Problemas (ecuaciones de primer grado)

Transcripción

1 Problemas (ecuaciones de primer grado) 1. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al quíntuplo del menor menos 11. Qué números son? 2. Reparte 721 entre 3 personas teniendo en cuenta que a la primera deben corresponderle 80 más que a la segunda, y a la segunda 40 más que a la tercera. 3. Calcula la longitud de los lados de un rectángulo de perímetro 82 cm y cuya base mide 8 cm más que la altura. 4. Una botella y su corcho cuestan juntos 6 euros. La botella cuesta 5 euros más que es el corcho. Cuánto cuesta el corcho y cuanto la botella?. 5. De un barril lleno de agua se saca la mitad del contenido y después un tercio del resto, quedando en él 200 litros. Calcula la capacidad del barril. 6. Se ha repartido una cantidad de dinero entre tres personas proporcionalmente a los números 2, 3 y 5. A la tercera persona le corresponden 198 euros más que a la primera. Calcula la cantidad de dinero que corresponde a cada una y la cantidad total. 7. Tres amigos juegan un décimo de lotería que resulta premiado con 6000 euros. Calcula cuanto corresponde a cada uno, sabiendo que el primero juega doble que el segundo y éste el triple que el tercero. 8. Un padre tiene 39 años y su hijo 15. Cuántos años hace que la edad del padre era el tripe que la edad del hijo?. 9. Un señor tiene 42 años y su hijo 10 años, dentro de cuántos años la edad del padre será triple que la del hijo?. 10. Una señora tiene 70 años y su hijo la mitad. Cuántos años hace que la madre tenía 3 veces la edad del hijo?. 11. Un poste tiene bajo tierra 2/7 de su longitud, 2/5 del resto sumergido en agua, y la parte emergente mide 6 metros. Halla la longitud del poste. 12. En una reunión de chicas y chicos, el número de éstas excede en 26 al de aquéllos. Después de haber salido 15 chicos y chicas, quedan triple de éstas que de aquéllos. Halla el número de chicos y chicas que había en la reunión. 13. Encuentra un número tal que el cuádruple de dicho número más 20 unidades sea igual a Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea Se desea mezclar un jabón líquido normal de 1,5 /litro con jabón extra de 2 /litro, para hacer 200 litros de mezcla a 1,7 /litro. Calcula la cantidad de litros que se debe mezclar de cada tipo de jabón. 16. Irene sale en moto desde su pueblo hacia el este a una velocidad de 60 km/h. Dos horas más tarde, María sale en moto tras ella, a una velocidad de 90 km/h. Cuánto tiempo tardará María en alcanzará Irene?. 17. Calcula un número cuya cuarta parte más la sexta parte sumen 15 unidades. 18. De un depósito lleno de agua se saca primero la mitad del agua que contiene, y después, un quinto del resto. Si en el depósito quedan aún 600 litros, cuál es la capacidad del depósito?.

2 19. Se mezclan café natural de 7,4 el kilo y café torrefacto de 6,8 el kilo, y se obtienen 150 kg a 7,04 el kilo. Cuántos kilos de cada tipo de café se han mezclado? 20. La edad de un padre es cinco veces la del hijo. Si dentro de dos años la edad del padre será cuatro veces la del hijo, cuál es la edad actual de cada uno? 21. Un coche sale de una ciudad A hacia otra ciudad B, que se encuentra a 400 km de distancia, con una velocidad de 120 km/h. A la misma hora, otro coche sale de B hacia A con una velocidad de 80 km/h a. Cuánto tiempo tardarán en encontrarse los coches? b. A qué distancia de A se encontrarán? 22. Calcula las dimensiones de una finca rectangular que tiene 12 m más de largo que de ancho, y una superficie de 640 m Se mezcla aceite de oliva, que cuesta a 3 el litro, con aceite de girasol, que cuesta a 1 el litro. Si tenemos 20 litros de mezcla a un precio de 2,5 el litro, cuántos litros de aceite de cada clase se han mezclado? 24. Una madre tiene 35 años más que su hijo, y dentro de 15 años su edad será el doble de la del hijo. Cuántos años tienen en la actualidad? 25. La base de un rectángulo mide 9 cm más que la altura. Si su perímetro mide 74 cm, cuáles serán las dimensiones del rectángulo? 26. Hoy la edad de Miguel es el doble de la edad de María. Dentro de 10 años la suma de sus edades será 65. Cuántos años tiene actualmente cada uno? 27. En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales mide el doble del lado desigual y su perímetro mide 35 m. Cuánto mide cada lado? 28. Teresa tiene 6 años, y su madre, 36. Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple de la de Teresa? 29. Si se aumenta en 5 cm el lado de un cuadrado, el área aumenta en 55 cm2. Calcula la longitud inicial del lado del cuadrado. 30. Halla el lado de un cuadrado sabiendo que si se aumentan en 5 cm dos de sus lados paralelos, se obtiene un rectángulo de 24 cm Se mezcla café de tipo A, que cuesta a 6 el kilo, con café de tipo B, que cuesta a 4 el kilo. Si tenemos 60 kilos de mezcla que sale a 4,5 el kilo, cuántos kilos de café de cada clase se han mezclado? 32. Hoy la edad de Ana es el triple de la de su hija, y hace 5 años era cinco veces mayor. Cuántos años tiene actualmente cada una? 33. La edad de Pedro es el doble de la edad de Susana. Dentro de 8 años la suma de sus edades será 46 años. Cuántos años tiene actualmente cada uno?. 34. La suma de las dos cifras de un número es 9, y la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. De qué número se trata? 35. Halla una fracción equivalente a 3/4 en la que la suma del numerador y del denominador valga Hallad un número tal que su triple menos 5 sea igual a su doble más Hallad un número tal que sumando su mitad, su tercera y cuarta parte más 45 dé por suma Añadiendo 7 unidades al doble de un número más los dos tercios del mismo da por resultado el séxtuplo de dicho número menos 23. Cuál es el número?

3 39. Se reparten 100 entre 3 personas de forma que la segunda recibe 10 más que la primera y la tercera tanto como las otras dos juntas. Cuánto ha recibido cada una? 40. Dos personas tienen juntas 2500 : una de ellas tiene 700 más que la otra. Cuánto tiene cada una? 41. Para comprar un ordenador y una tablet gasta un señor Cuánto le costó la tablet si pagó por ella 360 menos que por el ordenador? 42. Un zorro perseguido por un perro corre 5 m por segundo y se encuentra a 200 metros del perro cuando éste se lanza en su persecución. Si el perro anda 10 metros por segundo, cuánto tiempo tardará en alcanzar al zorro? 43. Un ciclista sale de Madrid a la una de la tarde y marcha a 24 km/h. A las 5 sale otro ciclista que marcha a 40 km/h. Al cabo de cuánto tiempo alcanzará el segundo al primero? 44. De una ciudad sale un peatón que anda 6 km/h; 3 horas después, de otra ciudad que dista de la primera 68 km sale otro peatón que va al encuentro del primero y anda 4 km/h. A qué distancia de la primera ciudad se encontrarán? 45. Un obrero firma un contrato con una empresa por 48 días con la condición de que el día que trabaje recibirá 96 y la comida, pero cada día que no trabaje se le descontará del sueldo 15. Al cabo de los 48 días recibe Cuántos días trabajó? 46. Dos grifos, de los cuales uno vierte 8 litros por minuto y otro 6, han llenado un estanque de 272 litros. Sabiendo que el segundo ha estado funcionando 36 minutos más que el primero, cuánto tiempo han tardado en llenarlo? 47. Dos grifos vierten agua en un estanque. El primero solo, lo llenaría en 4 horas, y el segundo en 6. Cuántas horas emplearán en llenar juntos el estanque?. 48. Un ciclista sale de Madrid y anda 16 km/h. En el mismo instante otro ciclista sale de Guadalajara y marcha a 14 km/h. La distancia de Madrid a Guadalajara es aproximadamente 60 km. A qué distancia de Madrid se encontrarán? 49. Una lancha recorre 50 metros por minuto bajando por un río y 20 metros por minuto al subir. A qué distancia de un punto dado puede bajar saliendo a las 9:00 horas, si tiene que estar de vuelta a las 11:20? 50. Dos motocicletas salen al mismo tiempo, una de Madrid y la otra de Zaragoza y se dirigen hacia Port-Bou. Sabiendo que la distancia de Madrid a Zaragoza es de 341 km y que la primera motocicleta marcha a 80 km/h y la segunda a 45 km/h. Cuál es la distancia entre Madrid y dicho pueblo sabiendo que ha invertido en el viaje seis horas y media?. 51. Una liebre perseguida por un galgo lleva a éste 60 saltos de ventaja; la liebre da 9 saltos mientras que el galgo da 6 pero tres saltos del galgo equivalen a 7 de la liebre. Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar a la liebre?

4 Problemas (ecuaciones de grado mayor a uno) 1. Despeja cada una de las variables de las siguientes fórmulas: a. B = a 2 c e. S = πr 2 b. S = a2 h 3 c. V = a 3 d. E = gt2 2 f. a 2 = b 2 + c 2 g. F = G MN r 2 h. I = PQ r 2 2. En la figura, los tres círculos son tangentes dos a dos. El círculo pequeño tiene por diámetro d y el grande 2d. a. Cuál es el perímetro del círculo grande en función de d?. b. Expresa el perímetro de la parte coloreada en función de d. c. Cuál debe ser el valor de d para que el perímetro de la parte coloreada sea igual a 60π cm. d 2d 3. En la ecuación x 2 + bx + 15 = 0, una solución es 5 cuánto vale b? cuál es la otra solución? 4. Halla dos números consecutivos cuyo producto vale La suma de un número y su cuadrado es 210. Hállalo. 6. Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano, el número de apretones de manos fue 66. Cuántas personas asistieron a la reunión? 7. La suma de dos números es 30 y la suma de sus cuadrados es 250. Calcula el número mayor. 8. La diferencia de dos números es 10 y la diferencia de sus cuadrados es 175. Calcula el número menor. 9. Una habitación tiene una superficie de 40 m 2 y el zócalo mide 26 m. Calcula las dimensiones de la habitación. 10. Para vallar una parcela rectangular de 1500 m 2 se han utilizado 160 m de valla. Calcula las dimensiones de la finca. 11. Una pirámide rectangular de base cuadrada tiene de altura 30 m y se han necesitado m 3 de piedra para construirla. Halla el lado de la base de la pirámide. 12. La edad de un niño será dentro de tres años un cuadrado perfecto y hace tres años era precisamente la raíz cuadrada de ese cuadrado. Calcula la edad que tiene actualmente. 13. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a 3, 4 y 5. Calcula la longitud de la hipotenusa sabiendo que su área es de 24 m Se tiene un lote de baldosas cuadradas. Si se forma con ellas un cuadrado de x baldosas por lado sobran 27, y si se toman x+1 baldosas por lado faltan 40. Calcula las baldosas del lote. 15. Calcula el radio de un círculo sabiendo que si aumentamos el radio en 3 cm se cuadriplica su área.

5 16. Calculad el valor de m en la ecuación x 2 mx + 4 = 0, de tal forma que las dos raíces de la ecuación sean iguales. 17. Calcula x para que KI = IJ 18. Se sabe que el área del círculo de la figura es igual a la del triángulo OAB. a. Demuestra que la longitud AB es igual que el perímetro del círculo. b. Determina el valor de r para: i. x = 2π ii. x = 5π 2 iii. x = 4,6π 19. Calculad la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos. 20. Un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm. Calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial. 21. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. Cuántos años tiene ahora cada uno? 23. Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 20 cm y su perímetro mide 48 cm. 24. En una división entre números naturales resulta que el dividendo es 1081, el divisor el doble que el cociente y éste y el resto iguales. Hallar el divisor. 25. Se tienen tres listones de madera de 6, 7 y 8 m. Se quiere cortar de cada listón un trozo de igual longitud de tal forma que con los nuevos listones se pueda formar un triángulo rectángulo. Cuánto debe medir el trozo que hay que cortar a cada listón? 26. Se quiere aprovechar un antiguo estanque circular de 10 metros de diámetro para convertirlo en una piscina rectangular, de forma que un lado mida 2 metros más que el otro y que la diagonal del rectángulo coincida con el diámetro del estanque. Cuáles serán las dimensiones de la piscina? r O A B

6 Problemas (sistemas de ecuaciones) 1. En un corral hay conejos y patos. El número de animales es 30 y el de patas 100. Cuántos conejos y patos hay en el corral? 2. La base de un rectángulo es 12 centímetros mayor que la altura y su perímetro es 64 centímetros. Halla sus dimensiones. 3. Halla dos números naturales tales que su suma aumentada en 22 sea igual a dos veces el mayor, y que la diferencia de los dos números menos 1 sea igual al menor. 4. Un motorista sale del punto F hacia el punto K a una velocidad media de 80 km/h, y al mismo tiempo sale otro motorista de K hacia F a una velocidad media de 100 km/h. Si la distancia entre esos puntos es de 360 kilómetros, cuánto tardarán en encontrarse? Cuántos kilómetros ha recorrido cada uno?. 5. La diferencia entre el denominador y el numerador de una fracción es 18. Se sabe que si se suma 8 unidades a cada uno de los términos, la fracción resultante es equivalente a 3/5. Halla la fracción. 6. Marta y Álex quedan todas las tardes en la biblioteca. Entre ambos recorren 6 kilómetros. Álex camina a una velocidad de 7 kilómetros por hora y Marta a 5 kilómetros por hora. Ambos salen de sus casas y llegan a la biblioteca al mismo tiempo. a. Cuánto tardan en llegar a la biblioteca? b. Cuál es la distancia de cada casa a la biblioteca? 7. En un mercadillo solidario se venden dos tipos de figuras de artesanía. Unas a 1,50 euros y otras a 2,50 euros. Se vendieron 82 figuras y se obtuvieron 154 euros. Cuántas unidades se vendieron de cada tipo? 8. Una caja de material de geometría contiene objetos triangulares y rectangulares. En total hay 20 objetos y se pueden contar hasta 68 vértices. Cuántos objetos hay de cada clase? 9. Dos números suman 46 y la diferencia de sus cuadrados es 92. Qué números son? 10. La superficie de una habitación rectangular mide 11,25 metros cuadrados, y el perímetro, 14 metros. Cuáles son las dimensiones de la habitación? 11. El perímetro de un triángulo isósceles es 13 centímetros y la altura sobre el lado desigual mide 4 centímetros. Cuánto miden los lados del triángulo? 12. Dos números suman 90. Si divido el mayor entre el menor, el resto es 6 y el cociente es 3. Cuáles son los números? 13. La suma de las dos cifras de un número es 11, y si se invierte el orden de sus cifras, el número aumenta en 9 unidades. Halla el número. 14. En el garaje de una comunidad de vecinos hay un total de 31 vehículos entre coches y motos y 98 ruedas tocan el suelo del garaje. Cuántos coches y cuántas motos hay en total? 15. Marta y Penélope leyeron el año pasado 20 libros entre las dos. Si Penélope leyó el triple de obras que Marta, cuántos libros leyó cada una? 16. La suma de las superficies de dos salas cuadradas del Museo de Cera es de 1300 m 2, y su diferencia es de 500 m 2. Cuáles son sus dimensiones?

7 17. Un hotel tiene habitaciones sencillas y dobles. En total tiene 100 habitaciones y 174 camas. Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? 18. En el centro de la plaza de un pueblo han formado con baldosas un rombo de 42 m 2 de superficie. Calcula la medida de sus diagonales si sabemos que suman 20 metro. 19. Los grupos de 4º A y 4º B van a ir de excursión en dos autobuses diferentes. Si en el del A suben 3 alumnos del B, los dos autocares llevarán el mismo número de estudiantes. En cambio, si seis alumnos de 4º A suben al autocar de 4ºB, este tendrá el doble de estudiantes que el otro. Cuántos alumnos hay en cada grupo? 20. Laura ha ido al quiosco y, para pagar, solo lleva monedas de uno y cinco céntimos. El periódico cuesta 1 euro, y ella ha reunido el importe exacto con 32 monedas. Cuántas ha entregado de cada tipo? 21. Un examen final consta de 20 preguntas de elección múltiple. Cada respuesta correcta es puntuada con 3 puntos, y se resta un punto por cada una incorrecta. Un alumno ha respondido a todas las preguntas y ha obtenido 36 puntos. Cuántas preguntas respondió de manera correcta y cuántas de forma errónea? 22. Una empresa de reciclado de papel mezcla pasta de papel de baja calidad, que compra por 0,25 euros el kilogramo, con pasta de mayor calidad, de 0,40 euros el kilogramo, para conseguir 50 kilogramos de pasta de 0,31 euros el kilogramo. Cuántos kilogramos utiliza de cada tipo de pasta? 23. Si el largo de un rectángulo fuese 4 centímetros más corto, y el ancho, 3 centímetros más largo, la figura obtenida sería un cuadrado cuya área sería igual que la del rectángulo inicial. Qué área tendría el cuadrado? 24. La profesora de Tecnología quiere partir un listón de madera de 24 centímetros de longitud en tres trozos para construir una escuadra, de manera que el trozo de mayor longitud mida 13 centímetros. Cuál es la longitud de los otros trozos? 25. Una agricultora quiere comprobar cuál es el número de hectáreas de superficie que posee su terreno rectangular de cultivo. Sabe que la distancia máxima existente entre dos puntos del mismo es de 25 decámetros, y que la proporción entre el largo y el ancho es 4:3.Si una hectárea equivale a 100 decámetros cuadrados, cuántas hectáreas tiene la superficie? 26. Se quiere repartir euros entre tres socios de modo que por cada 2 euros que reciba el primero, el segundo reciba 3 y no sobre ningún euro, y por cada 5 euros que reciba el segundo, el tercero reciba 6 y tampoco sobre ninguno. Cuánto dinero recibirá cada socio? 27. En unos grandes almacenes un señor compra 2 trajes de chaqueta, 1 cazadora y 2 pantalones. Paga 530 euros. En la caja contigua, otra persona esta pagando 840 euros por 3 trajes de chaqueta, 3 cazadoras y unos pantalones. Al día siguiente hay una oferta en la que se hace un 10 % de descuento, y un chico ha pagado 225 euros por un traje de chaqueta y una cazadora. Cuánto cuesta cada artículo? 28. Se quiere construir un depósito de 32 m 3, con forma de prisma cuadrangular, excavado en la tierra y sin cubrir. Si la superficie de la base y de las caras laterales debe ser de 68 m 2, calcula las dimensiones del lado de la base y de la altura.