EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE CARGAS ASOCIADAS AL BALANCE DE ENERGÍA

Transcripción

1 EJEMOS DE AICACIÓN DE CARGAS ASOCIADAS A BAANCE DE ENERGÍA Ejemplo 1: Sea la viga simplemente apoyada de luz y rigidez fleional E I, es sometida en su sección central a una carga estática cuyo valor máimo es. Se trata de determinar el desplazamiento Uo de la viga en el punto de aplicación de la carga. /2 E.I h b M a energía interna de deformación en fleión (despreciando la energía de deformación por corte) es: Wi = ½ M 2 / EI d = 2 3 / [96 E I] Donde: M = /2 ; es la distancia de la sección considerada al apoyo más cercano. Esta epresión es válida para / 2. El trabajo eterno realizado por la carga desde su valor inicial = 0 hasta su valor final está dada por: We = ½ Uo, donde Uo es el desplazamiento del punto de aplicación de la carga para = We Uo We=1/2**Uo U Sobre la base de un comportamiento elástico, la condición de conservación de la energía (condición escalar válida al final del proceso de deformación) es: We = Wi uego: Uo = 2 3 / [48 E I]

2 Es decir: U o = 3 / [48 E I] Se define como rigidez local de la viga en el punto de aplicación de la carga al cociente entre y Uo: = / Uo = 48 E I / 3. Comentario sobre el proceso de carga y sus efectos: la carga se ha supuesto de aplicación suave y progresiva desde un valor inicial igual a 0 hasta su valor máimo. Hay infinitas maneras de materializar ese proceso de carga, al menos para llegar al mismo estado final asociado a la carga total aplicada en el punto central. Una manera de aplicar la carga en forma progresiva sería descomponer la carga como un conjunto de N cargas iguales a /N, cada una de las cuales se aplica sucesivamente directamente al punto central de la viga en forma lenta de manera que no se produzcan aceleraciones del sistema. /2 /N Otra manera de aplicar que produce los mismos efectos finales (esfuerzos internos, reacciones y desplazamientos) que la forma anterior de fraccionar la carga en N carguitas, podría ser la siguiente: Representar la carga por una esfera cuyo peso es, que se lleva rodando en forma lenta desde los apoyos hasta la sección central de la viga. /2 Naturalmente, los estados intermedios de esfuerzos que producen en la viga ambas maneras de materializar la carga no son iguales entre ambos procedimientos de carga, aunque los esfuerzos y desplazamientos finales son iguales en ambos casos. Este último tipo de carga es lo que se denomina en puentes como Cargas móviles, es decir que la magnitud de la carga (o sea el peso ) es constante, pero se desplaza lentamente desde un punto en el que no produce esfuerzos (sobre los apoyos) hasta el punto que nos interesa considerar, en este caso la sección central de la viga. Ejemplo 2: Se trata de la misma viga del Ejemplo 1 pero la carga se materializa llevando un peso con una grúa sobre la sección central, y bajarla justo hasta que la base de la carga se posiciones a una distancia tan pequeña como sea posible de la superficie de la viga. Cuando se ha alcanzado esa posición, se procede a liberar el freno de la grúa en forma instantánea de manera que todo el peso actúa sobre la viga desde el mismo comienzo del proceso de carga.

3 Este tipo de modalidad de aplicar la carga se denomina habitualmente como carga súbita, es decir que pasa desde un valor nulo hasta es un instante de tiempo tan pequeño como sea posible definir. /2 h b E.I Como el sistema es elástico, la energía potencial que gastará el peso para pasar de su posición inicial antes de ser liberado hasta el instante que provoca el máimo desplazamiento en la viga se almacenará como energía interna de deformación Wi. We Uo We=*Uo U A diferencia del Ejemplo 1, la energía eterna aplicada a la viga hasta el momento que alcanza la máima flecha en el punto de aplicación de será igual a la pérdida de potencial de la carga, es decir: We = Uo Nótese que en este caso no interviene el factor ½ como en el ejemplo 1. a energía interna Wi, está dada por la misma epresión que en ese caso, es decir Wi = 2 3 / [96 E I]. A partir de la condición que Wi sea igual a We, surge que: Uo = 96 E I / 3, es decir que el desplazamiento Uo resulta ser igual a dos veces el correspondiente a la carga aplicada en forma estática. Como la viga es linealmente elástica, al resultar el valor de Uo igual a dos veces el correspondiente al caso estático (carga progresiva),

4 los esfuerzos en la viga (momento flector, corte, y reacciones) resultarán también iguales a dos veces los correspondientes al caso estático. Nótese que la rigidez local es una propiedad intrínseca de la viga que se refiere al caso de carga estática progresiva.. Conclusión: 1) a carga súbita produce esfuerzos (y deformaciones) máimos que duplican los correspondientes a la misma carga aplicada en forma gradual (estática). 2) Cabe preguntarse qué esfuerzos máimos se producirán si la carga se aplicara como una carga móvil que se desplaza sobre la viga en un tiempo que no sea muy lento como se indicó en el ejemplo 1, en el que se quería que sus efectos fueran estáticos. a respuesta no la podemos dar con el sólo uso del balance de energía puesta en juego durante el proceso de carga. a respuesta a este interrogante requiere introducir el concepto de masa o inercia de la viga ; esa inercia permitirá describir en forma precisa qué constituye una carga estática y cuándo dicha carga produce efectos dinámicos y cuándo los esfuerzos tienden a los estáticos. a respuesta a esta pregunta estará asociada al tiempo que tarde la carga en pasar de un punto en el que no produce esfuerzos (cuando está sobre los apoyos) hasta que llega al punto en que produce los efectos máimos. En su momento, más adelante en el desarrollo del curso, se demostrará que el coeficiente de impacto, definido como el factor mayor a la unidad que es necesario aplicar a los esfuerzos estáticos para obtener el valor máimo de los esfuerzos y/o deformaciones, es función de la velocidad de movimiento de la carga, y que para una superficie de lisa de rodamiento está comprendido entre 1 para una carga que se mueve con velocidad muy baja, hasta aproimadamente 1.5 cuando la velocidad alcanza un cierto valor crítico. Este tipo de consideraciones son normalmente tenidas en cuenta en el diseño de puentes carreteros, ferroviarios, puentes grúas, etc. r otro lado, si la superficie de rodamiento presenta rugosidades o irregularidades, el paso de un vehículo rodante producirá efectos dinámicos adicionales a los que corresponden a una superficie de rodamiento perfecta. Ejemplo 3: Se trata de evaluar la carga que transmite a la estructura del muelle en el proceso de aproimación de una embarcación al tomar contacto con el amortiguador o buffer fijo al muelle. a velocidad del barco al instante de tomar el contacto con el buffer es designada como Vo, y la masa total del barco como Mo. Muelle =*Uo Vo =*Uo Mo

5 El amortiguador se supondrá que es un cuerpo linealmente elástico, normalmente de goma, que transmite el efecto del barco a la estructura del muelle, que supondremos es muy rígida con respecto al amortiguador. Supóngase en primera instancia que el contacto del barco con el muelle se realiza a través de un único amortiguador. Si denominamos con la rigidez (constante) del amortiguador, la energía interna de deformación al instante de alcanzar la máima deformación, y por ende transmitir la máima carga al muelle, estará dada por: Wi = ½ Uo 2 Donde Uo es el máimo acortamiento aial del amortiguador. a fuerza máima que transmite en barco al muelle a través del amortiguador estará dada por: = Uo. Wi Uo =*Uo Wi=1/2**Uo² U Veamos ahora el balance de energía. a energía eterna que trae el barco al momento de tomar contacto con el buffer será: We = ½ Mo Vo 2 r la condición de conservación de energía (se supone no hay disipación, es decir que el proceso es elástico y totalmente reversible) tenemos: Wi = We uego: Uo = Vo [ Mo / ] 1/2. a constante entre corchetes no es otra cosa que la inversa de la frecuencia circular del conjunto Barco/amortiguador, normalmente denominada como ω i = [ / Mo] 1/2 En definitiva: Uo = Vo / ω i Y la fuerza máima transferida a la estructura del muelle estará dada por: = Uo = Vo [ Mo] 1/2 Está claro que si el barco tomara contacto simultáneo con n amortiguadores de rigidez cada uno de ellos, la rigidez total será K = n, y en las epresiones anteriores que dan el valor de la fuerza que se tramite a la estructura del muelle hay que reemplazar el valor de K en lugar de para el cálculo de la fuerza total. En este caso resultará que = [n] 1/2. Conclusión: De esta epresión surge claramente que para un barco de masa Mo y un amortiguador de rigidez, la fuerza máima que transmite al muelle es proporcional a la velocidad de aproimación Vo del barco.

6 Se demostrará más adelante en el desarrollo del curso, que todos esfuerzos en una estructura lineal elástica que surgen como resultado de un proceso de impacto son proporcionales a la velocidad del cuerpo que impacta en el instante que toma contacto con la estructura. Esa es una conclusión muy general y de gran interés práctico en los múltiples problemas de cargas impulsivas, desde el diseño de defensas contra impacto de vehículos o embarcaciones a dispositivos de seguridad, hasta la verificación de los esfuerzos que se generan durante la hinca de pilotes. Ejemplo 4: Se trata del mismo caso del ejemplo 3, pero se necesita determinar la relación entre la velocidad Vi para una masa Mi que produzcan los mismos esfuerzos máimos en la estructura de soporte del amortiguador que una cierta velocidad Vo y masa Mo de referencia. Muelle Vi =*Uo =*Uo Mi En otras palabras, queremos establecer para una masa Mi que toma contacto con el amortiguador con una velocidad inicial Vi, cuál es la relación que deben cumplir esas dos variables para que la fuerza máima que se trasmite a la estructura sea la misma que se produce con la masa Mo a velocidad Vo del ejemplo 3. Como la fuerza máima que transmitirá el amortiguador a la estructura queremos que sea la misma, se tendrá que cumplir que: = Uo = Vo [ Mo] 1/2 Y = Uo = Vi [ Mi] 1/2 De estas relaciones surge que, como es una constante del amortiguador aplicable en ambos casos: Vi = Vo [ Mo / Mi ] 1/2, es decir que la velocidad de aproimación inicial se incrementa con la raíz cuadrada de la relación de las masas. r ejemplo, si fuera Mi = Mo / 2, la velocidad inicial que produzca la misma fuerza máima en el amortiguador será: Vi = Vo [ 2 ] 1/2 = 1.41 Vo

7 0.5 8 Vi( Mi) Mi := 0.5 Mo Vi( Mi) = Vo Mi