Olimpiada Estatal de Matemáticas 2013 Material de entrenamiento: Algebra. Dr. Misael Avendaño Camacho Universidad de Sonora.

Transcripción

1 Olimpiada Estatal de Matemáticas 013 Material de entrenamiento: Algebra. Dr. Misael Avendaño Camacho Universidad de Sonora Contenido 1 Introducción Polinomios, raíces y factorización 3 Gráficas de funciones polinomiales 4 4 Polinomios de segundo grado 6 5 Relaciones de Vieta 7 6 Problemas optimización con polinomios cuadráticos 8 7 Principio de Inducción Matemática 9 8 Ejercicios y Problemas diversos 13 1

2 1 Introducción El presente material tiene el propósito de servir como referencia a los participantes de la Olimpiada Estatal de Matemáticas 013 sobre el tipo problemas y conceptos que se abordan en estas competencias. Aunque estas notas tienen en el título la palabra Algebra aquí no se aborda toda esa área en detalle. Básicamente lo que se ve aquí está relacionado con el concepto de polinomios y sus propiedades. En particular aquellas que se aparecen de manera regular en problemas de olimpiada. Sin embargo, también se discute brevemente el concepto de optimización con polinomios cuadráticos; que si bien no es un tema propio de una olimpiada de matemáticas, el enfoque en el que se aborda aquí puede resultar útil para el lector. En la parte final, se ha incluido una breve exposición sobre el principio de inducción el cual es muy importante en matemáticas. En la última sección se encontrará una selección de problemas diversos; los cuales tienen relación principalmente con los temas aquí presentados. Los problemas que presentan provienene en su mayoría de diversas competencias de matemáticas, tanto regionales como nacionales. Polinomios, raíces y factorización Un polinomio es una expresión de la forma p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 x n a 1 x + a 0, donde x es una variable y los términos a 0, a 1,..., a n son llamados coeficientes y pueden ser C, R, Q, Z, Z n. El grado de del polinomio p(x) se define como el valor de la máxima potencia de x, deg p(x) = n. Operaciones con polinomios: Consideremos el conjunto formado por todos lo polinomios. Sobre este conjunto se definen operaciones (binarias) llamadas suma y producto. Sean p(x) y q(x) polinomios de grado n y m, respectivamente. La suma p(x) + q(x) es un polinomio cuyo grado es max{n, m}, El producto p(x)q(x), que defina usando la distributividad, es un polinomio con grado igual a nm. Un subconjunto del espacio de polinomios con propiedades interesantes se obtiene al elegir un número natural n y definir el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n. Nota: no confundir con los polinomios de grado n.

3 Polinomios, raíces y factorización 3 Otra operación que se puede definir en en conjunto de polinomios es la composición (la cual tambien de puede definir para funciones en general). Sean y p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 x n a 1 x + a 0 q(x) = b m x m + b m 1 x m 1 x m b 1 x + b 0 polinomios de grado n y m, respectivamente. Se define la composición de p(x) y q(x) como el polimonio p q(x) = p(q(x) = a n (q(x)) n + a n 1 (q(x)) n 1 x n a 1 q(x) + a 0 Notemos que deg p q = nm y que p q q p. Ejemplo 1. Consideremos p(x) = x 1 y q(x) = x 3 x y p q(x) = p(q(x)) = (x 3 x) 1 = x 6 x 4 + x 1, q p(x) = q(p(x)) = (x 1) 3 (x 1) = x 6 3x 4 + 3x 1 x + 1 = x 6 3x 4 + x. Divisiones con residuo. Dados dos polinimos f(x) y g(x) existen dos únicos polinomios q(x) r(x) tales que f(x) = g(x)q(x) + r(x), donde deg r < deg q ó r(x) = 0. Los polinomios q(x) y r(x) son llamados cociente y residuo. En caso particular de que r(x) = 0 se dice que g(x) divide a f(x). Por ejemplo: Si tomamos f(x) = x 7 1 y lo divimos entre el polimonio g(x) = x 3 +x+1, podemos concluir que X 7 1 = (x 3 + x + 1)(x 4 x x + 1) + x. En este caso q(x) = x 4 x x + 1 y r(x) = x.

4 4 Supongamos f(x) es un polinomio de grado n y a R. Si dividimos a f(x) por x a tendremos f(x) = (x a)q(x) + r, r R, deg q = n 1. (1) Si tomamos x = a en (1), obtendremos que f(a) = r, por lo tanto f(x) = (x a)q(x) + f(a). Si f(a) = 0 entonces a es una raíz ó cero de f. Se sigue que f(a) = 0 f(x) = (x a)q(x). Si a 1 y a son dos raíces distintas de f(x), tenemos que f(x) = (x a 1 )q(x) con q(a ) = 0, por lo que q(x) = (x a )q 1. Esto implica que f(x) = (x a 1 )(x a )q 1, def q 1 = n. Si deg f = n y f(a i ) = 0 para a 1, a,..., a n, entonces f(x) = c(x a 1 )(x a ) (x a n ), c R. Si existe m N y un polinomio q tal que f(x) = (x a) m q(x), q(a) 0 entonces se dice que la raíz a de f tiene multiplicidad m. Una condición necesaria y suficiente para que a sea una raź de f(x) de multiplicidad m es f(a) = f (a) = f (a) =... = f (m 1) (a) = 0 y f (m) (a) 0. Si los coeficientes del polinomio f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 x n a 1 x + a 0 son enteros. z Z es una raíz de f(x) si y solo si z a 0. 3 Gráficas de funciones polinomiales Supongamos que p(x) es un polinomio de grado n, la gráfica de p(x) consiste de todos los puntos del plano cartesiano que son de la forma (x, p(x)). Las gráficas de algunos tipos de polinomios son bastante bien conocidas. Por ejemplo, las gráficas de los polinomios de grado cero y uno son líneas rectas, mientras que las gráficas de los polinomios cuadráticos resultan ser parábolas.

5 3 Gráficas de funciones polinomiales 5 Polinomios de grado cero: P (x) = C, con C un constante. Su gráfica es una recta horizontal. Polinomios de grado uno: P (x) = mx + b. Su gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el punto de coordenadas (0, b). Polinomios de grado dos (cuadráticos): P (x) = ax + bx + c. Si gráfica es un curva ( cónica conocida ) como parabóla. El vértice de la parabóla es el punto b 4ac b, a 4a Las gráficas de polinomios de grado mayor o igual que tres suelen ser tener comportamientos un poco más complejo. Sin embargo, en cualquier polinomio al tomar valores para x cada vez más grandes, en algún momento los valores del polinomio crecerán ó decrecerán sin límite. Los mismo ocurrirá si se considerán valores de x cada vez mas pequeños. Se puede determinar esto con precisión para un polinomico p(x) dado a partir del grado del polinomio y del coeficiente dominante.

6 6 Grado par Grado Par Grado impar Grado impar a n > 0 a n < 0 a n > 0 a n < 0 Funciones racionales. De la misma forma que un número racional, por definición, es aquel que puede expresarse como el cociente de dos enteros, una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos polinomios. Por lo tanto, una función racional f tiene la forma f(x) = p(x), q(x) 0. q(x) Una función racional no está definida en los ceros de q(x) y tiene, a lo más, la misma cantidad de ceros del polinomio p(x). El comportamiento de la gráfica de una función racional en un entorno de un cero de q(x) es muy distinto si éste es ó no un cero del polinomio p(x). Si no lo es, la gráfica de la función tiene una asíntota vertical. 4 Polinomios de segundo grado En esta parte daremos un tratamiento especial a los polinomios de segundo grado p(x) = ax + bx + x. Si queremos encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado debemos resolver la ecuación cuadrática ax + bx + c = 0.

7 5 Relaciones de Vieta 7 Es bien conocido que una ecuación cuadrática se pude resolver usando la formula general x = b ± b 4ac. a La expresión b 4ac es llamada discriminante: si el discriminate es negativo la ecuación no tiene soluciones reales, si es cero tiene una solucion real (raíz repetidas); si el discriminate es positivo la ecuación tiene dos soluciones reales. Por lo tanto, la fórmula genreal puede ser utilizada para factorizar cualquier polinomio de segundo grado. La derivación de la fórmula general está basada en el la conocida técnica de completar el trinomio cuadrado perfecto. Ejercicio 1. Derivar la formula general para la ecuación cuadrática. Si un polinomio de segundo grado tiene dos, una ó ninguna raíz real, entonces la gráfica de polinomio cortará al eje x en dos, uno o ningún punto, respectivamente. 5 Relaciones de Vieta Sea p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 x n a 1 x + a 0, un polinomio de grado n y sean x 1, x,..., x n sus raíces (reales o complejas). Un hecho sencillo de verificar es que se tienen las siguientes relaciones entre las raíces y los coeficientes del polinomio x 1 + x x n = a n 1 a n, x 1 x + x 1 x x n 1 x n = a n a n x 1 x x 3 + x 1 x x x n x n 1 x n = a n 3 a n. x 1 x x 3... x n = ( 1) n a 0 a n. Para un polinomio cuadrático p(x) = a x + a 1 x + a 0 tenemos que x 1 + x = a 1 a y x 1 x = a 0 a ;

8 8 mientras que para un polinomio cúbico p(x) = a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 las relaciones de Vieta son: x 1 + x + x 3 = a a 3, x 1 x + x 1 x 3 + x x 3 = a 1 a 3, x 1 x x 3 = a 0 a 3. Las relaciones de Vieta pueden ser útiles para resolver problemas que no necesariamente tienen que ver con polinomios. Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones x + y + z = 4, x + y + z = 14, x 3 + y 3 + z 3 = Problemas optimización con polinomios cuadráticos Uno de las aplicaciones más comunes del cálculo es la determinación de los valores de máximos y mínimos (locales de una función), cuando esta es diferenciable. Existe un procedimiento claramente definido para determinar los puntos críticos de una función, el cual comienza por determinar los puntos críticos de una función (valores para x donde la derivada de la función se anula). Una determinados los puntos críticos, se utiliza el criterio para determinar su naturaleza (si es máximo ó mínimo local). Ejercicio: Trate de recordar porque se buscan los puntos críticos y que dice el criterio de la segunda derivada antes mencionado. Sin embargo, cuando un problema de optimización se modela con una función cuadrática, se puede optar por otro camino para resolver este problema. Por ejemplo, si queremos encontrar el mínimo de un polinomio cuadrático p(x) = ax + bx + x donde a > 0, este problema se reduce a encontrar el la coordenada del vértice de la parabola correspondienta a la gráfica de p(x) (porqué?). En pocas palabras, podemos resolverlo graficamente. Ejemplo 3. Resolvamos el siguiente problema: Un ganadero tiens 400 m de cerca con los cuales delimita dos corrales rectangulares adyacentes (compartirán un lado común para la cerca). Qué dimensiones deben utilizarse de manera que el área delimitada será un máximo?

9 7 Principio de Inducción Matemática 9 Los corrales que queremos formar tienen la siguiente forma: Llamemos x y y a los lados rectángulo que formaran los dos corrales. Usemos estas variables para refomular nuestro problema. Como vamos a utilizar 400 m de cerca tenemos que x + 3y = 400. Por otra parte, queremos que el área del terreno cercado sea la máxima posible, por lo que queremos encontrar el máximo valor del producto A = xy. Como tanto x como y deben de estar sujetas a la primera ecuación, podemos utilizar ésta para tener una función de área que tenga solo una variable. Si despejamos y y lo sustituimos en el área A(x) = 1 3 x(400 x) = 3 x x. Nuestro problema se reduce a encontrar para que valor de x la función anterior alcanza su máximo valor. En este caso, nuestra función es un polinomio cuadrático, donde el coeficiente dominante es negativo. Por lo que el máximo se alcanza en el vértice de la parabola que representa la gráfica de la función. 7 Principio de Inducción Matemática El principio de inducción es de gran importancia en matemáticas. Es utilizado para probar algunos resultados generales que dependen de los números naturales (o un subconjunto de estos). La idea es sencilla, uno trata de probar la validez de una proposición ó de una afirmación para todos los números naturales (o un subconjunto infinito de ellos) una vez que ya se tiene comprobado que dicha afirmación es cierta en

10 10 algunos casos particulares. Entonces, uno supone que la afirmación se cumple para un número natural n y trata de probar que también es verdadera para el natural n + 1. Principio de inducción matemática. Una proposición p(n) es verdarera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientes condiciones: Paso 1.- La proposición p(n) es verdadera para n = 1, Paso.- hipótesis de inducción: se supone p(k) es verdaerara, donde k es un número natural cualesquiera, Paso 3.- tesis de inducción: se demuetra que p(k + 1) es verdadera. O bien, p(k) verdadera implica que p(k + 1) también es verdadera. En pocas palabras, el principio de inducción matemática nos dice que para probar la válidez de un proposición p(n) para todo número natural n es suficiente con comprobar que se cumplen los pasos 1, y 3. Hay algunas variantes del principio de induccion, por ejemplo: 1. Se puede comprobar que la afirmación es cierta para el 0 para un natural n 0 > 1, ó. se supone que la afirmación es cierta para todo k < n y entonces se prueba que también se cumple para n Una forma de tener un poco de idea de como funciona el principio de inducción matemática es pensar en el efecto dominó. Supongamos que disponemos de una cantidad infinita de fichas de dominó y queremos formar una fila con ella colocandolas verticalmente. El efecto dominó se logra cuando al tirar la primera ficha de domino esta cae sobre la ficha vecina derrumbandola y esta hace lo propio sobre su vecina, y asi sucesivamente. Para lograr el efecto dominó debemos de tener cuidado de colocar dos fichas vecinas lo suficientemente cerca como para que si alguna ficha se caé entonces su vecina también caerá. Esto es lo análogo a los pasos y 3. El paso 1 uno es importante, porque si no colocamos la primera ficha de manera adecuada, esta al caer puede no tumbar a su vecina y entonces ninguna ficha más caerá, no importando lo bien que hallamos colocado las demás fichas. Para ilustrar el uso del principio de inducción matemática se presentan algunos ejemplos.

11 7 Principio de Inducción Matemática 11 Ejemplo 4. Probar que la suma de los n primeros naturales consecutivos es igual a n(n + 1). Solución: Queremos probar que para todo número natural n se tiene que n = n(n + 1). Entonces p(n) : n = n(n+1). Por lo que es suficiente probar que p(n) cumple los pasos 1, y 3. Paso 1.- p(1) : 1 = 1, lo cual es claramente cierto. Paso.- hipótesis de inducción: supongamos p(k) es verdaderara, es decir, que para algún natural k se cumple que k = k(k+1). Paso 3.- Debemos probar que p(k + 1) también es verdadera. Por la hipotésis de inducción, tenemos que k + k + 1 = k(k + 1) + k + 1. Factorizando el término k + 1 del lado derecho, tenemos ( ) k k + k + 1 = (k + 1) + 1 (k + 1)(k + ) =. Por lo tanto, p(k + 1) también es verdadera. Ejemplo 5. Determine para que valores de n N es verdadera la desigualdad n > n + 4n + 5 Solución: Al examinar los valores de n = 1,, 3, 4, 5, 6 nos damos cuenta que la desigualdad es incorrecta, pero si es verdadera para n = 7, por lo que podemos intentar demostrar por el método de Inducción Incompleta que para todos los valores de n 7, la desigualdad es verdadera. Paso 1.- Si n = 7, obtenemos Por tanto, la desigualdad es correcta. 7 = 18 > = 8.

12 1 Paso.- hipótesis de inducción: supongamos que la desigualdad es verdadera para un cierto valor de n = k, o sea, k > k + 4k + 5. Paso 3.- Por último, se quiere probar la tesis, dada por (k+1) > (k + 1) + 4(k + 1) + 5. Al multiplicar la desigualdad dada en la hipótesis inducción por, obtenemos (k+1) > k + 8k + 10 Transformando el segundo miembro de esta desigualdad obtenemos (k+1) > (k + 1) + 4(k + 1) k + k. Teniendo en cuenta que k + k > 0 para todo k > 7, podemos deducir que (k+1) > (k + 1) + 4(k + 1) + 5, obteniendo lo que se requeria demostrar ( Tesis). Ejemplo 6. Probar que para todo número natural n se cumple que n(n + ) = n(n + 1)(n + 7) = 6 Solución: Sea p(n) : n(n+) = n(n+1)(n+7) = 6 Entonces p(1) : 1 3 = 1(1+1)( 1+7) = 6 = 9 = 6 = 3, lo que prueba que p(1) es verdadera. Hipótesis inductiva: k(k + ) = ( Suponemos que p(n) es verdadera ). k(k + 1)(k + 7) 6 Tesis: k(k + ) + (k + 1)(k + 3) = ( Queremos probar que p(k+1) es verdadera). (k + 1)(k + )(k + 9) 6

13 8 Ejercicios y Problemas diversos 13 Tenemos: k(k + ) + (k + 1)(k + 3) = k(k + 1)(k + 7) + (k + 1)(k + 3) 6 = (k + 1) (k(k + 7) + 6(k + 3)) 6 = (k + 1)(k + 13k + 18) 6 = (k + 1)(k + 9)(k + ). 6 Lo que prueba que p(k + 1) es verdadera. Luego, la formula n(n + ) = k(k+1)(k+7) 6 es verdadera para todo número natural. 8 Ejercicios y Problemas diversos En esta sección están incluidos los ejercicios y problemas que se usarán para ilustrar como utilizar propiedades de polinomios para resolverlos. El nivel de dificultad de los problemas aquí presentados es variado, así como su origen. Algunos de estos problemas han sido utilizados en competencias de matemáticas tanto locales como internacionales Problemas 1. Sea f(x) = (1 x + x... + x 100 )(1 + x + x x 100 ). Pruebe que, después de multiplicar y agrupar términos semejantes, solo quedarán términos con potencias pares de x.. Encontrar el valor de a R tal que la suma de los cuadrados de las raíces del polinomio cuadrático x (a )x a 1 es mínima. 3. Sea f(x) = ax + bx + c. Supongamos que la ecuación f(x) = x no tiene raíces reales. Demostrar que la ecuación f(f(x)) = x tampoco tiene soluciones reales. 4. Determinar el valor de los lados de un triángulo rectángulo que tiene hipotenusa 6 y perímetro En el polinomio cúbico p(x) = x 3 + px + qx + r uno de los cero es la suma de los otros dos. Encuentre la relación entre p, q y r

14 14 6. El polinomio p(x) = x 5 +ax 3 +b tiene una raź doble distinta de cero. Encontrar la relacion que guardan los coeficientes a y b. 7. Probar que el polinomio 1 + x + 1 x n! xn no tiene raíces múltiples. 8. Encontrar el valor de a tal que 1 es una raíz múltiple del polinomio x 5 ax ax Sean a, b, c tres números distintos. Compruebe que la ecuación cuadrática (x a)(x b) (c a)(c b) (x b)(x c) (x c)(x a) + + (a b)(a c) (b c)(b a) = 1 tiene como soluciones x 1 = a, x = b y x 3 = c Qué se puede deducir de este hecho? 10. Encontrar los valores de a, b y c tales que x + 5 (x 1)(x )(x 3) = a x 1 + b x + c x Sea f(x) un polinomio mónico con coeficientes enteros. Si existen cuatro enteros diferentes a, b, c, d tales que f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 5, entonces no existe ningún entero k tal que f(k) = Sea p(x) un polinomio sobre Z. Si p(a) = p(b) = p(c) = 1, con a, b, c distintos, entonces p(x) no tiene ceros enteros. 13. Encontrar el valor de m y resolver la siguiente ecuación, sabiendo que las raíces forman una progresión geometríca x 4 15x x 10x + m = Encontrar todas las parejas (x, y) de números enteros tales que x 3 + y 3 = (x + y). 15. Encuentra todos las funciones f(x) cons las siguientes propiedades f(x) es una función cuadrática, f(x + ) = f(x) + x +

15 8 Ejercicios y Problemas diversos 15 f() = 16. Determinar todos lo polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p((x + 1) 3 ) = (p(x) + 1) 3 y p(0) = Determinar todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p((p(x)+ 1) 3 ) = (p(x) + 1) 3 y p(0) = Determinar todos lo polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p(x +1) = (p(x)) + 1 y p(0) = Consideremos la siguiente familia de funciones cuadráticas f m (x) = (m + m + 1)x (m + 1)x + m m + 1, m R. Encontrar todos los valores de m tales que la gráfica de la parábola de f m (x) tiene concavidad negativa. Determinar para que valores de m, la función cuadrática f m (x) no tiene soluciones reales. Encontrar las raíces de f m (x). Determinar para que valores de m la función tiene solo una solución real. Como se puede observar del punto anterior, todas las parábolas de la familia f m (x) pasan por un punto fijo. Determinar para que valor m las distancia de ese punto fijo y el punto de intersección de la gráfica de f m (x) con el eje y es mínima. 0. Resolver la ecuación donde [x] denota la parte entera de x. x 13[x] + 11 = 0, 1. Qué puntos sobre la gráfica de la ecuación y = 4 x son más cercanos al punto (0, ). Un granjero planea cercar un pastizal rectangular adyacente a un río. El granjero poseé 1500 metros de cerca y no es necesario cercar el terreno a lo largo del río. Que dimensiones debe tener el terreno para lograr el área máxima?

16 16 3. Una ventana Norman se construye juntando un semicírculo a la parte superior de una ventana rectangular ordinaria. Encontrar las dimensiones de una ventana Norman de áe máxima si el perímetro total es de 00 cm. 4. Se tiene un rectangulo en un plano cartesiano. Se sabe sus lados paralelos a los ejes coordenados, que uno de un vértice está origen de coordenadas y el vértice opuestos está en el primer cuadrante y sobre la gráfica de la ecuación y = 1 (6 x). Encontrar las coordendas del punto (x, y) tales que el área del rectángulo sea máxima. 5. Un triángulo rectángulo se forma en el primer cuadrante y su catetos están sobre los ejes coordenados. Si la hipotenusa del triángulo pasa por el punto (1, ), determinar los vértices del triángulo que tiene área mínima. 6. Un rectángulo está delimitado por el eje x y el semicírculo y = 5 x Qué largo y ancho debe tener el rectángulo de manera que su área sea máxima? 7. Determinar el valor máximo de f(x) = x 3 3x en un conjunto de números reales x que satisfacen x x 8. Probar que para entero n 0 el número 3 n+1 divide al número 3n Probar que si tenemos n puntos que no sean todos colineales, entonces existen al menos n lineas diferentes que unen a los n puntos 30. Determine todos los números naturales para los cuales: n > n. 31. Probar que si n es impar entonces 7 n + 1 es divisible por Demuestre que para número natural n 5 n es divisible por Demuestre por inducción las siguientes igualdades: (a) n n(n + 1)(n + ) = 6 (b) (n + 1)(n + )(n + 3) (n + n) = n (n..1) ( c) ( 1) n 1 n n 1 n(n + 1) = ( 1) ) (d) ( ) ( ) ( 1 1 (n + 1) = n + n +

17 REFERENCIAS 17 (e) ( n5) + ( n 7 ) = ( n) 4 (f) 1 1! +! + 3 3! n n! = (n + 1)! 1 Referencias [1] A. Gardiner, The Mathematical Olympiad Handbook. An Introduction to Solving Problem, 1st. edition, Oxford University Press, New York, [] T. Andreescu, B. Enescu, Mathematical Olympiad Treasuere, 1st. edition, Birkhäuser, Boston, 006. [3] T. Andreescu, R. Gelca, Mathematical Olympiad Challenges, nd. edition, Birkhäuser, Boston, 009. [4] R. Todev, 1000 problem from Mathematical Olympiads 008/009, Lexington, KY, 010. [5] A. Engel, Problem-Solving Strategies, 1st. edition, Springer, Lexington, 1998.