Ejemplo 0.1 Algunas ecuaciones en una, dos, tres ó cuatro variables son:

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1 ECUACIONES Su importancia Las ecuaciones son importantes en el modelamiento de situaciones en diversas ramas del saber. Una ecuación se forma a partir de la igualdad entre dos expresiones algebraicas Estas aparecen en múltiples aplicaciones; por ejemplo, la distancia recorrida por un movil con velocidad constante se da por la expresión x = vt conocidas por todos de nuestros cursos de física en el bachillerato. El voltaje V en un circuito que posee una resistencia R en el cual fluye una corriente directa I está dada por V = IR. Tales situaciones requieren de una mejor comprensión de los datos y su solución requiere completamente del análisis de datos, sustitución de valores en la ecuación, solución, etc. En este sentido es importante abordar el concepto de ecuación y la forma como puedes resolverla. Veremos algunos problemas en otras área de conocimiento que obliga el uso de ecuaciones y finalmente algunas de las posibles ecuaciones que se pueden presentar en la resolución de problemas. Definición 0. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. A las expresiones algebraicas que intervienen en una ecuación se les conoce como términos de la ecuación. Podemos escribir t i = t d ó t d = t i para indicar la igualdad entre los términos izquierdo y derecho. Ejemplo 0. Algunas ecuaciones en una, dos, tres ó cuatro variables son:. 3x 2 2x = 8 2. x = x y 3. xyz = x 2 + y 3 + z 4. 2x + 3y z + w = 4x + y5 Aunque en los términos de una ecuación puede aparecer mas de una variable, nuestro interés de momento son ecuaciones de una sola variable. Ejercicios Para consultar:

2 Ecuaciones 2. Qué es resolver una ecuación? 2. Qué es el conjunto solución? 3. Cuándo un valor numérico satisface una ecuación? Para responder: a) Decide si es verdadero o falso: El valor x = 5 satisface la ecuación x 2 5x = 25. b) Qué valores satisfacen o son solución de la ecuación x 2 4 = 0? c) Es x = solución de la ecuación x x 2 5x x 2 = 4? 4. Verifica que el conjunto solución de la ecuación 3x 2 2x = 8 es {2, 4 3 }. 5. Verifica que el conjunto solución de la ecuación x = x y es x = 3, y = Buscar una solución para las ecuaciones de los ejemplos 0,. Por el momento solo nos interesa solucionar dos tipos de ecuaciones de una variable. Estas son lineales (donde el grado de los términos que participan es a lo mas ) y donde el número máximo de soluciones será una; y cuadráticas; (donde el grado de los términos que participan es a lo mas 2) donde tendrá máximo dos soluciones. Ejemplo 0.2 Una ecuación lineal y una cuadrática. x + 4 = 7(x 8) 2. x + = 2x 2 x + 5 Ejercicios 2 Formula dos ecuaciones lineales y dos ecuaciones cuadráticas Ejemplo 0.3 Dos ecuaciones se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Las ecuaciones x + 2 = 4 y 2x + 4 = 8 son equivalentes. Por qué? Para solucionar una ecuación haremos uso de reglas que nos permitan transformar la ecuación original en una mas sencilla pero equivalente. Estas reglas han sido conocidas como leyes de transposición de términos. Proposición 0. Esta reglas se derivan de la ley uniforme de la igualdad para la suma y el producto de los números reales.

3 Ecuaciones 3 T Todo lo que suma pasa a restar y todo lo que resta pasa a sumar. Por ejemplo, en la ecuación x + 2 = 3, podemos pasar a restar el 2 (pues está sumando en el término izquierdo) y quedará x = 3 2 y así, x =. Si tenemos y 2 = 3 entonces pasando a sumar el 2 (pues está restando) quedará y = = 5 siendo y = 5 la solución y único elemento en el conjunto solución de la ecuación. T2 Todo lo que multiplica y no es cero pasa a dividir y todo lo que está dividiendo pasa a multiplicar. Por ejemplo, si tenemos la ecuación 2x + 4 =, tenemos 2x = 4 ó 2x = 3. Como observas, el 2 multiplica a la variable x y para despejarla, debemos pasarla a dividir, quedando la solución x = 3 x +. También podemos tener la ecuación = 8. El está dividiendo TODO el término izquierdo, entonces lo podemos pasar a multiplicar a todo el término derecho, quedando x + = 40. Pasamos el a restar y queda x = 39. Observación Además de tener en cuenta las reglas establecidas anteriormente, debes tener en cuenta la jerarquía de las operaciones, pues estas son necesarias y muy necesarias para despejar variables. Ejemplo 0.4 Usos de las reglas de transposición x 5x 3 = (T2) 3 esta dividiendo pasa a multiplicar 3 3( 5x 3) = 5 + 4x Recuerde usar ley distributiva 5x 9 = 5 + 4x (T) 9 esta restando pasa a sumar 5x = 5 + 4x + 9 Sumando términos independientes 5x = 4 + 4x (T) 4x esta sumando pasa a restar 5x 4x = 4 Sumando términos semejantes 9x = 4 (T2) 9 esta multiplicado pasa a dividir 4 x = finalmente por la ley de los signos 9 x = 4 9 Ejercicios 3 Resuelve las siguientes ecuaciones, teniendo en cuenta las propiedades anteriores.. 7(y + ) 2 = 5(y + 2) 3 5. p(p + 4) 2p + = (p + ) [3x 5(2x + 3)] = 2 x x + 2 = x = 5 x 4. 3 a = a 7. x 2 = 3 x + 5

4 Ecuaciones x x + 3 = 0 x x 2 = x 2 w w 3 6 w 2 2w 3 = = 5 x x 3 x x 2 = 2 x Otra de las reglas que nos permiten solucionar ecuaciones donde uno de los miembros de la ecuación es cero y el otro se puede factorizar, se llama ley del factor nulo. Proposición 0.2 Ley del factor nulo (FN): a.b = 0 si y solo si a = 0 ó b = 0 Esta regla indica que si el producto de dos o más cantidades es cero, es porque uno de los factores debe ser cero. Lo que nos permite esta ley es convertir una ecuación donde participan varios factores en varias ecuaciones (tantas como factores) en ecuaciones lineales. Ejemplo 0.5 Resolver la ecuación x(x 2)(x + 3)(x 2 25) = 0. Para comenzar, primero debes tener en cuenta que hay 4 factores visibles por qué? Pero se puede factorizar el último factor del término izquierdo, x(x 2)(x+3)(x+5)(x 5) = 0. Ahora, como ves, hay 5 factores visibles en el término izquierdo, esto pues ellos se identifican por estar separados por signos de paréntesis. Ahora bien, si el producto de ellos es cero, quiere decir que uno de ellos es cero, es decir, x = 0 ó x 2 = 0 ó x + 3 = 0 ó x + 5 = 0 ó x 5 =. Es decir, que si existen esas posibilidades entonces las 5 posibles soluciones de la ecuacíon son {0, 2, 3, 5, 5}. Por qué? Observa que al inicio se da el término izquierdo casi en su totalidad factorizado, lo ideal es tener factorizado completamente el término para poder aplicar esta regla, lo cual amerita un buen conocimiento de las técnicas de factorización. Veamos el siguiente ejemplo en donde se requiere factorizar para poder resolver la ecuación. Ejemplo 0.6 Uso de la regla del factor cero y ténica de factorización. Piensa en cada paso. 2x 3 = 3x 2 + 2x Para tener un 0 use (T) con 3x 2 y 2x 2x 3 3x 2 2x = 0 Recuerde para obtener factores, factorizar x(2x + )(x 2) = 0 Ahora por (FN) tenemos que Pensar en la solución de tres ecuaciones (Ecu ) x = 0 çuya solución claramente es x = 0 (Ecu 2) 2x + = 0 donde con ayuda de (T) y (T2) x = 2 (Ecu 3) x 2 = 0 finalmente x = 2 consecuencia de (T) Finalmente concluimos que el conjunto solución es S x = {0,, 2}. 2 Ejercicios 4 Resuelve las ecuaciones:

5 Ecuaciones 5. 4x 4x 3 = x 3 = 4x 2 2x 3. x 2 2x + = 0 4. x 2 3x = 2 5. x 2 = y 2 = 9 Aunque ya trabajamos con ecuaciones lineales y cuadráticas, las definimos como: Definición 0.2 Una ecuación es lineal si es equivalente a una de la forma donde b, c R y b 0 bx + c = 0 Observación 2 Toda ecuación lineal se resuelve usando (T) o (T2) Ejercicios 5 Que condiciones son suficientes para los valores de b, c en la ecuación lineal para que esta tenga solución? Qué tipo de conjunto solución tendrá tal ecuación lineal según las consideraciones anteriores? Explica y exhibe ejemplos? Definición 0.3 Una ecuación es cuadrática si es equivalente a una de la forma donde a, b, c R y a 0 ax 2 + bx + c = 0 Observación 3 Una ecuación cuadrática se resuelve usando (T), (T2) o (FN) solo si el termino no nulo se puede factorizar. Ejemplo 0.7 Resolver x(x + ) = 2. Primero debemos eliminar paréntesis, quedando x 2 + x = 2. Como es una ecuación cuadrática, igualamos a cero y queda x 2 +x 2 = 0. Ahora factorizamos (x+4)(x 3) = 0. Ahora, empleamos la regla del factor nulo e igualamos a cero los factores, es decir, x + 4 = 0 ó x 3 = 0 de tal forma que la solución es x = 4 ó x = 3. Ejercicios 6 Resuelve la ecuación (3x 4)(x + ) = 2. Si no podemos resolver una ecuación cuadrática con las leyes anteriores, empleamos la conocida ecuación cuadrática. Proposición 0.3 Las solucion de una ecuacion de la forma ax 2 + bx + c = 0 es dada por la ecuacion x = b ± b 2 4ac 2a

6 Ecuaciones 6 Ejercicios 7 Utilizar la técnica de completación de cuadrados para deducir la fórmula cuadrática anterior. Bajo qué condiciones la ecuación cuadrática tiene solución única, dos soluciones o no tiene solución? Ejemplo 0.8 Para solucionar la ecuacion 3x 2 5x + 2 = 0.. Identificar los valores de a, b y c. En este caso a = 3, b = 5 y c = 2 2. Reemplazar los valores identificados en la formula En este caso, x = b ± b 2 4ac 2a x = ( 5) ± ( 5) 2 4(3)(2) 2(3) 3. Resolver 4. El signo ± nos indica dos soluciones x = 5 ± 6 x = y x = 5 6 en resumen el conjunto solución es {, 2 3 } Observación 4 Cabe destacar entonces, que para resolver una ecuación, se debe:. Eliminar paréntesis y reunir términos semejantes. 2. En una ecuación lineal, pasar los términos que contienen variables a un lado y los números al otro lado. 3. En una ecuación cuadrática, se debe igualar a cero y luego: a) Tratar de factorizar para utilizar la regla del factor nulo; ó b) Emplear la ecuación cuadrática para resolverla. Ejercicios 8 Resolver las siguientes ecuaciones empleando la técnica necesaria.. x 2 4x + 2 = x = x x 2 + 6x = 9 4. a 2 = 3(a )

7 Ecuaciones (x + )(x 2) = x(x + 2) 6. 3x 2 + 6x 5 = 0 7. x 4 x 3 2x 2 = x 2 3 x = 2 Algunos problemas de aplicación Emplearás las técnicas presentadas para resolver los problemas que a continuación se proponen. Además, debes leer y analizar los datos para determinar la información que te brinda el modelo (ecuación) que se propone con cada problema. Sobre ecuaciones lineales:. La relación entre la temperatura medida en grados Celsius (T C ) y en grados Fahrenheit (T F ) está dada por la expresión T C = 5 9 (T F 32). Para qué emplearía esta expresión? Si la temperatura dada es grados Celsius y desea hallar en grados Fahrenheit, cómo emplea esta expresión para realizar tal cálculo? Si es correcto lo anterior, a qué equivale en T F lo correspondiente a 5C? A qué equivale 40F? 2. La velocidad en kilómetros por hora de un móvil que va en un camino recto está dada por la expresión v = 6t + 0. Cuántos segundos han transcurrido cuando su velocidad es de 2m/s o 0m/s? 3. La expresión matemática x + x + x x + 4 = x indica la edad de Diofanto cuando murió. Determine la edad de Diofanto. 4. Como informó Thomas Vaughan en Science and Sport, una serie de 4200 medidas tomadas a 36 atletas mundiales se convirtieron en la fórmula para la velocidad máxima del corazón I max en latidos por minuto durante el ejercicio. La expresión es I max = 0,98I 5 + 5,948 donde I 5 es el ritmo cardíaco tomado a los cinco segundos posteriores a la conclusión del ejercicio. El ritmo cardíaco máximo de un campeón de atletismo es de 25. Halle el ritmo cardíaco del atleta inmediatamente después del ejercicio. 5. Para un gas ideal( a baja presión, el volumen V a T grados Celsius está dada por V = V 0 + T ), donde V 0 es el volumen a 0C. A qué 273,5 temperatura es V = para un gas ideal a baja presión? 2 6. Si F es la distancia focal de una lente convexa y se coloca un objeto a una distancia x de la lente, entonces la imagen del objeto estará a una distancia y de la lente, donde F, x, y se relacionan por la ecuación de una lente F = x +. Suponga que la distancia focal de una lente es y

8 Ecuaciones 8 de 4.8 cm, y que la imagen de un objeto es 4 cm mas cercana a la lente que el objeto en sí. Halle la distancia de la lente al objeto. 7. Un agente de ventas requiere hallar el costo de un producto con impuesto de venta de 5,30 %. Escriba una ecuación que permita al agente hallar el costo total c del producto que cuesta x dólares. 8. El ingreso mensual total de un jardín obtenido por el cuidado de n niños está dado por I = 500x [en miles de pesos] y sus costos mensuales totales están dados por c = 320x Halle la cantidad de niños que deben inscribirse para llegar al punto de equilibrio, es decir, para que los ingresos sean igual a los costos? Sobre ecuaciones cuadráticas:. El área de un rectángulo es de 38 cm 2 (centimetros cuadrados). El largo es 5 cm más largo que el ancho. Halle las dimensiones del rectángulo. 2. La suma de dos números es 22 y la suma de sus cuadrados es 274. Halle los números. 3. Laura ha decidido hacer un huerto de rosas rectangular con un perímetro de 76 m y un área de 360 m 2. Halle las dimensiones del huerto. 4. La población de peces de un lago aumenta y disminuye según la expresión F = 000(30 + 7t t 2 ). Aquí, F representa la cantidad de peces que hay en el tiempo t, donde t se mide en años desde el primero de enero de 2002, cuando la población de peces disminuyó por primera vez. Halle la fecha en que habrán muerto todos los peces. 5. Un fabricante de instrumentos encuentra que la ganancia P (en dólares) generada por la producción de x hornos por semana está dada por la expresión P = x(300 x) siempre que 0 x 200. Halle la cantidad 0 de hornos que se tienen que fabricar en una semana para generar una ganancia de 250 dólares. 6. Un grupo de biólogos estudió los efectos nutricionales en ratas alimentadas con una dieta que contenía diez por ciento de proteinas. La proteína compuesta de levadura y harina de maiz. Al cambiar el porcentaje P (expresado como decimal) de levadura en la mezcla de la proteiina, el grupo estimó que el promedio de aumento de peso g en una rata durante cierto periodo estaba dado por g = 200P P Estime el porcentaje de levadura que da un aumento promedio de peso d 70 gramos. 7. Existen varias reglas para determinar la dosis de medicinas adecuada para los niños una vez que se ha especificado la de los adultos. Tales reglas pueden tener como base el peso, la altura, etc. A continuación se

9 Ecuaciones 9 presentan dos reglas en donde A es la edad del niño, d es la dosis para el adulto y c es la dosis para niños. c = A d es la Regla de Young A + 2 y c = A + d es la Regla de Cowling A qué edad la dosis para niños 24 son las mismas bajo ambas reglas? Redondee su respuesta al año más cercano. 8. Un gran estanque se surte de peces. La población de peces P se modela mediante la expresión P = 3t + 0 t + 40, donde t es el número de día a partir de que los peces se introdujeron en el estanque. Cuántos días se tardará en que la población de pecesa alcance los 500? (I) Resuelve los siguientes ejercicios:. Resuelve: Al despejar la variable en la ecuación 40x + 6x 2 = 25 se obtiene: a) 5 4 b) 5 ± c) 5 ± d) 5 4 La solución de la ecuación 3 2( x) = 5 + 7(x 3) es: a) x = 7 5 b) x = 5 7 c) x = 7 5 La solución de la ecuación 2x 2 = 5x 2 es: a) x = 2 y x = 2 d) x = 37 3 b) x = 2 y x = 2 c) No existe d) x = y x = Selecciona el valor que satisface la ecuación 5x 3 = 8 + 3( x). a) b) 2 c) 3 d) 4 Respecto la solución de 5x 2x 2 = x 2 2x + 8 se puede decir que: a) x = 3 ó x = 2 b) x = 3 ó x = 2 c) x = 3 d) No hay solución. II Resuelve las siguientes ecuaciones:

10 Ecuaciones x = 0 2. p = 2 p x 3 7 = x + = x 6 = x 6. x 2x 3 = 7. a 2 + 2a = 2 + a y 2y = 0 9. (x 2) 3/4 = x = 2x Elaborado por Jaime Andrés Castaño 206- Universidad del Valle