Cap. 10: INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

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1 ONLNE 13.9 nducción electromagnética Cap. 10: NDUCCÓN ELECTROMAGNÉTCA Bases experimentales de la inducción electromagnética Descubierta ~ 1830 por Michael Faraday en nglaterra y Joseph Henry ( ) quien fuera director mueve de la con mithsonian respecto a la otra. nstitution en Estados Unidos y al mismo tiempo de manera independiente por H. F. E. Lenz ( ) un científico ruso La figura muestra una bobina de alambre conectada a un galvanómetro: a) Cuando el imán cercano es inmóvil, el medidor no indica corriente b) Cuando el imán se la acerca corriente en o el se segundo aleja circuito. de la bobina, el medidor indica corriente en el circuito i el imán permanece fijo y es la bobina la que se mueve, otra vez se detecta corriente durante el movimiento el fenómeno es relativo La aparición de una corriente inducida = fem inducida 29.1 Demostración del fenómeno de la corriente inducida. 1878), quien fuera director de la mithsonian nstitution en Estados Unidos, realizaron varios experimentos pioneros con la fem inducida por medios magnéticos. La figura 29.1 ilustra varios ejemplos al respecto. En la figura 29.1a, una bobina de alambre está conectada a un galvanómetro. Cuando el imán cercano está inmóvil, el medidor no indica corriente. Esto no es sorprendente, pues en el circuito no hay fuente de fem. Pero cuando el imán se mueve y se acerca o se aleja de la bobina, el medidor indica corriente en el circuito, pero sólo mientras el imán se halla en movimiento (figura 29.1b). i el imán permanece fijo y es la bobina la que se mueve, otra vez se detecta corriente durante el movimiento. Esto se llama corriente inducida, y la fem correspondiente que se requiere para generarla recibe el nombre de fem inducida. En la figura 29.1c se ha sustituido el imán con una segunda bobina conectada a una batería. Cuando la segunda bobina está fija, no hay corriente en la primera bobina. in embargo, cuando movemos la segunda bobina acercándola o alejándola de la primera, o hacemos lo mismo con la primera bobina con respecto a la segunda, hay corriente en la primera bobina, pero, de nuevo, sólo mientras una de las bobinas se Por último, en el sistema de dos bobinas que se ilustra en la figura 29.1d, se mantienen ambas inmóviles y se varía la corriente en la segunda, ya sea abriendo y cerrando el interruptor o cambiando la resistencia de la segunda bobina con el interruptor cerrado (por ejemplo, modificando la temperatura de la segunda bobina). e observa que al abrir y cerrar el interruptor hay un pulso momentáneo de corriente en el primer circuito. Cuando se modifica la resistencia (y, por lo tanto, la corriente) de la segunda bobina, hay una corriente inducida en el primer circuito, pero sólo mientras está cambiando Para explorar más a fondo los elementos comunes a estas observaciones, consideremos una serie más detallada de experimentos con la situación que se ilustra en la figura e conecta una bobina de alambre a un galvanómetro, luego se coloca la c) Mismo fenómeno de inducción se observa cambiando el imán por una segunda bobina conectada a una batería d) Cuando se mantienen ambas bobinas inmóviles pero se varía la corriente en la segunda: o Abriendo o cerrando el interruptor hay un pulso momentáneo de corriente en el primer circuito o Cambiando la resistencia de la segunda bobina, hay una corriente inducida en el primer circuito, pero sólo mientras está cambiando la corriente en el segundo circuito 1

2 0 El fenómeno de inducción es ligado a la variación del flujo magnético Bobina de alambre conectada a un galvanómetro colocada entre los polos de un electroimán cuyo campo magnético se pueda modificar 1- Cuando B = 0, el galvanómetro no indica corriente B 2- Hay una corriente momentánea sólo a medida que se incrementa B 3- Cuando B es estable, la corriente cae a cero, sin importar la magnitud de B N 4- Comprimimos la bobina para reducir el área de su sección transversal - el medidor detecta corriente sólo durante la deformación, no antes ni después 5- Cuando aumentamos el área hay corriente en sentido opuesto, pero sólo mientras el área de la bobina está cambiando 6- e hace girar la bobina algunos grados en torno a un eje horizontal, el medidor detecta corriente durante la rotación en el mismo sentido que cuando se redujo el área - cuando se hace girar de regreso la bobina, hay una corriente en sentido opuesto durante esta rotación 7- e saca la bobina bruscamente del campo magnético, hay corriente durante el movimiento, en el mismo sentido que cuando se redujo el área 8- Reducimos el número de espiras de la bobina y hay corriente durante el proceso en el mismo sentido que cuando se redujo el área - si enrollamos más espiras hay una corriente en sentido opuesto al enrollar 9- Desconectando el electroimán, hay una corriente momentánea en el sentido opuesto al de la corriente cuando fue activado 10 - Cuanto más rápido se efectúen estos cambios, mayor es la corriente 11- i se repiten todos estos experimentos con una bobina que tenga la misma forma pero diferente material y resistencia, la corriente en cada caso es inversamente proporcional a la resistencia total del circuito - la fem inducidas no dependen del material de la bobina, sino sólo de su forma y del campo magnético 2

3 El elemento importante en todos estos experimentos = la variación del flujo magnético Φ B a través de la bobina conectada al galvanómetro! Ley de Faraday: en todas estas situaciones la fem dφ B i el flujo es constante, dφ B = 0 fem = 0 El sentido de la fem es determinado por: dφ B < 0 > 0 NOTA: 1- Las fem inducidas magnéticamente siempre son el resultado de la acción de fuerzas no electrostáticas (no conservativas) esto se explicará por la ley de Lenz 2- e tiene que diferenciar entre los campos eléctricos producidos por cargas, por la ley de Coulomb E C, que son conservativos, y los campos producidos por campos magnéticos cambiantes, ley de Faraday E n que no son conservativos 3

4 Ley de Faraday Para un elemento de área infinitesimal d A en un campo magnético B el flujo magnético dφ B a través del área es B ' f B dφ B = B d A da El flujo magnético total Φ B (10.1) Φ B = B da da B i Flujo magnético a través de un elemento de área da: df B 5 B da 5 B da 5 B da cos f. Cuando B es uniforme sobre una área plana A 1 2 (10.2) Φ B = B A = BAcosφ La superficie está de frente al flujo magnético: B y A son paralelos (el ángulo entre B y A es f 5 0). El flujo magnético F B 5 B A 5 BA. La superficie está inclinada un ángulo f con respecto a una orientación de frente: El ángulo entre B y A es f. El flujo magnético F B 5 B A 5 BA cos f. La superficie está de perfil al flujo magnético: B y A son perpendiculares (el ángulo entre B y A es f 5 908). El flujo magnético F B 5 B A 5 BA cos A B A f 5 0 A B A f A B A f Ley de Faraday para la inducción: la fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la tasa de variación del flujo magnético a través de la espira con respeto al tiempo (10.3) E = dφ B NOTA: el signo negativo es convencional basado en la definición de la corriente i se tiene una bobina con N espiras idénticas y si el flujo varía a la misma tasa a través de cada espira, la tasa total de cambio a través de todas las espiras es N veces más grande que para una sola espira: (10.4) E = N dφ B 4

5 Ejemplo: Fem y corriente inducida en una espira db/ T/s N A b a A cm m 2 Resistencia total del circuito y medidor V 0 Electro imán con campo magnético uniforme: Área de la espira conductora 120 cm 2 Resistencia total del circuito, incluyendo el medidor, 5.0 V La magnitud del campo se incrementa a razón de db = T s -1 Con área vectorial de la espira perpendicular al plano de la espira hacia arriba B A Φ B = B A = BAcos0 = BA Por la ley de Faraday: > E = dφ B = d( BA) = db A = T s ( 0.012m 2 ) V = 0.24mV > La corriente esta por definición: = E R = 2.4 > 10 4 V A = 0.048mA 5.0Ω Nota la consistencia de las unidades: Fuerza magnética F = q v B Para el flujo [ Φ B ] = T m 2 = N C m s y la variación de flujo dφ B B = T = N C m s m 2 = N s m C = N m C = J C = V También en Weber: Wb = T m 2 1V = 1 Wb s 5

6 Ley de Lenz En el ejemplo anterior nos falta determinar el sentido de la fem inducida Esto se hace usando la ley de Lenz Ley de Lenz: la dirección de cualquier efecto de la inducción magnética es la que se opone a la causa del efecto i el flujo en un circuito fijo cambia, la corriente inducida establece un campo magnético por sí misma: Dentro del área limitada por el circuito, este campo es opuesto al campo original si éste se incrementa, pero tiene la misma dirección que el campo original si éste disminuye Es decir, la corriente inducida se opone al cambio en el flujo a través del circuito i el cambio del flujo se debe al movimiento de los conductores, la dirección de la corriente inducida en el conductor en movimiento es tal que la dirección de la fuerza magnética sobre el conductor es opuesta a la dirección de su movimiento Así, el movimiento del conductor, que provocó la corriente inducida, encuentra oposición En todos casos, la corriente inducida trata de preservar el statu quo oponiéndose al movimiento o a un cambio del flujo La ley de Lenz es una consecuencia de la ley de conservación de la energía! 6

7 Aplicación de la ley de Lenz Un campo magnético uniforme pasa a través de una bobina B La magnitud del campo va en aumento y la fem inducida resultante ocasiona una corriente inducida E Cambio en B B (creciente) B inducido egún la ley de Lenz, la corriente inducida debe producir un campo magnético B inducido dentro de la bobina cuya dirección es hacia abajo, en oposición al cambio en el flujo Usando la regla de la mano derecha el corriente debe ser en el sentido horario esto es exactamente en el sentido de la fem ituación similar = un imán que se mueve cerca de una espira conductora En cada uno de los cuatro casos la corriente inducida produce un campo magnético por sí misma, en una dirección que se opone al cambio de flujo = verificación de la ley de Lenz a) El movimiento del imán ocasiona un flujo creciente hacia abajo a través de la espira. v B inducido N B b) El movimiento del imán ocasiona un flujo decreciente hacia arriba a través de la espira. v B inducido El campo magnético inducido es hacia arriba para oponerse al cambio del flujo. Para producir el campo inducido, la corriente inducida debe ir en sentido antihorario, vista desde arriba de la espira. c) El movimiento del imán produce un flujo decreciente hacia abajo a través de la espira. v N d) El movimiento del imán ocasiona un flujo creciente hacia arriba a través de la espira. v B B B B inducido B inducido El campo magnético inducido es hacia abajo para oponerse al cambio del flujo. Para producir este campo inducido, la corriente inducida debe ir en sentido horario, vista desde arriba de la espira. 7

8 El generador de conductor corredizo v B A E v L Un conductor en forma de U en un campo magnético uniforme B perpendicular al plano de la figura, dirigido hacia la página = generador de conductor corredizo Una varilla de metal con longitud L entre los dos brazos forma un circuito cerrado y se mueve la varilla hacia la derecha con velocidad v constante El flujo magnético cambia porque el área de la espira limitada a la derecha por la varilla móvil está aumentando Esto induce una fem y una corriente Definimos A B, como el campo B es uniforme: Φ B = BAcosφ = BA Por la ley de Faraday: E = dφ B = B da Velocidad de variación del área: en el momento la varilla se desplaza una distancia v y el área se incrementa da = Lv E = B da Lv = B = BLv La fem < 0 la corriente inducida esta en el sentido antihorario alrededor de la espira segundo la ley de Lenz esto corresponde a un flujo magnético por arriba que se opone a la aumentación de flujo por abajo esto corresponde a una fuerza magnética que se opone al movimiento de la varilla i la corriente inducida en el generador de conductor corredizo fuera en dirección opuesta a la que indica la ley de Lenz, la fuerza magnética sobre la varilla la aceleraría hacia una rapidez siempre creciente, sin una fuente externa de energía, aun cuando la energía eléctrica se disipara en el circuito Esto sería una clara violación de la conservación de la energía que nunca ocurre en la naturaleza 8

9 Trabajo y potencia en el generador de conductor corredizo B F L v E En el generador de conductor corredizo la energía se disipa en el circuito debido a su resistencia ea R la resistencia del circuito, y = E R la corriente inducida La energía disipada es igual a P dis = 2 R = E R 2 R = BLv R 2 R = B2 L 2 v 2 R También se requiere hacer un trabajo para mover la varilla: El campo magnético ejerce una fuerza sobre la varilla conductora de corriente, y quien desee empujar la varilla tiene que efectuar trabajo en contra de esa fuerza El trabajo contra la fuerza magnética es Fd y la potencia es P aplicada = Fv La fuerza magnética es F = L B y como L B : F = LB = BLv R LB = B2 L 2 v R Por lo que P aplicada = Fv = B2 L 2 v 2 R Esto es exactamente la misma tasa con que se disipa la energía en el circuito Al invertirse B también se invierte el signo de la fem inducida y con ello la dirección de L, por lo que la fuerza magnética aún se opone al movimiento de la varilla Un resultado similar sería verdadero si se invirtiera v Por lo que la ley de la conservación de la energía explica la ley de Lenz 9

10 Ley de Lenz y respuesta a los cambios de flujo Como una corriente inducida siempre se opone a cualquier cambio en el flujo magnético a través de un circuito, cómo es posible entonces que el flujo cambie? La respuesta es que la ley de Lenz sólo da la dirección de una corriente inducida; la magnitud de la corriente depende de la resistencia del circuito Cuanto mayor es la resistencia del circuito, menor es la corriente inducida que parece oponerse a cualquier cambio en el flujo y más fácil es que tenga lugar el cambio de flujo o Para una espira hecha de madera (un aislante), casi no habría corriente inducida en respuesta a los cambios en el flujo a través de la espira Cuanto menor es la resistencia del circuito, mayor es la corriente inducida y más difícil es el cambio del flujo a través del circuito o i la espira es un buen conductor, una corriente inducida fluye en tanto que el imán se mueva en relación con la espira o Una vez que el imán y la espira ya no estén en movimiento relativo, la corriente inducida cae a cero con mucha rapidez debido a la resistencia distinta de cero en la espira El caso extremo ocurre cuando la resistencia del circuito es igual a cero = superconductores o La corriente inducida continuará fluyendo aun después de que la fem inducida haya desaparecido, es decir, después de que el imán haya cesado su movimiento en relación con la espira o Gracias a esta corriente persistente, se observa que el flujo a través de la espira es exactamente el mismo que había antes de que el imán comenzara a moverse, por lo que el flujo a través de la espira de resistencia nula nunca cambia 10

11 Fuerza electromotriz de movimiento forma alterna de la ley de Faraday La figura a muestra la varilla móvil en el generador de conductor corredizo, separada, por el momento, del conductor en forma de U Consideramos las fuerzas magnéticas sobre las cargas móviles en esta varilla El campo magnético B es uniforme y dirigido hacia la página; movemos la varilla hacia la derecha a velocidad constante v En consecuencia del movimiento, una partícula cargada q en la varilla experimenta una fuerza magnética F = qv B con magnitud F = q vb uponemos q > 0; el sentido de la fuerza es hacia arriba a lo largo de la varilla, de b hacia a Esta fuerza hace que las cargas libres en la varilla se muevan, lo que crea un exceso de carga positiva en el extremo superior a y de carga negativa en el extremo inferior b a) Varilla aislada en movimiento a B obre las cargas en movimiento en F B 5 qvb la varilla actúa una fuerza magnética F B L q v b y la separación resultante de las cargas crea una fuerza eléctrica de cancelación F E. b) Varilla conectada a un conductor fijo a B F E 5 qe E La fem E en la varilla móvil crea un campo eléctrico en el conductor fijo. b v Esto, a la vez, crea un campo eléctrico E en el interior de la varilla, en el sentido que va de a hacia b La carga continúa acumulándose en los extremos de la varilla hasta que E se hace suficientemente grande para que la fuerza eléctrica hacia abajo (con magnitud qe) cancele exactamente la fuerza magnética hacia arriba (con magnitud qvb) En equilibrio, qe = qvb La magnitud de la diferencia de potencial V ab = V a V b = EL De acuerdo con el análisis anterior, E = vb, por lo que: (10.5) V ab = EL = vbl Con el punto a en un potencial mayor que en el b 11

12 Ahora suponga que la varilla móvil se desliza a lo largo del conductor fijo en forma de U y forma un circuito completo Ninguna fuerza magnética actúa sobre las cargas en el conductor fijo en forma de U, pero la carga que estaba cerca de los puntos a y b se redistribuye a lo largo del conductor fijo, y crea un campo eléctrico dentro de este último Este campo establece una corriente, en el sentido de la fem La varilla móvil se ha vuelto una fuente de fuerza electromotriz Dentro de ella, la carga se mueve del potencial más bajo al más alto, y en lo que resta del circuito se mueve del potencial mayor al menor Esta fem se denomina fuerza electromotriz de movimiento, y se denota con E Del análisis anterior, la magnitud de esta fem es: (10.6) E = vbl Correspondiente a una fuerza por unidad de carga de magnitud E = vb que L actúa en una distancia L a lo largo de la varilla móvil i R = la resistencia total del circuito del conductor en forma de U y la varilla corrediza, la corriente inducida en el circuito está dada por = vbl R Éste es el mismo resultado que se obtuvo empleando la ley de Faraday, por lo que la fem de movimiento es un caso particular de la ley de Faraday La fem asociada con la varilla móvil es análoga a la de una batería con su terminal positiva en a y negativa en b, aunque los orígenes de las dos fem son muy diferentes: En cada caso, una fuerza electrostática actúa sobre las cargas en el dispositivo, en el sentido de b hacia a, y la fem es el trabajo por unidad de carga realizado por esta fuerza cuando una carga se mueve de b a a en el dispositivo Cuando éste se halla conectado a un circuito externo, la dirección de la corriente es de b a a en el dispositivo, y de a a b en el circuito externo Una fem de movimiento también se presenta en la varilla móvil aislada, de la misma forma en que una batería tiene una fem aun cuando no forma parte de un circuito El sentido de la fem inducida se deduce mediante la ley de Lenz o e completa el circuito mentalmente entre los extremos del conductor y se aplica la ley de Lenz para determinar el sentido de la corriente o De esto se deduce la polaridad de los extremos del conductor en circuito abierto - el sentido del extremo negativo () al extremo positivo () dentro del conductor es el que tendría la corriente si el circuito estuviera completo 12

13 Fem de movimiento: Forma general e generaliza el concepto de fem de movimiento para un conductor de cualquier forma que se mueva en un campo magnético, uniforme o no, suponiendo que el campo magnético no varía con el tiempo Para un elemento d l del conductor, la contribución de a la fem es la magnitud dl multiplicada por la componente de v B (la fuerza magnética por unidad de carga paralela a d l ): (10.7) de = v B ( ) d l Para cualquier espira conductora cerrada, la fem total es (10.8) E = ( v B ) dl Esta expresión es equivalente a la ley de Faraday, por que: dφ (10.9) B = ( v B ) dl Así que (10.8) es una formulación alternativa de la ley de Faraday, que con frecuencia es más conveniente que la forma original para resolver problemas con conductores móviles Pero cuando se tienen conductores fijos en campos magnéticos cambiantes, no es posible utilizar la ecuación (10.8) y en tal caso, la ecuación (10.3) es la única forma correcta de expresar la ley de Faraday 13

14 Ejemplo: Cálculo de la fem de movimiento b) Varilla conectada a un conductor fijo a B E v E La fem E en la varilla móvil crea un campo eléctrico en el conductor fijo. b uponga que la varilla móvil mide 0.10 m de longitud, que su velocidad v es de 2.5 m/s, que la resistencia total de la espira es de Ω, y que B es de 0.60 T La fem es E = vlb = 2.5 m s 0.60T ( )( 0.10m) 0.15V La corriente inducida resultante = E R = 0.15V 0.030Ω 5.0A La fuerza magnética sobre la varilla que conduce esta corriente es directamente opuesta al movimiento de la varilla Aplica la regla de la mano derecha para productos vectoriales a la fórmula F = L B El vector L apunta de b a a en el mismo sentido que la corriente inducida en la varilla Como L B esta fuerza tiene la magnitud F = LB = 5.0A ( )( 0.10m) ( 0.60T) 0.30N 14

15 Campos eléctricos inducidos Cuando un conductor se mueve en un campo magnético la fem inducida se entiende de dos maneras equivalentes: En términos de un flujo cambiante a través de un conductor fijo (ley de > Faraday) > En términos de fuerzas magnéticas que actúan sobre las cargas del conductor (fem de movimiento) > Pero, qué es lo que empuja las cargas alrededor del circuito? Consideremos la situación que se ilustra en la figura a: Un solenoide largo y delgado, con área de sección transversal A y n espiras por unidad de longitud, está rodeado en su centro por una espira conductora circular a) Espira de alambre olenoide, d ' Galvanómetro G B, d El galvanómetro G mide la corriente en una espira de alambre incluyendo el solenoide A El cilindro azul muestra la región con campo magnético B Una corriente en el devanado del solenoide establece un campo magnético B a lo largo de su eje, con magnitud B = µ 0 n i se ignora el pequeño campo fuera del solenoide y suponiendo que el vector de área A apunta en la misma dirección que B, entonces el flujo magnético a través de la espira es Φ B = BA = µ 0 na Cuando la corriente en el solenoide cambia con el tiempo, el flujo magnético también cambia y, de acuerdo con la ley de Faraday, la fem inducida en la espira de alambre está dada por: (10.10) E = dφ B = µ 0 na d i la resistencia total es R, la corriente inducida en la espira es = E en el R sentido dado por la ley de Lenz (en a, dφ B > 0 esta en el sentido anti- horario) 15

16 Pero, qué fuerza hace que las cargas se muevan alrededor de la espira? No es una fuerza magnética porque el conductor no se está moviendo en un campo magnético, y en realidad ni siquiera está en un campo magnético Nos vemos obligados a concluir que tiene que haber un campo eléctrico inducido en el conductor causado por el flujo magnético cambiante Un campo magnético cambiante actúa de algún modo como fuente de campo eléctrico Además, este campo eléctrico no es conservativo Cuando una carga q completa una vuelta alrededor de la espira, el trabajo total realizado sobre ella por el campo eléctrico es W = qe o La integral de línea de E alrededor de una trayectoria cerrada no es igual a cero Esta integral de línea, que representa el trabajo realizado por el campo inducido E por unidad de carga, es igual a la fem inducida: (10.11) E dl = E De acuerdo con la ley de Faraday, la fem E también es el negativo de la tasa de cambio del flujo magnético a través de la espira (10.12) E dl = dφ B NOTA: La ley de Faraday siempre se cumple en la forma E = dφ B pero la forma (10.12) sólo es valida si la trayectoria alrededor de la cual se integra es constante 16

17 Como ejemplo de situación en la que puede aplicarse la ecuación (10.11), considere la espira circular fija de la figura b, de radio r En virtud de la simetría cilíndrica, el campo eléctrico E tiene la misma magnitud en todos los puntos del círculo y es tangente a éste en cada uno de ellos b) E G r B E E La simetría también permitiría que el campo fuera radial, pero entonces la ley de Gauss requeriría la presencia de una carga neta dentro del círculo, y no hay ninguna La integral de línea de la ecuación (10.11): magnitud del campo: (10.13) E = 1 2πr E d l dφ B = E( 2πr) = dφ B por lo que la La dirección del campo eléctrico esta al inverso del corriente inducido esta dirección corresponde a la dirección indicada cuando B en el solenoide está aumentando, debido que E dl < 0 cuando dφ B > 0 17

18 Campos eléctricos no electrostáticos En resumen: La ley de Faraday (10.3) es válida para dos situaciones muy diferentes: En una, la fem es inducida por fuerzas magnéticas sobre cargas cuando un conductor se mueve a través de un campo magnético En la otra, un campo magnético que varía con el tiempo induce un campo eléctrico en un conductor fijo y con ello induce una fem o De hecho, el campo E es inducido aun cuando ningún conductor esté presente Este campo E difiere de un campo eletrostático en un aspecto importante = no es conservativo o E dl 0 y cuando una carga se mueve alrededor de una trayectoria cerrada, el campo realiza sobre ella una cantidad de trabajo distinta de cero o De ello se deduce que para un campo como ése el concepto de potencial carece de significado o Un campo de esa clase = campo no electrostático En contraste, un campo electrostático siempre es conservativo y siempre tiene asociada una función de potencial A pesar de esta diferencia, el efecto fundamental de cualquier campo es ejercer una fuerza F = q E sobre una carga q o Esta relación es válida tanto si E es un campo conservativo producido por una distribución de carga, como si es un campo no conservativo ocasionado por un flujo magnético cambiante De manera que un campo magnético actúa como fuente de campo eléctrico de una clase que no podemos producir con ninguna distribución de carga estática Por razón de simetría, mostraremos que también un campo eléctrico cambiante actúa como fuente de campo magnético 18

19 Corriente de desplazamiento y ecuaciones de Maxwell Hemos visto que un campo magnético que varía de lugar a un campo eléctrico inducido Uno de los ejemplos más notables de la simetría de la naturaleza es que un campo eléctrico variable da origen a un campo magnético Este efecto tiene una enorme importancia, ya que explica la existencia de las ondas de radio, los rayos gamma y la luz visible, así como de todas las demás formas de ondas electromagnéticas Generalización de la ley de Ampère La ley de Ampère tiene la forma: B d l = µ 0 enc La ley de Ampère expresada en esta forma está incompleta! Para ver por qué, consideremos el proceso de cargar un capacitor: Alambres conductores llevan corriente ic hacia una placa y fuera de la otra; la carga Q se incrementa, y el campo eléctrico E entre las placas aumenta La notación ic indica corriente de conducción para diferenciarla de una otra clase de corriente que vamos a en- contrar y que se llama corriente de desplazamiento, id e usan minúsculas para i y v para denotar valores instantáneos de corrientes y diferencias de potencial, respectivamente, que pueden variar con el tiempo Apliquemos la ley de Ampère a la trayectoria circular que se muestra en la figura La integral B dl alrededor de esta trayectoria es igual a µ 0 enc Para el área circular plana limitada por el círculo, enc = i C Pero para la superficie que se abomba hacia la derecha, que también está delimitada por el mismo círculo, la corriente a través de esa superficie es igual a cero Por lo tanto, B d l = µ 0 i C y al mismo tiempo Ésta es una contradicción evidente! Trayectoria para la ley de Ampère i C r dl uperficie plana B d l = 0 uperficie abombada r E Q Q i C 19

20 Algo más ocurre en la superficie abombada: a medida que el capacitor se carga, el campo eléctrico E y el flujo eléctrico Φ E a través de la superficie aumentan Trayectoria para la ley de Ampère uperficie abombada i C r dl r E i C uperficie plana Q Q us tasas de cambio se pueden determinar en términos de la carga y la corriente La carga instantánea es q = Cv donde C es la capacitancia y v es la diferencia de potencial instantánea o Para un capacitor de placas paralelas, C = ε 0 A d donde A es el área de las placas y d es la separación o La diferencia de potencial v entre las placas es v = Ed donde E es la magnitud del campo eléctrico entre las placas (se ignora el efecto de borde y se supone que E es uniforme en la región comprendida entre las placas) i esta región se llena con un material con permitividad ε, se remplaza ε0 por ε en todo lugar para nuestra análisis) Al sustituir estas expresiones la carga en el capacitor, q, se expresa como: (10.14) q = Cv = εa ( d Ed) = εae = εφ E donde Φ E = EA es el flujo eléctrico a través de la superficie A medida que el capacitor se carga la tasa de cambio de q es la corriente de conducción: (10.15) i C = dq = ε dφ E Para completar la ley de Ampère debemos suponer una nueva corriente (en el sentido de la ley de Lenz) = corriente de desplazamiento entre la región entre las placas: (10.16) i D = ε dφ E 20

21 Es decir, imaginamos que el flujo cambiante a través de la superficie curva en la figura es en cierto modo equivalente, en la ley de Ampère, a una corriente de conducción a través de esa superficie La ley de Ampère generalizada se escribe ahora como: (10.17) B dl = µ 0 ( i C i D ) enc La ley de Ampère planteada en esta forma es obedecida sin importar cuál superficie se use: Trayectoria para la ley de Ampère uperficie abombada i C r dl r E i C uperficie plana Q Q Para la superficie plana, id es igual a cero Para la superficie curva, ic es cero E i C para la superficie plana = i D para la superficie curva La ecuación (10.17) sigue siendo válida en un material magnético siempre que la magnetización sea proporcional al campo externo y se sustituya µ 0 µ La solución para la ley de Ampère generalizada fue inventada en 1865 por el físico escocés James Clerk Maxwell ( ) Hay una densidad de corriente de desplazamiento correspondiente, j D = i D A que una vez que se substituye en la ecuación (10.16), usando el hecho que Φ E = EA, nos da la relación: (10.18) j D = ε de Otro beneficio de la corriente de desplazamiento es que permite generalizar la regla de las uniones (o ley de corrientes) de Kirchhoff i se considera la placa izquierda del capacitor, se tiene una corriente de conducción que entra en ella, pero ninguna que salga in embargo, cuando incluimos la corriente de desplazamiento, se tiene corriente de conducción que entra por un lado y una corriente de desplazamiento igual que sale por el otro lado Con este significado general del término corriente, podemos hablar de corriente que pasa a través del capacitor. 21

22 Realidad de la corriente de desplazamiento La corriente de desplazamiento no es un > artificio de calculo pero tiene un significado físico real esto viene de la inducción magnética r B i C R a r r E i C b q q Considera un área plana circular entre las placas del capacitor: i la corriente de desplazamiento realmente desempeña el papel que afirmamos en la ley de Ampère, entonces debe haber un campo magnético en la región comprendida entre las placas mientras el capacitor se esté cargando Podemos usar la ley de Ampère generalizada, que incluye la corriente de desplazamiento, para predecir cuál debiera ser este campo Para ser específicos, pensemos en un capacitor de placas circulares con radio R Para encontrar el campo magnético en un punto en la región comprendida entre las placas a una distancia r del eje, se aplica la ley de Ampère a un círculo de radio r que pase por el punto en cuestión, con r < R Este círculo pasa por los puntos a y b La corriente total encerrada por el círculo es jd veces su área, o ( i D π R 2 )( πr 2 ) La integral B dl en la ley de Ampère sólo es el producto de B por la circunferencia 2πr del círculo, y como id = ic en el capacitor en proceso de (10.19) carga, la ley de Ampère se convierte en: B dl r 2 = 2πrB = µ 0 R i 2 C B = µ 0 2π r R i 2 C 22

23 Este resultado predice que en la región comprendida entre las placas, B es igual a cero en el eje y se incrementa en forma lineal con la distancia desde el eje Un cálculo similar demuestra que afuera de la región entre las placas (es decir, para r > R) B sería el mismo que si el alambre fuera continuo y no hubiera placas Cuando medimos el campo magnético en esta región, encontramos que realmente está ahí y se comporta tal como predice la ecuación (10.19) Las experiencias confirman de manera directa el papel que tiene la corriente de desplazamiento como fuente del campo magnético real Ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo Ahora podemos reunir en un solo paquete todas las relaciones entre los campos eléctricos y magnéticos y sus fuentes = cuatro ecuaciones de Maxwell Maxwell no descubrió todas las ecuaciones por sí solo, sino que las reunió y reconoció su importancia, en particular para predecir la existencia de las ondas electromagnéticas La forma más sencilla de las ecuaciones de Maxwell es para el caso en que hay cargas y corrientes en un espacio en que, por lo demás, está vacío 23

24 Dos de las ecuaciones de Maxwell implican una integral de E o B sobre una superficie cerrada: La primera es sencillamente la ley de Gauss para los campos eléctricos: (10.20) E da = Q enc ε 0 La segunda es la relación análoga (ley de Gauss) para campos magnéticos: (10.21) B da = 0 Recuerda que esta ultima ecuación significa que no existe monopolos magnéticos (cargas magnéticas individuales) que actúen como fuentes del campo magnético La tercera ecuación es la ley de Ampère con la corriente de desplazamiento incluida: (10.22) B dl dφ = µ 0 i C ε E 0 enc Esta ley establece que tanto la corriente de conducción ic como la corriente de desplazamiento i D = ε 0 dφ E actúan como fuentes del campo magnético La cuarta y última ecuación es la ley de Faraday, que establece que un campo magnético cambiante o un flujo magnético inducen un campo eléctrico: (10.23) E dl = dφ B i hay un flujo magnético cambiante, la integral de línea, sobre una trayectoria cerrada constante, es diferente de cero, lo que demuestra que el campo E producido por un flujo magnético cambiante no es conservativo 24

25 NOTA MPORTANTE: El campo eléctrico total E juga un papel doble en las ecuaciones de Maxwell En general, el campo total E en un punto en el espacio puede ser la superposición de un campo electrostático E c provocado por una distribución de cargas en reposo y un campo no electrostático E n inducido magnéticamente: E = E c E n E c d l = 0 Esta parte conservativa del campo no contribuye a la integral en la ley de Faraday, por lo que en la ecuación (10.23) se puede tomar el campo eléctrico total E La parte electrostática E c siempre es conservativa, por lo que De manera similar, la parte no conservativa E n del campo E no contribuye a la integral en la ley de Gauss porque esta parte del campo no es causada por cargas estáticas De aquí que E n d A = 0 e concluye que en todas las ecuaciones de Maxwell, E = E c E n es el campo eléctrico total; estas ecuaciones no hacen distinción entre campos conservativos y no conservativos 25

26 imetría en las ecuaciones de Maxwell En las cuatro ecuaciones de Maxwell hay una simetría notable En el espacio vacío, donde no hay cargas, las dos primeras ecuaciones, (10.20) y (10.21) tienen forma idéntica, una contiene a E y la otra a B Cuando se comparan las otras dos ecuaciones, (10.22) dice que un flujo eléctrico cambiante origina un campo magnético, y (10.23) afirma que un flujo magnético cambiante origina un campo eléctrico En el espacio vacío, donde no hay corriente de conducción, i C = 0 y las dos ecuaciones tienen la misma forma, aparte de una constante numérica y un signo negativo, con los papeles de E y B intercambiados en las dos ecuaciones Las ecuaciones (10.22) y (10.23) se pueden volver a escribir en forma distinta pero equivalente incluyendo las definiciones de flujo eléctrico Φ E = E da y flujo magnético Φ B = B da : En el espacio vacío, donde no hay carga ni corriente de conducción, i C = 0 y Q enc = 0 tenemos: (10.24) B dl d = ε 0 µ 0 E da y (10.25) E dl = d B da De nuevo, se observa la simetría entre los papeles que tienen E y B en estas expresiones La característica más notable de estas ecuaciones es que un campo de cualquier tipo que varíe con respecto al tiempo induce un campo del otro tipo en las regiones vecinas del espacio Maxwell reconoció que estas relaciones predecían la existencia de perturbaciones electromagnéticas consistentes en campos eléctricos y magnéticos que varían con el tiempo y que viajan o se propagan de una región del espacio a otra, aunque no haya materia presente en el espacio intermedio Tales perturbaciones = ondas electromagnéticas, constituyen la base física para las ondas luminosas, las ondas de radio y televisión, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos X y el resto del espectro electromagnético 26

27 Aunque tal vez no sea obvio, todas las relaciones básicas entre campos y sus fuentes están contenidas en las ecuaciones de Maxwell La ley de Coulomb se deduce de la ley de Gauss La ley de Biot y avart se deduce de la ley de Ampère y así sucesivamente Cuando se agrega la ecuación que define los campos E y B en términos de las fuerzas que ejercen sobre una carga q (10.26) F = q E v B ( ) se tienen todas las relaciones fundamentales del electromagnetismo! Del otro lado, se observa que las ecuaciones de Maxwell tendrían mucha más simetría entre los campos E y B si existieran cargas magnéticas individuales (monopolos magnéticos): El lado derecho de la ecuación (10.21) contendría la carga magnética total encerrada por la superficie, y el lado derecho de la ecuación (10.23) incluiría un término de corriente de monopolos magnéticos Quizás nos da una idea inicial de por qué algunos físicos desearían que existieran los monopolos magnéticos, pues ayudarían a perfeccionar la belleza matemática de las ecuaciones de Maxwell Del otro lado, la física no debe ceder a criterio estético la naturaleza no es necesariamente dialéctica del punto de vista de la materia, el hecho que solo existe carga eléctrica (no hay monopolo magnético) ya es muy significativo y plenamente consistente con la interpretación que la materia es hecho de partículas y el espacio- tiempo es un producto de sus interacciones 27