TABLAS DE MORTALIDAD. DIFERENTES ESTRATEGIAS DE RECARGO.

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1 27 Congreso Naciona de Estadística e Investigación Operativa Leida, 8-11 de abri de 2003 TABLAS DE MORTALIDAD. DIFERENTES ESTRATEGIAS DE RECARGO. R. Escuder Vaés 1, J.M. Pavía Miraes 2 1 Departamento de Departamento de Economía Apicada Universidad de Vaencia, Vaencia, España E-mai: Roberto.Escuder@uv.es 2 Departamento de Departamento de Economía Apicada Universidad de Vaencia, Vaencia, España E-mai: pavia@uv.es RESUMEN Las tabas de mortaidad contienen vaores esperados de as variabes aeatorias que constituyen e proceso estocástico de muerte. La determinación de a prima de cuaquier seguro se basa, entre otros factores, en os vaores de taes tabas. Sin embargo, en os coectivos reaes se producen desviaciones respecto a os vaores medios. Las entidades de seguro tratan de protegerse ante taes desviaciones. Para eo, as aseguradoras construyen tabas de mortaidad recargadas. Este artícuo propone distintas estrategias para recargar as tabas y reaiza un anáisis comparativo de os resutados que se derivarían de seguir cada una de eas. Paabras y frases cave: anáisis de sensibiidad. tantos de mortaidad, intervaos de confianza, proceso estocástico de muerte. Casificación AMS: 62P05, 60G Introducción Habituamente en as tabas de mortaidad aparecen os vaores de as funciones biométricas x, p x, q x, d x, e x, y µ x. Las tabas de mortaidad sueen eaborarse para pobaciones generaes, a partir de informaciones de censos de pobacion y de istas de faecimientos, y para pobaciones de asegurados a partir de datos de as compañias de seguros. En particuar, y una vez seeccionado e periodo muestra, a comparación entre e número de expuestos a riesgo y de número de faecidos permiten a actuario obtener estimaciones iniciaes para as probabiidades de faecimiento a cada edad, q x (y, por tanto, también a de supervivencia p x ). Dichas probabiidades, que con posterioridad, son sometidas a os correspondientes procesos de graduación o ajuste (ver, por ejempo, Forfar et a, 1988) a fin de suavizar e perfi de proceso estocástico asociado. Para, 1

2 finamente, y a partir de un tamaño de pobación inicia ficticio, 0, en genera o , se eaboran as correspondientes tabas. Paraeamente, en todo probema de graduación o ajuste de tabas de mortaidad aparece de modo impícito o expícito un probema asociado referido a os intervaos de confianza. De hecho, desde un punto de vista teórico se pueden obtener intervaos de confianza para os parámetros de interés bajo diferentes aproximaciones. Se puede recurrir a a aproximación norma de a distribución binomia, se puede intentar eaborar as distribuciones exactas en e muestreo de os estadísticos correspondientes, o, en útima instancia aunque no muy aconsejabe dado que conduce a intervaos de gran ampitud cabe recurrir a a desiguadad de Tchebycheff. Sin embargo, y previo a o indicado anteriormente aparece e probema de a eección de as distribuciones de probabiidad finito dimensionaes asociadas a as variabes aeatorias edad de muerte o de faecimiento que constituyen e correspondiente proceso estocástico, y que dan ugar a diferentes conceptuaizaciones en cuanto a as posibes tabas recargadas que puedan derivarse.. En efecto, es conocido que, como consecuencia de proceso de eaboración de as tabas de mortaidad, os vaores x que aparecen en as mismas coinciden con as medias o vaores esperados de as variabes aeatorias de proceso estocástico asociado { x }, donde x representa e número de individuos que procedentes de un coectivo inicia de tamaño L acanza a edad x. Por o que, si e actuario basase os cácuos de as probabiidades asociadas a os distintos seguros de vida en as cantidades x, tendría que as probabiidades derivadas sóo serían váidas en media. Es decir, únicamente tendrían vaidez para intervaos temporaes suficientemente ampios y/o pobaciones de un tamaño importante, y esto siempre y cuando se pudiese mantener durante e periodo correspondiente a hipótesis de estacionariedad de proceso estocástico de muerte asociado a a pobación. Ante esta probemática, y a fin de poder garantizar a estabiidad y sovencia de a empresa aseguradora, os actuarios tratan de cubrir a a entidad de as previsibes desviaciones de a media que pudieran registrarse. Para eo, una de as aternativas consiste en construir, a partir de unas tabas base, unas nuevas tabas, denominadas tabas con recargo de seguridad, que protegen a a compañía ante as fuctuaciones. En esencia, a construcción de unas tabas recargadas consiste, para e caso de seguros de vida de supervivencia, en considerar que e número de individuos que acanzan cada edad x es superior a número esperado x y, para e caso de seguros de vida de faecimiento, que, o bien, e número esperado de faecidos a a edad x, d x = x x-1, es superior a esperado o que, equivaentemente, e número de supervivientes es inferior a vaor medio x. En particuar, y para determinar estas cantidades máxima y mínima de número de supervivientes en cada edad, e actuario o que hace es tomar os ímites superior e inferior de intervao de confianza para as medias de proceso estocástico { x }. Los ímites superiores, para seguros de vida de supervivencia y os inferiores para seguros de faecimiento. Este probema, aparentemente sencio, encierra, no obstante, cierta dificutad, pues como se expondrá en e apartado segundo existen diferentes estrategias para determinar una vez prefijado e nive de confianza os intervaos anteriores dependiendo de as hipótesis y consideraciones que se reaicen. Por o que será a estrategia por a que opte 2

3 cada empresa aseguradora o que en útimo término puede determinar, incuso partiendo de a misma información de base y asumiendo e mismo riesgo, e precio de a prima. En concreto, e resto de pape está estructurado como sigue. En e apartado segundo se anaizan as diferentes estrategias. En e tercero se reaiza un anaisis de sensibiidad de as misma tomando como base de comparacion as Tabas PEF de a pobación españoa pubicas por Unespa (Véase Prieto y Fernández 1994). Y finamente en e punto cuatro se recoge un resumen y as concusiones más sobresaientes. E trabajo se competa con un anexo donde se muestran os vaores para as tabas recargadas derivadas bajo as distintas estrategias anaizadas. 2. Estrategias a considerar Como se ha comentado en a introducción e número de supervivientes a a edad x puede ser contempado como una variabe aeatoria x, variabe aeatoria que representa e número de individuos que procedentes de un coectivo inicia L acanzan a edad x. Desde ese punto de vista, si se admite e supuesto de independencia y a hipótesis de homogeneidad es decir, se acepta que todos os eementos de a pobación están expuestos a igua riesgo, q, de faecimiento, es inmediato razonar que a variabe aeatoria x sigue una distribución binomia con parámetros L y p x ~ Bi(L, p), donde p = 1 q, representa a probabiidad de que un individuo de coectivo inicia acance a edad L. Distribución binomia que, gracias a que habituamente os tamaños pobacionaes L son eevados se puede aproximar adecuadamente por una distribución norma de media µ = Lp y varianza σ 2 = Lpq. De manera que, a partir de esta aproximación, es reativamente sencio cacuar un intervao de probabiidad o de confianza según se esté ex-ante o ex-post para e número de individuos que acanzan a edad x. De hecho, si se fija en 1 - α e nive de probabiidad o confianza y se denota mediante z α/2 a vaor que deja por encima de sí una probabiidad de α/2 en una distribución de probabiidad norma tipificada se tendría e intervao: + [ Lp zα / 2 Lp( 1 p), Lp + zα / 2 Lp(1 p) ] = [ L, L ], para e número de individuos que acanzan a edad x. Lo que impícitamente generaría un intervao de probabiidad para p, dado por: p( 1 p) p( 1 p) + p zα / 2, p + zα/ 2 = [ p, p ] L L Intervaos y vaores extremos que precisamente dependen de os parámetros L y p, por o que será a eección que de éstos se reaice o que dará ugar a as distintas posibiidades de cácuo para as tabas recargadas. De manera, que dos compañías de seguro partiendo de os mismos datos, anaizando as tabas base con criterios simiares y asumiendo nivees de riesgo iguaes pueden derivar tabas recargadas diferentes, a haber hecho reaizado consideraciones distintas acerca de os parámetros L y p de a distribución binomia más adecuados. 3

4 Pero, en qué consiste esta posibiidad de eección? Para responder a esta pregunta, a continuación, vamos a tratar de iustrar a probemática que aparece a través de un ejempo. Considérese, a fin de fijar ideas, que e probema a resover está reacionado con a determinación de a probabiidad asociada a un seguro de vida para e caso de supervivencia y se necesita cacuar os ímites superiores de intervao de confianza para e número de supervivientes a cada edad. Imagínese que e individuo a asegurar tiene edad x - 1, de modo que se trataría, en primer término, de obtener estimaciones para os vaores + x o p + x. Para eo, se pueden reaizar a menos os siguientes razonamientos: En primer término, podría partir de coectivo inicia 0 que se tomó para dar origen a a taba de mortaidad y suponer que x es una variabe aeatoria cuyos parámetros son 0 y x p 0 a probabiidad que un individuo de edad 0 acance a edad x, es decir, x ~ Bi( 0, x p 0 ), y Aternativamente, partir de número de individuos x-1 que, supuestamente, han acanzado a edad x 1, y admitir que x sigue una distribución binomia de parámetros x-1 y p x-1, es decir, x ~ Bi( x-1, p x-1 ). Una vez cacuados unos vaores para ímites superiores de x, debe procederse a a obtención de os correspondientes ímites superiores para x+1. De forma que, de nuevo, pueden repetirse os dos razonamientos reaizados con anterioridad para ograr + x+1 o p + x+1. Pero, no obstante, ahora se puede además impementar un nuevo procedimiento. En efecto, dado que con e cácuo anterior nos cubrimos de un exceso de supervivencia considerando ese exceso como consoidado y partiendo, de un tamaño pobaciona de + x considerar que a variabe aeatoria x+1, esta distribuída mediante x+1 ~ Bi( + x, p x ). Finamente, también podemos hacer otro tipo de razonamiento que, no se basa directamente en a distribución de probabiidad de a variabe aeatoria x+1, sino que se deriva de propio significado de número de individuos que acanzan a edad x+1. En ta sentido, conviene recordar que en Estadística Actuaria e número esperado de individuos que acanzan a edad x procedentes de un coectivo de tamaño 0 se obtiene de a iguadad x = 0 p 0 p 1... p x-1. Por o que podemos considerar que p + k, para k = 0, 1, 2,, son as probabiidades máximas que tiene cada individuo de acanzar a edad k +1 una vez ha ogrado a edad k, y por o tanto podemos proponer que e número máximo de individuos que superan a edad x puede venir dado por a expresión: + x = 0 p + 0 p p + x-1, que recoge a idea de que a cada edad se maximiza e número posibe de supervivientes. De forma tenemos tres posibes combinaciones para os parámetros L y p, que junto con a estrategia de cácuo basada en e útimo razonamiento darían ugar a menos a cuatro conjuntos diferentes de tabas recargadas. En concreto, estas cuatro aternativas apicadas de manera sistemática desde a edad 0 a a edad ω - 1 donde ω representa a edad máxima que puede acanzar un individuo, se sintetizan en os siguientes puntos: Aternativa o Estrategia 1: Considerar que as variabes aeatorias 1, 2,, x,, ω-1 asociadas a proceso estocástico de superviviencia siguen as siguientes distribuciones de probabiidad: 4

5 1 ~ Bi( 0, p 0 ), 2 ~ Bi( 0, p 0 p 1 ), 3 ~ Bi( 0, p 0 p 1 p 2 ), x ~ Bi( 0, p 0 p 1 p 2 p x-1 ) De hecho, esta es a estrategia de cácuo utiizada por Prieto y Fernández (1994) pioneros en anáisis de este probema en España para a eaboración de as tabas recargadas para a pobación españoa editadas por a organización patrona de entidades aseguradoras españoas, UNESPA. Aternativa o Estrategia 2: Esta estrategia consiste en considerar que as distribuciones de probabiidad para variabes aeatorias 1, 2,, x,, ω-1 vienen dadas por: 1 ~ Bi( 0, p 0 ), 2 ~ Bi( 1, p 1 ), 3 ~ Bi( 2, p 2 ), x ~ Bi( x-1, p x-1 ) donde, 1 = 0 p 0 ; 2 = 1 p 1 = 0 p 0 p 1,, y, en genera, x-1 = x-2 p x-2, o aternativamente, x-1 = 0 p 0 p 1 p 2... p x-2. Aternativa o Estrategia 3: Por su parte, a tercera opción supondría admitir que as distribuciones para, 1, 2,, x,, ω-1, en e caso de seguros de superviviencia, serían: 1 ~ B( 0, p 0 ), 2 ~ B( + 1, p 1 ), 3 ~ B( + 2, p 2 ) x ~ Bi( + x-1, p x-1 ) Mientras que en e caso de seguros de faecimiento supondría admitir que: 1 ~ Bi( 0, p 0 ), 2 ~ Bi( 1, p1 ), 3 ~ Bi( 2, p2 ) x ~ Bi( x-1, px-1 ) Con = p + z p ( p ) y = p z p ( p ). x x 1 x 1 α/ 2 x 1 x 1 1 x 1 x x 1 x 1 α/ 2 x 1 x 1 1 x 1 5

6 Aternativa o Estrategia 4: Por útimo, esta aternativa consiste en considerar, para a determinación de + x y x, que as probabiidades + px y p x representan os mínimos y máximos para as probabiidades que tiene un individuo de edad x de acanzar a edad x+1 y obtener + x y x de manera anáoga a como se obtendría x a partir de as probabiidades p x, de forma que se tendría que: + x = 0 p + 0 p p x-1 x = 0 p 0 p1... px-1 donde os p k + y p k son os vaores extremos de os intervaos para pk que se conseguirían siguiendo a segunda estrategia. 3. Comparación de as estrategias. Anáisis de sensibiidad Con e objetivo reaizar una apicación de as distintas estrategias apuntadas en e apartado anterior, hemos tomado como taba base de cácuo a taba PEF90 (véase, Prieto y Fernández, 1994) y partiendo de una pobación de tamaño inicia , construído intervaos de probabiidad a 95%. Los resutados de apicar as diferentes aternativas se ofrecen en os Anexos 1 y 2. Un rápido anáisis de os mismos, muestra que a estrategia 4 es a más diferente de as aternativas impementadas, y con diferencia a opción más conservadora de as cuatro opciones consideradas. Esa diferencia, sin embargo, es asimétrica, pues es con mucho más manifiesta cuando se anaizan as tabas recargadas para seguros de muerte que cuando se estudian as correspondientes tabas recargadas para seguros de supervivencia. Con respecto a as otras tres estrategias, se observa que savo para agunas edades extremas hay un patrón casi constante de dominancia o grado de conservadurismo entre as aternativas. Así a estrategia 1, es a más conservadora de as tres, seguida por a estrategia 3 y, por útimo, a estrategia 2. Más concretamente, a estratategia 1 prácticamente siempre domina a a dos tanto en seguros de vida como de muerte. La dominancia entre as aternativas 1 y 3 no es, sin embargo, tan inea. Aunque en genera, a estrategia 1 es más conservadora que a 3 para edades muy avanzadas, además de para contadas edades intermedias, a opción tres se revea como más conservadora en ambos tipos de seguros. Por útimo, a comparación de as aternativas dos y tres casi es una imagen invertida de a comparación de as estrategias uno y tres. En efecto, si bien para a mayoría de as edades a opción tres domina a a dos, para as primeras edades y agunas (muy pocas) edades intermedias a opción dos se manifiesta como más conservadora E esquema expuesto en os párrafos precedentes, se expicita de forma cara y sencia en a taba 1, en a cua se pueden encontrar agunas probabiidades temporaes de superviviencia y faecimiento. 6

7 V. Esperado Estrat.1 Estrat. 2 Estrat. 3 Estrat. 4 25q p p /10q Fuente: Eaboración propia a partir de tabas recargadas con un 1% de riesgo y 0 = Taba 1: Ejempos de probabiidades temporaes de vida y muerte. 15/ 10 q donde: q 40 = 25p 40 = ( 65 / + 40 ) ; 25q 40 = ( = y, 15/10q 50 = ( 65 / + 50 ) ( )/ 65 )/ 40 + ; 4. Concusiones En este trabajo se proponen varios procedimientos que permiten derivar a partir de una taba base diferentes tabas recargadas. En particuar se proponen cuatro posibiidades diferentes para a construcción de tabas recargadas. De anáisis de os correspondientes resutados se puede destacar os siguientes puntos: La estrategia cuatro es con mucho, a más conservadora de as propuestas; con especia énfasis, en seguros de faecimiento. Por otro ado, y respecto a as otras tres aternativas, se observa que, en genera, e orden dominancia oscia desde a estrategia uno, más conservadora, a a estrategia dos, menos conservadora. Desde nuestro punto de vista a estrategia dos, a pesar de conevar un mayor nive de riesgo a ser menos conservadora, es a más adecuada, dado que se ajusta mejor a a reaidad a partir en cada edad x de vaor más verosími para e tamaño pobaciona o número de individuos a inicio de periodo. No obstante, en principio, nada se podría reprochar a una empresa que utiizase una estrategia más conservadora, suponiendo acertadamente que tendría una probabiidad de quiebra inferior, savo, quizás que tendría menos opciones de competir, por esta vía, en un entorno competitivo de mercado como es e de os seguros de vida. Finamente queremos subrayar a dependencia de os extremos de os intervaos de tamaño inicia, 0, arbitrariamente eegido, dado que cuanto mayor sea dicho vaor inicia 0, menor será, ceteris paribus, e intervao de probabiidad para x o para p x, y con eo, os ímites superiores e inferiores que se obtienen A a vista de eo, o idea sería que as compañías y os actuarios tuviesen en cuenta o anterior a a hora de construir as tabas recargadas de manera y posibemente 7

8 una buena poitica de actuación sería que en ugar de arrancar de a taba base partiesen de os propios datos de a compañias. Es decir, que en e propio proceso de obtención de as estimaciones iniciaes para as probabiidades q x o p x, a partir de os datos básicos, se generasen ya intervaos para estos vaores y se pudiese disponer tras e correspondiente proceso de graduación o ajuste de unas tabas recargadas que no dependiesen para nada de tamaño 0 seeccionado, y Aternativamente e incuso, nos atreveríamos a decir que además, en ausencia de poder reaizar este proceso sería deseabe que as compañías considerasen e número stock rea de asegurados a cada edad para desarroar sus propias tabas recargadas. 5. Agradecimientos Este trabajo ha sido parciamente financiado a través de proyecto de investigación CTIDIB/2002/286 de a Generaitat Vaenciana. Referencias Benjamin B., Poard J.K. (1980): The anaysis of Mortaityand other Actuaria Statistics. Heinemann. Forfar, D.O, MacCutcheon, J.J. y WikieA.D. (1988): On Graduation by Mathematuca Formua. JIA, 115, Maeder, P (1997): La experiencia suiza. Tabas GR95. UNESPA. Jornadas técnicas sobre tabas de mortaidad. E probema de a dinámica de a supervivencia. Navarro E (1991): Tabas de Mortaidad de a Pobación Españoa Metodoogía y fuentes. Mapfre. Prieto E., Fernandez M.J. (1994): Tabas de Mortaidad de a Pobación Españoa de 1950 a Taba Proyectada de año Tabas con y sin margen de seguridad. UNESPA. 8