Errores en navegación inercial. Modelos de Error. Tema 4: Sistema de navegación autónomo. Navegación inercial. Errores.

Transcripción

1 Navegación Aérea Tema 4: Sistema de navegación autónomo. Navegación inercial. Errores.

2 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. La navegación autónoma es aquella que no depende de medidas externas y por tanto no es susceptible a interferencias (accidentales o provocadas) ni a manipulación o error externo. El ejemplo más temprano es la navegación a estima que ya se vio en la introducción histórica. En aviación se emplea la navegación inercial. El objeto de la navegación inercial es determinar la posición, velocidad y actitud de la aeronave, con la mayor precisión posible, a partir de las medidas de la IMU (Inertial Measurement Unit). La IMU se compone de sensores inerciales: giróscopos y acelerómetros. Para la navegación inercial, además de la IMU, es necesaria una estimación inicial (fix) de posición, velocidad y actitud, y un modelo gravitatorio. 2 / 57

3 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Historia de la navegación inercial I Históricamente la navegación inercial no nace hasta el siglo XX. Sus antecedentes se encuentran en la navegación a estima (ya estudiada) y en la invención de los primeros giróscopos. Los giróscopos se inventaron en el siglo XIX; fue Leon Focault quien les dio su nombre, popularizándolo gracias a un experimento (fracasado) en el que los usó para tratar de demostrar la rotación de la Tierra. Un giróscopo mantiene su eje de rotación (en el espacio inercial) frente a perturbaciones. Este efecto se conoce como rigidez giroscópica. Dichas perturbaciones generan un movimiento de precesión y nutación, que se puede medir. Por ejemplo, al forzar la rotación de un giróscopo en un eje distinto a su eje de giro, se produce un efecto que permite estimar la velocidad de rotación. 3 / 57

4 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Historia de la navegación inercial II Por tanto los giróscopos tienen un eje en torno al cual giran permanentemente, otro eje en el cual se detectan perturbaciones y otro eje en el cual se miden dichas perturbaciones. Las plataformas giroestabilizadas se basan en este fenómeno, son plataformas insensibles a perturbaciones que permiten diversas aplicaciones, como por ejemplo emplear una cámara de televisión en un helicóptero. Otra aplicación del efecto es el girocompás o brújula giroscópica, que permite encontrar el Norte geográfico. Modernamente, se emplean giróscopos no mecánicos, más sofisticados que emplean diversos efectos físicos. 4 / 57

5 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Historia de la navegación inercial III En la II Guerra Mundial, se emplearon giróscopos y acelerómetros por primera vez, para guiar misiles V-2. La invención de este sistema de guiado se debe a un estadounidense, Robert Goddard. Tras la guerra, hubo un rápido desarrollo. Los primeros sistemas de navegación inercial consistían en una triada de acelerómetros y giróscopos montados en una plataforma, capaz de rotar y orientarse con libertad. Se diseña la plataforma de manera que siempre mantenga su orientación respecto a un sistema de referencia dado (g o n). Por tanto medimos directamente a n NG y C n b. Estos sistemas a veces se llaman semianaĺıticos. 5 / 57

6 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Historia de la navegación inercial IV Éstos sistemas son funcionales en cualquier sitio de la Tierra: tierra, aire, océanos, bajo el agua... Con navegación inercial el submarino USS Nautilus cruzó bajo el hielo y pasó por el polo Norte en Sin embargo es muy costoso, contiene elementos mecánicos que se desgastan, requiere una perfecta alineación inicial (lenta), y presenta problemas de bloqueo de los gimbals (gimbal lock) si se alinean los ejes de rotación. El sistema inercial más sofisticado que se creó fue el AIRS-Advanced Inertial Reference Sphere, que consiste en una esfera hueca con un fluido donde flota otra esfera con giróscopos y acelerómetros. Mantiene (mediante inyección de chorros) siempre una referencia inercial, con lo que se mide a i NG (que se puede integrar directamente) y Ci b. Por esto se llama geométrico o anaĺıtico. Su coste era enorme, pero se obtiene una gran precisión, con una deriva de 10 5 grados por hora (1,15 o por año). Se usó en misiles baĺısticos y en bombarderos. 6 / 57

7 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Historia de la navegación inercial V En 1956 se patenta la idea del INS strapdown, es decir, fijo (fijado al cuerpo). En éste caso los sensores inerciales miden las magnitudes en ejes cuerpo, es decir, ω b b/i y a b NG. Éste tipo se sistema INS se denomina anaĺıtico o de plataforma anaĺıtica, porque realmente no existe una plataforma y todo se realiza mediante cálculo numérico. Requiere el uso de ordenadores de gran capacidad de cómputo y de sensores precisos (por las vibraciones). Eso sólo fue posible a partir de los 70. Hoy en día es el único que se usa en la práctica. Además, gracias a la navegación integrada (complementar el INS con otros sistemas como el GPS) se pueden emplear sensores de baja calidad, con lo que el coste se ha abaratado enormemente. 7 / 57

8 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial La IMU: sensores inerciales. Una IMU consta de giróscopos y acelerómetros. Estos dispositivos han sido estudiados en otras asignaturas. Un modelo típico de medida sería: ˆm = (1 + σ)m + b + ξ, donde ˆm es la medida obtenida del valor real m, σ es el factor de escala, b es el sesgo y ξ es ruido de medida. Estos valores se pueden calibrar pero están sujetos a variaciones. Las principales características de estos dispositivos son: Ancho de banda: determina la frecuencia máxima de aceleración o giro que son capaces de detectar. Se asimila a la velocidad máxima con la que se toman medidas. Rango de medición. Supervivencia a choques. Ruido (en unidades de medida por Hz). Mide ξ. Se puede usar para calcular como se degrada la medida acumulada. Inestabilidad del sesgo (en unidades de medida). Mide el ruido aleatorio que entra en b. Inestabilidad del factor de escala (en porcentaje). Mide el ruido aleatorio que entra en σ. 8 / 57

9 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Acelerómetros. Precisiones típicas de acelerómetros: 9 / 57

10 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Giróscopos Precisiones típicas de giróscopos (RLG=Ring Laser Gyro, FOG=Fibre Optic Gyro, MEMS=Micro-Electro-Mechanical Systems). 10 / 57

11 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Los acelerómetros y la gravedad I Un acelerómetro no puede medir g. Principio de funcionamiento de un acelerómetro: medir el desplazamiento de una masa testigo. Ejemplo con muelle: Se cumple que mẍ = F kx, donde k es la constante del muelle y F la fuerza en la dirección del eje. Puesto que F = ma, donde a es la aceleración en la dirección del eje, se tiene que a = k/m x + ẍ. Suponiendo que a es aproximadamente constante, x tiende a una posición de equilibrio que cumple a = k/m x, y por tanto a es proporcional a x. Otros acelerómetros más sofisticados no requieren esperar a que se llegue al estado de equilibrio, por ejemplo compensando F con una fuerza contraria para que nunca se desplace x. 11 / 57

12 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Los acelerómetros y la gravedad II Qué sucede si el eje está en la misma dirección de la gravedad? Supongamos que el objeto está en caída libre. Para aplicar la Ley de Newton tenemos que estar en un sistema de referencia inercial, pero puesto que el objeto está en caída libre, tenemos que tener en cuenta que el sistema de referencia fijo en el cuerpo es no inercial! Por tanto: m(ẍ g) = F kx. Por otro lado F = m(a NG g). Por tanto, en el equilibrio: a NG = k/m x. 12 / 57

13 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Los acelerómetros y la gravedad III Es cierto pues que un acelerómetro no puede medir la gravedad? Es cierto que un acelerómetro no puede medir g directamente. En estado de caída libre en cualquier punto de la atmósfera (o en la Luna) sentiría la misma aceleración: cero. Sin embargo, en reposo sobre la superficie de la Tierra (por ejemplo un acelerómetro sobre una mesa), existe una fuerza de reacción R = g, es decir, R = g (apunta hacia arriba ). Por tanto a NG = g y se tiene g = k/m x. Es por tanto una medida indirecta de la gravedad. La definición correcta de acelerómetro es un dispositivo que mide desviaciones del estado de caída libre. Obsérvese que la aceleración debida al geopotencial (añadiendo la rotación de la Tierra) tiene exactamente el mismo carácter que la gravitatoria y por tanto no se puede medir (directamente). 13 / 57

14 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Mecanización en ejes n I En este tema supondremos, para simplificar, que n = g, y que la Tierra es esférica. Mecanizar las ecuaciones quiere decir escribirlas en el sistema de referencia apropiado y de forma que se puedan calcular a partir de las entradas. Partimos de las ecuaciones fundamentales de la navegación: d Velocidad: dt v n = Actitud: Posición: C b n = ( ω n n/e + 2ωn e/i) v n + a n NG + g n ( ω b b/n) C b n φ = λ = v N R e + h ḣ = v D v E cφ(r e + h) Donde sabemos además que: ω n e/i = [ω E cφ 0 ω E sφ] T y ω n n/e = [ v E R e +h v N R e +h v E tan φ R e +h ]T. 14 / 57

15 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Mecanización en ejes n II También disponemos de un modelo de gravedad: g n [0 0 g(h)] T, donde g(h) = µ e (R e. +h) 2 Además nuestra IMU nos proporcionará las medidas de los sensores inerciales: a b NG y ωb b/i. Obsérvese que éstas no son las magnitudes que aparecen en las ecuaciones fundamentales de la navegación: necesitamos a n NG y ωb b/n. Se tiene que a n NG = C b nab NG = (C n b ) T a b NG. Y se tiene que ( ) ω b b/n = ωb b/i ωb e/i ωb n/e = ωb b/i C n b ω n e/i + ωn n/e. Recordemos ( ) que por tanto: ( ) ( ω b b/n = ω b b/i C b n ω n e/i n/e) + ωn (C b n ) T Por tanto las ecuaciones fundamentales de la navegación de velocidad y actitud se modifican: ( d Velocidad: dt v n = ω n n/e e/i) + 2ωn v n + (Cn b ) T a b NG + g n Actitud: C b n = ( ω b b/i) C b n + C b n ( ω n e/i + ωn n/e) 15 / 57

16 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Mecanización en ejes n III Ya disponemos pues de todo lo que necesitamos y podemos esquematizarlo en el siguiente diagrama de bloques: IMU a b NG b! b=i Calculo velocidad b Cn Calculo Actitud v n g n Calculo posicion Modelo gravitatorio (Á; ;h) n n! ; n=e! e=i Calculo de vel. angulares 16 / 57

17 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Mecanización en ejes e En ocasiones, por motivos de integración INS-GPS, conviene mecanizar las ecuaciones en los ejes e (en los que trabaja el GPS). Se llega a las siguientes ecuaciones para velocidad y posición: ( ω e e/i) v e + a e NG + g e = d Velocidad: dt v e = 2 ( 2 ωe/i) e v e + (Ce n ) T (Cn b ) T a b NG + g e d Posición: dt r e = v e. Habría que escribir Ce n en función de r e y v e, escribir un modelo de g e, y escribir la ecuación de la actitud, y se llegaría a un esquema similar al anterior. 17 / 57

18 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Alineamiento inicial I Supongamos que tenemos el avión en reposo en un aeropuerto, y es necesario inicializar el INS con un fix. Cómo se haría? Evidentemente, se tiene que φ, λ y h son las del aeropuerto, o incluso con mayor precisión, las tomadas de un sistema GPS. Puesto el avión está en reposo, v n = 0. Queda encontrar el valor inicial de actitud, es decir, Cn b (t = 0). Para ello se usa la medida obtenida de giróscopos y acelerómetros (en reposo). De la ecuación ( fundamental de la navegación se tiene: 0 = ω n n/e e/i) + 2ωn 0 + a n NG + g n, luego a n NG = g n y por tanto a b NG = C b n a n NG = C b n g n. Por otro lado es claro que ω b b/n = ωb b/i ωb e/i ωb n/e y evidentemente ω b b/n = 0 y ωb n/e = 0. Por tanto:ω b b/i = ω b e/i = C b n ω n e/i. 18 / 57

19 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Alineamiento inicial II Tenemos por tanto dos ecuaciones: a b NG = C b n g n y ω b b/i = C b n ω n e/i. Llamando a las medidas x b 1 = ab NG y x b 2 = ωb b/i, y denotando los modelos como y n 1 = g n y x n 2 = ωn e/i, se tiene que x n 1 = C b n (0)y b 1, x n 2 = C b n (0)y b 2 Tendríamos 6 medidas (las componentes de dos vectores) para 9 grados de libertad (las entradas de la matriz). Es necesario pues generar una medida adicional independiente. 19 / 57

20 La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Alineamiento inicial III Llamemos x 3 = x 1 x 2. Obsérvese que este vector se puede escribir como ( x b 1) x b 2 en el sistema de referencia b, donde X es la matriz antisimétrica que representa el producto vectorial. Por otro lado se tiene que ( x b 1) = C b n (0) tanto x b 3 = ( x b 1) x b 2 = C b n (0) C b n (0) ( y n 1) C n b (0). Por ( y n 1) C n b (0)C b n (0)y n 2 = ( y 1) n y n 2. Por tanto denotando y 3 = y 1 y, se tiene 2 que x b 3 = C n b (0)y n 3. Escribiendo la matriz A como la matriz cuyas columnas son x b 1, x b 2 y x b 3, y la matriz B como la matriz cuyas columnas son y n 1, y n 2 y y n 3, se tiene: A = C n b (0)B y por tanto Cn b (0) = AB 1. No se han tenido en cuenta los errores de medida: Cn b (0) probablemente no saldría ortonormal (habría que emplear un algoritmo más sofisticado que tuviera en cuenta los errores de medida). 20 / 57

21 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Si conociéramos con total precisión las condiciones iniciales, el modelo de gravedad fuera perfecto, y los sensores inerciales no cometieran errores de medida, entonces la navegación inercial sería totalmente exacta. No obstante, ésto no es así, y cada uno de los términos mencionados contiene errores. Errores en condiciones iniciales. Errores en el modelo de gravedad δg n. Errores en los sensores inerciales. Para simplificar los agruparemos en un único valor: δa b NG, δωb b/i. La navegación inercial realiza integración de ecuaciones diferenciales, luego éstos errores se van acumulando. Es importante tener un modelo del error para saber como crece, para cuantificarlo, para aplicar medidas que permitan disminuirlo (como integración con otros sensores), para descubrir que sensores son más críticos (análisis de sensibilidad), etc / 57

22 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Variables de error. En general, para una variable cualquiera de navegación x, se denota con ˆx el valor estimado con el INS. Puesto que este valor no será exacto se define el error como δx = x ˆx. Error en posición: las variables de posición son φ, λ y h. Las variables estimadas serán ˆφ, ˆλ, ĥ. Definimos el error en posición δp como δp = [δφ δλ δh] T = [φ ˆφ λ ˆλ h ĥ] T. Error en velocidad: igualmente se define δv n = v n ˆv n, donde ˆv n es la velocidad calculada por el INS. Para la actitud, cómo definir un error en la matriz de actitud δc b n? No sería correcto considerar una matriz de nueve coeficientes pequeños ya que no necesariamente sería una matriz de actitud. En su lugar, supongamos que el INS estima una actitud de los ejes cuerpo b que, al no ser exactamente la real, denotaremos por ˆb. 22 / 57

23 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Error de actitud. Por tanto, realmente Ĉ b n = C ˆb n, donde se tiene que: n ( ˆψ,ˆθ, ˆϕ) ˆb δφ x x b δφ y S 1 y S 1 δφ z S 2 b z S 2 Se tiene entonces C b n = C bˆb C ˆb n, por analogía con las definiciones anteriores definimos δc b n = C b n Ĉ b n = C bˆb Ĉ b n Ĉ b n = (C bˆb Id)Ĉ b n. Suponiendo que los errores δφ = [δφ x δφ y δφ z ] T son pequeños, se vio que C ˆb b = Id δφ, donde como siempre: 0 δφ z δφ y δφ = δφ z 0 δφ x δφ y δφ x 0 Por tanto, la ecuación que define la matriz de error δc b n es δc b n = (Id δφ Id)Ĉ b n = δφ Ĉ b n.y se tiene C b n = (Id δφ )Ĉ b n. 23 / 57

24 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Ecuaciones de propagación del error Se quiere estudiar como evoluciona el error del INS con el tiempo. Para ello, es necesario encontrar el modelo de propagación del error. Éste modelo se encuentra directamente de las ecuaciones de la navegación inercial, suponiendo que los errores son pequeños, con lo que las ecuaciones se pueden linealizar. Por ejemplo, supongamos que x es una variable que el INS estima como ˆx. La ecuación que verifica x será ẋ = f (x). El INS lo que hará será calcular ˆx a partir de ˆx = f (ˆx). Por tanto: δẋ = ẋ ˆx = f (x) f (ˆx) = f (ˆx + δx) f (ˆx). Desarrollando esta expresión en serie de Taylor y quedándonos el término constante y el lineal: f (ˆx + δx) f (ˆx) + f x x=ˆxδx. Por tanto llegamos a la siguiente expresión: δẋ = f x x=ˆxδx, que es aproximada y sólo sirve para δx pequeño. 24 / 57

25 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Propagación del error en posición I Se tiene que las ecuaciones de la posición son: φ = λ = v N R e + h v E cφ(r e + h) Por tanto el INS calculará: ḣ = v D ˆφ = ˆλ = ˆv N R e + ĥ ˆv E c ˆφ(R e + ĥ) ĥ = ˆv D Aplicando la teoría antes desarrollada, por ejemplo, para h: δh = ḣ ĥ = v D + ˆv D = δv D. Como la ecuación ya era lineal no hubo que linealizar. 25 / 57

26 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Propagación del error en posición II Para la latitud: δ φ = φ ˆφ = v N R e +h ˆv N = ˆv N+δv N R e +ĥ R e +ĥ+δh Desarrollando en serie de Taylor y quedándonos hasta el ˆv término lineal: N +δv N = ˆv N + 1 R e +ĥ+δh R e +ĥ R +ĥδv N ˆv N δh e +ĥ)2 ˆv N (R e +ĥ) 2 δh. Por tanto: δ φ = 1 δv R e +ĥ N Operando igualmente con la longitud: 1 δ λ = c ˆφ(R δv e +ĥ) E Poniéndolo todo en una matriz: ˆv E c ˆφ(R δh + ˆv E tan ˆφ e +ĥ) 2 c ˆφ(R δφ e +ĥ) (R e ˆv N R e +ĥ. δṗ = d dt δφ δλ δh = 0 0 ˆv N ˆv E tan ˆφ c ˆφ(Re +ĥ) 0 1 (Re +ĥ)2 Re +ĥ ˆv E c ˆφ(Re +ĥ) c ˆφ(Re +ĥ) δφ δλ δh δv N δv E δv D 26 / 57

27 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Propagación del error en posición III El resultado se puede escribir abreviadamente como δṗ = C pp δp + C pv δv n, donde: C pp = C pv = 0 0 ˆv N (R e +ĥ)2 ˆv E tan ˆφ c ˆφ(R e +ĥ) 0 ˆv E c ˆφ(R e +ĥ) R e +ĥ c ˆφ(R e +ĥ) , 27 / 57

28 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Errores en velocidad angular Para repetir el procedimiento con las ecuaciones de velocidad y actitud necesitamos antes encontrar el error en ω n e/i y en ω n n/e que denotaremos como δωn e/i y δω n n/e. En primer lugar se tiene que: ˆω n e/i = ω E c ˆφ 0 ω E s ˆφ Por otro lado: ˆω n n/e = δω n n/e = δω n e/i = ˆv E R e +ĥ ˆv N R e +ĥ ˆv E tan ˆφ R e +ĥ 1 R +ĥδv E e 1 R e +ĥ δv N + 1 tan ˆφ δv R e +ĥ E + ˆv E tan ˆφ ω E s ˆφ 0 ω E c ˆφ, por tanto: ˆv E δh (R e +ĥ)2 ˆv N δh (R e +ĥ) 2 δh ˆv E(1+tan 2 ˆφ) δφ (R e +ĥ)2 R e +ĥ δφ 28 / 57

29 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Propagación del error en velocidad I Las ecuaciones ( de la velocidad ) que calcula el INS serán: d dt ˆv n = ˆω n n/e + 2ˆωn e/i ˆv n + (Ĉn b ) T â b NG + ĝ n Por tanto las ecuaciones del error serán: d ( ( ) dt δv n = δω n n/e e/i) + 2δωn ˆv n ˆω n n/e + 2ˆωn e/i δv n +(δcn b ) T â b NG + (Ĉ n b ) T δa b NG + δg n Recordemos que δcn b = δφ Ĉn b. Los otros términos los hemos calculado, excepto δa b NG (el error en los acelerómetros) y δg n (el error en el modelo gravitatorio). Puesto que 0 0 g n 0 δg n = 0 δh + δg n, donde µ e (R e 2µ e +h) 2 (R e +ĥ) 3 δg n son errores en el modelado gravitatorio. 29 / 57

30 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Propagación del error en velocidad II Por tanto podremos escribir, como en el caso de la posición, δ v n = C vp δp + C vv δv n + C vφ δφ + C a δa b NG + δg n. Es una ecuación lineal en los errores, donde las matrices están definidas en función de la estimación del INS, y con dos términos forzantes: el error en los acelerómetros δa b NG y el error en el modelo gravitatorio δg n. 30 / 57

31 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Propagación del error en actitud I Finalmente, calculamos el error en actitud. Recordemos el diagrama considerando una actitud estimada intermedia ˆb: n ( ˆψ,ˆθ, ˆϕ) ˆb δφ x x b δφ y S 1 y S 1 δφ z S 2 b z S 2 ( La actitud real verifica Ċn b = ωb/n) b C b n y la actitud estimada verifica Ĉ ( n b = Ċ ˆb n = ωˆbˆb/n) Ĉ b n. Por tanto ˆω b b/n = ωˆbˆb/n. Cuál es la definición entonces de δω b b/n? Tenemos que definir el error como la realidad menos la estimación: δω b b/n = ωb b/n ωˆbˆb/n. Pero son dos vectores que no están en la misma base!! (sí en una base muy parecida). Descomponemos ω b b/n = ωb b/ˆb + ωbˆb/n y escribimos ω bˆb/n = C bˆb ωˆbˆb/n = ( Id δφ ) ωˆbˆb/n, llegando a: δω b b/n = ωb b/ˆb + ( Id δφ ) ωˆbˆb/n ωbˆb/n = ωb b/ˆb δφ ωˆbˆb/n. 31 / 57

32 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Propagación del error en actitud II Puesto que los ángulos son muy pequeños, se tiene δ φ = ω b b/ˆb. Por tanto llegamos a δωb b/n = δ φ δφ ˆω b b/n. Por tanto finalmente la ecuación del error de actitud δ φ queda como δ φ = δω b b/n + δφ ˆω b b/n. Para finalizar hay que expresar todo en función de la velocidad angular b/i, que es la que mide el giróscopo. En primer lugar, ˆω b b/n = ˆωb b/i Ĉ n b ecuación: δω b b/n = δωb b/i δc n b ( ˆω n e/i + ˆωn n/e ( ) ˆω n e/i + ˆωn n/e ). Tomando error en esta Ĉ b n ( ) δω n e/i + δωn n/e. Por tanto la ecuación del error de actitud δ φ queda: ( ) ( ) δ φ = δω b b/i + δφ Ĉn b ˆω n e/i + ˆωn n/e Ĉn b δω n e/i + δωn n/e ( ) +δφ ˆω b b/i δφ Ĉn b ˆω n e/i + ˆωn n/e ( ) = δω b b/i Ĉ n b δω n e/i + δωn n/e + δφ ˆω b b/i 32 / 57

33 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Propagación del error del INS. Por tanto podremos escribir, como antes, δ φ = C φp δp + C φv δv n + C φφ δφ + δω b b/i. Es una ecuación lineal en los errores, donde las matrices están definidas en función de la estimación del INS, y con un términos forzante: el error en los giróscopos δω b b/i. Si ponemos todos los errores juntos, llegamos a: d dt δp δv n δφ = C pp C pv 0 C vp C vv C vφ C φp C φv C φφ δp δv n δφ + Además estarán los errores en condiciones iniciales: δp δv n (t = 0). δφ 0 C a δa b NG + δg n δω b b/i Éste es el modelo de propagación del error del INS. Puesto que el término forzante es desconocido (y se modela mediante la estadística) es una ecuación diferencial estocástica. 33 / 57

34 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Ecuación del error en el canal vertical I Si trabajamos sólo con el error en h y V D, y despreciamos todos los términos excepto el gravitatorio, llegamos a la siguiente ecuación: δḣ = δv D µ e δ V D 2 (R e + ĥ) δh. 3 Por otro lado podemos aproximar en el denominador R e + ĥ R e. Teniendo en cuenta que la aceleración de la gravedad al nivel del mar g 0 = µ e, tendríamos las ecuaciones: Re 2 δḣ = δv D δ V D 2g 0 R e δh. Escribiéndolo como una única ecuación para δh: δḧ = 2g 0 R e δh. 34 / 57

35 Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Ecuación del error en el canal vertical II La solución de la ecuación diferencial es: 2g0 δh = C 1 e Re t + C 2 e 2g0 Re t, donde las constantes son función de las condiciones iniciales de altura y velocidad vertical. Éstas ecuaciones son inestables! El primer término crece hasta el infinito. Físicamente, lo que sucede es lo siguiente: si hay un error de altitud, p.ej. el INS piensa que el avión está más alto de lo que realmente está, el modelo de gravedad predice que la gravedad es menor de lo que es, con lo que el INS predice que el avión se eleva, es decir, el error inicial se amplifica! Éste resultado se mantiene si no se desprecian los términos que no se han considerado. Por tanto el canal vertical del INS es inestable y no se puede usar por sí sólo; empleando otras medidas (p.ej. barométricas) es posible compensar el canal vertical y obtener una medida fiable de la altura. 35 / 57

36 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Fuentes de Error Hemos visto que las ecuaciones de propagación del error son del tipo δẋ = A(ˆx)δx + δɛ, donde δx son las variables de navegación (posición, velocidad, actitud) y los δɛ las fuentes de error. Estas fuentes son: Errores en el modelo de gravedad δg n. Errores en los sensores inerciales δa b NG, δωb b/i. Aparte está el error en las condiciones iniciales δx(t 0 ). Si discretizamos estas ecuaciones en el tiempo, podríamos escribir un modelo algo más sencillo: δx(t k+1 ) = A(t k )δx(t k ) + δɛ(t k ). Cómo se modelan los errores? Cómo se interpretan las ecuaciones que contienen errores? Para responder a estas preguntas es necesario recordar algunos conceptos estadísticos. 36 / 57

37 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Descripción estadística del error Consideremos por ejemplo el caso del error de medida de un acelerómetro: a b NG = âb NG + δab NG, donde δab NG son errores de medida. Una componente de δa b NG, por ejemplo δa x, puede tener el siguiente aspecto: Es imposible conocer el valor con exactitud. Se observa que cambia con el tiempo. Por tanto, se representan sus propiedades usando la estadística. 37 / 57

38 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Variables aleatorias continuas unidimensionales Sea una variable aleatoria X R continua. Recordemos que la función de distribución F (x) es la probabilidad de que X x, que se escribe como F (x) = P(X x). La función de distribución se calcula mediante la función de densidad f (x): F (x) = x f (y)dy. Se define el operador esperanza matemática actuando sobre la función g(x) como E[g(X )] = g(y)f (y)dy. Se trata de un operador lineal, de forma que E[α 1 g 1 (X ) + α 2 g 2 (X )] = α 1 E[g 1 (X )] + α 2 E[g 2 (X )]. Los dos casos importantes son: Media: m(x ) = E[X ] = yf (y)dy. Varianza: V (X ) = E[(X m(x )) 2 ] = E[X 2 ] (E[X ]) 2. Desviación típica σ, la raíz cuadrada de la varianza, σ = V (X ). 38 / 57

39 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Distribución normal o gaussiana I Es la distribución más usada en estadística. Se escribe X N(m, σ 2 ) y su ( función de densidad es f (x) = 1 σ Exp ). (x m)2 2π 2σ 2 Intervalos de confianza: si X N(m, σ 2 ): Intervalo 1-σ: P(X [m σ, m + σ]) = 68,3 %. Intervalo 2-σ: P(X [m 2σ, m + 2σ]) = 95,45 %. Intervalo 3-σ: P(X [m 3σ, m + 3σ]) = 99,74 %. 39 / 57

40 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Distribución normal o gaussiana II El teorema central del ĺımite dice que la suma de variables aleatorias (con cualquier tipo de distribución) tiende en media a la normal. Puesto que los errores a gran escala provienen de la suma y acumulación de muchos errores a pequeña escala, esto justifica el uso de la normal como modelo para errores. Una propiedad importante de la normal es que la suma de normales es de nuevo normal, es decir, si X N(m x, σx) 2 e Y N(m y, σy 2 ) y son independientes, entonces si Z = X + Y se tiene que Z N(m x + m y, σx 2 + σy 2 ). Por tanto σ z = σx 2 + σy 2, es decir, la desviación típica de la suma de errores es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones típicas de los errores. Esta regla, conocida como Root-Sum-of-Squares (RSS) es muy importante. 40 / 57

41 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Variables aleatorias continuas multidimensionales Sea una variable aleatoria X R n continua multidimensional. Cada componente de X sigue una distribución unidimensional. Como en el caso unidimensional, se define una función de distribución conjunta, que se calcula mediante la función de densidad f (x). Igualmente E[g(X )] = R g(y)f (y)dy. Los dos casos importantes son: n Media: m(x ) = E[X ] = yf (y)dy. R n Matriz de covarianzas: Cov(X ) = E[(X m(x ))(X m(x )) T ] = Σ. Es una matriz simétrica y definida positiva. Los valores de la diagonal representan la varianza de cada componente de X, mientras que los valores fuera de la diagonal la correlación entre dos componentes de X. Se tiene Σ = E[(X X T ] m(x )m(x ) T. Por ejemplo, para n = 3 y escribiendo X = [X, Y, Z]: Σ = σ 2 x E[(X m x )(Y m y )] E[(X m x )(Z m z )] E[(X m x )(Y m y )] σ 2 y E[(Y m y )(Z m z )] E[(X m x )(Z m z )] E[(Y m y )(Z m z )] σ 2 z 41 / 57

42 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Distribución normal multivariante I Se escribe X N n (m, Σ) y su función de densidad es f (x) = 1 Det(Σ)(2π) n/2 Exp ( 1 2 (x m)t Σ 1 (x m) ). Los intervalos de confianza son ahora regiones de R n, definidos por P(X Ω) = P Ω. La forma de estas regiones de confianza es de elipsoides, descritos por la ecuación (x m) T Σ 1 (x m) = d 2, donde d depende de P Ω. Cuanto mayores sean los valores de los autovalores de Σ, mayor será el elipsoide. Las direcciones de los ejes del elipsoide vendrán dados por los autovectores de Σ. 42 / 57

43 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Distribución normal multivariante II Si por ejemplo describimos el error en posición en ejes cuerpo, δr b = [δx δy δz] T, como una normal multivariante con n = 3, de media cero (centrada en el avión) y con matriz de covarianzas: Σ = σ 2 x σ 2 y σ 2 z Entonces σ x representa la magnitud del error ATE (along-track error), σ y del error XTE (cross-track error) y σ z del error VE (vertical error) y podemos asimilar el movimiento del avión al movimiento del elipsoide, que representa una región de incertidumbre donde se puede encontrar el avión con gran probabilidad. Se verifica que si X N n (m x, Σ x ) e Y N n (m y, Σ y ) y son independientes, entonces si Z = X + Y resulta Z N n (m x + m y, Σ x + Σ y ). Igualmente AX + b donde A y b son no-aleatorios verifica que AX + b N n (Am x + b, AΣ x A T ). 43 / 57

44 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Procesos estocásticos. Un proceso estocástico o variable estocástica no es sino una variable aleatoria X (t) que cambia con el tiempo. Los errores de navegación serán este tipo de variables. Por tanto la media y la covarianza también varían con el tiempo: m(t), Σ(t). Para un proceso, se define la autocorrelación como R(t, τ) = E[X (t)x (τ) T ]. La autocorrelación permite conocer hasta que punto la historia pasada de X influye en su valor actual. Proceso gaussiano: Un proceso gaussiano verifica X (t) N n (m(t), Σ(t)), es decir, se distribuye como una normal multivariante cuya media y covarianza varían con el tiempo. 44 / 57

45 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Ruido blanco. Ruido blanco: Se define como ruido blanco un proceso ν(t) que verifica: E[ν(t)] = 0. E[ν(t)ν(t) T ] = σ 2 Id. R(t, τ) = E[ν(t)ν(τ) T ] = δ(t τ)σ 2 Id, donde δ(x) vale 1 si x = 0 y 0 en cualquier otro caso. La última condición quiere decir que el valor del ruido blanco en un instante es independiente de su valor en cualquier instante anterior. Ruido blanco gaussiano: Es un proceso que cumple las condiciones anteriores, y además es gaussiano. Un buen modelo para las fuentes de error (errores de medida, errores gravitatorios) es δɛ(t k ) = b + Dν, donde ν es ruido blanco gaussiano. El valor de b dará la media del error (sesgo, llamado bias en inglés). 45 / 57

46 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Propagación del error. Si en las ecuaciones de propagación del error δx(t k+1 ) = A(k)δx(t k ) + δɛ(t k ) sustituimos δɛ(t k ) = b + Dν, obtenemos el siguiente modelo de propagación del error: δx(t k+1 ) = A(k)δx(t k ) + b + Dν. Observación: típicamente b también está sometido a un error variable, de forma que b(t k+1 ) = b(t k ) + D b ν b. Para simplificar ignoramos esta variación. Se realizan las siguientes hipótesis: ν es ruido blanco gaussiano con varianza σ 2 ν. Inicialmente, δx(t 0 ) N n (m 0, Σ 0 ). Si se conocieran perfectamente, entonces Σ 0 = 0. Además se tiene la hipótesis de que δx(t 0 ) y ν son independientes. Bajo estas condiciones, se tiene que δx(t k ) es un proceso gaussiano, es decir, δx(t k ) N n (m k, Σ k ), donde la media y la covarianza verifican la siguiente evolución: Propagación de la media: m k+1 = Am k + b. Propagación de la covarianza: Σ k+1 = AΣ k A T + σ 2 νdd T. 46 / 57

47 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Propagación del error: ejemplo sencillo Supongamos que tuviéramos una ecuación de propagación del error en una dimensión (por ejemplo la posición en el eje x) dada simplemente por: δx k+1 = δx k + ν, donde: La variable temporal k representa minutos, es decir, x 6 es el error en posición pasados 6 minutos. ν es ruido blanco gaussiano de varianza σν. 2 Inicialmente, δx(t 0 ) = 0. Además δx(t k ) y ν son independientes. Entonces aplicando las fórmulas anteriores, δx(t k ) N(m k, σ k ), donde la media y la varianza verifican: Propagación de la media: m k+1 = m k. Como m 0 = 0, se tendrá m k = 0 para todo k. Propagación de la varianza: σk+1 2 = σ2 k + σ2 nu. Como σ0 2 = 0, se tiene que σk 2 = kσ2 nu. Por tanto la varianza verifica σ k = kσ ν. Si por ejemplo x son metros y el ruido blanco tiene σ ν = 0,1 metros, entonces aunque inicialmente la posición se conoce sin error, pasada una hora σ 60 = 60 0,1 = 0,77, es decir un intervalo 2-σ sería δx [ 1,55, 1,55]. 47 / 57

48 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Propagación del error para un giróscopo Si estuviéramos estimando un giro unidimensional de un ángulo, θ, a partir de la medida de su velocidad angular por un giróscopo, ω, se tiene: θ = ω. Discretizando esta ecuación obtenemos aproximadamente θ k+1 = θ k + T ω, donde T es el periodo de muestreo. El error verificará δθ k+1 = δθ k + T δω y suponiendo que δω es ruido blanco de varianza σ 2 ν, se tiene, como antes: Var[δθ k ] = k( T ) 2 σ 2 ν, y observando que k T = t es el tiempo transcurrido: = Var[δθ k ] = ( ) t T σν. σ θk En las especificaciones de un giróscopo suele venir el dato ARW= T σ ν, en unidades de grados/ tiempo. Para estimar la desviación típica del error en un tiempo t basta multiplicar ARW por t. Existen otros errores que habría también que añadir. 48 / 57

49 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Propagación del error para un acelerómetro I Para un desplazamiento unidimensional se tiene igualmente, para la velocidad, v = a y para la posición, ẋ = v. Esto implica el siguiente sistema de ecuaciones para el error: [ ] [ ] [ ] [ ] d δv 0 0 δv δa = + dt δx 1 0 δx 0 Discretizando en el tiempo: [ ] [ d δvk+1 T 0 = dt δx k+1 1 T ] [ δvk δx k ] + [ 1 0 ] δa k Por tanto, usando las ecuaciones de [ propagación ] y bajo las δvk hipótesis habituales, tenemos que N δx 2 (m k, Σ k ) y k suponiendo que δa es ruido blanco de varianza σa, 2 se tienen las siguientes ecuaciones para m k y Σ k : m k+1 = Am k, [ T 0 donde A = 1 T Σ k+1 = AΣ k A T + σadd 2 T ] [ ] 1, D = 0 49 / 57

50 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Propagación del error para un acelerómetro II Suponiendo que el error inicial es cero y perfectante conocido, m 0 = 0 y Σ 0 = Esto implica m k = 0 para todo k. Por otro lado para Σ, definimos los coeficienes como: [ ] σ 2 Σ k = vk ξ k ξ k σx 2 k Insertando Σ k en las ecuaciones obtenemos σ2 v k+1 ξ k+1 ξ k+1 σ 2 x k+1 Desarrollando: = [ T 0 1 T ] σ2 v k+1 ξ k+1 ξ k+1 σ 2 x k+1 σ 2 v k+1 = σ 2 v k + T 2 σ 2 a [ T 1 0 T ] [ +σ 2 T 2 0 a 0 0 ] ξ k+1 = ξ k + T σ 2 v k σ 2 x k+1 = σ 2 x k + T 2 σ 2 v k + 2 T ξ k 50 / 57

51 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Propagación del error para un acelerómetro III Resolviendo la primera ecuación obtenemos como antes σv 2 k = k T 2 σa. 2 Introduciendo esta ecuación en la segunda obtenemos: ξ k+1 = ξ k + k T 3 σa 2 cuya solución es ξ k = k(k 1)(2k 1) 6 T 4 σa 2 k3 3 T 4 σa. 2 Introduciendo esta ecuación en la tercera obtenemos: σx 2 k+1 = σx 2 k + k T 4 σa 2 + k(k 1) T 4 σa 2 = σx 2 k + k 2 T 4 σa 2 cuya solución es σx 2 k = k(k 1)(2k 1) 6 T 4 σa 2 k3 3 T 4 σa. 2 Recordando k T = t hemos obtenido: σ vk = t T σ a y t σ xk = 3 3 T σa. En las especificaciones de un acelerómetro suele venir el dato ruido en g (aceleración de la gravedad) partido por Hz. Multiplicando este dato por 9.8 obtenemos T σ a, en unidades de m/s 3/2. 51 / 57

52 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Propagación del error para un acelerómetro IV Para estimar la desviación típica de la velocidad y la posición procederíamos como sigue: Para la velocidad: bastaría multiplicar el valor del ruido por t. t Para la posición: bastaría multiplicar el valor del ruido por 3 3. Existen otros errores que habría también que añadir. Ejemplo: supongamos que queremos estudiar la propagación del ruido de un acelerómetro sabiendo que su valor es de 50µg/ Hz ms 2/3. Entonces σ v = t ms 2/3 = ms 1 y σ x = t 3 / ms 2/3 = 62m. Luego un intervalo 2 σ de la velocidad sería v [ˆv 0,06, ˆv + 0,06] y un intervalo 2 σ de la posición sería x [ˆx 125, ˆx + 125]. 52 / 57

53 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Medida del error en 2-D Para el caso 2-D (por ejemplo posición sobre un mapa) y si el error está distribuido como X N 2 (0, Σ), las regiones de confianza serían elipses: Dado Σ podemos escribir Σ = Pdiag{σ 1, σ 2 }P T donde P es una matriz con autovectores y σ i los autovalores. Los autovectores dan la dirección de los ejes de la elipse y los autovalores son proporcionales a su magnitud (cuyo valor exacto dependerá del grado de confianza del intervalo). 53 / 57

54 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.!"#$$%&'$(")*'+%&*+","!-" Medidas del error. Otras medidas de error en 2-D " &'()"*+,"-#./0/#)."12("3#44(5"#6(2"0/7(8"0'("-#./0/#)."12(".9100(2(5"#6(2"1)"12(1"5:("0#" 7(1.:2(7()0"(22#2.;"<'/."5/.-(2./#)"#$"-#/)0."/."9133(5"1".9100(2"-3#08"='/9'"*+," 7(1.:2(7()0."#2"(.0/710(5"-1217(0(2."12("3/B(3A"0#"C("/."9133(5"0'("9#)$/5()9("2(4/#);"" <'("9#)$/5()9("2(4/#)"/."0'()"1)13A>(5"0#"?:1)0/$A"0'("*+,"-(2$#271)9(".010/.0/9133A;" <'("9#)$/5()9("2(4/#)"=/0'"1"215/:."5(.92/C(."0'("-2#C1C/3/0A"0'10"0'(".#3:0/#)"=/33"C(" =/0'/)"0'(".-(9/$/(5"199:219A;"" CEP: Circular Error Probable. Sustituye la elipse por un " D/4:2("!".'#=."0'(".9100(2"-3#0"#$"0'("EF"./)43("-#/)0"-#./0/#)."#C.(26(5"CA"0'("190:13" círculo en cuyo interior hayg#6h0(3"ijklm*!"2(9(/6(2"$#2"!l"'#:2."1)5"/0."199:219a"215//"#$"nj+"1)5"opk,;" un 50 % de encontrar a la variable. " " # $ %!"!#!$ % $ # " *+,-$.&%/$)$!"#$!$ %&'($)!#!"!"#$ %!&&' &%( )* " " D/4:2("!Q"EF",/)43("+#/)0"-#./0/#)."9#33(90(5"#)"0'("2##$0#-"#$"G#6H0(3"C:/35/)4"$#2"!L" '#:2.":./)4"G#6H0(3"IJKLM*!"2(9(/6(2"1)5"*+,H)0())1"K#5(3"RS!;""" Es más simple de entender pero más complejo de hallar y +,-%./#$"012%3''$%42"0%567"&28%(.345*%% menos representativo estadísticamente " hablando. Si OPK,"/."1"./)43("):7C(2"0'10"(T-2(..(."!O"199:219A;"U)"#25(2"0#"9#7-:0("0'("OPK,"#$" '#2/>#)013"-#./0/#)"(22#2.8"0'(".01)5125"(22#2."V!W"$2#7"0'("B)#=)"-#./0/#)"/)"0'(" σ x /3 σ y 3σ x, entonces 5/2(90/#)."#$"0'("9##25/)10("1T/."12("2(?:/2(5;"" CEP 0,59(σ x + σ y ). " Otra medida comúnmenteopk,"/."0'(".?:12("2##0"#$"0'("16(214("#$"0'(".?:12("(22#2."='/9'"/."5($/)(5"1."$#33#=.q" usada (FAA) es el 2DRMS: círculo " OPK,"X"! " "! que contiene "! del 95 % al 98 % de los puntos. Se calcula!",01)5125"(22#2."v!w"#$"(.0/710(5"9##25/)10(."vt8"aw"#$"(19'"-#/)0"c(/)4"-#./0/#)(5" 91)"C("-2(5/90(5"$2#7"0'("9#22(.-#)5/)4"612/1)9(."#)"0'("5/14#)13"#$"0'(" 9#612/1)9("7102/T;"" DRMS = σ 2 x + σ 2 y. Entonces el 2DRMS es el círculo de radio 2 DRMS. Igualmente!"#$"%" existe el DRMS, 3DRMS / 57

55 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Algoritmo de mínimos cuadrados I En la resolución de problemas de navegación es frecuente encontrar sistemas de ecuaciones sobredeterminados (exceso de medidas) o incluso incompatibles (medidas no coherentes entre sí). Puesto que las medidas contienen errores (de diferente magnitud, según el tipo de medida), es conveniente resolver estos sistemas teniendo en cuenta dicho error. Se puede usar un algoritmo de mínimos cuadrados, que resuelve un sistema del tipo: y = Az + b, donde: y es de dimensión n y conocido (medidas). z es de dimensión m n y es desconocido (datos a calcular). A es conocido (medidas). b son los errores (desconocidos): b N m (0, Σ) Se busca una solución ẑ de forma que Aẑ sea lo más parecido posible a y en el sentido de los mínimos cuadrados. Matemáticamente, se busca ẑ tal que la función de coste J = (y Aẑ) T (y Aẑ) sea mínimo. 55 / 57

56 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Algoritmo de mínimos cuadrados II Se busca J ẑ = 0. En primer lugar: J = y T y 2y T Aẑ + ẑ T A T Aẑ Tomando la derivada: J ẑ = 2y T A + 2ẑ T A T A Igualándola a 0:y T A = ẑ T A T A Despejando ẑ: ẑ T = y T A(A T A) 1 ẑ = (A T A) 1 A T y. Obsérvese que (A T A) 1 A T es la pseudoinversa y existe siempre que A tenga al menos m filas (medidas) independientes. Propiedades estadísticas de la solución: E[ẑ] = E[(A T A) 1 A T y] = (A T A) 1 A T E[y] = (A T A) 1 A T E[Az + b] = (A T A) 1 A T AE[z] = E[z] = z. Cov[ẑ] = Cov[(A T A) 1 A T y] = (A T A) 1 A T Cov[y]A(A T A) 1 = (A T A) 1 A T ( Cov[Az + ) b]a(a T A) 1 = (A T A) 1 A T ACov[z]A T + Σ A(A T A) 1 = (A T A) 1 A T ΣA(A T A) 1 56 / 57

57 Breve recordatorio de estadística Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación. Medidas del error. Algoritmo de mínimos cuadrados ponderados Existe alguna mejora posible del algoritmo de mínimos cuadrados que disminuya la covarianza de la estimación? Se plantea ponderar las medidas en la función de coste con una matriz de pesos W, de forma que se dé más peso a las medidas más precisas y menos a las menos precisas. Por tanto: J = (y Aẑ) T W (y Aẑ) donde W ha de ser una matriz simétrica definida positiva. Procediendo como antes (se deja como ejercicio) se llega a ẑ = (A T WA) 1 A T W y. Propiedades estadísticas de la solución: E[ẑ] = z. Cov[ẑ] = (A T WA) 1 A T W ΣWA(A T WA) 1 Para minimizar la covarianza, tomar W = Σ 1 ; es simétrica y definida positiva, y se le da más peso a las medidas con menor varianza y menos peso a las de mayor varianza. Llegamos a ẑ = (A T Σ 1 A) 1 A T Σ 1 y; calculando la covarianza se obtiene: Cov[ẑ] = (A T Σ 1 A) / 57