SANTA LUCIA SEGUNDA PRUEBA DE AVANCE DE MATEMÁTICA 1 INSTITUTO NACIONAL DE LA COLONIA UNIDAD DE INFORMÁTICA EDUCATIVA LIC. JUAN CARLOS RIVAS CANTOR

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1 INSTITUTO NACIONAL DE LA COLONIA SANTA LUCIA UNIDAD DE INFORMÁTICA EDUCATIVA 2015 SEGUNDA PRUEBA DE AVANCE DE MATEMÁTICA 1 CÓDIGO DE INFRAESTRUCTURA: DISTRITO ESCOLAR: 0621 UNIDAD: INFORMÁTICA EDUCATIVA LIC. JUAN CARLOS RIVAS CANTOR DIRECTOR: JORGE PORFIRIO SEVILLANO PAREDES Coordinador de Aula Informática 18/08/2015

2 INDICACIONES GENERALES El presente documento tiene como propósito el presentar alternativas de abordaje de interrogantes de la segunda prueba de avances de matemática uno tomando como base el nivel de avance y logro alcanzado por el estudiante de primer año de bachillerato, en los primeros meses de estudio. Con la información que se les proporciona, los docentes estudiantes podrán realizar acciones de enseñanza aprendizaje que contribuyan a contrarrestar en los estudiantes, las áreas débiles o deficientes que mostraron los resultados de la prueba. El resultado de ésta no tiene ningún valor para asignar calificaciones o calcular promedios en la asignatura; sin embargo, debes hacer tu mejor esfuerzo para analizar y proponer otras alternativas de solución, ya que los resultados te servirán para preparar estrategias de ayuda y resolución de problemas planteados en pruebas que si tienen ponderaciones. Instrucciones La prueba consta de 29 ítems en total, 28 de opción múltiple y uno de respuesta breve que vale dos puntos. Cada alternativa tiene una posible forma de resolverla; puedes buscar otra alternativa para llegar a la solución o respuesta correcta. Los ítems de opción múltiple tienen cuatro opciones de respuesta, de las cuales sólo una es la correcta. Para responderla atiende las instrucciones que se plantean y analiza el procedimiento en busca de simplificar o acortar procesos. 2

3 1. En una página web se publicaron las siguientes temperaturas máximas y mínimas de una ciudad durante el año 2011: A partir de dicha información, cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. Las temperaturas máximas más altas se registraron en Marzo y Abril. II. La temperatura máxima y mínima de Enero es mayor que la temperatura máxima y mínima de Marzo. III. La media de las temperaturas de Enero es igual a la media de temperaturas de Mayo. A. Sólo I B. I y II C. I y III D. II y III Análisis grafico. I.- Las temperaturas máximas efectivamente se dieron en Marzo = 32 y Abril = 37. III.- Media de temperaturas: Enero = Mayo = minima + maxima 2 Mayo = Enero = Mayo = 24 Enero = 24 3

4 2. A partir de la información presentada por el área de Gestión Legal del Centro para la Defensa del Consumidor (CDC), en el año 2010 se recibieron un total de 4,967 denuncias, las cuales se distribuyeron de la siguiente forma: Según estos datos, cuántas denuncias, aproximadamente, conforman el grupo de los tres servicios más denunciados? A B C D Servicio % Agua potable 47 Telefonia móvil 12 Bancos y financieras 12 TOTAL 71 Total de denuncias: 4,967. Denunciados = Denunciados = Denunciados = 3,

5 3. En el Centro Escolar José Saúl Flores, el profesor de educación física realizó, entre los estudiantes de séptimo grado, el registro de tiempos que tardaban en correr 1000 metros, como se muestra en el gráfico. Si para participar en la competencia de los 1000 metros de los juegos estudiantiles se necesita haber registrado un tiempo menor o igual de 345 segundos, qué porcentaje de estudiantes de 7 podrán participar? A. 9% B. 24% C. 30% D. 80% Pueden Participar Tiempo Participante TOTAL 24 Totalidad de Estudiantes Tiempo Participante TOTAL 30 Participantes(%) = Participantes(%) = 80% 30 5

6 4. La unidad de salud del municipio de Ciudad Barrios contabilizó, en el control de niño sano del mes de enero de 2010, el peso en kilogramos de los niños hasta de 4 años como muestra la tabla: Peso (kgs) Peso (kgs) [5 8[ 0 [8 11[ 7 [11 14[ 14 [14 17[ 21 [17 20[ 28 [20 24[ 14 El porcentaje de niños con pesos de 14 kilogramos o más es: A. 75% B. 63% C. 25% D. 21% Análisis: Peso total = 84 = 100% Como el intervalo es cerrado y se pide porcentaje de 14 o más de kgs. Entonces solo se aplica una regla de tres simple: ( ) 100 Porcentaje de niños = 84 Porcentaje de niños = Porcentaje de niños = = 75% 5. Cuál de los siguientes gráficos es el adecuado para representar la frecuencia acumulada del consumo de medicamento según la edad? Consumo de medicamentos según edad. Edad (años) Frecuencia Frecuencia Acumulada N 90 Análisis: Solo se deberá considerar los datos de la frecuencia acumulada la cual en la grafica representa al número de personas (Eje Y) y edad (Eje X). 6

7 Por lo tanto la grafica que representa a la frecuencia acumulada es la que está representada en el literal A. 7

8 6. Karla, maestra de un complejo educativo de San Salvador, colocó el siguiente gráfico en el periódico mural. Marielos es una estudiante que le gusta mucho la matemática y desea conocer la cantidad de estudiantes que tienen una nota menor de siete; según los datos del gráfico, cuál sería la cantidad de estudiantes? A. 15 B. 20 C. 26 D. 28 Análisis: Se deberá se extraer del grafico la cantidad de estudiantes que representan a cada nota graficada. Para el caso solo se extraerán hasta la nota 6.5 ya que esta es el límite superior según la condición. 6.5 < 7 NOTA ESTUDIANTES TOTAL 20 8

9 7. Dado el conjunto A = {1,2,3} y el conjunto B = {4,6} el producto cartesiano BxA está correctamente representado por A. {1,2,3,4,6} B. {4,6,8,12,12,18} C. {(4,1), (6,1), (4,2), (6,2), (4,3), (6,3)} D. {(1,4), (1,6), (2,4), (2,6), (3,4), (3,6)} Análisis: Producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par ordenado del primer conjunto y el segundo elemento del par ordenado del segundo conjunto. Producto cartesiano BxA B = {4,6} x A = {1,2,3} BxA = {(4, 1), (6, 1), (4, 2), (6, 2), (4, 3), (6, 3)} 8. A partir de los conjuntos A = [2,3] y B = {1,4}, cuál de las gráficas siguientes representa el producto cartesiano de A x B? 9

10 Análisis: A = [2,3], es el intervalo cerrado que es representado en el plano cartesiano en el eje x. B = {1,4}, es el conjunto finito que es representado en el plano cartesiano en el eje y. Los corchetes indican que se debe incluir los extremos de dicho intervalo, por lo que en las gráficas que indican estos producto cartesiano, si se incluye la frontera donde es cerrado dicho intervalo. La grafica correcta es la que está en el literal (B). 9. Si A y B son dos conjuntos donde A = {2,3,5} y B = {6,8,10}, encuentra el recorrido de la relación R = {(x, y) AxB y es divisible entre x} A. {(3,6), (2,8), (5,10)} B. {2,3,5} C.,, D. {6, 8, 10} Análisis: Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. A nivel grafico o puesto los puntos en el plano cartesiano se sabe que los datos representados en el eje x corresponden al dominio de la relación y datos representados en el eje y corresponden al recorrido de la relación. Respuesta correcta (D). R = (Dominio x, Recorrido y) P (, ) = y x P (, ) = 8 2 = 4 P (, ) = y x P (, ) = 6 3 = 2 P (, ) = y x P (, ) = 10 5 = 2 10

11 10. De la relación R = (x, y) RxR y = ± 9 x, la opción que representa el gráfico, dominio y recorrido es Análisis: R = (x, y) RxR y = ± 9 x, el signo ± y la 9 x es la parte de la relación que da la pauta para saber que son intervalos cerrados, por lo tanto con esta premisa se descartan las dos parábolas, la grafica del literal (D) sus enunciados están correctamente escritos pero su grafica solo contempla como recorrido [0, 3]. Por lo tanto la respuesta correcta es la grafica del literal (B). Dominio: [-3, 3] y Recorrido: [-3, 3]. 11

12 11. Si f(x) = x 3 y h(x) = x + 4, entonces el valor de 3f( 1) + 5h(2) es: A. 24 B. 30 C. 36 D. -6 Solución: 3f( 1) + 5h(2) 3( 1 3) + 5(2 + 4) (3( 2)) + (5(6)) = Observa la siguiente gráfica que representa una situación que le ocurrió a Luisa, una estudiante de primer año de bachillerato, en el recorrido de su casa al instituto. A cuál de las siguientes situaciones corresponde el gráfico? A. Salió corriendo de la casa y luego empezó a caminar, posteriormente a correr. B. Salió corriendo de la casa y luego se detuvo. C. Se dio cuenta que era tarde y salió corriendo, corrió todo el tiempo. D. Salió de la casa caminando, se detuvo a tomar agua y posteriormente continuó caminando. Análisis: Sea la diagonal el esfuerzo (correr) y la horizontal el tiempo de descanso (caminar). Entonces la relación quedaría: R (Distancia,Tiempo) = Correr + caminar + correr Entonces Luisa hace lo siguiente: Salió corriendo de casa, luego comenzó a caminar, posteriormente a correr. 12

13 13. De las siguientes gráficas, la que corresponde a f(x) = 2x 1 es Solución: f(x) = 2x 1 se puede encontrar dos puntos en la grafica asignando valores a x en la función. f(0) = 2x 1 2(0) 1 = 1 f( 1) = 2x 1 2( 1) 1 = 1 Respuesta correcta: Literal (B). Pares ordenados: (0, -1), (-1, 1) 13

14 14. A un estudiante le han realizado seis evaluaciones en matemática y su media es 6.8. Si en otras dos pruebas obtiene 6.4 y 9.6, el nuevo valor medio será A. 7.1 B. 7.2 C. 7.6 D. 8.0 Solución: Media = 6.8 de 6 evaluaciones realizadas Pruebas adicionales: 6.4 y 9.6 Total de pruebas 8 Nueva media = 6(6.8) = En una compañía aérea aproximadamente, el 65% de los vuelos tienen retraso. La distribución de los vuelos retrasados en un año es la siguiente: Duración del retraso (minutos) Cantidad de vuelos En minutos, el tiempo medio de retraso que tienen los aviones es A B C D Análisis: Como lo que piden es el tiempo medio en minutos de retraso de los vuelos se debe tener el tiempo medio y esto se puede extraer de la media de la suma de los dos extremos del intervalo dividido en 2. Duración del retraso (minutos) Tiempo medio Cantidad de vuelos Total vuelos retrasados x2000 = = x3000 = = x2500 = = x2000 = = x500 = = 75 2 Tiempo medio de retraso:,, TOTALES 10, ,000 =

15 16. Un profesor de bachillerato aplica para sus estudiantes los siguientes porcentajes de calificación del período: Actividad Porcentaje o peso Tareas 15 Exámenes mensuales 50 Examen de período 35 Si Manuel tuvo a lo largo del primer período los promedios de 8, 7 y 6 en tareas, exámenes mensuales y examen de período, respectivamente, cuál fue la nota final de Manuel en ese período? A. 5.2 B. 6.5 C. 6.8 D. 7.0 Actividad Porcentaje o Notas de Porcentaje de peso Manuel nota Tareas x15% = 1.2 Exámenes mensuales x50% = 3.5 Examen de período x35% = 2.1 NOTA FINAL DE MANUEL NF = NF = En su Informe diario de precios a mayoristas de granos básicos del 30 de abril de 2011, el Ministerio de Agricultura y Ganadería (M.A.G.) publicó los siguientes datos: Producto SAN SALVADOR Unidad Precio en $ de Venta Mínimo Máximo Frijol Rojo Nacional Quintal Frijol Rojo Importado Quintal Frijol Tinto Nacional Quintal Frijol Tinto Importado Quintal Según estos datos, cuál es la suma de las desviaciones del precio mínimo con respecto a la media? A. $ B. $ C. $ 5.00 D. $ 0.00 Cuarta propiedad. Si se resta la media a cada uno de los valores observados, entonces la suma de estas diferencias es igual a cero. (Xi X ) = X = X = X = (Xi X ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) (Xi X ) = ( 2.25) + ( 0.25) + ( 5.25) (Xi X ) = 0 15

16 18. Se tiene la distribución de datos siguiente: 0, 2, 2, 3 y 13. Si cada dato se multiplica por dos, cuál es la media aritmética? A. 40 B. 10 C. 8 D A continuación se presentan algunos resultados que fueron obtenidos a partir de las notas de los estudiantes de tercer ciclo (7, 8 y 9 grados) en un concurso de matemática: Grado Número de Calificación estudiantes (f) media (x ) Total 78 Con base en esta información, cuál es la media aritmética total del tercer ciclo? A B C D Los siguientes datos corresponden al tiempo de respuesta en segundos dado por un grupo de estudiantes, ante una operación aritmética que realizaron mentalmente: 55, 51, 60, 56, 64, 56, 63, 63, 61, 57, 62, 50, 49, 70, 72, 54, 48, 53, 58, 66, 68, 45, 74, 65, 58, 61, 62, 59, 64, 57, 63, 52, 67. Si te piden la mediana de los tiempos anteriores, cuál opción es la respuesta correcta? A. 48 B C. 63 D x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = 26 X = X = Solución: Se debe ordenar los datos de menor a mayor y el que tenga la posición central es la MEDIANA X = X = 40 5 X = 8 X = 7. 43

17 21. A continuación se presentan las estaturas de 160 estudiantes del primer año de bachillerato de un municipio del departamento de La Unión: Estatura en metros Frecuencia Absoluta (f) Frecuencia Acumulada (fa) Total (Σ) 160 Si te pidieran determinar la mediana, cuál de las siguientes opciones sería tu respuesta? A B C D M = Li + N 2 Fi a fi M = M 40 = M 40 = M = M e = Una empresa evaluó a todos sus empleados para determinar sus conocimientos y habilidades para desempeñar un cargo de mayor responsabilidad al que tienen actualmente. Los resultados fueron los siguientes: Puntaje F Total 80 A partir de esta información, cuál es el valor de la moda? A. 10 B. 16 C D

18 Solución: Mo = L + (f f ) (f f ) + (f f ). a Mo = (16 10) + (16 11) 7 Mo = Mo = Mo = Mo 11 = En una página web se publicó, el 28 de febrero de 2011, lo siguiente: Cuánto ganan los presidentes de América? A partir de esta información, cuáles salarios corresponden a Q y Q respectivamente? A. $ 2, 008 y $ 4, 877 B. $ 5, 182 y $ 15, 619 C. $ 2, 008 y $ 9, 175 D. $ 5, 182 y $ 16, 524 SOLUCIÓN: El primer cuartil: Q = n 1 4 Q = Para el tercer cuartil: Q = 2(n 1) 4 Para el tercer cuartil: Q = 3(n 1) 4 Q = 11 Q 1 = 5, 182 Q = 9, Q 3 = 15, 619 Q = 3.75 Q = 4 Q = ( ) Q = ( ) Q = ( ) Q = ( ) Q = Q = 7.5 Q = Q =

19 24. A partir de la información que se muestra a continuación, cuál salario corresponde al D de los presidentes de América? A. $ 18, 657 B. $ 16, 524 C. $ 11, 721 D. $ 6, 194 SOLUCIÓN: D = k. N 10 D = D = D = 12.6 D 9 = 13 D 9 = 18, Se presenta a continuación la distribución de estaturas de 125 estudiantes del municipio de Turín Estatura (CM) Frecuencia Frecuencia (f) acumulada fa) N = 125 Según estos datos, la estatura de un estudiante que tiene asociado el percentil 45 es A cm. B cm. C cm. D cm. k. N Clase = 100 Clase = Clase 100 = Clase = Clase del P = SOLUCIÓN: P = L +. P = P 45 = a P = P =

20 26. De acuerdo con los datos de la tabla que se muestra, qué porcentaje de estudiantes miden 166 centímetros o menos? A. 80.0% B. 51.7% C. 55.0% D. 63.3% Estatura (CM) Frecuencia Frecuencia (f) acumulada fa) N = 125 SOLUCIÓN: Se deberá despejar k de la formula general para extraer percentiles, de la forma siguiente: P = Li + a kn Fi 1 despejando k fi 100 P Li = a kn fi 100 Fi 1 (fi)(p Li) = kn Fi 1 a 100 (fi)(p Li) a + Fi 1 = kn 100 k = (fi)(p k Li) Aplicando la fórmula para tener porcentaje de un segmento de datos. k = (fi)(p Li) + Fi ) k = (55)(166 a N 7 = (0.8) k = (64.64)(0.8) k = 51. 7% 7 a i + Fi N k

21 27. En el departamento de Ahuachapán se tomó el peso de 100 estudiantes de primer año de bachillerato y se asoció la escala percentilar para diferentes valores de la variable, tal como se muestra a continuación: Peso ( en libras) Percentil De las siguientes proposiciones, cuál es la correcta de acuerdo con la información presentada? A. El mayor peso fue de 165 libras. B. El menor peso de los estudiantes fue de 96 libras. C. El 10% de los estudiantes pesan 111 libras o menos. D. El 80% de los estudiantes pesan más de 140 libras. Análisis: El percentil es un porcentaje según la teoría por lo tanto el 10% de los estudiantes pesan 111 libras o menos. 28. A continuación se presenta una gráfica de los percentiles asociados a la talla de los niños según edad (en meses) Un niño de 20 meses de edad con una longitud de 90 centímetros se ubica en el percentil 97, cuál de las siguientes proposiciones es una interpretación correcta? A. Un 3% de los niños de esta edad tienen más de 90 centímetros de estatura. B. El niño medirá aproximadamente 100 centímetros a los 25 meses. C. Un 97% de los niños a esta edad miden más de 90 centímetros. D. El niño medía más de 50 centímetros al nacer. Análisis: Según la grafica de percentiles al comparar las dos variables (meses x longitud) y considerando el percentil 97 que está en estudio se puede concluir que: El 3% de los niños de 20 meses tienen más de 90 cm de longitud. 21

22 29. A partir del siguiente gráfico, cuál es el dominio y el recorrido de la función f(x)? SOLUCIÓN: Debes de recordar que el dominio de una función son los valores representados en el eje x del plano cartesiano y el recorrido son los valores representados en el eje y del plano cartesiano. Existe una estrategia básica para poder encontrar el dominio y recorrido de una función que se encuentra representada en una grafica, la cual es imaginar que colocas una lámpara él una parte de la grafica frente al eje que estas analizando y toda aquella parte del eje que este sombreado por el obstáculo que genera el trazo de la función es el dato que estas buscando. Dominio = [3, + [ Recorrido = [2, [ o bien Recorrido = ], 2] 22

23 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA 1. Primera propiedad. La media aritmética de una constante c, es la misma constante c. 2. Segunda propiedad. La media de una variable más (o menos) una constante es igual a la media de la variable más (o menos) el valor de la constante. 3. Tercera propiedad. La media de una variable por una constante es igual a la constante por la media de la variable. 4. Cuarta propiedad. Si se resta la media a cada uno de los valores observados, entonces la suma de estas diferencias es igual a cero. (Xi X ) = 0 di = 0 DESVIACIÓN RESPECTO A LA MEDIA La desviación respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética. Valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales. Ejemplos: 5 = 5, 2 5 = 3 D = x x DESVIACIÓN MEDIA La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. La desviación media se representa por signo D D = x x + x x + + x x N Ejemplo: Calcular la desviación media de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 x = x = 72 8 x = 9

24 D = 8 = = D = 18 8 = 2.25 D CÁLCULO DE LA MEDIANA 1. Ordenamos los datos de menor a mayor. 2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 5 3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. 7, 8, 9, 10, 11, 12Me = Cálculo de la mediana para datos agrupados La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. 24

25 MODA La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas. Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mo= 1, 5, 9 Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda. 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9 Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes. 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4 CÁLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud. Mo = L i + (f i f i 1 ) (f i f i 1 ) + (f i f i 1 ). a i L es el límite inferior de la clase modal. f es la frecuencia absoluta de la clase modal. f es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal. f es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal. a es la amplitud de la clase. 25

26 Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla: Mo = 66 + (42 18) Mo = 66 + (42 18) + (42 27) Mo = Mo = Intervalo f i [60, 63) 5 [63, 66) 18 [66, 69) 42 [69, 72) 27 [72, 75) INTERVALOS CON AMPLITUDES DISTINTAS. En primer lugar tenemos que hallar las alturas. h i = f i a i La clase modal es la que tiene mayor altura. Mo = L i + (h i h i 1 ) (h i h i 1 ) + (h i h i 1 ). a i En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda. Intervalo f i h i [0, 5) 15 3 [5, 7) [7, 9) 12 6 [9, 10) h = h = h i = 3 h = h = h i = 6 h = h = h i = 10 h = h = h i = 3 Mo = L + (h h ) (h h ) + (h h ). a (10 3) Mo = 5 + (10 3) + (10 6). 2 Mo = Mo = Mo =

27 DECILES Fórmulas Datos No Agrupados Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas: D = A n 10 Cuando n es par D = A(n + 1) 10 Cuando n es impar Siendo A el número del decil a calcular. Siendo n la cantidad de datos analizados. BIBLIOGRAFÍA Despejar k del percentil

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