TEMA 1. Introducción al análisis empírico de variables económicas.

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1 TEMA 1. Introducción al análisis empírico de variables económicas. Profesor: Pedro Albarrán Pérez Universidad de Alicante. Curso 2010/2011.

2 Contenido 1 Datos Económicos Introducción Tipos de Datos. Tratamiento de la Información 2 Análisis Básico de los Datos Métodos grácos. Estadísticos descriptivos. 3 Relación entre Variables Correlación Correlación y Causalidad 4 Modelo de Regresión Lineal Modelo de Regresión Lineal con Regresores Aleatorios Estimador de MCO Efectos Marginales Modelo con Regresores Binarios

3 Introducción La importancia de saber analizar datos En el mundo laboral, muchos profesionales de la economía, la empresa y las nanzas deben trabajar con datos: para contrastar explicaciones teóricas sobre el comportamiento de la economía o sobre el comportamiento de activos nancieros para anticipar los efectos de cambios en las políticas públicas (tipo de interés, prestaciones por desempleo) o en la gestión de la empresa (exportar a nuevos mercados, inversiones) para predecir la evolución de la producción, los mercados nancieros, los tipos de cambio, los precios de los bienes para la analizar el estado y desempeño de una empresa En este curso, estudiaremos las herramientas que se utilizan en la práctica motivando los conceptos generales con ejemplos particulares y desarrollando las habilidades informáticas necesarias.

4 Tipos de Datos. Tratamiento de la Información Tipos de Datos 1 Series Temporales: los datos de nuestra variable están ordenados temporalmente Ejemplos: el PIB, tipos de interés, ventas de una empresa, precios de activos nancieros, etc. La frecuencia de los datos puede ser anual, trimestral, mensual, semanal, diaria, cada hora, cada minuto, etc. 2 Datos de sección cruzada: los datos se reeren a unidades individuales (en un momento del tiempo) las unidades puede ser personas, empresas, países, activos en una cartera de inversión el orden de las unidades no importa 3 Datos de Panel: información sobre unidades individuales a lo largo del tiempo combinan dimensión temporal y de corte transversal Ejemplo: países de la UE15 entre , rentabilidad de los activos en una cartera durante los últimos 10 años, etc.

5 Tipos de Datos. Tratamiento de la Información Información cuantitativa: los datos establecen un valor numérico para cada unidad y/o periodo de tiempo Ej.: el precio de un activo son 10 euros Ej.: las ventas en agosto han sido euros Información cualitativa: los datos informan de una cualidad o una elección Ejemplos: Hombre/Mujer Sí/No Bueno/Regular/Malo Coche/Autobús/Tren A veces, los datos se convierten en valores numéricos: Variables binarias (dummies): Sí=1, No=0 Variables categóricas: Bueno=3, Regular=2, Malo=1 Aunque no siempre, algunas veces la información cualitativa puede interpretarse ordinalmente (Bueno/Regular/Malo) NUNCA se pueden interpretar cardinalmente como la información cuantitativa

6 Tipos de Datos. Tratamiento de la Información Transformaciones de los Datos En el curso, supondremos que los datos de interés (la variable Y ) está directamente disponible En la práctica, el profesional obtiene los datos (en bruto) de una fuente de información y los transforma para realizar su análisis empírico Frecuentemente se tienen que calcular ratios: X = benecios de la empresa, W = número de acciones = Y = X = benecio por acción W Muchas datos informan sobre el nivel de una variable: ej., el precio de una acción o de un bien, ventas, PIB, etc. Pero podemos estar interesados en cómo cambia esa variable en el tiempo, es decir, la tasa de crecimiento Otras transformaciones puede ser necesarias según el contexto: deactar variables, calcular rentabilidades, trabajar con números índice, etc.

7 ¾Cómo analizar la información? Para cualquier análisis empírico, resulta crucial ofrecer un resumen relevante de los datos los datos originales (cientos de observaciones) no son informativos por sí mismos de hecho, la econometría simplemente desarrolla métodos por los cuales la información de los datos se resumen de forma informativa También se pueden usar tablas y grácos para presentar la información de forma muy útil.

8 Métodos grácos. Grácos de series temporales La forma más simple de representar la evolución de una serie temporal es un gráco de líneas de los datos en función del tiempo

9 Métodos grácos. Histograma Con datos de sección cruzada, un gráco de líneas NO es informativo porque el orden no importa. Podemos representar la distribución de distintas categorías de valores 1 Elegir los intervalos de valores 2 Calcular las frecuencias muestrales en cada intervalo 3 Realizar un gráco de barras (de las frecuencias en cada intervalo)

10 Métodos grácos. Este gráco puede ayudar con varias cuestiones de interés: ¾Cómo es la distribución de renta per cápita entre países? ¾Cómo de importante es la desigualdad? NOTA: el histograma depende de la elección de la amplitud y el número de intervalos muchos programas realizan automáticamente histogramas eligiendo automáticamente este aspecto distintas elecciones pueden llevarnos a conclusiones diferentes (puede que incorrectas)

11 Métodos grácos. Gráco de Dispersión Muchas veces, estaremos interesados en analizar relaciones entre dos o más variables Aunque no es fácil mediante grácos, se pueden explorar mediante grácos de dispersión

12 Métodos grácos. En este ejemplo, parece existir una relación positiva entre el salario de los ejecutivos y los benecios que obtienen las empresas Relación positiva: valores altos de una variable suelen asociarse con valores altos de la otra variable Relación negativa: valores altos de una variable suelen aparecer junto con valores pequeños de la otra variable En muchas ocasiones encontraremos valores atípicos: observaciones que no se ajustan al patrón general.

13 Estadísticos descriptivos. Estadísticos descriptivos Una distribución se puede resumir en una tabla de frecuencias (equivalente al histograma) útil cuando la variable tiene pocos valores diferentes PERO puede contener demasiada información para ser interpretable Estadísticos descriptivos: números que resumen las propiedades de la distribución de una variable económica ofrecen precisión numérica frente al impacto visual de los grácos (1) Medidas de localización: intuitivamente, indican el centro de la distribución, individuo promedio o típico Media (o promedio): X = 1 N N i=1 X i (2) Medidas de dispersión: muestran la variabilidad/dispersión de la distribución en torno al valor central, desigualdad ( ) 2 desviación estándar: s = X i X varianza=s 2 1 N N i=1 Otros estadísticos: mediana, moda, percentiles (cuartiles, deciles, etc.); rango intercuartílico, etc.

14 Correlación Correlación Correlación: mide numéricamente la relación entre dos variables ( ) ( ) N i=1 Y i Y X i X 1 r 1 r = r YX = r XY = N i=1 r > 0 indica relación positiva entre X e Y ( ) 2 N ( ) 2 Y i Y i=1 X i X la relación es más fuerte cuanto mayor sea r r = 1 indica una correlación positiva perfecta r < 0 indica relación negativa entre X e Y la relación es más fuerte cuanto menor sea r r = 1 indica una correlación negativa perfecta r = 0 indica ausencia de relación entre X e Y r XX = 1

15 Correlación r = 1 r = 0,51 r = 0 r = 0,58

16 Correlación Correlación entre variables variables La correlación es una propiedad que relaciona DOS variables Pero frecuentemente querremos trabajar con varias variables los modelos de regresión son los más adecuados en este caso Se pueden calcular las correlaciones de CADA PAR de variables, que se presentan en una matriz de correlaciones si tenemos muchas variables pueden ser muchas correlaciones Pero no conocemos si la relación entre dos variables es directa o indirecta (por medio de una tercera)

17 Correlación Ejemplo: relación entre salario de ejecutivos, benecio de la empresa, cambio en las ventas y cambio en la deuda compensation prots changesales changedebt compensation 1 prots changesales changedebt

18 Correlación Ejemplo: relación entre valor de mercado de una empresa, su deudas, sus ventas, sus ingresos netos y el valor contable de sus activos value debt sales income assets value 1 debt sales income assets

19 Correlación y Causalidad ¾Por qué están dos variables correlacionadas? Cuando dos variables están correlacionadas, se puede pensar en términos de inuencia o causalidad Las correlaciones pueden sugerir pero no establecer por sí misma la existencia de relación causal. Ejemplo: Cigüeñas y nacimientos en una muestra de 17 países europeos area storks humans birth_rate area storks (0.0148) humans (0.0001) (0.1630) birth_rate (0.0000) (0.0079) (0.0000)

20 Correlación y Causalidad Causalidad Directa vs. Causalidad Indirecta Causalidad directa o inmediata: una variable inuye real e independientemente sobre otra un cambio en una variable provocará necesariamente un cambio en la otra sin que intereran cambios en otras variables El ejemplo anterior sobre la relación entre ventas y valor de mercado puede interpretarse como causalidad directa Causalidad indirecta (intermediada o aproximada): la relación aparente entre dos variables se debe a una tercera que sí causa a ambas una mayor área permite observar más cigüeñas y que haya más población humana y, por tanto, nacimientos sólo una mayor deuda orientada a aumentar las ventas aumenta el valor de mercado Una correlación (debida a causalidad indirecta) siempre puede usarse para predecir. El sentido común o los razonamientos y teorías económicas nos debe ayudar a establecer si una correlación puede interpretarse como relación causal.

21 Modelo de Regresión Lineal con Regresores Aleatorios Modelo de Regresión Lineal Supongamos una relación lineal Y t = β 1 + β 2 X 2t β k X kt + u t En notación vectorial Y t = X t β + u t X t = (1, X 2t,.., X kt ) es un vector (k 1) de variables aleatorias y u t es una variable aleatoria β = (β 1, β 2,.., β k ) un vector (k 1) de parámetros (poblacionales, verdaderos) Para datos de corte transversal, suponemos que { (Y t, X t ) } T t=1 i.i.d. por tanto, {u t } T t=1 también es i.i.d. Para datos de series temporales, suponemos que { (Y t, X t ) } T t=1 es un proceso estocástico estacionario por tanto, {u t } T t=1 también es un proceso estocástico estacionario

22 Modelo de Regresión Lineal con Regresores Aleatorios Supuestos básicos: Y t = β 1 + β 2 X 2t β k X kt + u t (a) E ( u t X t ) = 0, E ( Y t X t ) = X t β Esto implica: E (u t X t ) = 0 (b) Var ( u t X t ) = σ 2 (homocedasticidad) (b)' NO ES NECESARIO: Var ( u t X t ) = E ( ) u 2 t Xt = g (Xt ) = σ 2 ω (X t ) (c) Σ = E (X t X t ) es denida positiva (no hay multicolinearidad perfecta) (d) Una forma concreta de la dependencia entre observaciones del término de error {u t } T t=1 (d.1) Ausencia de correlación: Cov (u t, u s X t, X s ) = 0, (d.2) u t AR(p), u t MA(q),... t s

23 Estimador de MCO Estimador MCO Utilizando los supuestos (a) ( E [X t ut] = E [X t Yt X t β )] ( = E (X t Yt) E y (c) para despejar β X t X t Se puede identicar el parámetro β en la población β = [ ( E X t X )] 1 t E (X t Yt) ) β = 0 El estimador MCO se obtiene en nuestra muestra como un estimador del método de los momentos: ( 1 T β = T t=1 X t X t ) 1 ( 1 T ) T X t Y t t=1

24 Estimador de MCO En notación matricial, donde Y = X = Y 1 Y 2. Y T X 1 X 2. X T y u = El estimador de MCO es u 1 u 2. u T es una matriz (T k) Y = Xβ + u son vectores (T 1) β = (X X) 1 X Y Se puede denir el vector (T 1) de residuos e1 e = Y X β e2 =. e T donde et = Yt X t β, t = 1, 2,.., T

25 Estimador de MCO Propiedades del estimador MCO Bajo (algunos de) los supuestos anteriores el estimado de MCO tiene buenas propiedades ( ) ) Insesgado: E β X = E ( β = β Varianza ( ) Var β X = (X X) 1 X ΩX (X X) 1 donde Ω = Var (u) = Var u 1 u 2. u T Bajo homocedasticidad ( ) y ausencia de correlación, Ω = σ 2 I I, por lo que Var β X = σ 2 (X X) 1 Los programas informáticos también calculan errores estándar robustos (y otros estadísticos de contraste) usando la formula general

26 Estimador de MCO Es consistente β MCO p β Es asintóticamente normal β MCO N ( )) β, Var ( β

27 Estimador de MCO Esta propiedad se puede explotar para hacer inferencia sobre el vecto de parámetros β: Hipótesis nula y alternativa H 0 : β j = β 0 j H 0 : β j = β 0 j H 0 : β j = β 0 j H 1 : β j β 0 j H 1 : β j > β 0 j H 1 : β j < β 0 j y el estadístico de contraste β j β 0 j t = ) N (0, 1) H SE ( βj 0 Regla de rechazo: rechazar H 0 (con un nivel de signicación α) (a) H 0 : Rβ = r (b) H 0 : Rβ = r (c) H 0 : Rβ = r H 1 : Rβ r H 1 : Rβ > r H 1 : Rβ < r si t > C α/2 si t > C α si t < C α donde Pr (N (0, 1) > C α ) = α y Pr ( N (0, 1) > C α/2 ) = α/2

28 Efectos Marginales Efectos Marginales Y t = β 1 + β 2 X 2t β k X kt + u t ¾Cómo se interpretan los coecientes β del modelo de regresión? Si el modelo tiene constante β 1 = E [ Y X 2t = 0,..., X kt = 0] El coeciente de una variable continua (digamos, X 2 ) es un efecto marginal β 2 = δ δx 2t E [ Y X 2t, X 3t = x 3,..., X kt = x k ] El coeciente de una variable discreta (digamos, X k ) también es un efecto marginal (discreto) β k = E [ Y X 2t = x 2,,..., X k 1,t = x k 1, X kt = x k + 1] E [ Y X 2t = x 2,,..., X k 1,t = x k 1, X kt = x k ]

29 Efectos Marginales Y t = β 1 + β 2 X 2t β k X kt + u t β j = δ E [ ] Y X 2t = x 2,..., X j 1,t = x j 1, X j,t, X j+1,t = x j+1,..., X kt = x k δx jt El coeciente β j informa del cambio esperado en la variable dependiente Y ante un cambio de unidad o innitesimal de la variable explicativa X j manteniendo el resto en valores dados/constantes (ceteris paribus) β j E [ Y X 2t,..., X kt ] X jt X 2t=x 2,...,X j 1,t =x j 1,X j+1,t =x j +1,...,X kt =x k Por tanto, el coeciente de un modelo de regresión (correctamente especicado) ofrece el efecto causal directo de X jt sobre Y t

30 Efectos Marginales Modelos no lineales El modelo de regresión lineal puede estimarse por MCO siempre que la especicación sea lineal en los parámetros (no necesariamente lineal en las variables del modelo) Es decir, se pueden incluir como variable dependiente y como variables explicativas transformaciones no lineales de las variables originales ln Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 ln X 3 + u t Y t = β 1 + β 2 X 3 2t + β 3 1 X 3 + u t Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 2 2t + β 4 1 X 2t + β 5 X 3t + u t El estimador de MCO de estos modelos tiene las buenas propiedades que ya hemos discutido PERO debemos tener cuidado al interpretar los coecientes y los efectos marginales

31 Efectos Marginales Modelos no lineales: efectos marginales Seguimos interesados en los efectos marginales: ofrecen el efecto causal PERO el efecto marginal de interés de la variable X j NO coincide necesariamente con un único coeciente β j En modelos con variables transformadas en logaritmos, los efectos marginales se interpretan como (semi-)elasticidades 1 ln Y t = β 1 + β 2 ln X + u t β 2 ln Y ln X 2 ln Y t = β 1 + β 2 X + u t Y /Y X /X = % Y % X = elasticidad 3 Y t = β 1 + β 2 ln X + u t β 2 ln Y X Y /Y X = % Y X β 2 Y ln X Y X /X = Y % X

32 Efectos Marginales En el modelo, Y t = β 1 + β 2 1 X 2t + β 3 X 3t + u t ¾cuál es el efecto marginal (causal) de X 2 sobre Y? δ δx 2t E [ Y t X 2t, X 3t ] = β 2 1 X 2 2t Se pueden extraer varias conclusiones de este ejemplo (válidas en general) 1 el efecto marginal NO coincide con un coeciente del modelo (en este caso,β 2 ) 2 el efecto marginal NO es constante depende, en este caso, de X 2t individuos con distinto valor de X 2t tendrán distinto cambio esperado en Y t ante un mismo cambio (innitesimal) en X 2t

33 Efectos Marginales Frecuentemente, se utilizan modelos lineales con polinomios e interacciones de las variables explicativas Yt = β 1 + β 2 X2t + β 3 X 2 2t + β 4X 3 2t + β 5X3t + ut δ δx2t Depende de varios parámetros Depende del valor de X2t E [ Yt X2t, X3t] = β 2 + 2β 3 X2t + 3β 4 X 2 2t Yt = β 1 + β 2 X2t + β 3 X2t X3t + β 4 X3t + ut δ E [ Yt X2t, X3t] = β 2 + β 3 X3t δx2t Depende de varios parámetros Depende del valor de otra variable: X3t Yt = β 1 + β 2 X2t + β 3 X 2 2t + β 4X2t X3t + β 5 X 2 2t X 3t + β 6 X3t + ut δ δx2t E [ Yt X2t, X3t] = β 2 + 2β 3 X2t + β 4 X3t + 2β 5 X2t X3t Depende de varios parámetros Depende del valor de X2t y de X3t 4 Existen muchas otras combinaciones posibles

34 Efectos Marginales Sesgo de variable omitidas Ejemplo: Una especicación incorrecta del modelo implica que los efectos marginales NO son interpretables como efectos causales el efecto marginal de X j es manteniendo constante el resto de variables incluidas en el modelo por tanto, no se tienen en cuenta las variables (relevantes) omitidas Y t = β 0 + β 1 X 1t + β 2 X 2t + u t Sólo nos interesa el efecto de X 1 (se estima un modelo reducido): Y t = δ 0 + δ 1 X 1t + ɛ t Si δ 1 = β 1, este modelo reducido sí proporciona el verdadero efecto causal de interés de X 1 sobre Y Se puede mostrar fácilmente que δ 1 = β 1 + β 2 Cov (X 1, X 2 ) Var (X 1 ) En general, omitir una variable sesga el coeciente: no coincide con el efecto causal

35 Efectos Marginales δ 1 = β 1 + β 2 Cov (X 1, X 2 ) Var (X 1 ) Sin embargo, omitir la variable X 2 no sesga el efecto causal de X 1 si 1 realmente X 2 no afecta a Y : no es relevante porque β 2 = 0 2 se tiene que Cov (X 1, X 2 ) = 0. El argumento (no la formula concreta) se puede generalizar al caso de múltiples variables si las variables omitidas (relevantes) no están correlacionadas con las variables explicativas incluidas en la regresión, los coecientes estimados para éstas no estarán sesgados.

36 Efectos Marginales Predicción: R 2 Puesto que el modelo de regresión establece que E [ Y t X 2t,..., X kt ] = β 1 + β 2 X 2t + + β k X kt Se puede predecir el valor esperado de la variable dependiente (en función de las variables explicativas): Ŷ t = β 1 + β 2 X 2t + + β k X kt El valor observado de Y t se descompone en una parte predicha por el modelo y un residuo Y t = Ŷt + e t Se puede demostrar que la varianza de los datos observados también se puede descomponer en dos partes: Var (Y t ) = Var ) (Ŷt + Var (e t ) T t=1 ( Y t Y ) 2 = T ) 2 T (Ŷt Y + t=1 SCT = SCE + SCR t=1 e 2 t

37 Efectos Marginales SCT = SCE + SCR Se dene el R 2 como R 2 = SCE SCT = 1 SCR SCT mide la proporción de la variabilidad de Y t explicada por el modelo: 0 R 2 1 cuanto más próxima a 1, mayor es la capacidad predictiva del modelo (menores residuos=parte no explicada) Si usamos el modelo de regresión para predecir, NO estamos interesados en saber si los coecientes tienen interpretación causal o no en el ejemplo anterior, podemos predecir Y t sólo con X 1t igual de bien que con X 1t y X 2t nos da igual si Y t es aumenta con X 1t directamente o indirectamente a través de X 2t Un mayor valor de R 2 indica mejor capacidad predictiva, pero NO nos informa sobre la interpretación causal de los coecientes del modelo.

38 Modelo con Regresores Binarios Regresores Binarios El modelo de regresión admite datos cuantitativos o cualitativos Una variable binaria (o dummy) es una forma de transformar variables cualitativos en cuantitativos { 1, si el individuo es mujer D t = 0, si el individuo es hombre La interpretación de los efectos marginales de un regresor binario son un caso particular de lo que hemos visto para variables discretas: Y t = β 1 + β 2 X 2t β 2 X k 1t + β k D kt + u t β k = E [ Y X 2t = x 2,,..., X k 1,t = x k 1, D kt = 1] E [ Y X 2t = x 2,,..., X k 1,t = x k 1, D kt = 0] Por tanto, β k es el aumento esperado en el valor de Y t por pertenecer al grupo D kt = 1 frente al grupo D kt = 0, ceteris paribus el valor esperado de Y t para el grupo con D kt = 1 menos su valor esperado para el grupo con D kt = 0

39 Modelo con Regresores Binarios El uso de variables binarios permite que cada grupo tenga un valor esperado diferente (dado un mismo valor del resto de variables) En un caso simple, Y t = β 1 + β 2 D t + u t Se tiene que E [ Y t D t = 1] = β 1 + β 2 E [ Y t D t = 0] = β 1 También se puede interactuar una variable binaria con otra variable del modelo; por ejemplo, Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 2t D t + β 4 X 3t + u t En este caso, el efecto marginal de X 2t depende de D t δ E [ Y t X 2t, D t, X 3t ] = β 2 + β 3 D t δx 2t Esto implica que el efecto marginal de X 2t es diferente para el grupo D kt = 1 y para el grupo D kt = 0 δ δx2t E [ Y t X 2t, D t = 1, X 3t ] = β 2 + β 3 δ δx2t E [ Y t X 2t, D t = 0, X 3t ] = β 2

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