Desigualdades con pesos para la función maximal de Hardy-Littlewood

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE SONORA División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas Desigualdades con pesos para la función maximal de Hardy-Littlewood TESIS que para obtener el grado académico de: Maestro en Ciencias (Matemáticas) presenta Alejandro de Jesús Gómez Jurado Directora de tesis: Dra. Martha Dolores Guzmán Partida Hermosillo, Sonora, Agosto de 202

2

3 ÍNDICE GENERAL INTRODUCCIÓN. FUNCIÓN MAXIMAL.. Función maximal de Hardy-Littlewood Función maximal con medidas duplicantes Estimaciones para la función maximal La función maximal diádica La función maximal sharp TRANSFORMADA DE HILBERT Núcleo conjugado de Poisson El valor principal de /x Definición y propiedades de la Transformada de Hilbert Teoremas de M. Riesz y Kolmogorov OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND Ejemplos de Operadores Integrales Singulares Operadores integrales de Calderón-Zygmund El acotamiento L p para ciertos operadores TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT La condición A p Desigualdades con pesos de tipo fuerte Pesos A Desigualdades con peso para integrales singulares ESTIMACIONES PARA LA NORMA DE LA FUNCIÓN MAXIMAL Las estimaciones CONCLUSIONES 84 APÉNDICES 86 BIBLIOGRAFÍA 90

4 ÍNDICE GENERAL

5 INTRODUCCIÓN Las desigualdades con pesos surgen de manera natural en el análisis de Fourier y su gran variedad de aplicaciones justifican aún mejor su uso y desarrollo. Algunas de estas aplicaciones están relacionadas con el estudio de problemas de valores frontera para la ecuación de Laplace en dominios Lipschitz (ver por ejemplo, [24], [3]). Algunas otras guardan relación con la teoría de extrapolación, con desigualdades vectoriales y con la obtención de estimaciones para cierto tipo de ecuaciones diferenciales parciales no lineales ([5], [4]). En términos generales, por un peso entenderemos una función no negativa u que además es localmente integrable. Así, si u y w son dos funciones con estas características, los principales problemas que se abordan en el estudio de desigualdades con pesos, son estimaciones del siguiente tipo: Estimaciones de tipo fuerte (p, p), esto es, T f (x) p u (x) dx C f (x) p w (x) dx () R n R n y estimaciones de tipo débil (p, p), a saber, u ({x R n : T f (x) > λ}) C λ p R n f (x) p w (x) dx, (2) para p <, donde para un conjunto E, u (E) significa u (E) = u (x) dx, E y T representa alguno de los operadores clásicos en el análisis armónico, por ejemplo, el operador maximal de Hardy-Littlewood, o un operador integral singular. A su vez, estos problemas se dividen en dos casos: el estudio para un par de pesos (u, w), o bien, para un solo peso w, es decir, u = w. La teoría de pesos, dio inicio con el estudio de potencias de pesos de la forma w (x) = x a. Posteriormente, en los años setentas del siglo pasado, empezó un período de prolongadas investigaciones en esta área con el trabajo de B. Muckenhoupt, R.

6 INTRODUCCIÓN Hunt y R. Wheeden. En [6] Muckenhoupt introdujo los pesos A p, también conocidos como los pesos de Muckenhoupt. La teoría A p ha experimentado un desarrollo vertiginoso desde ese entonces, y actualmente es una línea de investigación muy activa. Algunas de las principales cuestiones que hoy en día se investigan están relacionadas con la obtención de constantes óptimas que satisfagan desigualdades del tipo () y (2) para ciertos tipos de operadores aún más generales que los considerados en esta tesis. Las técnicas empleadas para tal efecto comprenden desde argumentos de tipo probabilístico, consideraciones de tipo diádico, hasta técnicas de funciones de Bellman, solo por mencionar algunas. El lector interesado puede consultar el excelente artículo [4] de M. Lacey para ampliar su información al respecto. Los prerrequisitos para este trabajo son que el lector esté familiarizado con los elementos básicos de la teoría de la medida y el análisis funcional, (ver, por ejemplo [8] y [2]). La notación que emplearemos es estándar. El conjunto de funciones localmente integrables en R n lo denotaremos por L loc (Rn ). Asimismo, S(R n ) denotará la clase de Schwartz y S (R n ) el espacio de distribuciones temperadas. Si F S (R n ) y φ S(R n ), el valor de F en φ lo denotaremos por F, φ. La convolución de dos funciones f y g la denotaremos por f g. Además f denotará la transformada de Fourier de f. Frecuentemente, utilizaremos la misma letra C para denotar a una constante que podría variar renglón tras renglón. En el Capítulo trabajaremos con diferentes tipos de función maximal. Para f en L loc (Rn ) o en L loc (µ), donde µ es una medida duplicante, esto es, µ (2) Cµ () para todo cubo, definiremos la función maximal de Hardy-Littlewood de f y demostraremos la desigualdad de tipo débil (, ) y la desigualdad de tipo fuerte (p, p), para < p <. Para la demostración de estas desigualdades usaremos la descomposición de Calderón-Zygmund. También trabajaremos con la función maximal diádica y la funcion maximal sharp. En el Capítulo 2 definiremos la transformada de Hilbert, operador que sirve como modelo de la familia de operadores integrales singulares estudiados en el Capítulo 3; además probaremos la desigualdad de tipo débil (, ) y la desigualdad de tipo fuerte (p, p), para < p <. En el Capítulo 3 estudiaremos los operadores integrales singulares de Calderón- Zygmund y también mostraremos desigualdades de tipo de débil (, ) y tipo fuerte (p, p), para < p <. En el Capítulo 4 generalizaremos las desigualdades obtenidas en los Capítulos y 3 a medidas de la forma w (x) dx, es decir, obtendremos desigualdades de la forma () y (2). Veremos también como el control que la función maximal de Hardy- Littlewood ejerce sobre los operadores de Calderón-Zygmund, nos permite obtener los resultados de acotamiento anteriormente mencionados.

7 INTRODUCCIÓN En el Capítulo 5 mostraremos que cuando w es un peso Muckenhoupt, la norma en L p (w) del operador maximal centrado de Hardy-Littlewood puede estimarse por el producto de una constante que depende de p, de la dimensión y de una potencia apropiada de la constante A p del peso w. En este proceso, obtendremos también una estimación uniforme en w para la norma del operador maximal centrado respecto a la medida µ. Una última parte de este trabajo contiene algunas conclusiones personales y apéndices.

8 INTRODUCCIÓN

9 CAPÍTULO FUNCIÓN MAXIMAL En este capítulo definiremos la función maximal de Hardy-Littlewood, la función maximal diádica y la función maximal sharp, así como también, probaremos algunas estimaciones que harán posible obtener resultados de acotamiento para estos operadores. Adicionalmente, obtendremos la descomposición de Calderón-Zygmund, herramienta que nos permitirá demostrar algunos de los resultados más importantes de este trabajo. Las referencias principales para esta parte son [9], [6], [0]... Función maximal de Hardy-Littlewood Definición. Sea f una función localmente integrable en R n. La función maximal de Hardy-Littlewood de f, es la función Mf definida por, Mf(x) = sup f(y) dy, x donde el supremo se toma sobre todos los cubos que contienen a x y representa la medida de Lebesgue de. El operador maximal de Hardy-Littlewood M es el operador que envía a la función f a la función Mf. Mostraremos que obtenemos el mismo valor de Mf(x), si en la definición solamente tomamos los cubos en lo cuales x es punto interior. Proposición.2 Sea f una función localmente integrable en R n. Para x R n, sea M f(x) = sup f(y) dy, P x P P donde el supremo se toma sobre todos los cubos P tales que x es punto interior de P. Entonces se tiene que M f(x) = Mf(x).

10 2 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL Prueba. Claramente se tiene que M f(x) Mf(x). Para x R n sea un cubo que contiene a x, no necesariamente en su interior. Sea {P k } k= una sucesión decreciente de cubos tales que P k propiamente para cada k y k= P k =. Tenemos que x es punto interior de cada P k, además por el lema de Fatou, f(y) dy lím ínf f(y) dy, k P k y dado que lím k P k = se sigue que f(y) dy lím ínf f(y) dy M f(x), k P k P k por lo tanto Mf(x) M f(x). Por Proposición.2 se puede obtener de manera sencilla que la función Mf es semicontinua inferiormente. Proposición.3 Sea f una función localmente integrable en R n, entonces el conjunto E t = {x R n : Mf(x) > t} es abierto. Prueba. Sea x E t, entonces existe un cubo P tal que x es elemento del interior de P, y se tiene que f(y) dy > t, P P como x está en el interior de P, existe r > 0 tal que B(x, r) P y puesto que P E t obtenemos que x es punto interior de E t En algunas ocasiones haremos uso de la función maximal de Hardy-Littlewood centrada en bolas, la cual está definida como, M f(x) = sup f(y) dy. r>0 B (x, r) B(x,r)

11 .. FUNCIÓN MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD 3 Ya que las medidas de un cubo y una bola son comparables, existen constantes c n y C n, dependiendo solo de n, tales que c n M f(x) Mf(x) C n M f(x). (.) Puesto que se tiene la desigualdad (.), los operadores M y M se pueden intercambiar y usaremos cualesquiera de ellos cuando sea conveniente dependiendo de las circunstancias. Definición.4 Para k Z, sea Λ k = 2 k Z n, es decir el conjunto formado por los números Z n dilatados por un factor de 2 k, sea D k el conjunto de cubos de longitud de lados 2 k y cuyos vértices están en Λ k. Los cubos diádicos son los cubos pertenecientes a D = D k. Diremos que dos cubos y no se traslapan si la intersección de sus interiores es vacía. Observemos que si, D y, entonces, o y no se traslapan. Notemos que cada D k es la unión de 2 n cubos que no se traslapan pertenecientes a D k+. Otra observación importante es el hecho de que si tenemos una sucesión estrictamente creciente {R j } de cubos diádicos entonces R j. Cuando la sucesión de cubos es creciente y sus medidas están uniformemente acotadas, entonces existe un índice k 0 tal que R j R k0 para todo j < k 0 y R j = R k0 cuando j k 0. Proposición.5 Para f L (R n ) y t > 0, existe una familia de cubos { j } tales que: t < f(x) dx 2 n t. j j Prueba. Denotaremos por C t a la familia de cubos D que satisfacen la condición t < f(x) dx (.2) y son maximales entre los cubos que la satisfacen. En virtud de las observaciones previas al enunciado de esta Proposición, tenemos que cada D que satisface la ecuación (.2) está contenido en algún C t, pues la condición (.2) da una cota superior para la medida de, < t f.

12 4 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL Los cubos en C t no se traslapan por definición, también se tiene que si D k es elemento de C t y es el elemento en D k que contiene a, entonces f(x) dx t. Por otra parte = 2 n, por lo cual, f(x) dx 2n f(x) dx 2 n t. Hemos obtenido una familia de cubos C t = { j } para los cuales se tiene t < f(x) dx 2 n t, (.3) j j para cada j. Por lo que podemos dar la siguiente definición Definición.6 Sea f L (R n ) y t > 0. Los cubos de Calderón-Zygmund de f correspondientes a t, es la colección C t = { j } de cubos diádicos maximales para los cuales el promedio de f es mayor a t. Ahora usaremos la Proposición.5 para mostrar que el operador maximal de Hardy-Littlewood es de tipo débil (, ). Teorema.7 Sea f L (R n ). Entonces para cada t > 0, el conjunto E t = {x R n : Mf(x) > t} está contenido en la unión de una familia de cubos {3 j }, que satisfacen: t 4 < f(x) dx t n j j 2, n por lo cual se obtiene E t C t R n f(x) dx.

13 .. FUNCIÓN MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD 5 Prueba. Sea x E t. Entonces existe un cubo R que contiene a x en su interior y satisface t < f(y) dy. R R Sea k Z tal que 2 (k+)n < R 2 kn. Existe a lo más un punto de Λ k en el interior de R. Consecuentemente existe un cubo en D k, y a lo más 2 n de ellos, que intersectan el interior de R. Se sigue que existe un cubo D k que se traslapa con R y satisface f(y) dy > t R 2. n R Puesto que R < 2 n R, se sigue que, f(y) dy > t 4, n R por lo tanto, f(y) dy > t 4. n Así, obtenemos que j C 4 n t para alguna j. Por Proposición.5 obtenemos que los cubos { j } satisfacen: t 4 < f(x) dx t n j j 2. n Además, como R y se traslapan y R <, se sigue que R 3 3 j por lo que E t 3 j (la notación 3 denota al cubo con el mismo centro que y con j longitud de lado el triple del lado de ). Esto conlleva a E t 3 j = 3 n j 3n 4 n f(y) dy C t j j j j t f. Obtendremos algunos resultados de la desigualdad E t Ct f del teorema anterior, los cuales muestran la importancia del operador maximal M. El operador M controla varios operadores que surgen en el Análisis. Por ejemplo, probaremos la siguiente extensión del teorema de diferenciación de Lebesgue.

14 6 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL Teorema.8 Sea f L loc (Rn ). Para x R n y r > 0 sea { } (x; r) = y R n : y x máx y j x j r. j Entonces para casi todo x R n se tiene lím r 0 (x; r) (x;r) f(y) f(x) dy = 0. (.4) Prueba. Supongamos que f L (R n ). Definamos el conjunto B por { } B = x R n : lím f(y) f(x) dy = 0, r 0 (x; r) (x;r) ahora para t > 0 definamos el conjunto { } A t = x R n : lím sup f(y) f(x) dy > t. r 0 (x; r) (x;r) Sea A = A /j y mostremos que B = A c. Sea x B, entonces j= lím sup f(y) f(x) dy = lím f(y) f(x) dy = 0, r 0 (x; r) (x;r) r 0 (x; r) (x;r) se sigue que x / A t para todo t > 0, por lo cual x / A. Por otro lado, si x / A obtenemos que lím sup f(y) f(x) dy r 0 (x; r) j, para todo j N, así 0 lím r 0 ínf lím r 0 sup (x;r) (x; r) (x; r) (x;r) (x;r) f(y) f(x) dy f(y) f(x) dy = 0,

15 .. FUNCIÓN MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD 7 luego lím sup r 0 (x; r) (x;r) f(y) f(x) dy = lím f(y) f(x) dy = 0. r 0 (x; r) (x;r) Será suficiente demostrar que A t = 0 para todo t > 0, puesto que obtendremos B c = A = lím j A /j = 0. Sea ɛ > 0, dado que C c (R n ) es denso en L (R n ), existen funciones g y h tales que f = g + h, g es continua con soporte compacto y h < ɛ. Para g se tiene que Por lo cual lím r 0 (x; r) (x;r) lím sup f(y) f(x) dy r 0 (x; r) (x;r) Así lím sup r 0 (x; r) + lím r 0 sup lím r 0 sup (x;r) (x; r) (x; r) h(x) + Mh(x). (x;r) (x;r) g(y) g(x) dy = 0. g(y) g(x) dy h(y) h(x) dy h(x) dy + lím sup h(y) dy r 0 (x; r) (x;r) A t {x R n : Mh(x) > t/2} {x R n : h(x) > t/2}. Sin embargo por el Teorema.7 Et/2 = {x R n : Mh(x) > t/2} c h /t < cɛ/t y {x R n : h(x) > t/2} 2 h /t < 2ɛ/t. En consecuencia A t está contenido en un conjunto de medida menor a cɛ/t, con ɛ arbitrario, por lo tanto A t = 0. Los puntos x para los cuales se satisface (.4) se llaman puntos de Lebesgue de f. Por Teorema.8 casi todo punto x R n es un punto de Lebesgue de f.

16 8 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL Corolario.9 Sea f L loc (Rn ). Entonces, para cada punto de Lebesgue de f, y así para casi todo x R n, f(x) = lím f(y)dy. (.5) r 0 (x; r) (x;r) f(x) Mf(x). (.6) Prueba. Notemos que lím f(y)dy f(x)dy r 0 (x; r) lím f(y) f(x) dy, (x;r) r 0 (x; r) (x;r) por consiguiente obtenemos (.5). Por otra parte, (.6) es consecuencia directa de (.5) puesto que f(x) = lím f(y)dy sup f(y) dy = Mf(x). r 0 (x; r) (x;r) x Enseguida, notemos que si x es un punto de Lebesgue de f y tenemos una sucesión de cubos 2... con j = {x}, entonces j f(x) = lím f(y)dy. j j j En efecto, si j tiene longitud de lado r j, tenemos que j (x; r j ), (x; r j ) = 2 n j y rj n = j, como lím j j = 0, entonces r j 0 cuando j. Así f(y)dy f(x) j j f(y) f(x) dy j j 2 n f(y) f(x) dy 0 (x; r j ) cuando j. (x;r j ) Teorema.0 Sea f L (R n ) y t > 0, entonces existe una familia de cubos que no se traslapan C t que consiste en cubos diádicos maximales sobre los cuales el promedio de f es mayor a t. Esta familia satisface:

17 .2. FUNCIÓN MAXIMAL CON MEDIDAS DUPLICANTES 9 (i) Para cada C t : t < f(x) dx 2n t. (ii) Para casi todo x /, donde varía sobre C t, f(x) t. (iii) Para t > 0, E t = {x R n : Mf(x) > t} 3 donde varía sobre C 4 n t. Prueba. Por Proposición.5 y Teorema.7 obtenemos (i) y (iii), respectivamente. Para demostrar (ii), sea C t = { j } la familia de cubos de Calderón-Zygmund de f correspondientes a t y sea x / j j. Entonces el promedio de f para cada cubo diádico que contiene a x es menor a t. Sea {R k } una sucesión de cubos diádicos decrecientes tales que k R k = {x}. Para cada uno de ellos se tiene R k R k f(y) dy t. Si x es un punto de Lebesgue de f, por ende es punto de Lebesgue de f y se obtiene f(x) = lím f(y) dy t. k R k R k Se concluye que f(x) t para casi todo x / j j..2. Función maximal con medidas duplicantes Estudiaremos ahora una generalización de la función maximal. Para un cubo y α > 0 denotaremos por α al cubo con mismo centro que y con longitud de lado α veces la longitud del lado de. Definición. Sea µ una medida positiva de Borel sobre R n, finita en conjuntos compactos. Diremos que µ es una medida duplicante si existe una constante C > 0 tal que µ(2) Cµ(), (.7) para cada cubo. Como ejemplo de medidas duplicantes tenemos las medidas x a dx para a > n, es decir µ(e) = x a dx. Aunque no lo haremos aquí, no es difícil verificar que esta medida cumple con la condición (.7) (ver por ejemplo [], p. 285). La medida de Lebesgue en R n es claramente una medida duplicante. E

18 0 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL Proposición.2 Sea µ una medida duplicante y α > 0, entonces existe una constante C α, que depende solo de α, tal que µ(α) C α µ(). Prueba. Por definición de medida duplicante se tiene claramente que para m N µ(2 m ) C m µ(). Sea α > 0, entonces existe n N tal que α 2 n, por lo que α 2 n, y así µ(α) 2 n µ() C n µ(). Se tiene que µ es finita en conjuntos compactos de R n, esto implica que µ es regular (ver [8], p. 99). Notemos que para cada cubo, µ() > 0, puesto que si µ() = 0 para algún cubo, tendríamos que µ(α) C α µ() = 0, por lo que µ(r n ) = 0, que resulta ser una medida trivial. De manera análoga definiremos las función maximal de Hardy-Littlewood para una función localmente µ-integrable. Definición.3 Sean f L loc (µ) y x Rn, entonces la función maximal de Hardy-Littlewood con respecto a µ de f, es la función M µ f dada por, M µ f(x) = sup f(y) dµ (y), x µ () donde el supremo se toma sobre todos los cubos que contienen a x. El operador maximal de Hardy-Littlewood con respecto a µ es el operador M µ que envía a la función f a la función M µ f. De manera similar a la Proposición.2 obtenemos que M µ f(x) toma el mismo valor si solo consideramos los cubos que contienen en su interior a x, por lo que a su vez se obtiene que M µ f es semicontinua inferiormente. Para f L (µ) y t > 0 queremos obtener la descomposición en cubos de Calderón-Zygmund de f y t relativos a la medida µ. A su vez queremos estimar la medida del conjunto E t = {x R n : M µ f(x) > t}, el cual es abierto.

19 .2. FUNCIÓN MAXIMAL CON MEDIDAS DUPLICANTES Proposición.4 Sea µ medida duplicante. Existe una constante K > tal que si y son cubos diádicos con propiamente, entonces Kµ( ) µ(). Prueba. Sea un cubo diádico contenido en, y contiguo a y con el mismo diámetro que. Entonces 3 y consecuentemente se tiene que: Esto implica que µ( ) µ (3 ) Cµ ( ) C(µ() µ( )). ( + C)µ( ) Cµ(), por lo tanto, con K = ( + C)/C obtenemos el resultado. Como consecuencia de la Proposición.4 se tiene que si { j } es una sucesión de cubos diádicos estrictamente crecientes, entonces µ ( j ) K j µ( 0 ) cuando j. Concluimos que si tenemos una cadena de cubos diádicos crecientes tal que su µ-medida es acotada por arriba, entonces su diámetro es acotado, es decir, la cadena termina en un cubo que contiene a los demás. Proposición.5 Si A > 0, entonces existe B > 0 tal que para cada par de cubos y R que se traslapen y satisfagan < A R, se cumple que µ () < Bµ (R). Prueba. Se tiene que /n < A /n R /n, entonces αr propiamente con α = 2A /n +, así µ () < µ (αr) Bµ (R). Denotaremos por C t = C t (f, µ) a la colección formada por todos los cubos diádicos maximales que satisfacen la condición: t < f(y) dµ(y). (.8) µ () Por la desigualdad (.8) µ (), está acotado por t f. La Proposición.4 implica que cada cubo diádico que satisface la ecuación (.8) está contenido en algún elemento de C t. Sea C t, si D K y es el elemento en D K, tal que, tenemos que f(y) dµ (y) t. µ ( ) Como 3 se tiene que µ ( ) µ (3) Cµ (), en consecuencia

20 2 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL f(x) dµ(x) µ () Por lo tanto para C t se tiene, t < f(x) dµ(x) µ () C f(x) dµ(x) Ct. µ ( ) C f(x) dµ(x) Ct. µ ( ) Sea x E t, esto es M µ f(x) > t. Entonces existe un cubo R que contiene a x en su interior y satisface t < f(y) dµ (y). µ (R) R Ahora sea un cubo diádico que se traslapa con R, y satisface R < 2 n R y además R f dµ > tµ (R) 2 n. Sea B la constante correspondiente a A = 2 n en la Proposición.5 entonces µ () < Bµ (R) y se sigue que por lo que inferimos R f dµ > f dµ > µ () tµ () 2 n B, t 2 n B. Se sigue que j para algún j C 2 n B t y R 3 3 j. Si C 2 n B t = { j } se obtiene E t j 3 j y finalmente, µ (E t ) µ (3 j ) C µ ( j ) j j C2n B f dµ C f dµ. t j t R n j De manera análoga a como se probó el Teorema.8 y el Corolario.9, obtenemos la siguiente extensión del teorema de diferenciación de Lebesgue:

21 .3. ESTIMACIONES PARA LA FUNCIÓN MAXIMAL 3 Teorema.6 Sea f L loc (µ). Entonces para casi toda x Rn se tiene: a) lím r 0 f(y) f(x) dµ (y) = 0. µ((x;r)) (x;r) b) f(x) = lím r 0 f(y)dµ(y). (x;r) (x;r) c) f(x) M µ f(x). En particular, si C t (f, µ) = { j }, se tiene que f(x) t para casi todo x / j j. Finalmente podemos establecer el siguiente teorema: Teorema.7 Sea f L (µ) y t > 0. Entonces existe una familia de cubos que no se traslapan C t = C t (f, µ), formada por cubos diádicos maximales para los cuales el promedio de f relativo a µ es mayor a t. Estos cubos satisfacen: (i) Para cada C t : t < f dµ Ct. µ() (ii) Para casi todo x /, donde varía sobre C t, se tiene f(x) t. Además, para cada t > 0, el conjunto E t = {x R n : M µ f(x) > t} 3 donde varía sobre C t/c, y se tiene la estimación: µ (E t ) C f dµ. t R n La letra C representa una constante absoluta, posiblemente diferente en cada ocurrencia..3. Estimaciones para la función maximal En esta sección obtendremos algunas estimaciones para la medida de Lebesgue del conjunto E t, las cuales nos permitirán demostrar la desigualdad de tipo débil (, ) y la desigualdad fuerte (p, p), < p <, para el operador M. Teorema.8 Sea f una función localmente integrable en R n y sea t > 0. Entonces se tienen las siguientes estimaciones de la medida de Lebesgue del conjunto E t = {x R n : Mf(x) > t}. E t C f (x) dx. (.9) t E t C t {x R n : f(x) >t/2} {x R n : f(x) >t} Aquí C y C son constantes que no dependen de f ni de t. f (x) dx. (.0)

22 4 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL Prueba. Sea f = f + f 2, donde f (x) = f (x) si f(x) > t/2 y f (x) = 0 de otra manera. Puesto que f 2 t/2 implica que Mf 2 t/2 obtenemos Mf(x) Mf (x) + Mf 2 (x) Mf (x) + t/2, de aquí que si x E t entonces t/2 < M f(x) por lo cual E t {x R n : Mf (x) > t/2} 3n 4 n = C t {x R n : f(x) >t/2} f (x) dx. t/2 R n f (x) dx Para probar la desigualdad (.0) asumamos que f L (R n ). Entonces usamos la descomposición de Calderón-Zygmund para f y t. Tenemos cubos j que no se traslapan tales que t < f(x) dx 2 n t, j j y f (x) t para casi todo x / j j. Por lo que para casi todo x R n, si f (x) > t entonces x j j. Por otra parte x j implica que Mf(x) > t, es decir j E t, entonces se obtiene E t j j = j j 2 n t f (x) dx. 2 n t {x R n : f(x) >t} j j f (x) dx El siguiente resultado se prueba de manera análoga. Teorema.9 Supóngase que µ es una medida positiva regular de Borel en R n que es duplicante. Entonces existen constantes C y C, tales que para cualquier función Borel medible f y cualquier t > 0: µ ({x R n : M µ f(x) > t}) C f (x) dµ (x). t µ ({x R n : M µ f(x) > t}) C t {x R n : f(x) >t/2} {x R n : f(x) >t} f (x) dµ (x).

23 .3. ESTIMACIONES PARA LA FUNCIÓN MAXIMAL 5 Del Teorema.8 se deriva la siguiente estimación para la función maximal. Teorema.20 Para cada p con < p <, existe una constante C p,n > 0 tal que para cada f L p (R n ) Prueba. R n (Mf (x)) p dx = p ( ) /p ( ) /p (Mf (x)) p dx C p,n f (x) p dx. R n R n Cp 0 0 t p {x R n : Mf (x) > t} dt t p 2 f (x) dxdt {x R n : f(x) >t/2} ( ) 2 f(x) = Cp f (x) t p 2 dt dx = C2p p R n 0 p R n f(x) p dx. De manera análoga obtenemos el siguiente resultado. Teorema.2 Sea µ una medida positiva regular de Borel en R n que es duplicante. Entonces para cada p con < p <, existe una constante C p > 0 tal que para cada f L p (µ): M µ f p C p f p. Es trivial que para f L (R n ) se tiene Mf C f. Por lo que por el Teorema.20 obtenemos que el operador M es acotado en L p (R n ) para < p. Sin embargo M, no es acotado en L (R n ). De hecho para f 0 se tiene que Mf / L (R n ) al menos que f(x) = 0 para casi todo x R n. Esto el fácil de ver: supongamos que Mf L (R n ), para a > 0 y x > a se tiene que Mf (x) f(y) dy (x; 2 x ) (x;2 x ) = C x n f(y) dy. (0;a) f(y) dy (0; 2 x ) (0;a)

24 6 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL Dado que x n no es integrable para x > a se sigue que f(y) dy = 0, (0;a) para a > 0 arbitrario, por lo que f = 0 casi en todas partes. Ejemplo.22 Sea f(x) = x (log x) 2 X (0,/2]. Entonces f L (R) y Mf / L loc (Rn ). Prueba. El cambio de variable u = log x muestra que f L (R). Probaremos que Mf / L loc (Rn ). Sea x (0, /2). Para n N con x + /n < /2, consideremos el intervalo [0 + /n, x + /n], se tiene Mf(x) = sup [a,b] x b a = [ x ln y ] x+/n /n [a,b] (0,/2] = x para todo n N con x + /n < /2, por lo cual ( Mf(x) dy y (log y) 2 x+/n x /n ln (/n) ln (x + /n) x ln x, para x (0, /2). Un cálculo sencillo muestra que dy y (log y) 2 ), no es localmente integrable. x ln x La estimación {x R n : Mf(x) > t} C f t actúa como un sustituto al acotamiento en L. A continuación presentamos otro sustituto a este acotamiento. Teorema.23 Sea f una función integrable con soporte en una bola B R n. Entonces Mf es integrable sobre B si y solo si: f(x) log + f(x) dx <. (.) Prueba. Si se tiene (.) entonces B

25 .3. ESTIMACIONES PARA LA FUNCIÓN MAXIMAL 7 B Mf(x)dx = {x B : Mf(x) > t} dt = 2 {x B : Mf(x) > 2t} dt 0 0 ( ) 2 B dt + E 2t dt 0 2 B + C f (x) dxdt t {x R n : f(x) >t} f(x) dt = 2 B + C f(x) R n t dx = 2 B + C f(x) log + f(x) dx. R n En esta parte de la prueba no se utilizó el hecho de que f tenga soporte en B. El mismo argumento muestra que si f(x) log + f(x) dx < entonces Mf es R n localmente integrable. Supongamos que Mf(x)dx <. Sea c el centro de la bola B, denotemos por B B la bola con centro en c y con radio dos veces el radio de B. Mostraremos primero que Mf(x)dx <. Sea x B \ B y sea x el punto simétrico a x con respecto B a la frontera de B. Para r > 0 se tiene que B B (x, r) B (x, r). Como f tiene soporte en B se sigue que B(x, r) B(x,r) f(y) dy En consecuencia Mf(x) CMf(x ). Así Mf(x)dx = Mf(x)dx + B B Además para x / B tenemos CMf(x) = sup r>0 B(x, r) B(x, x c /2) B(x,r) B f(y) dy CMf(x ). B(x, r) B(x,r) B \B f(y) dy = Mf(x)dx ( + C) Mf(x)dx. B sup r> x c /2 f(y) dy B B f(y) dy B(x, r) B(x,r) f(y) dy <. Como B(x, x c /2) cuando x entonces CMf(x) f(y) dy 0 B(x, x c /2) B

26 8 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL cuando x. Así, dado t > 0 existe r > 0 tal que si x r entonces Mf(x) t, por lo cual {x R n : Mf(x) > t} B(0, r), luego Mf(x)dx Mf(x)dx = Mf(x)dx + Mf(x)dx {x R n :Mf(x)>t} B(0,r) B B(0,r)\B Mf(x)dx + C B(0, r) \ B <. B Por lo que {x R n :Mf(x)>} Mf(x)dx = {x R n :Mf(x)>} Mf(x) dtdx {x R n : Mf(x) > t} dt f(x) dxdt 2 n t = 2 n R n f(x) {x R n : f(x) >t} f(x) dt t dx = 2 n R n f(x) log + f(x) dx. En consecuencia se obtiene la ecuación (.) Este teorema se extiende para M µ donde µ es una medida positiva de Borel duplicante. es Para f L loc (Rn ). Denotaremos por f al promedio de f sobre el cubo, esto f = f (x) dx. Proposición.24 Sea φ medible y no negativa y sea f L loc (Rn ). Entonces φ (x) dx C f(x) Mφ (x) dx. {x R n :Mf(x)>t} t R n Prueba. Sin pérdida de generalidad supongamos que f 0. Existe una sucesión {f j } j= de funciones integrables tales que, 0 f f 2..., f j f casi en todas partes.

27 .3. ESTIMACIONES PARA LA FUNCIÓN MAXIMAL 9 Primero veremos que {x R n : Mf(x) > t} = j {x R n : Mf j (x) > t}. (.2) Como f j f casi en todas partes, entonces Mf j (x) Mf (x) para x R n, por lo que si Mf j (x) > t entonces Mf(x) > t. Por otra parte, si x R n satisface que Mf(x) > t, existe un cubo tal que f > t; dado que f j f casi en todas partes y crecientemente, se sigue que (f j ) f ; por lo cual existe k tal (f k ) > t, de aquí que Mf k (x) > t. De esta forma, si cada f j satisface φ (x) dx C f j (x) Mφ (x) dx, {x R n :Mf j (x)>t} t R n esto nos lleva a {x R n :Mf(x)>t} φ (x) dx = lím φ (x) dx j {x R C n :Mf j (x)>t} t lím f j (x)mφ (x) dx j R n = C f(x) Mφ (x) dx. t R n Entonces podemos asumir que f L (R n ). Sea t > 0, por la descomposición de Calderón-Zygmund obtenemos una colección de cubos que no se traslapan { j } tales que t 4 < f(x)dx t n j j 2, n {x R n : Mf(x) > t} j 3 j. Por lo cual φ (x) dx φ (x) dx φ (x) dx {x R n :Mf(x)>t} j 3 j j 3 j = φ (x) 3 j dx 3 j j 3 j φ (x) 3 j j 3j 3n 4 n f(y)dydx t j = 3n 4 n f (y) φ (x) dxdy. t j 3 j 3 j j

28 20 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL Si y j, se sigue que y 3 j, en consecuencia Mφ (y) φ (x) dx. 3 j 3 j Por lo tanto {x R n :Mf(x)>t} φ (x) dx 3n 4 n f (y) Mφ (y) dy t j j = C f(x)mφ (x) dx. t R n.4. La función maximal diádica Ahora estudiaremos otro tipo de función maximal para la cual también obtendremos la desigualdad de tipo débil (, ). Definición.25 Sea f L loc (Rn ), y sea E k f (x) = ( ) f X (x), D k La función maximal diádica de f está definida por M d f (x) = sup E k f (x). k El operador maximal diádico M d es el operador que envía a la función f a la función M d f. De la definición de E k f (x) se tiene que si Ω es la unión de los cubos en D k, entonces E k f = f. Ω Teorema.26 () El operador maximal diádico M d es de tipo débil (, ). (2) Si f L loc (Rn ) entonces lím k E k f (x) = f (x). Ω

29 .4. LA FUNCIÓN MAXIMAL DIÁDICA 2 Prueba. Sea f L (R n ), sin pérdida de generalidad supongamos que f 0. Sea Notemos primero que Ω k = {x R n : E k f (x) > λ y E k f (x) λ si j < k}. {x R n : M d f (x) > λ} = k Ω k. Claramente k Ω k {x R n : M d f (x) > λ}. Sea x R n tal que M d f (x) > λ, entonces existe k Z, tal que E k f (x) > λ. Por otra parte, como f L (R n ) existe k 2 Z tal que para D k2 se tiene f / λ, por lo que para j k 2 obtenemos que E j f (x) λ. Sea k = mín {z Z : E z f (x) > λ}, consecuentemente E k f (x) > λ y E j f (x) λ si j < k. Si x Ω k, existe D k tal que x y f > λ, donde f = f (x) dx. Además para j < k, si D j con x, entonces f λ. Se sigue que cada Ω k es la unión de cubos en D k. Por construcción, los conjuntos Ω k son ajenos por pares, de aquí que {x R n : M d f (x) > λ} Ω k E k f λ k k Ω k f λ k Ω k λ f. (2) es una consecuencia del Teorema de diferenciación de Lebesgue puesto que la medida de D k tiende a cero cuando k tiende a infinito. Observemos que el operador M d es de tipo fuerte (p, p), para < p <. Puesto que si f L (R n ) y x R n, existe un único cubo D k tal que x, por consiguiente E k f (x) = f f, para todo k Z, así M d f (x) f, lo que implica la desigualdad de tipo fuerte (, ). Por el Teorema de interpolación de Marcinkiewicz se obtiene que M d es de tipo fuerte (p, p), para < p <.

30 22 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL.5. La función maximal sharp Definición.27 Sea f L loc (Rn ), la función maximal sharp de f, es la función M # f, definida por M # f (x) = sup f (y) f dy, x para todo x R n. El supremo se toma sobre todos los cubos que contienen a x, y f representa el promedio de f en, es decir f = f (x) dx. El operador maximal sharp f M # f, es análogo al operador maximal de Hardy- Littlewood M, mas sin embargo tiene ciertas ventajas sobre M. Claramente se tiene M # f (x) 2Mf (x). Enseguida probaremos un par de lemas cuya demostración será un ingrediente muy importante para la obtención de algunos resultados cruciales en el Capítulo 4. Lema.28 Sea f L p 0 para algún p 0, p 0 <, entonces para toda γ > 0 y λ > 0 se tiene: { x R n : M d f (x) > 2λ, M # f (x) λγ } 2 n γ {x R n : M d f (x) > λ}. Prueba. Sin pérdida de generalidad supongamos que f 0. Fijemos γ, λ > 0. Se tiene que ( /p0 f f 0) p, por lo que de manera análoga a como se hizo en el Teorema.26, el conjunto {x R n : M d f (x) > λ} se puede representar como la unión de cubos disjuntos diádicos maximales. Así, si es uno de estos cubos, será suficiente con demostrar que { x : M d f (x) > 2λ, M # f (x) λγ } 2 n γ. Sea el cubo diádico que contiene a, cuya longitud de los lados es el doble de la longitud de los lados de. Puesto que es maximal, se sigue que f λ.

31 .5. LA FUNCIÓN MAXIMAL SHARP 23 Si M d f (x) > 2λ, existen k Z y D k con x tal que f > 2λ. Dado que es maximal y f > λ, se sigue que. Entonces fx = f > 2λ, consecuentemente M d (fx ) (x) > 2λ. Esto implica que ) ) (( ) ) M d ((f f X (x) + f M d f f X (x) + f X (x) ) ) = M d ((f f X + f X (x) Entonces = M d (fx ) (x) > 2λ. ) ) M d ((f f X (x) M d (fx ) (x) f > λ. Como M d es de tipo débil (, ) tenemos que (( ) ) } {x : M d f f X (x) > λ λ f (x) f dx f (x) f dx 2n λ 2n λ ínf M # f (x). x Si el conjunto { x : M d f (x) > 2λ, M # f (x) λγ } es vacío, es trivial. Si x y M # f (x) λγ, entonces { x : M d f (x) > 2λ, M # f (x) λγ } {x : M d f (x) > 2λ} (( ) ) {x : M d f f X (x) > λ} 2n λ ínf M # f (x) 2 n γ. x La estimación que hemos establecido en el Lema previo se conoce como una desigualdad de tipo good lambda. Finalmente, compararemos los operadores M d y M #.

32 24 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL Lema.29 Si p 0 p < y f L p 0 entonces [M d f (x)] p [ dx C M # f (x) ] p dx. R n R n Prueba. Para N > 0 sea I N = N Mostraremos primero que I N es finito 0 pλ p {x R n : M d f (x) > λ} dλ. I N = p N p 0 λ p p 0 λ p0 {x R n : M d f (x) > λ} dλ p 0 0 p p 0 N p p 0 0 = p p 0 N p p 0 M d f p 0 p 0 <. p 0 λ p 0 {x R n : M d f (x) > λ} dλ Si hacemos cambio de variable µ = 2λ obtenemos N/2 I N = 2 p pλ p {x R n : M d f (x) > 2λ} dλ 0 N/2 2 p pλ ( p { x R n : M d f (x) > 2λ, M # f (x) λγ } + 0 { x R n : M # f (x) > λγ } ) dλ. Por Lema.28 se sigue que N/2 I N 2 p pλ p {x R n : M d f (x) > λ} 2 n γdλ Ahora con µ = γλ tenemos 0 N/2 + 2 p pλ p { x R n : M # f (x) > λγ } dλ 0 N/2 2 p+n γi N + 2 p pλ p { x R n : M # f (x) > λγ } dλ, I N 2 p+n γi N + 2p γ p 0 γn/2 0 pλ p { x R n : M # f (x) > λ } dλ.

33 .5. LA FUNCIÓN MAXIMAL SHARP 25 Fijemos γ tal que 2 p+n γ = /2, luego I N 2p+ γ p γn/2 0 pλ p { x R n : M # f (x) > λ } dλ, (.3) El caso M # f p = es trivial. Supongamos que M # f p <. Tomemos límite cuando N en (.3) 0 es decir, pλ p {x R n : M d f (x) > λ} dλ 2p+ γ p [M d f (x)] p dx 2p+ R γ n p 0 pλ p { x R n : M # f (x) > λ } dλ, R n [ M # f (x) ] p dx. En el Capítulo 4 generalizaremos este resultado a medidas de la forma w (x) dx, con w una función apropiada.

34 26 CAPÍTULO. FUNCIÓN MAXIMAL

35 CAPÍTULO 2 TRANSFORMADA DE HILBERT En este capítulo empezaremos por abordar el núcleo conjugado de Poisson y el valor principal de /x, los cuales utilizaremos para definir la transformada de Hilbert. Después introduciremos los Teoremas de M. Riesz y Kolmogorov que nos permitirán mostrar su acotamiento. La transformada de Hilbert es el operador que sirve como modelo en la familia de operadores de Calderón-Zygmund que estudiaremos en el próximo capítulo. Nuestra exposición se basa primordialmente en [6]. 2.. Núcleo conjugado de Poisson Dada una funcion f en S (R), su extensión armónica al semiplano superior está dada por la función u(x, t) = P t f(x), donde P t es el núcleo de Poisson unidimensional P t (x) = t π (t 2 + x 2 ). Se sabe que P t (ξ) = e 2πt ξ, entonces por el teorema de inversión se tiene u(x, t) = P t f(ξ)e 2πixξ dξ = e 2πt ξ f(ξ)e 2πixξ dξ. Sea z = x + it, luego u(z) = Ahora definamos = = e 2πt ξ f(ξ)e 2πixξ dξ + f(ξ)e 2πi(x+it)ξ dξ + f(ξ)e 2πizξ dξ e 2πtξ f(ξ)e 2πixξ dξ f(ξ)e 2πi(x it)ξ dξ f(ξ)e 2πizξ dξ. iv(z) = 0 f(ξ)e 2πizξ dξ 27 0 f(ξ)e 2πizξ dξ.

36 28 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT Se puede verificar directamente que v es armónica en R 2 +. Además u y v son reales si f es real. También se tiene que u + iv es holomorfa pues (u + iv)(z) = 2 0 f(ξ)e 2πizξ dξ, y el integrando es holomorfo con respecto a z. De aquí inferimos que v es el conjugado armónico de u. Para z = x + it obtenemos que v(x, t) = = = 0 0 ( i) f(ξ)e 2πi(x+it)ξ dξ ( i)e 2πtξ f(ξ)e 2πixξ dξ ( i) f(ξ)e 2πi(x it)ξ dξ ( i)sgn(ξ)e 2πt ξ f(ξ)e 2πixξ dξ. Por el teorema de inversión esto equivale a v(x, t) = t f(x), ( i)e 2πtξ f(ξ)e 2πixξ dξ donde t (ξ) = ( i)sgn(ξ)e 2πt ξ. Si invertimos la transformada de Fourier de t (ξ) obtenemos el núcleo conjugado de Poisson. Definición 2. El núcleo conjugado de Poisson t está dado por t (x) = x π (t 2 + x 2 ). Nótese que (x, t) t (x) es una función armónica en R 2 + y que t (x) es el conjugado armónico del núcleo de Poisson P t (x), puesto que para z = x + it se tiene P t (x) + i t (x) = la cual es analítica en R 2 +. t + ix π (t 2 + x 2 ) = i(x it) π (x + it) (x it) = Dado que u(x, t) = P t f(x) y {P t } t>0 es una identidad aproximada, tenemos que para f L p (R), p <, se cumple que u(x, t) f(x) en L p (R) cuando t 0. i πz,

37 2.2. EL VALOR PRINCIPAL DE /X 29 Nos gustaría obtener una estimación análoga para v(x, t); sin embargo { t } t>0 no es una identidad aproximada, de hecho t no es integrable para cualquier t > 0, pues para x t se tiene t (x) = x π (t 2 + x 2 ) x 2πx 2 = 2π x, y /2π x es claramente no integrable. Obsérvese que para x 0 se tiene lím t (x) = t 0 πx. La función /πx no es localmente integrable, así no es posible definir convolución con funciones suaves El valor principal de /x La función /x / S(R), sin embargo define una distribución temperada de la siguiente manera. Definición 2.2 El valor principal de /x es la distribución temperada, denotada v.p., dada por x v.p. (φ) = lím x ɛ 0 + x >ɛ x >ɛ φ(x) dx, φ S (R). (2.) x Para mostrar que la ecuación (2.) define efectivamente una distribución temperada notemos que φ(x) φ(x) lím dx = lím ɛ 0 + x ɛ 0 + ɛ< x < x dx + φ(x) x > x dx, como la función /x es impar se tiene φ(x) x dx = ɛ< x < ɛ< x < φ(x) φ(0) dx. x Por el teorema del valor medio se sigue que φ(x) x dx C φ, ɛ< x <

38 30 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT además x > de lo que se sigue que φ(x) x dx lo que prueba que v.p. x S (R). Proposición 2.3 En S (R), se tiene x > φ(x) dx = x x > xφ(x) dx x 2 xφ(x) dx x 2 = C 2 xφ(x), v.p. x (φ) C( φ + xφ(x) ), lím t = t 0 π v.p. x. Prueba. Para cada ɛ > 0, sea ψ ɛ (x) = x X { x >ɛ}. Cada ψ ɛ es acotado, se sigue que cada ψ ɛ define una distribución temperada. Para φ S(R) se tiene que por lo cual lím ψ ɛ, φ = lím ɛ 0 ɛ 0 ψ ɛ (x)φ(x)dx = lím ɛ 0 x >ɛ = v.p. x (φ) = v.p. x, φ, lím ψ ɛ = v.p. ɛ 0 x en S (R). Por lo tanto basta con demostrar que en S (R) ( t ) π ψ t = 0. lím t 0 φ(x) x dx Sea φ S(R), entonces xφ(x) π t ψ t, φ = R t 2 + x dx 2 xφ(x) = x <t t 2 + x dx + 2 yφ(ty) = + y dy 2 y < x >t φ(x) x dx x >t y > ( x t 2 + x 2 x φ(ty) y ( + y 2 ) dy. ) φ(x)dx (sustituyamos x = ty)

39 2.2. EL VALOR PRINCIPAL DE /X 3 Tenemos que yφ(ty) M y φ(ty) M 2, también que dy < y y < +y 2 dy <, por lo que el teorema de convergencia dominada implica que y > M 2 y(+y 2 ) lím π t ψ t, φ = t 0 y < yφ(0) + y dy 2 y > φ(0) y ( + y 2 ) dy. Como ambos dominios son simétricos y ambos integrandos son impares se sigue que lím t 0 π t ψ t, φ = 0 para todo φ S(R), concluyendo así que lím t 0 ( t π ψ t) = 0. Como consecuencia de la Proposición 2.3 obtenemos que para f S(R) ( lím ( t f) (x) = t 0 π v.p. ) x f Proposición 2.4 En S (R), se tiene (x) = π lím t 0 y >t ( π p.v. ) (ξ) = ( i)sgn(ξ). x M f(x y)dy. y Prueba. Es conocido que la transformada de Fourier es continua en S (R) y como lím t 0 t = π v.p. x en S (R), se sigue que lím t 0 t = π v.p. x en S (R). Además t (ξ) = ( i)sgn(ξ)e 2πt ξ, de lo cual se obtiene que para toda φ S(R) lím t, φ t 0 = lím ( i)sgn(ξ)e 2πt ξ φ(ξ)dξ = ( i)sgn(ξ)φ(ξ)dξ = ( i)sgn(ξ), φ(ξ), t 0 de lo que se infiere lím t 0 t = ( i)sgn(ξ) en S (R), y por lo tanto ( π p.v. ) (ξ) = ( i)sgn(ξ). x

40 32 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT 2.3. Definición y propiedades de la Transformada de Hilbert De las proposiciones 2.3 y 2.4 obtenemos la siguiente definición. Definición 2.5 Sea f S(R), la transformada de Hilbert de f, denotada por Hf, está dada por cualquiera de las siguientes expresiones Hf = lím t 0 ( t f) Hf = π v.p. x f (Hf) (ξ) = ( i)sgn(ξ) f (ξ). (2.2) Notemos que (2.2) permite definir la transformada de Hilbert en L 2 (R). Para f L 2 (R) sea {φ n } una sucesión en S(R) tal que φ n f en L 2 (R). Nótese que {Hφ n } es una sucesión de Cauchy, puesto que Hφ m Hφ n 2 = H(φ m φ n ) 2 = (H(φ m φ n )) (ξ) = (φm φ n ) (ξ) 2 = (φ m φ n ) 2. Se sigue que {Hφ n } converge en L 2 (R). Por lo tanto la Transformada de Hilbert de f es la función Hf definida por Hf = lím n Hφ n en L 2 (R). Veamos que Hf es independiente de las sucesión elegida. Si φ n f y ψ n f en L 2 (R), entonces φ n ψ n 0 en L 2 (R) y como Hφ n Hψ n 2 = H(φn ψ n ) = (φ m φ n ) = (φ m φ n ) 2, 2 2 entonces Hφ n Hψ n 0 en L 2 (R). La transformada de Hilbert satisface las siguientes propiedades en L 2 (R). Proposición 2.6 Sean f, g L 2 (R), entonces se tiene Hf 2 = f 2, (2.3) 2 H(Hf) = f, (2.4) Hf g = f Hg. (2.5)

41 2.4. TEOREMAS DE M. RIESZ Y KOLMOGOROV 33 Prueba. La igualdad (2.3) se satisface puesto que Hf 2 = (Hf) (ξ) = f (ξ) 2 2 = f 2. Por otra parte se tiene (H(Hf)) (ξ) = ( i)sgn(ξ) (Hf) (ξ) = f (ξ) = ( f) (ξ), y como la transformada de Fourier es una biyección en L 2 (R) se obtiene (2.4). Por último, para demostrar (2.5), se sabe que f g = f ĝ, en consecuencia Hf g = Hf g = (Hf) (ξ) g(ξ)dξ = ( i)sgn(ξ) f (ξ) g (ξ) dξ = f (ξ) (H g) (ξ) dξ = f (ξ) (H g) (ξ) dξ ( ) = f (ξ) Hg (ξ) dξ = f Hg Teoremas de M. Riesz y Kolmogorov Mostraremos que la definición de la transformada de Hilbert, definida hasta ahora en S(R) o L 2 (R), se puede extender a funciones en L p (R), para p <. Teorema 2.7 (Teorema de Kolmogorov) Sea f S(R), entonces H es de tipo débil (, ): {x R : Hf(x) > λ} C λ f. Prueba. Supongamos que f 0. Sea λ > 0, por descomposición de Calderón- Zygmund existe una sucesión de intervalos {I j } tales que f (x) λ para casi todo x / Ω = j I j, Ω λ f,

42 34 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT λ < f 2λ. I j I j Ahora descompongamos a f como la suma de las funciones g y b, dadas por { f(x) si x / Ω g (x) = si x I j I j I j f y b(x) = j b j (x) donde b j (x) = ( f (x) I j I j f ) X Ij (x). Notemos primero que g = f pues [ ( ) ] g = f + f X Ij = f + [ ( )] f R Ω c Ω I i j I j Ω c i I j I j I j = f + [( ) ] f I j = f + ( ) f = f + f = Ω I c i j I j Ω c i I j Ω c Ω También nótese que g L 2 (R) puesto que R [ ( ) ] 2 g 2 = f 2 + f X Ij = f 2 + Ω c Ω I i j I j Ω c Ω i [ ( ) ] f 2 + f 2 X Ij = f 2 + [ Ω c Ω I i j I j Ω c i = f 2 + ( ) f 2 = f 2 + f 2 = f 2 <. Ω c i I j Ω c Ω R De aquí obtenemos que b L (R) L 2 (R) y b = 0. Como Hf = Hg + Hb, se sigue que I j ( I j ( I j I j f I j f 2 R f. ) 2 X Ij {x R : Hf(x) > λ} {x R : Hg(x) > λ/2} + {x R : Hb(x) > λ/2}. )]

43 2.4. TEOREMAS DE M. RIESZ Y KOLMOGOROV 35 Estimaremos el primer sumando usando (2.3) y que g (x) 2λ casi en todas partes. ( ) 2 2 {x R : Hg(x) > λ/2} Hg (x) 2 dx = 4 [g (x)] 2 dx λ R λ 2 R = 8 g (x) dx = 8 f. λ R λ R Sea 2I j el intervalo con mismo centro que I j y con el doble de longitud, y sea Ω = j 2I j. Entonces Ω j 2I j = 2 j I j = 2 Ω 2 λ f y obtenemos {x R : Hb(x) > λ/2} = {x Ω : Hb(x) > λ/2} + {x / Ω : Hb(x) > λ/2} Ω + {x / Ω : Hb(x) > λ/2} 2 λ f + 2 Hb (x) dx. λ R\Ω Observemos que j b j converge a b en L 2 (R), pues j b j converge a b puntualmente, b L (R) y n b para todo n. Por (2.3) se sigue j Hb j converge Hb en j b j L 2 (R). De aquí que existe una subsucesión partes a Hb, es decir por lo cual j { nk j Hb j }k n k Hb(x) = lím Hb j (x) para casi todo x R, k Hb(x) j Hb j (x) para casi todo x R. que converge casi en todas Entonces se tiene que Hb (x) dx R\Ω R\Ω j Hb j (x) dx = j Para terminar la prueba falta mostrar que j Hb j (x) dx R\Ω j R\2I j Hb j (x) dx C f. R\2I j Hb j (x) dx.

44 36 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT Primero notemos que si x / 2I j, aunque b j / S(R) se tiene b j (y) Hb j (x) = dy. (2.6) x y En efecto, como b j L 2 (R), b j 2 b 2, considérese {φ n } en Cc (R), tal que sop φ n I j y φ n b j en L 2 (R). Para x / 2I j y y I j se tiene x y > I j /2, por lo cual φ n (y) Hφ n (x) = lím ɛ 0 {y I j : x y >ɛ} x y dy = φ n (y) x y dy. Dado que h (y) = x y L2 (I j ) cuando x / 2I j, se sigue que φ n (y) I j x y dy b j (y) I j x y dy I j x y φ n (y) b j (y) dy h 2 φ n b j 2 0, cuando n. Puesto que Hφ n Hb j en L 2 (R), existe una subsucesión {Hφ nk } k que converge casi en todas partes a Hb j. Por lo cual φ nk (y) Hb j (x) = lím Hφ nk (x) = lím k k I j x y dy = b j (y) I j x y dy, I j lo cual establece (2.6) Denotemos por c j el centro de I j. Se tiene b j = 0, luego que b j (y) ( Hb j (x) dx = R\2I j R\2I j I j x y dy dx = b R\2I j j (y) I j x y ) dy x c j dx ( ) y c j b j (y) R\2I j I j x y x c j dy dx ( ) y c j b j (y) I j R\2I j x y x c j dx dy, y puesto que y c j I j /2 y x y > x c j /2, ya que obtenemos x y x c j y c j x c j I j 2 > x c j x c j, 2 ( ) I j Hb j (x) dx b j (y) R\2I j I j R\2I j (x c j ) 2 dx dy. I j

45 2.4. TEOREMAS DE M. RIESZ Y KOLMOGOROV 37 También se tiene y R\2I j I j (x c j ) 2 dx = = cj I j [ I j (x c j ) I j (x c j ) 2 dx + I j ] cj I j + c j + I j [ I j (x c j ) I j (x c j ) 2 dx ] c j + I j = 2, ( b j (y) = f (y) ) f I j I j I j I j dy ( ) f (y) dy + f dy = 2 f (y) dy. I j I j I j I j Se concluye que j R\2I j Hb j (x) 2 j I j b j (y) 4 j I j f j (y) 4 f. Se ha demostrado que H es de tipo débil (, ) para f 0. Esto es suficiente, pues una función real se descompone en su parte positiva y en su parte negativa, y una función compleja en su parte real e imaginaria. Teorema 2.8 (Teorema de M. Riesz). Sea f S(R), entonces H es de tipo fuerte (p, p), para < p <, es decir: Hf p C p f p. Prueba. Por el Teorema 2.7, H es de tipo débil (, ) y por la igualdad (2.3) es de tipo fuerte (2, 2), entonces por Teorema de Interpolación de Marcinkiewicz, H es de tipo fuerte (p, p) para < p < 2. Para p > 2, se tiene que p < 2 con /p+/p =, por lo cual usaremos que H es de tipo fuerte (p, p ) y la igualdad (2.5). { } { } Hf p = sup Hf g : g p = sup f Hg : g p { } f p sup Hg p : g p = C p f p.

46 38 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT Mediante los teoremas de Kolmogorov y de M. Riesz, extenderemos la definición de la transformada de Hilbert a los espacios L p (R), para p <. Sean f L (R) y {f n } n= una sucesión en S(R) que converge a f en L (R). Entonces por Teorema de Kolmogorov y la desigualdad de tipo débil (, ), {Hf n } n= es una sucesión de Cauchy en medida, es decir para cada ɛ > 0 lím {x R : (Hf n Hf m ) (x) > ɛ} = 0. m,n En consecuencia, {Hf n } n= converge en medida a una función medible, la cual llamaremos la transformada de Hilbert de f, denotada por Hf, es decir Hf := lím n Hf n en medida. Sean f L p (R) y {f n } n= una sucesión en S(R) que converge a f en Lp (R). Por el Teorema de M. Riesz y la desigualdad de tipo fuerte (p, p), {Hf n } n= es una sucesión de Cauchy en L p (R), así {Hf n } n= converge a una función en Lp (R) la cual llamaremos la transformada de Hilbert de f, denotada por Hf, Hf := lím n Hf n en L p (R). El operador H no es de tipo fuerte (p, p) para p = o p =. Consideremos la función f = X [0,] L p (R), para p. Sea {φ n } n= en C c(r), tal que sop φ n (0, ), 0 φ n y φ n = en [/2 n, /2 n ]. Entonces se tiene que φ n f en L 2 (R), luego que Hφ n Hf en L 2 (R) y por lo tanto existe una subsucesión {φ k } k= tal que Hf(x) = lím k Hφ k (x) casi en todas partes. Así para casi todo x R se tiene Hf(x) = π lím lím φ k (y) k ɛ 0 {y R: x y >ɛ} x y dy.

47 2.4. TEOREMAS DE M. RIESZ Y KOLMOGOROV 39 Si x (0, ), para cada k que satisface x [ /2 k, /2 k] elíjase ɛ k > 0 tal que B (x, ɛ k ) [ /2 k, /2 k], por lo que para ɛ < ɛ k se tiene Hf (x) = π lím lím k ɛ 0 = π lím lím k ɛ 0 = π lím lím k ɛ 0 = π lím k [ x ɛ dy /2 x y k /2 k x+ɛ ] dy y x ( ) [ ln (x y)] y=x ɛ [ln (y x)] y= /2k y=/2 k y=x+ɛ [ ( ) ln (ɛ) + ln x /2 k ln ( /2 k x ) + ln (ɛ) ] [ ( ) ln x /2 k ln ( /2 k x )] = π ln x x. De manera similar obtenemos que Hf (x) = π ln x/ (x ) para x / [0, ]. La función ln x/ (x ) no es integrable y tampoco es acotada.

48 40 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT

49 CAPÍTULO 3 OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND La expresión operador integral singular hace mención a dos propiedades de operadores que estudiaremos. Son definidos como integrales, T f (x) = K (x, y) f (y) dy, donde K es singular de alguna manera. En este capítulo definiremos operador de Calderón-Zygmund y probaremos el acotamiento en L p. Nuestra exposición estará basada en las referencias [2], [6], [22]. Con el objeto de motivar la definición de esta familia de operadores, empezaremos dando algunos ejemplos. 3.. Ejemplos de Operadores Integrales Singulares Ejemplo 3. La transformada de Hilbert. Para f S(R), sea Hf (x) = π v.p. f (y) x y dy = π lím ɛ 0 {y R: x y >ɛ} f (y) x y dy. La transformada de Hilbert es un ejemplo donde el integrando es no integrable, por esta razón se utiliza el término integral singular. Si el núcleo (x y) se reemplaza por su valor absoluto, entonces el límite del valor principal no existe en x siempre que f (x) 0. De aquí que la definición de la transformada depende de la cancelación de la integral. De hecho la teoría de operadores integrales singulares descansa en tal cancelación. Ejemplo 3.2 Las transformadas de Riesz. Sea n 2 y j n. Para f S(R n ) sea donde x j y j R j f (x) = C n lím ɛ 0 n+ f (y) dy, {y R n : x y >ɛ} x y C n = Γ ((n + ) /2) /π (n+)/2. 4

50 42 CAPÍTULO 3. OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND Las transformadas de Riesz constituyen una generalización directa a varias variables de la transformada de Hilbert. El límite en la definición existe para toda f S(R n ) debido a la cancelación. La j-ésima transformada de Riesz satisface: (R j f) (ξ) = i ξ j ξ f (ξ). Las transformadas de Riesz tienen un interés particular en el análisis de ecuaciones diferenciales parciales. Para f S(R n ) se tiene puesto que ya que (R i R j f) (ξ) = También se tiene que ( 2 ) f (ξ) x i x j 2 f x i x j = (R i R j f), ( i ξ ) ( i i ξ ) j ξ ξ L 2 f (ξ) = ξ i ξ j f (ξ) = ( 2 f x i x j f L 2, L 2 ( = i ξ i ξ ) ( i ξ ) j ξ 2 f x i x j f (ξ) f L 2 L 2 ) (ξ). Es decir, el laplaciano controla todas las derivadas parciales de orden 2 en la norma L 2.. Ejemplo 3.3 Transformadas con núcleo homogéneo. Definamos Ω (x j y j ) T Ω (x) = lím ɛ 0 {y R n : x y >ɛ} x y n f (y) dy. donde Ω es una función que satisface Ω (λx) = Ω (x) para todo x R n y λ > 0, y además como función definida en la esfera unitaria S n satisface que Ω L ( S n ) y Ω (σ) dσ = 0. S n