ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Transcripción

1 Prof. Maurizio Mattesini ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Capítulo 8 Inducción agnética Copyright 004 by W. H. Freean & Copany

2 Deostración de una fe inducida. Cuando un ián se aleja de la bobina se induce en ésta una fe, coo indica la desviación del galvanóetro. No se observa ninguna desviación con el ián en reposo. Qué origina la corriente cuando se ueve el ián? En 830 Michael Faraday (UK) y Joseph Henry (USA) descubrieron independienteente que la variación teporal del flujo agnético debida a un capo agnético variable que atraviesa la superficie de un espira conductora, induce en ésta una corriente. Las fes y las corrientes causadas por los flujos agnéticos variables se denoinan fes inducidas y corrientes inducidas. A veces, al extraer la clavija del enchufe de un circuito eléctrico observaos la producción de una pequeña chispa. Antes de la desconexión, el cordón eléctrico transporta una corriente, que coo sabeos genera un capo agnético alrededor de la corriente. Al desconectar, la corriente cesa bruscaente y el capo agnético que le rodea se colapsa. El capo agnético variable produce una fe que tiende a antener la corriente original generando así un chispa a través del enchufe. Una vez que el capo agnético se ha anulado y, por lo tanto, deja de ser variable, la fe inducida es cero. Una fe producida cuando un conductor (espira en oviiento) se ueve en una región en la que existe un capo agnético se denoina fe de oviiento. Una bobina que gira en un capo agnético es un eleento básico de un generador que convierte energía ecánica en energía eléctrica.

3 8- Flujo agnético 3

4 Flujo agnético El flujo de un capo agnético a través de una superficie se calcula de odo análogo al flujo de un capo eléctrico (sección.). Sea da un eleento de área sobre la superficie y n el vector unitario perpendicular al eleento. Hay dos direcciones norales y podeos elegir de fora arbitraria cuál de ellas consideraos que debe ser la dirección del vector unitario n. Sin ebargo, el signo del flujo no depende de dicha dirección. El flujo agnético se define por la expresión φ B nˆ da S S B n da FLUJO MAGNÉTICO La unidad del flujo agnético es la del capo agnético ultiplicada por la unidad del área, el tesla-etro cuadrado, y se denoina weber (Wb): Wb T Coo el capo B es al núero de líneas del capo agnético por unidad de área, el flujo gnético es al núero de líneas que atraviesan el área. Si el capo B fora un ángulo con la noral al área de un bucle, el flujo a través el iso es B n ABA cos B n A. Con frecuencias tratareos el flujo a través de una superficie rodeada por una bobina que contine varias vueltas de alabre φ NBA cos en donde A es el área de la superficie plana encerrada por una sola vuelta. 4 θ

5 El flujo a través de la superficie S encerrada por la bobina con N vueltas es proporcional a las líneas de capo que penetran en la superficie: La bobina de la figura contiene 4 vueltas. Las dos líneas de capo dibujadas penetran la superficie 4 veces, una vez por cada vuelta, de tal fora que el flujo a través de la superficie S es cuatro veces ayor que la que penetra por cada vuelta de la bobina. El área A de la superficie plana es (casi) la encerrada por una vuelta de la bobina. 5

6 Flujo a través de un solenoide EJEMPLO 8. Deterinar el flujo agnético a través de un solenoide de 40 c de longitud,.5 c de radio y 600 vueltas, cuando transporta una corriente de 7.5 A. Planteaiento del problea: El capo B dentro del solenoide es constante y paralelo al eje del solenoide. Por lo tanto, es perpendicular al plano de las espiras. Necesitaos deterinar B dentro del solenoide y luego ultiplicar B por NA.. El flujo agnético es el producto del núero de vueltas,el φ NBA cosθ NBA cos0 NBA. El capo agnético dentro del solenoide viene dado por B µ ni, en donde n N / l es le núero de vueltas por unidad de longitud : N µ on IA φ Nµ onia Nµ o IA l l 3. Expresar el área de las espiras en función de su radio: A πr 4.Sustituir los valores deterinados para calcular el flujo: φ 7 ( 4π 0 T / A)( 600 vueltas) ( 7.5 A) π ( 0.05 ) 0.40 capo agnético y el área de las espiras : o.66 0 Wb back 6

7 8- Fe inducida y ley de Faraday 7

8 Ley de Faraday Los experientos de Faraday y Henry deostraron que si el flujo agnético a través de un área rodeada por un circuito varía por cualquier edio, se induce una fe que es igual en ódulo a la variación por unidad de tiepo del flujo que atraviesa el circuito. Es decir: dφ LEY DE FARADAY ξ Este resultado es conocido coo la ley de Faraday. El signo negativo en esta ley concierne al sentido de la fe inducida que analizareos en las próxias secciones. Consideraos una sola espira de un conductor fija en un capo agnético, coo se indica en la figura. Cuando el flujo agnético que atraviesa la espira de alabre es variable, se induce en la isa una fe. La fe se distribuye a través de toda la espira y equivale a un capo eléctrico no conservativo E nc tangente al alabre. Coo esta fe es el trabajo realizado por unidad de carga, deben existir fuerzas ejercidas sobre las cargas óviles que realicen trabajo sobre ellas. Las fuerzas agnéticas no pueden realizar trabajo y por lo tanto no podeos atribuir la fe al trabajo por dichas fuerzas. Son las fuerzas eléctricas asociadas con un capo eléctrico no conservativo E nc las que realizan trabajo sobre las cargas óviles. El flujo agnético a través de una superficie encerrada por un circuito puede variarse de uchas aneras: i) podeos auentar o disinuir la corriente que produce el capo ii) se pueden over unos ianes peranentes alejándolos o acerándolos a la superficie iii) se puede hacer girar el propio circuito en un capo agnético fijo iv) se puede auentar o disinuir el área del circuito en el interior de un capo agnético. 8 La fe se detecta usualente observando una corriente en el circuito, pero aparece incluso aunque el circuito sea incopleto (abierto), de odo que no existe corriente.

9 La integral de línea de este capo eléctrico alrededor de un circuito copleto es igual al trabajo realizado por unidad de carga, el cual es la fe del circuito. Los capos eléctricos que heos estudiado previaente eran el resultado de cargas eléctricas estáticas. Estos capos son conservativos, lo cual significa que su circulación alrededor de una curva cerrada C es cero. Sin ebargo, el capo eléctrico resultante de un flujo agnético variable no es conservativo. La circulación alrededor de C es una fe inducida igual a la variación con el tiepo del flujo agnético a través de cualquier superficie S encerrada por C cabiada de signo: d dφ ξ E dl da C B ˆn S FEM INDUCIDA EN UN CIRCUITO ESTACIONARIO EN UN CAMPO MAGNÉTICO VARIABLE Una convención de signos nos perite utilizar la ecuación anterior para deterinar el sentido del capo E y la fe inducida. Según esta convención, la dirección tangencial positiva a lo largo de la curva C se relaciona con la dirección y el sentido del vector unitario n ediante la regla de la ano derecha. Si d / es positivo, de acuerdo con la ley de Faraday, tanto E nc coo tienen dirección tangencial negativa. El sentido de E nc y quedan deterinados por la ley de Lenz que se estudia en la siguente sección. Colocando el pulgar de la ano derecha en la dirección y el sentido del vector unitario n de la superficie S, los dedos de la ano derecha se curvan indicando la dirección tangencial positiva en C. I ξ R CORRIENTE INDUCIDA 9

10 Dirección de la fe inducida Podeos encontrar la dirección de la fe o de la corriente inducidas utilizando algunas sencillas reglas de signos:. Definir una dirección positiva para el área vectorial A.. A partir de las direcciones de A y de B, deterinar el signo del flujo agnético φ y de su razón de cabio dφ /. 3. Deterinar el signo de la fe o de la corriente inducidas. Si el flujo está auentando, de odo que dφ / es positiva, entonces la fe o la corriente inducidas son negativas; si el flujo está disinuyendo, dφ / es negativa y la fe o la corriente inducidas son positivas. d dφ ξ E dl da C B ˆn S LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY 4. Finalente, deterinar la dirección de la fe o de la corriente inducidas utilizando la ano derecha. Doblar los dedos alrededor del vector A con el pulgar en la dirección de A. Si la fe o la corriente inducidas en el circuito son positivas, su dirección será la isa que la de los doblados; si la fe o la corriente son negativas, la dirección será la opuesta. 0

11 Fe inducida en un bobina circular I EJEMPLO 8. Un capo agnético unifore fora un ángulo de 30 con el eje de una bobina circular de 300 vueltas y un radio de 4 c. El capo varía a razón de 85 T/s, peraneciendo fija su dirección. Deterinar, el ódulo de la fe inducida en la bobina. Planteaiento del problea: La fe inducidas es igual a N veces la variación del flujo a través de cada vuelta por unidad de tiepo. Coo B es unifore, el flujo a través de cada vuelta es sipleente BA cos, en donde Aπr es el área de una espira.. El dφ ξ. Para un capo unifore, el flujo es : ódulo de la fe viene dada por la ley de Faraday : φ NB nˆ A NBA cosθ 3.Sustituir φ dφ ξ ξ por esta expresión y calcular ξ : d ( NBA cosθ ) Nπr db cosθ! ( 300) π ( 0.04 ) cos 30 ( 85 T / s) V ξ V

12 8-3 Ley de Lenz

13 Ley de Lenz El signo negativo de la ley de Faraday está relacionado con la dirección de la fe inducida. La dirección y sentido de la fe y de la corriente inducida pueden deterinarse ediante un principio general físico llaado ley de Lenz: La fe y la corriente inducidas poseen una dirección y sentido tal que tienden a oponerse a la variación que las produce. LEY DE LENZ Este enunciado no especifica el tipo de variación que causa la fe y la corriente inducidas, lo cual intencionadaente queda sin concretar para cubrir una diversidad de condiciones. Algunos ejeplos aclararán este punto: El oviiento del ián hacia la derecha induce una fe y una corriente en la espira. La ley de Lenz establece que esta fe y la correspondiente corriente inducida deberá tener una dirección tal que se oponga al oviiento del ián. Es decir, la corriente inducida en la espira produce un capo agnético el cual ejerce una fuerza dirigida hacia la izquierda cuando el ián se aproxia por la derecha. El oento agnético de la espira µ (se representa e la figura coo si fuera un ián) debido a la corriente inducida es tal que se opone al oviiento de la barrita de ián real. Este ián se ueve hacia la espira y por lo tanto el oento agnético inducido repele la barrita ianada. 3

14 Forulación alternativa de Ley de Lenz Supongaos que la corriente en al espira de la figura fuera opuesta a la dirección ostrada. Entonces habría una fuerza agnética cuando el ián se aproxiase hacia la derecha que causaría una aceleración. Si esto fuera así, aplicando una pequeña fuerza a un ián en dirección a una espira conductora, aquél se overía hacia ésta con velocidad creciente sin ninguna aportación energética por nuestra parte, lo cual violaría el principio de conservación de la energía. Sin ebargo, la realidad es que la energía se conserva y la ley de Lenz es consistente con esta realidad. Se puede enunciar la ley de Lenz de fora alternativa en térinos del flujo agnético de la siguiente fora: Cuando se produce una variación del flujo agnético que atraviesa una superficie, el capo agnético debido a la corriente inducida genera una flujo agnético sobre la isa superficie que se opone a dicha variación. FORMULACIÓN ALTERNATIVA DE LA LEY DE LENZ 4

15 Ley de Lenz y corriente inducida EJEMPLO 8.5 Usando la fora alternativa de la ley de Lenz, deterinar el sentido de la corriente inducida en la espira ostrada en la figura. Planteaiento del problea: Utilizar la regla de la ano derecha para deterinar el sentido de esta corriente inducida.. Dibujar un esquea de la espira y la superficie plana S encerrada por ésta tal coo indica la figura. En la superficie S dibujar el vector ΔB, que representa el cabio de capo agnético B cuando se aproxia el ián. 5

16 . Dibujar un esquea del capo B que representa el capo agnético generado por la corriente inducida en la espira. Utilizar la fora alternativa de la ley de Lenz para deterinar el sentido de B. 3. Teniendo en cuenta la regla de la ano derecha y el sentido de B deterinar el sentido de la corriente inducida en la espira tal coo se indica en la figura. 6

17 Ejeplos de la ley de Lenz ) Una espira se aleja de la barra agnética estacionaria: En la figura el ián está en reposo y la espira se ueve alejándose de él. En la figura se indican tabién la corriente inducida y el oento agnético. En este caso el ián atrae a la espira, según exige la ley de Lenz, oponiéndose al oviiento de ésta. ) Dos circuitos adyacentes: B B I I I Cuando se cierra el interruptor S, la corriente del circuito no alcanza su valor estacionario /R instantáneaente, sino que tarda un tiepo breve para variar desde cero a este valor final. Durante este tiepo, ientras la corriente está auentando, el flujo del circuito está variando y existe una corriente inducida en dicho circuito en el sentido indicado. Cuando la corriente del circuito alcance su valor estacionario, este flujo dejará de ser variable y no existerá ninguna corriente inducida en el circuito. Cuando se abre el interruptor del circuito y al corriente disinuya hasta cero, aparecerá oentaneente en el circuito una corriente inducida en sentido opuesto. Es iportante tener uy bien en cuenta que existe 7 una fe inducida sólo ientras el flujo está variando.

18 3) Consideraos el circuito aislado sencillo de la figura: Cuando existe una corriente en el circuito, existe un flujo agnético a través de la bobina debido a su propia corriente. Cuando la corriente varía, el flujo de la bobina tabién varía y existe una fe inducida en el circuito. Esta fe autoinducida se opone a la variación de la corriente y se denoina fuerza contra fe. I Debido a esta fe autoinducida, la corriente de un circuito no puede saltar instantáneaente desde cero hasta un valor finito o desde cierto valor deterinado hasta cero. B Joseph Henry observó la presencia de una chispa que saltaba en el interruptor cuando intentaba abrir el circuito. Esta chispa se debe a la gran fe inducida que se presenta cuando la corriente varía rápidaente. En este caso al fe inducida intenta antener la corriente original. La gran fe inducida produce una gran diferencia de potencial a través del interruptor cuando éste se abre. El capo eléctrico entre los bornes del interruptor es suficienteente grande para provocar la ruptura dieléctrica del aire. Cuando se da la ruptura dieléctrica, el aire conduce la corriente eléctrica en fora de chispa. 8

19 Ley de Lenz y una bobina en oviiento EJEMPLO 8.6 Una bobina rectangular de N vueltas de anchura a y longitud b, cada una, donde N80, a0 c y b30 c, está situada en un capo agnético B0.8 T dirigido hacia dentro de la página. Coo indica la figura, sólo la itad de la bobina se encuentra en la región del capo agnético. La resistencia R de la bobina es de 30 Ω. Deterinar el ódulo, dirección y sentido de la corriente inducida al desplazarse la bobina con una velocidad de /s (a) hacia la derecha, (b) hacia arriba y (c) hacia abajo. Planteaiento del problea: La corriente inducida es igual a la fe inducida dividida por la resistencia. La fe inducida en el circuito cuando se ueve la bobina puede calcularse a partir de la variación teporal del flujo a través de ésta. El flujo es proporcional a la distancia x. El sentido de la corriente se deterina a partir de la ley de Lenz. 9

20 ( a). La corriente inducida es igual a la fe dividida ξ I R. El ódulo de la fe inducida viene dada por la ley de Faraday : dφ ξ 3. El flujo a Eligios la dirección del vector unitario la pagína. El flujo a través de la superficie S φ NB nˆa NBax 4. Cuando la bobina se ueve hacia la derecha (hasta que la bobina salede la región del capo agnético). La corriente es, por lotanto, cero : dφ ξ 0, así teneos que I 0 ( b). Calcular la derivada del flujo respecto al tiepo cuando la bobina se ueve hacia arriba. dx En este caso x auenta, de odo que es positiva : dφ d( NBax) dx NBa. Calcular el ódulo de la corriente : de S según x auenta. unitario nˆ es ser antihoraria : través de la bobina es ( dx / ) ( 80)( 0.8T )( 0.0 )( / s) ξ NBa I R R 30 Ω 3. Cuando la bobina se ueve hacia arriba, La corriente inducida debe producir un capo agnético cuyo flujo a tiende a copensar el auento de flujo del capo externo que se produce negativo. Tal capo agnético en Para producir un capo agnético en este sentido, la corriente inducida deberá I A en sentidoantihorario. N veces el que atraviesa cada vuelta de ésta. nˆ coo la dirección hacia adentro de de cada vuelta es el flujo por la resistencia : (ohacia laizquierda), el flujono cabia A B a través de S Bax : Esto iplica que el producto escalar con el vector S es creciente. través ( c) sedirige hacia fuera de la pagína. Cuando la bobina se ueve hacia abajo, el flujo La corriente inducida debe producir un capo agnético cuyo flujo a de S tiendea copensar la disinución de flujo del capo externo que se produce según x decrece. Esto iplica que el producto escalar con el vector unitario nˆ es positivo. Tal capo agnético en S se dirige hacia dentro de la pagína. Para producir un capo agnético en este sentido, la corriente inducida deberá ser horaria : I A en sentidohorario. B a través de S es decreciente. 0 través

21 Corrientes parásitas Los detectores de etales que se utilizan en los puntos de revisión de seguridad de los aeropuertos funcionan detectando corrientes parásitas inducidas en objetos etálicos. Se utilizan dispositivos análogos para hallar tesoros enterrados, tales coo tapas de botellas y onedas perdidas. (a) Disco etálico en rotación a través de un capo agnético perpendicular B. (b) Corrientes parasitas foradas por la fe inducida. El sector Ob se desplaza a través del capo y tiene una fe inducida. Los sectores Oa y Oc no están en el capo, pero ofrecen cainos conductores de regreso para que las cargas desplazadas a lo largo de Ob retornen de b a O. El resultado es un circulación de corrientes parásitas en el disco. Esta corriente debe experientar una fuerza agnética (FILxB) que se opone a la rotación del disco. Por lo tanto, esta fuerza debe ser hacia la derecha. La interacción entre las corrientes parásitas y el capo genera una acción de frenado sobre el disco. Estos efectos sirven para detener rápidaente la rotación de una sierra circular cuando se corta el suinistro de energía. Tabién, el frenado por corrientes parásitas se eplea en ciertos vehículos eléctricos.

22 Pastillas (pickup/soapbar) de una guitarra eléctrica. Las pastillas están foradas por un ián peranente rodeadas por un bobinado de alabre de cobre.. Cuando un cuerpo ferroagnético (una cuerda) se ueve dentro del capo agnético del ián peranente provoca una corriente inducida en el bobinado proporcional a la aplitud del oviiento y de frecuencia igual a la oscilación del cuerpo. Esta corriente es uy débil por lo que el cableado del interior de la guitarra así coo el cableado hasta la aplificación debe estar uy bien apantallado para evitar ruidos parásitos. 3. Esta corriente inducida es luego aplificada Las pastillas electroagnéticas se encuentran en diversas foras, pero principalente dos: las single coil con un solo núcleo agnético y las hubucker con dos núcleos agnéticos y doble bobinado para eliinar ruidos.

23 Pastillas (pickup/soapbar) de una guitarra eléctrica Las pastillas pueden ser de dos tipos: single coil y hubucker: Las pastillas de bobinado siple (single coil) tienden a producir ayor sonido de retorno y están asociadas a las Fender Stratocaster. Blues Before Sunrise Eric Clapton Las pastillas hubucker usa dos bobinas, esto hace que por una parte increenten la salida y por otra, al tener polaridad inversa las bobinas, que el ruido y las interferencias se reducen. Asociadas a las guitarras Gibson Les Paul. Puff Daddy feat Jiy Page - Coe with e Led Zeppelin 3

24 PROBLEMA 7 Una bobina circular tiene 5 vueltas y un radio de 5 c. Se encuentra en el ecuador, donde el capo agnético terrestre es 0.7 G norte. Deterinar el flujo agnético a través de la bobina cuando (a) su plano es horizontal, (b) su plano es vertical y su eje apunta al norte, (c) su plano es vertical y su eje apunta al este, y (d) su plano es vertical y su eje fora un ángulo de 30 º con el norte. φ NBA cosθ φ NBπr T cosθ G 4 π 0 G ( a) Cuando el plano es horizontal φ -5 (.37 0 Wb) -5 (.37 0 Wb) -5 (.37 0 Wb)! ( θ 90 ) ( b) Cuando el plano es vertical y su eje apunta al norte φ ( c) Cuando el plano es vertical y su eje apunta al este φ -5! -5 (.37 0 Wb) cos Wb -5 ( 5 0 ) cosθ (.37 0 Wb) Wb! ( θ 0 )! ( θ 90 ) ( d) Cuando el plano es vertical y su eje fora un ángulo de 30 φ cos90 cos0! cos90! ! 0-5 : : :! con el norte cosθ! ( θ 30 ) : 4

25 5 PROBLEMA 0 Deterinar el flujo agnético a través de un solenoide de longitud 5 c, radio c y 400 vueltas, que transporta una corriente de intensidad A. ( ) ( ) ( )( ) ( ) Wb A A T r I N r I N N r A I N ni B NBA o o o o / cos cos 4 7 π π φ π µ θ π µ φ π µ µ θ φ l l l

26 PROBLEMA 8 El flujo que atraviesa una espira viene dado por φ (t -4t)x0 - Wb, donde t se da en segundos. (a) Hallar la fe inducida en función del tiepo. (b) Hallar φ y para t0 s, t s, t4 s y t6 s. ( a) Utilizar la ley de Faraday para calcular ξ en función del tiepo : φ (0 s) ξ(0 s) φ ( s) ξ( s) φ (4 s) ξ(4 s) φ (6 s) ξ(6 s) [( t 4t) 0 Wb] ( t 4) 0 Wb / s ( 0.t 0.4) dφ d ξ ( b) Hallar φ para t 0 s, t s, t 4 s y t 6 s : [( 0) 4( 0) 0 Wb] 0 [ 0.( 0) 0.4] V 0.400V [( ) 4( ) 0 Wb] [ 0.( ) 0.4] V 0V [( 4) 4( 4) 0 Wb] 0 [ 0.( 4) 0.4] V 0.400V [( 6) 4( 6) 0 Wb] [ 0.( 6) 0.4] V 0.800V Wb 0.400Wb Wb.00Wb V 6

27 8-4 Fe de oviiento 7

28 Fe de oviiento La fe inducida en un conductor que se ueve a través de un capo agnético se denoina fe de oviiento: Fe de oviiento es toda fe inducida por el oviiento de un conductor en un capo agnético. DEFINICIÓN- FEM DE MOVIMIENTO La figura uestra una varilla conductora que se desliza a lo largo de dos conductores que están unidos a una resistencia. Existe un capo agnético B unifore dirigido hacia el papel. Cuando la barra se ueve hacia la derecha, el área de la superficie S crece y el flujo agnético entrante al papel que atraviesa se increenta. En el circuito se induce una fe de agnitud Blv, produciéndose una corriente en sentido contrario al de las agujas del reloj, la cual genera un flujo saliente del papel que se opone al cabio del flujo debido al oviiento del la varilla. ECUACIÓN GENERAL PARA LA FEM EN MOVIMIENTO dφ ξ ( v B) dl C El flujo agnético es: φ B nˆ A B A Blx Cuando x auenta una distancia dx, el área S incluida en el circuito cabia en daldx y el flujo se odifica en dφ Bl dx. La variación de flujo por unidad de tiepo es: dφ dx B l B l v en donde vdx/ es la velocidad de la barra. Por lo tanto, la fe inducida en este circuito es : FEM PARA UNA VARILLA QUE SE MUEVE PERPENDICULARMENTE A ELLA MISMA Y A B n dφ ξ B l v 8

29 8-6 Inductancia 9

30 Autoinducción El flujo agnético que atraviesa un circuito puede relacionarse con la corriente en el iso y con las corrientes que circulan por circuitos próxios. Consideraos una bobina por la que circula una corriente I: La corriente produce un capo agnético B que varía de un punto a otro, pero en todos los puntos B I. El flujo agnético a través de la bobina, por lo tanto, es tabién proporcional a I: φ LI DEFINICIÓN-AUTOINDUCCIÓN en donde L es una constante llaada autoinducción de la bobina que depende de la fora geoétrica de la isa. La autoinducción de un solenoide enrollado apretadaente puede calcularse directaente usando al ecuación L /I. El capo B en un solenoide de longitud l y N vueltas que transporta una corriente I fue calculado en el ejeplo 8.: µ on IA φ µ on l IAl en donde nn/l es el núero de vueltas por unidad de longitud. La autoinducción, por lo tanto, se obtiene dividendo por la intensidad de corriente I: φ L µ on I AUTOINDUCCIÓN DE UN SOLENOIDE Al La unidad del SI de inductancia es el henrio (H) que es igual a la unidad del flujo (el Weber) dividido por la intensidad de corriente (el Aperio): H Wb A T A Coo es lógico, la autoinducción es n (al cuadrado del núero de vueltas por unidad de longitud) y al voluen (Al). Así pues, la autoinducción depende sólo de factores geoétricos. De acuerdo con las diensiones de esta ecuación, µ o puede expresarse en henrio por etro: 7 µ o 4π 0 H / En principio, la autoinducción de cualquier bobina o circuito puede calcularse suponiendo la existencia de una corriente I, deterinando B en cada punto de una superficie encerrada por la bobina, calculando el flujo φ y usando la ecuación Lφ I. En la práctica, el cálculo es uy difícil. Sin ebargo, la autoinducción de un solenoide enrollado apretaente puede calcularse directaente. 30

31 Cuando la intensidad de corriente de un circuito varía, el flujo debido a la corriente tabién se odifica y, por lo tanto, en el circuito se induce una fe. Coo la autoinducción del circuito es constante, la variación del flujo está relacionada con la variación de intensidad por ( LI ) dφ d di De acuerdo con la ley de Faraday, resulta dφ ξ L L di La diferencia de potencial entre los extreos de un inductor viene dada por: ΔV ξ Ir L di Ir DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE LOS EXTREMOS DE UN INDUCTOR donde r es la resistencia interna del inductor. Si el inductor tiene un núcleo de hierro, la resistencia interna incluye las propiedades de este núcleo. Par un inductor ideal r0. Así, pues, la fe autoinducida es proporcional a la variación con el tiepo de la intensidad de corriente. Una bobina o solenoide con uchas vueltas posee una gran autoinducción y se denoina inductor. En los circuitos se representa con el síbolo L 3

32 Autoinducción de un solenoide EJEMPLO 8. Deterinar la autoinducción de un solenoide de longitud 0 c, área 5 c, y 00 vueltas. Planteaiento del problea: Podeos calcular la autoinducción en henrios ediante la ecuación:. L viene expresada por la ecuación : L µ n Al l 0 c 0. A 5 c n o. Convertir las agnitudes conocidas en unidades del SI : µ 4π 0 0 N l ( 00 vueltas) ( 0.) H / 3.Sustituir estos valores en L : L µ n Al o vueltas / φ L µ on I ( 4π 0 H / )( 0 vueltas / )( 5 0 )( 0.) H Al 3

33 Inductancia utua Cuando dos o ás circuitos están próxios uno al otro, el flujo agnético que atraviesa uno de ellos depende no sólo de la corriente en este circuito, sino tabién de la corriente que circula por los circuitos próxios. Sea I la corriente en ele circuito de la izquierda e I la del circuito de la derecha. El capo agnético B en al superficie S es superposición de B debido a I y B debido a I, siendo B proporcional a I y B proporcional a I. Por lo tanto podeos expresar el flujo de B que atraviesa el circuito,, coo: φ M,,I DEFINICIÓN-INDUCTANCIA MUTUA Dos circuitos adyacentes. El capo agnético en S se debe parcialente a la corriente I y parcialente a I. El flujo a través de cualquiera de los circuitos es la sua de dos térinos, uno proporcional a I y el otro a I. en donde M, es la inductancia utua de los dos circuitos que depende de la disposición geoétrica entre abos. En particular, si los circuitos están bastante separados, el flujo B a través del circuito será pequeño y la inductancia utua tabién lo será. El flujo neto de BB +B que atraviesa el circuito es, +,. 33

34 Inductancia utua de dos solenoides concéntricos Sea l la longitud coún de abos solenoides y supongaos que el solenoide interior tiene N vueltas y radio r y que el solenoide exterior tiene N vueltas y radio r. Calculareos la inductancia utua M, suponiendo que el solenoide interior transporta una corriente I y deterinando el flujo agnético debido a esta corriente a través del solenoide exterior. r El capo B debido al solenoide interno es constante en su espacio interior: B ( N / ) I oni, r r µ l µ o < Fuera del solenoide interno, el capo B es despreciable. El flujo de B que atraviesa el solenoide externo es, por lo tanto φ ( πr ) nl B ( πr ) µ onnl( πr ) NB I Obsérvese que el área utilizada para calcular el flujo que atraviesa el solenoide exterior no es el área de dicho solenoide (πr ), sino el área del solenoide interior (πr ), ya que el capo agnético debido al solenoide interior es cero fuera del iso. La inductancia utua es, por lo tanto, M φ,, µ onnlπr I Obsérvese que M, M,. Puede deostrarse que éste es un resultando general. Por ello, prescindios de los subíndices de la inductancia utua y escribireos sipleente M. 34

35 Carrete de Tesla. Este dispositivo funciona coo un transforador (Capítulo 9). La corriente alterna de bajo voltaje del arrollaiento exterior se transfora en una corriente alterna de ayor voltaje en el arrollaiento interior. La fe alterna inducida en la bobina interior por la corriente variable de la bobina exterior es suficienteente grande para encender la bobilla situada encia de las bobinas. 35

36 8-7 Energía agnética 36

37 Energía agnética Un inductor alacena energía agnética, del iso odo que un condensador alacena energía eléctrica. Considereos un circuito forado por una inductancia L y una resistencia R en serie con una batería de fe o y un interruptor S coo se uestra en al figura. Aplicando la ley de las allas de Kitchhoff en este circuito, resulta ξ o di IR L 0 Multiplicando abos iebros por la intensidad de corriente I se obtiene: ξo I I R + LI di El térino o I es la potencia suinistrada por la batería. El térino I R es la potencia disipada en fora de calor en la resistencia R. El térino LI di/ representa la energía que por unidad de tiepo incide en el inductor. Si U es la energía en el inductor, se verifica du LI di du LI di Integrando desde t0, cuando la corriente es nula hasta, t, cuando la corriente ha alcanzado su valor final I f, resulta: U I f du LI di 0 LI La energía alacenada en un inductor que transporta una corriente I viene dada por U LI ENERGÍA ALMACENADA EN UN INDUCTOR f 37

38 Energía agnética en un solenoide largo En el proceso de producir una corriente en un inductor, se crea un capo agnético en el espacio interior a la bobina del iso. Es decir, podeos iaginar que la energía alacenada en un inductor es energía alacenada en el capo agnético creado. En el caso especial de un solenoide largo, el capo agnético está relacionado con la corriente I y el núero de vueltas por unidad de longitud n por B µ ni I o B µ n y la autoinducción viene expresada por: L µ n o Al en donde A es el área transversal y l la longitud. Sustituyendo I y L en U resulta U LI µ on o B B Al Al µ on µ o La agnitud Al es el voluen del espacio contenido dentro del solenoide, donde se crea el capo agnético. La energía por unidad de voluen es la densidad de energía agnética u : u B µ DENSIDAD DE ENERGÍA MAGNÉTICA Aunque está ecuación se ha obtenido para el caso especial del capo agnético en un solenoide largo, el resultado es general. Es decir, siepre que exista un capo agnético en el espacio, la energía agnética por unidad de voluen viene dada por isa ecuación. Obsérvese la seejanza con la densidad de energía eléctrica en un capo eléctrico: o ue ε oe 38

39 8-8 Circuitos RL 39

40 Circuitos resistencia (R)-inductor (L) Un circuito que contiene una resistencia y un inductor se denoina circuito RL. Coo a teperatura abiente todos los circuitos contienen resistencia y autoinducción, el análisis de un circuito RL puede aplicarse en cierta extensión a todo circuito. Para el circuito de la figura la aplicación de la regla de las allas de Kirchhoff nos proporciona: ξ o di IR L 0 Inicialente, justo después de cerrar el interruptor, la corriente es nula, de odo que IR es cero y LdI/ es igual a la fe de la batería, o. Haciendo I0 en la ecuación, resulta: di I 0 ξo L Cuando la corriente crece, IR crece tabién y di/ disinuye. Obsérvese que la corriente no puede saltar súbitaente de cero a un valor finito coo lo haría si no tuviera inductancia. Cuando la inductancia L no es despreciable, di/ es finita y, por lo tanto, la corriente debe ser continua en el tiepo. En un tiepo breve, la corriente alcanza un valor positivo I, y su variación con el tiepo es: di ξ L o IR L En este oento I es todavía creciente, pero su rito de creciiento es enor que en el instante t0. El valor final de la corriente puede obtenerse haciendo di/ igual a cero: I f ξo R 40

41 La figura uestra la variación de la corriente en este circuito en función del tiepo. Esta figura es seejante a la que representa la variación de la carga en un condensador cuando éste se carga en un circuito RC. El síbolo τ representa la constante de tiepo del circuito: La ecuación ξ o IR L di 0 tiene la isa fora que la ecuación correspondiente a la carga de un condensador y puede resolverse de igual odo, es decir, separando variables e integrando. El resultado es: I ( R / L) t t ( e ) I ( e ) ξ 0 /τ f R en donde I f 0 /R es la corriente cuando t. τ L R Cuanto ayor es la autoinducción L o enor la resistencia R, ás tiepo exige el estableciiento de una fracción deterinada de la corriente final I f. 4

42 Corrientes inicial y final EJEMPLO 8.5 Deterinar las corrientes I, I e I 3 en el circuito que se uestra en la figura, (a) inediataente después de cerrar el interruptor S y (b) al cabo de un largo tiepo de cerrar S. Pasado este largo tiepo, se abre el interruptor. (c) Inediataente después de abrir el interruptor deterinar las tres corrientes y (d) deterinar la caída de potencial en los extreos de la resistencia. (e) Deterinar las tres corrientes un largo tiepo después de abrir S. Planteaiento del problea: (a) Siplificareos el cálculo teniendo en cuenta que la corriente en un inductor no puede cabiar bruscaente. Por lo tanto, la corriente en el inductor debe ser cero inediataente después de cerrar el interruptor, porque era cero antes. (b) Cuando la corriente alcanza su valor final, di/ es igual a cero y, por lo tanto, no hay caída de potencial a través del inductor. Este actúa coo un cortocircuito, es decir, coo un alabre de resistencia nula. (c) Inediataente después de abrir el interruptor, la corriente en el inductor sigue siendo la isa que antes de la apertura. (d) Un tiepo largo después de abrir el interruptor, todas las corrientes son nulas. 4

43 (a). En el instante de cerrar el circuito en I I I ξ I R I así Aplicando la regla de las allas obteneos I di 3 L + I R I R 0 I 0 ξ I R I ξ I R 0 0 ξ 50V I 5 A R 0 Ω I I 5 A 0 + I I 0 I + I así I I de las allas: + I 5 A R ξ R + R obteneos I : por lotanto por lotanto R 0 50V 5 A 0 Ω + 0 Ω 0 3. Aplicando la regla de los nudos obteneos I : S la corriente a través del inductor es cero, exactaente igual que lo era inediataente antes de que se cerrara. Aplicando la reglede los nudos podeos relacionar I e I : 3. La corriente en la alla de la izquierda seobtiene aplicándole la regla (b). Pasado un tiepo suficienteente largo, la corriente se vuelve estacionaria y el inductor actúa coo un cortocircuito de tal fora que la caída de potencial entre los extreos de la resistencia. Aplicando otra vez la regla de las allas a la alla de la izquierda, : 3 R es cero. (c) Cuando el interruptor es reabierto, La corriente I que en aquel instante I Aplicando la regla de los nudos obteneos I I 5 A 3 I I por lotanto I (d) Aplicando la ley de Oh obteneos la caída de potencial entre los extreos de R 0 5 A 5 A ( 5 A)( 0 Ω) (e) Pasado un tiepo suficienteente largo después fuera abierto, todas las corrientes deberán ser cero : I V I R I I + I 3 I 3 I en el inductor varía de fora : 3 5 A. 300V I sehace cero instantáneaente. continua, de tal fora : de que el interruptor Observaciones: Puede sorprendernos que la caída de potencial a través de R en el apartado (d) sea superior a la fe de la batería? Esta caída de potencial es igual a la fe del inductor. 43