Anexo a las guías 1 y 2 Notación y convenciones para tensores

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1 Anexo a as guías 1 y 2 Notación y convenciones para tensores Sergio Dain 25 de mayo de Notación abstracta E espacio vectoria o denotamos por V, sus eementos son amados vectores. Para denotar un vector usaremos en genera as etras v, w,. E espacio dua V está formado por todos os funcionaes ineaes de V en os reaes R. Un eemento de dua V o denotaremos en genera por etras griegas minúscuas α, β,. Es decir que ω V es un mapa inea Dado v V y ω V denotamos con ω : V R, (1 ω(v (2 e número rea que da e mapa ω apicado a vector v. Esta convención de diferenciar con distintos tipos de etras os vectores y covectores es sóo una guía, pero no es necesario seguira estrictamente, dado que no se puede generaizar a tensores de rango más ato. En rigor, una de as desventajas de a notación abstracta (es decir, sin hacer referencias a as componentes es que no permite distinguir entre un vector y un covector a menos que o digamos expícitamente. Siempre identificaremos e dobe dua V con V, por o tanto usamos como notación que v(ω = ω(v (3 Esta ecuación debe ser interpretada como una definición de ado izquierdo. 1

2 Un tensor de tipo ( k es un mapa mutiinea que toma k eementos de dua V y eementos de espacio vectoria V y nos da un número rea. Es decir, si T es un tensor de tipo ( k entonces T : V V V V R. (4 k De manera anáoga a (2 y (3, e número rea que resuta de apicar e tensor T a k covectores α, β, y vectores v, w o denotamos como sigue T (α,, β ; v,, w. (5 k covectores vectores Como convención ordenamos todas as entradas covectoriaes a a izquierda y as vectoriaes a a derecha. Esto es sóo una convención, o único reevante es, por supuesto, saber cuantas entradas covectoriaes y cuántas vectoriaes tiene un tensor. 2. Componentes Una base para e espacio vectoria V, de dimensión n, a denotamos como e i en donde i es un índice que va de 1 a n. Es decir, e i es un conjunto de n vectores. Las componentes de un vector v as denotamos como v i. Esta convención sí es estricta, siempre denotaremos as componentes vectoriaes con índices arriba. E vector v se escribe en componentes como v = n v i e i = v 1 e v n e n. (6 i=1 Notar que esta notación es consistente: as componentes v i son números reaes, os e i son vectores y por o tanto v i e i es un vector. Estamos escribiendo a vector v como a suma de vectores. Para simpificar a notación, suprimiremos e símboo de suma en (6, es decir que v = v i e i. (7 Esta es una convención importante (de a que nunca nos apartaremos y que tiene varios aspectos. E primero, que es e que acabamos de mencionar, es a siguiente: para un índice que aparezca arriba y que tenga e mismo nombre que otro que aparezca abajo se entiende que hay una suma de 1 a n. 2

3 La base covectoria a denotaremos con θ i y as componentes de covector ω as denotamos con ω i, siempre as componentes covectoriaes tendrán os índices abajo. De manera anáoga a caso de vectores tenemos ω = ω i θ i. (8 Dados dos vectores v y w definimos e productor tensoria v w como e tensor de tipo ( 2 0 definido como v w(α, β = v(αw(β, (9 donde α, β V. Notar que en e ado derecho de a ecuación (9 tenemos e producto de dos números reaes. Es trivia ver que esa definición cumpe con os requisitos de ser un mapa mutiinea de V V en os reaes. De manera anáoga podemos definir productos tensoriaes entre cuaquier número de vectores y covectores. En particuar, entre os vectores de a base e i y de os covectores de a cobase θ i. Por ejempo e siguiente productor tensoria e i e j θ m θ s, (10 k define un tensor de tipo ( k. Esos tensores forman una base para e espacio de todos os tensores de tipo ( k. Dado un tensor T de tipo ( k, denotamos a sus componentes en esa base como T i j m s, es decir que T = T i j m s e i e j θ m θ s. (11 Es importante recordar que os T i j m s son números reaes. Podríamos denotar as componentes como Tm s, i j pero preferimos hacero dejando os índices vectoriaes a a izquierda y os covectoriaes a a derecha porque cuando estudiemos geometría vamos a subir y bajar índices y será úti mantener esta notación. Veamos ejempos de como se reacionan as notaciones abstractas y de componentes. Para fijar ideas, consideremos un vector v, un covector ω, un tensor g de tipo ( ( 0 2, un tensor T de tipo 20 ( y un tensor F de tipo 11. En componentes tenemos v = v i e i, ω = ω i θ i, g = g ij θ i θ j, (12 y T = T ij e i e j, F = F i je i θ j. (13 3

4 Veamos agunos ejempos de acciones de estos mapas sobre vectores y covectores. Comencemos con e caso más simpe, apicar e covector ω a vector v De manera anáoga, es simpe verificar que ω(v = ω(v i e i (14 = v i ω(e i (15 = v i ω j θ j (e i (16 = v i ω j δ j i (17 = v i ω i. (18 g(v, v = g ij v i v j, T (ω, ω = T ij ω i ω j, F (ω, v = F i jω i v j. (19 Un poco más suti es e caso en donde no enamos todas as entradas de tensor, por ejempo g(, v = g ij θ i θ j (v, (20 = g ij θ i θ j (v k e k, (21 = g ij θ i v k θ j (e k, (22 = g ij v j θ i. (23 Notar que en esta ecuación v i son números reaes y θ i son covectores. (24 3. Notación de índices abstractos Una desventaja importante de a notación abstracta es que no distingue entre distintos tipos tensoriaes. Sin embargo, as componentes de un tensor sí distinguen entre os tipos tensoriaes. En e ejempo anterior, si digo que tengo as componentes g ij entonces sé que corresponden a un tensor g de tipo ( 02, E inconvenientes es que esas componentes dependen de a base eegida. Pero si asumimos que esa base es arbitraria, podemos denotar directamente a tensor g por as componentes g ij. A esta notación se a denomina de índices abstractos porque se trabaja siempre en una base arbitraria. Esenciamente 4

5 esta notación es simiar que a de componentes pero se suprimen os eementos de as bases. Por ejempo, g(, v se denota así g ij v j, (25 e producto tensoria v w de dos vectores estudiado en (9 se denota como v i w j (26 y a apicación de un covector ω a un vector v se denota como (es decir ω(v ω j v j. (27 E producto tensoria entre un vector v y un covector ω (es decir v ω se denota como ω j v j. (28 Notar a diferencia entre as expresiones (27 y (28. En (28 no hay índices ibres, es un escaar. En cambio en (27 hay dos índices ibres, es un tensor ( 11. 5