o cualquier carga móvil. El campo magnético B puede definirse en términos de la fuerza magnética ejercida sobre un objeto de prueba apropiado, que puede ser una partícula cargada que se mueve con velocidad v. La fuerza magnética sobre una partícula cargada viene dada por la siguiente expresión: F = q v B Esto significa, que el campo magnético se define en términos de la fuerza que actúa sobre la partícula cargada en movimiento. Como puede verse la fuerza magnética es proporcional a la carga q y a la velocidad v de la partícula. La magnitud y dirección de la fuerza depende de la velocidad de la partícula y de la dirección del campo magnético. La fuerza F es perpendicular al plano formado por v y B. La fuerza magnética sobre una carga positiva está en dirección opuesta a la dirección de la fuerza sobre una carga negativa que se mueve en la misma dirección. Si el vector velocidad forma un ángulo θ con el campo magnético, la magnitud de la fuerza es proporcional al senθ. Un campo magnético estático puede cambiar la dirección de la velocidad pero no la magnitud de la velocidad o la energía cinética de una partícula cargada.

44 40 Campos Magnéticos Unidades La unidad SI del campo magnético es el Weber por metro cuadrado (WB/m 2 ) llamado también Tesla (T ). 1T = 1 Wb m 2 = N C m/s = N A m Otra unidad de uso común es el gauss (G), que se relaciona con el tesla por medio de: 1T = 10 4 G En los laboratorios los imanes convencionales pueden producir hasta 2.5T. Los imanes superconductores que se han construido producen hasta 25T. El campo magnético en puntos cercanos a la superficie de la tierra es de G. 7.2 Fuerza magnética sobre un conductor que conduce corriente La fuerza magnética sobre una carga q que se mueve con una velocidad de arrastre o velocidad de deriva v d es qv d B. Para determinar la fuerza sobre un alambre recto de longitud L multiplicamos la expresión anterior por el número de cargas nal del segmento, donde n es el número de cargas por unidad de volumen, así: F = (q v d B)nAL Teniendo en cuenta que la corriente en el alambre es I = nqv d A, se sigue que: F = I L B siendo L un vector dirigido en sentido de la corriente I. Para un alambre de forma arbitraria y de sección transversal uniforme, la fuerza que un campo magnético B ejerce sobre un segmento muy pequeño de longitud ds es: Esto significa que la fuerza es máxima cuando B es perpendicular al elemento de corriente Id s y es cero cuando B es paralelo al elemento de corriente. Para el caso en el cual el campo magnético B es constante, las expresiones para la fuerza sobre un lazo abierto y uno cerrado se obtienen por integración y están dadas respectivamente por: F = I b a d s B ; para lazo abierto ( ) F = I d s B ; para lazo cerrado. Si en el caso de lazo abierto la suma vectorial de todos los vectores de desplazamiento es L? y está dirigido de a a b, la expresión para la fuerza es:

45 41 F = I L B Para el caso del lazo cerrado el conjunto de vectores de desplazamiento forma un polígono cerrado cuya suma vectorial debe ser cero, es decir, d s = 0, por consiguiente F = Momento de torsión sobre un lazo de corriente (espira) situado en un campo magnético Cuando se tiene una lazo rectangular (o espira rectangular) por el que circula una corriente I y se encuentra situado en un campo magnético B paralelo al plano del lazo, como se muestra en la figura anexa, las fuerzas sobre los lados de longitud a son cero, debido a que d s B = 0. La magnitud de las fuerzas sobre los lados de longitud b, está dada por: F 1 = F 2 = IbB La fuerza sobre el lazo izquierdo está dirigida hacia fuera del papel y la fuerza sobre el lado derecho está dirigida hacia adentro del papel. Si suponemos que el lazo rectangular tiene un pivote que le permite girar en torno al punto O, las dos fuerzas producen un momento de torsión respecto de O que hace girar al lazo en el sentido de las manecillas del reloj. La magnitud del momento de torsión, τ máx, es: a τ máx = F F a 2 2 = (IbB)a 2 + (IbB)a 2 τ máx = IabB Puesto que el área del lazo es A = ab, el momento de torsión máximo puede expresarse como: τ máx = IAB

46 42 Campos Magnéticos Si el campo magnético forma un ángulo θ con la línea perpendicular al plano del lazo rectangular, como se muestra en la figura anexa, el momento de torsión alrededor de O tiene la magnitud: a τ = F 1 2 senθ + F a 2 2 senθ τ = IbB a 2 senθ + IbBa 2 senθ τ = IabBsenθ τ = IABsenθ En forma vectorial se puede escribir de la siguiente manera: τ = I A B donde A es un vector perpendicular al plano del lazo rectangular. El sentido de A está determinado por la regla de la mano derecha según se describe en la figura anexa. Al colocar los dedos de la mano derecha en la dirección de la corriente en el lazo, el pulgar apunta en la dirección de A. El producto IA se define como el momento magnético µ del lazo. Es decir: µ = I A En el SI la unidad del momento magnético es (Am 2 ). Con esta definición el momento magnético de torsión puede definirse como: τ = µ B

47 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético Cuando la velocidad de una partícula cargada es perpendicular a un campo magnético uniforme, la partícula se mueve en una trayectoria circular cuyo plano es perpendicular al campo magnético B (ver figura anexa). De acuerdo con la segunda ley de Newton, se tiene que: Despejando r se sigue que: F = qvb = mv2 r r = mv qb lo cual indica que el radio de la trayectoria es proporcional a la cantidad de movimiento lineal e inversamente proporcional a la magnitud del campo magnético. La frecuencia angular de la partícula está dada por: El período T está dado por: T = 2πr v w = v r = qb m = 2π w = 2πm qb Las expresiones anteriores muestran que la frecuencia angular y el período de movimiento no dependen de la velocidad de la partícula ni del radio de la órbita. Cuando una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme con una velocidad que forma un ángulo arbitrario con B, su trayectoria es una hélice. Por ejemplo, si el campo está en la dirección x como se muestra en la figura anexa, no hay componente de la fuerza en dirección de x, y, en consecuencia, ax = 0 y la componente x de la velocidad permanece constante. Además, la fuerza magnética q v B hace que las componentes v x y v y, cambien en el tiempo, y el movimiento resultante es una hélice que tiene su eje paralelo al campo B. La proyección sobre el plano yz es un círculo y las proyecciones sobre los planos xy y xz son sinusoides.

48 44 Campos Magnéticos 7.5 Ejercicios resueltos 1. Un lazo rectangular consta de N vueltas enrolladas muy próximas entre sí y tiene dimensiones a y b. El lazo se articula a lo largo del eje y, y su plano forma un ángulo θ con el eje x (figura anexa). Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre el lazo por un campo magnético uniforme B dirigido a lo largo del eje x cuando la corriente es I en la dirección indicada?. Cuál es la dirección esperada de rotación del lazo? Solución Para el caso de una sola espira el momento de torsión está dado por: τ = r F dónde: r = a(cosθ ˆx + senθẑ) Y F = IbB(ẑ) Debe tenerse en cuenta que la fuerza sobre el lado superior de la espira se anula con la fuerza sobre el lado inferior de la espira y además la fuerza sobre el lado izquierdo de la espira no produce momento de torsión con respecto al eje y puesto que el brazo de palanca es nulo. Luego el momento de torsión con respecto al eje y es: Luego la magnitud del momento de torsión es: τ = a(cosθ ˆx + senθẑ) IbB(ẑ) τ = abibcosθ( ŷ). τ = abibcosθ

49 45 Para el caso de N espiras el momento de torsión aumenta N veces, entonces: τ = NabIBcosθ Como el momento de fuerza va dirigido en sentido de?y significa que la espira rota en sentido horario vista por observador situado encima de la espira. 2. Un electrón choca con un segundo electrón inicialmente en reposo. Después del choque, los radios de sus trayectorias son 1.0cm y 2.4cm. Las trayectorias son perpendiculares a un campo magnético uniforme de 0.044T de magnitud. Determine la energía (en KeV) del electrón incidente. Solución La expresión para la energía cinética de una partícula es: K = 1 2 mv2 Cuando un electrón ingresa a la región donde hay campo magnético, éste ejerce sobre la partícula una fuerza igual a la fuerza centrípeta, luego: Luego: mv 2 Insertando los valores dados se obtiene: r = evb v = Ber m v2 = B2 e 2 r 2 m 2 K = 1 [ B 2 2 m e 2 r 2 ] m 2 = B2 e 2 r 2 2m K = (0.044T )2 ( C) 2 ( m) 2 2( kg) ( K = J Análogamente para el otro electrón se tiene 1keV J ) = keV K = (0.044T )2 ( C) 2 ( m) 2 2( kg) K = keV

50 8 Ley De Faraday Experimentos llevados a cabo por Michael Faraday en Inglaterra en 1831 e independientemente por Joseph Henry en los Estados Unidos en el mismo año, demostraron que una corriente eléctrica podría ser inducida en un circuito por un campo magnético variable. La ley de inducción de Faraday establece que: La magnitud de la fem inducida en un circuito es igual a la razón de cambio del flujo magnético a través del circuito. 8.1 Ley de inducción de Faraday La fem inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapidez de cambio del flujo magnético a través del circuito. Este enunciado se puede expresar analíticamente mediante ε = dϕ E dt flujo eléctrico, que puede expresarse como donde ε es la f em inducida y φ E es el ϕ E = B da Si el circuito consta de N espiras, la f em inducida es: ε = N dϕ E dt

51 47 Figura Consideremos una espira conductora de área A en presencia de un campo magnético uniforme B, el cual forma un ángulo θ con la normal a la espira como se indica en la figura 1.1.1, en este caso, el flujo a través de la espira es BAcosθ y la f em inducida puede expresarse como: ε = d dt (BAcosθ) De esta expresión, se ve que la f em puede ser inducida en el circuito de varias formas: 1. Variando la magnitud de B con respecto al tiempo. 2. Variando el área con respecto al tiempo. 3. Cambiando el ángulo θ entre B y la normal al plano con respecto al tiempo, y 4. Cualquier combinación de éstas. 8.2 FEM de movimiento Consideremos una barra conductora recta de longitud l moviéndose con una velocidad v a través de un campo magnético B dirigido perpendicularmente a v. Una f em igual a Blv se induce entre los extremos de la barra, veámoslo:

52 48 Ley De Faraday Figura Los electrones en el conductor experimentarán una fuerza magnética a lo largo del conductor dada por F m = q v B, que producirá el desplazamiento de los electrones hacia el extremo inferior del conductor dejando una carga neta positiva en el extremo superior. Debido a la separación de las cargas se produce un campo eléctrico en el interior del conductor produciendo una fuerza eléctrica sobre los electrones dada por F e = q E dirigida hacia arriba. En el momento en que la fuerza magnética es balanceada por la fuerza eléctrica, las cargas dejan de fluir y la condición de equilibrio requerida es: F m = F e qvb = qe vb = E La relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial entre los extremos del conductor es: V = El = vbl donde el extremo superior está a mayor potencial que el extremo inferior. Cuando el conductor en movimiento es parte de una trayectoria conductora cerrada, como el circuito mostrado en la figura 1.2.2, que consta de una barra conductora de longitud l deslizándose a lo largo de dos rieles conductores paralelos, el cálculo de la f em inducida, de la corriente inducida y de la potencia se efectúa de la siguiente manera:

53 49 Figura Barra conductora deslizándose con velocidad v a lo largo de dos rieles conductores por acción de una fuerza aplicada F ap. Un campo magnético B uniforme y constante se aplica al plano del circuito. Cuando la barra se jala hacia la derecha con una velocidad variable v por la influencia de una fuerza aplicada F ap, las cargas libres de la barra experimentarán una fuerza magnética a lo largo de la longitud de la barra. Esta fuerza a su vez produce una corriente inducida, puesto que la rapidez de cambio de flujo magnético a través de la espira y por ende la f em inducida es proporcional al cambio de área de la espira que se produce cuando la barra se mueve a través del campo magnético. El flujo magnético externo a través del circuito está dado por ϕ m = Bl x, siendo l x el área del circuito en cualquier instante. De la ley de Faraday se sigue que la f em inducida es: ε = dϕ m dt = d dx (Blx) = Bl dt dt = Blv Si la resistencia del circuito es R, la magnitud de la corriente inducida está dada por: La potencia disipada por la fuerza aplicada es: I = ε R = Blv R P = F ap v = (IlB)v = B2 l 2 v 2 Esta potencia mecánica es igual a la potencia eléctrica Iε suministrada por la f em inducida y también es igual a la rapidez con que se disipa energía en la resistencia, I 2 R. Ejemplos Ejemplo 1. Fem Inducida en una Barra que Gira. R

54 50 Ley De Faraday Una barra conductora de longitud l gira con una velocidad w alrededor de un pivote fijo en su extremo. Un campo magnético uniforme B está dirigido perpendicularmente al plano de rotación, como se muestra en la figura Encuentre la f em inducida entre los extremos de la barra. Figura Solución Considérese un segmento de barra de longitud dr que se mueve con velocidad v. La f em inducida en el conductor está dada por: dε = Bvdr ε = Bvdr Teniendo en cuenta que la velocidad lineal v esta relacionada con la velocidad angular w mediante: v = wr y que además B y w son constantes se sigue que: ε = B l vdr = Bw Ejemplo 2. Fuerza Magnética sobre una Barra que se Desliza. 0 rdr = 1 2 Bwl2 Una barra de masa m y longitud l se mueve sobre dos rieles paralelos, en presencia de un campo magnético dirigido hacia dentro de la página. Si se le imprime a la barra una velocidad inicial v 0 hacia la derecha y después se libera. Encuéntrese la velocidad de la barra como una función del tiempo. Figura 1.3.2

55 51 Solución La corriente inducida circula en sentido contrario a las manecillas del reloj y la fuerza magnética es F m = IlB, donde el signo negativo denota que la fuerza está hacia la izquierda y retarda el movimiento. De la segunda ley de Newton F x = ma = m dv dt = IlB Como la corriente inducida está dada por la ecuación I = Bvl R, entonces: F x = Bvl R lb = vl 2 B2 R = mdv dt dv v = ( B 2 l 2 Integrando esta última ecuación, utilizando como condiciones iniciales v = v 0, para t = 0, se encuentra que: v v 0 mr ) dt dv v = B2 l 2 mr t = t τ siendo τ = mr B 2 l 2 ( ) v ln = t v 0 τ v = v 0 e t τ La f em inducida viene dada por: y la corriente inducida viene dada por:. ε = IR = Blv 0 e t τ, I = Blv R = Blv R = Blv 0e t τ R 8.3 Ley de Lenz La ley de Lenz establece que: La polaridad de la f em inducida produce una corriente que crea un flujo magnético que se opone al cambio en el flujo magnético a través del circuito. Considérese un imán de barra que se mueve hacia la derecha introduciéndose en una espira estacionaria, como se muestra en la figura

56 52 Ley De Faraday Figura a. Cuando el imán se mueve, en la espira conductora estacionaria se induce una corriente en la dirección mostrada. b. Esta corriente inducida produce su propio flujo hacia la izquierda para contrarrestar el incremento del flujo externo hacia la derecha. Aplicación de la Ley de Lenz: La figura muestra una barra que se hala horizontalmente a través de un par de rieles paralelos por una cuerda (se supone que sin masa) que pasa sobre una polea ideal a la cual está sujeta y suspendida una masa M. El campo magnético uniforme tiene una magnitud B, la barra deslizante tiene una masa m y la distancia entre los rieles es l. Los rieles son conectados en uno de sus extremos por una resistencia de carga R. Deduzca una expresión que dé el valor de la velocidad horizontal como función del tiempo, suponiendo que la masa suspendida se dejó caer cuando la barra está en reposo para t = 0. Suponga que no hay fricción entre la barra y los rieles. Figura 1.4.2

57 53 Solución F m = mg De la cinemática se sabe que la posición de la barra en función del tiempo es: x = v 0 t at2 Teniendo en cuenta que la aceleración es a = Mg/m, se sigue que: x = 1 Mg 2 m t2 De la definición de f em: Pero A = lvt, entonces: ε = dϕ dt = d B da dt ε = β d lvt = Blv dt La velocidad está dada por: ε = β d [ ] 1 dt l Mg 2 m t2 ε = β l Mg 2 m t v = ε Bl Simplificando se obtiene: De la segunda ley de Newton: v = B l Mg 2 m t B l v = Mg 2m t ΣF = ma : µg Ilβ = ma Reemplazando el valor de I, se obtiene: µg ε lβ = ma R µg + β2 l 2 2 µg [1 + β2 l 2 2 dv = µg m µg m t R = ma ] = m dv dt t mr [1 + β2 l 2 2 t mr ] dt

58 54 Ley De Faraday v 0 t dv = 0 µg [1 + β2 l 2 m 2 ] t dt mr v = Mg m t + Mg m 2 R B2 l 2 t2 2 dv = εbd mr dt dv = εbd mr dt dv = vd2 B 2 mr t ln v] v v 0 = d2 B 2 mr t ( ) v ln = d2 B 2 v 0 mr t v v 0 = e d2b2 mr t que indica claramente que v decrece con el tiempo. v = v 0 e d2 B 2 mr t, 8.4 FEM inducidas y campos eléctricos Consideremos una espira de radio r situada en un campo magnético uniforme que es perpendicular al plano de la espira como se muestra en la figura Si el campo magnético cambia en el tiempo, se induce en la espira una f em dada por: ε = dϕ m dt. La corriente inducida implica la aparición de un campo eléctrico E, tangente a la espira. El trabajo que se realiza para mover una carga de prueba q alrededor de la espira es igual a qε. El trabajo realizado por fuerza eléctrica sobre la carga eléctrica está dado por qe (2πr),donde 2πr es la longitud de la circunferencia de la espira. Luego igualando las dos expresiones para el trabajo se sigue que: qε = qe (2πRr) E = ε 2πr

59 55 Figura Teniendo en cuenta que ε = dϕ m dt, siendo ϕ m = BA = πr 2 B, se encuentra que el campo eléctrico inducido puede expresarse como: E = 1 dϕ m = r db 2πr dt 2 dt El signo menos indica que el campo eléctrico inducido E se opone al cambio del campo magnético. En general, la f em para cualquier trayectoria cerrada puede ser expresada como la integral de línea E dl sobre la trayectoria. E dϕ m ε = dl = dt Obsérvese que el campo eléctrico inducido E que aparece en la ecuación anterior no es conservativo, varía en el tiempo y es generado por la variación de un campo magnético. Campo Eléctrico Debido a un Solenoide: Un largo solenoide de radio R tiene n vueltas por unidad de longitud y conduce una corriente que varía en el tiempo sinusoidalmente I = I 0 cosωt,,donde I 0 es la máxima corriente y w es la frecuencia angular de la fuente de corriente como se aprecia en la figura Ejemplos: a. Determine el campo eléctrico fuera del solenoide, a una distancia r de su eje.

60 56 Ley De Faraday Figura Solución. E d l = dϕ dt = d [ ( β πr 2 )] = πr 2 db dt dt ε(2πr) = πr 2 db dt B = µ 0 ni db dt = µ N 0 e B = µ 0 N e d dt I 0senωt d dt I 0 cosωt ε(2πr) = πr 2 µ 0 ni 0 d dt (cosωt) = πr2 µ 0 ni 0 ωsenωt ε = µ 0nI 0 ωr 2 senωt 2r r > R b. Cual es el campo eléctrico dentro del solenoide a una distancia r de su eje. ε(2πr) = πr 2 µ 0 ni 0 ωsenωt E = µ 0nI 0 rsenωt 2 r < R 8.5 Generadores y motores Los generadores y motores son dispositivos que operan por el principio de inducción electromagnética. El generador de corriente alterna (o generador de AC ),es un dispositivo que convierte la energía mecánica en energía eléctrica. Un generador de AC consta de una bobina de alambre que se hace girar dentro de un campo magnético. Cuando la espira gira, el flujo magnético a través de esta cambia con el tiempo, induciendo una f em y una corriente en un circuito externo. Supóngase que la bobina tiene N espiras de área A y que gira con velocidad angular w. Si θ es el ángulo entre el campo magnético y la normal al plano de la espira como en la figura (1.6.1), entonces el flujo magnético a través de la espira en cualquier instante t está dado por: ϕ m = BAcosθ = BAcosωt

61 57 Figura Bobina con N espiras de área A que gira con velocidad angular w dentro de un campo magnético B. La f em inducida varía sinusoidalmente en el tiempo. Donde se ha utilizado la relación entre el desplazamiento angular y la velocidad angular θ = ωt. Por lo tanto la f em inducida en la bobina está dada por: ε = N dϕ m dt = NAB d (cosωt) = NABcosωt dt De la ecuación anterior se ve que la f em tiene un valor máximo ε max = NABω. El cual ocurre cuando θ = 90 0 o θ = La f em es nula cuando ωt = 0 o La frecuencia de los generadores comerciales es por lo general de 60Hz. Los motores son dispositivos que convierten la energía eléctrica en energía mecánica. Se suministra corriente a la bobina por la medio de una batería y el momento de torsión que actúa sobre la bobina provoca la rotación. A medida que la bobina gira, el flujo variable induce una f em en ella; esta f em siempre actúa para reducir la corriente en la bobina. Esta contra f em aumenta en magnitud con el aumento de la rapidez rotacional de la bobina.