JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA

Transcripción

1

2 JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA Matemático, con Maestría en Matemáticas y doctorado en Matemáticas. Investigador en matemáticas puras y aplicadas con resultados originales en la teoría de bifurcación, deformación y deducción de la teoría de micro-deformación. Investigador en ecuaciones diferenciales parciales. Profesor asociado de la Universidad Tecnológica de Pereira. mail: jorodryy@gmail.com. JUAN EDUARDO BRAVO BOLÍVAR Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad Tecnológica de Pereira. Especialista en Instrumentación Física de la Universidad Tecnológica de Pereira. Posee estudios de posgrado en Ingeniería Eléctrica y en Enseñanza de las Matemáticas. Profesor asistente de la Universidad Tecnológica de Pereira. Desde 1995 ha orientado los cursos de métodos y análisis numérico. juan.e.bravo@hotmail.com FERNANDO MESA Licenciado en matemáticas, graduado de la Universidad Tecnológica de Pereira con honores. Tiene estudios de posgrado en Matemáticas, Instrumentación Física y Docencia Universitaria. Con experiencia de más de 20 años, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira en donde se ha destacado como directivo e investigador. femesa@utp.edu.co

3

4 CÁLCULOINTEGRALENUNA VARIABLE José Rodrigo González G. Profesor asociado Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira Juan Eduardo Bravo B. Profesor asistente Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira Fernando Mesa Profesor titular Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira 2012

5 CONTENIDO Prefacio 1 1 Integral Indefinida Introducción La diferencial La antiderivada Propiedades Tabla de integrales Propiedades de la integral indefinida Sobre las integrales que no se pueden expresar en funciones elementales Técnicas de integración Integración de varias clases de funciones con ayuda de transformaciones elementales Dos fórmulas de reduccióndeorden i

6 1.6.3 Funciones racionales Integrales que se llevan a racionales Funciones racionales de x y ax 2 + bx + c Integral de funciones irracionales Algunos ejemplos Ejercicios del capítulo Integral Definida Notación sigma Integral definida como límite de sumas integrales, propiedades y relación con la integral indefinida Interpretación geométrica de la integral definida Fórmula de Newton-Leibnitz Propiedades elementales de la integral definida Sustitución en integrales definidas Integración por partes Integral definida con límitesuperiorvariable Ejercicios del capítulo Aproximación de la Integral Regla del punto medio Regla del trapecio Regla de Simpson Ejercicios del capítulo Aplicaciones de la Integral Definida Evaluación de áreas de figuras planas Área en coordenadas polares Volúmenes de sólidos con sección conocida Volúmenes de sólidos de revolución Longitud de arco Área de una superficie de revolución Integrales impropias Ejercicios del capítulo II

7 5 Sucesiones y Series Sucesiones numéricas Límite de una sucesión Series numéricas Conceptos fundamentales Serie geométrica Condición necesaria para la convergencia de una serie. Serie armónica Criterios suficientes de convergencia Series de potencias Convergencia de una serie de potencias Intervalo de convergencia y radio de convergencia Expansión de funciones en series de potencias Expansión de algunas funciones elementales en series de Taylor (Mclaurin) Ejercicios del capítulo Apéndices Formas indeterminadas Coordenadas y gráficas Lugares geométricos Cónicas Rotación de ejes Sistema de coordenadas polares Relación entre las coordenadas rectangulares y polares Gráfica de ecuaciones en coordenadas polares Pendiente de una recta Ejercicios de los apéndices Respuestas 249 III

8 PREFACIO Este texto es el fruto de muchos años de esfuerzo y dedicación de quienes hoy en día entregamos a la comunidad académica este material. Su propósito inicial es el de servir como soporte a los cursos de matemáticas II que se ofrecen en los distintos programas de ingenierías y tecnologías, así como apoyar aquellos programas en donde se estudie el cálculo integral en una variable. También esperamos que sea de gran utilidad para aquellos estudiantes de licenciaturas en matemáticas y física que pudieran necesitar en un principio el conocimiento de las temáticas que aquí se tratan, sin caer en el formalismo matemático y llegar a la conceptualización de una manera más práctica. El material que estamos presentando se compone de seis capítulos, cada uno con su respectiva base teórica, un buen número de ejemplos y un capítulo final, el séptimo, con respuestas y sugerencias. El texto posee un desarrollo lógico y secuencial, ameno y muy fácil de leer. El primer capítulo empieza con una breve introducción a la historia del 1

9 Calculo diferencial e integral, la noción de la diferencial de una función en una variable, y algunas aplicaciones, además se introduce el concepto de integral indefinida y las principales técnicas de integración. En el segundo capítulo se estudia la integral definida como un límite de la suma de Riemann, el teorema fundamental del cálculo, entre otros. En el tercer capítulo se utiliza la geometría para aproximar integrales definidas. En el cuarto capítulo se analizan algunas aplicaciones tales como, áreas, volúmenes de sólidos, longitud de arco, áreas de superficies de revolución e integrales impropias. En el quinto capítulo se estudian las sucesiones, las series numéricas y funcionales con sus aplicaciones. En el sexto capítulo (apéndices) se estudian algunas formas indeterminadas, coordenadas y lugares geométricos y se presenta una introducción sencilla a las coordenadas polares. En cada capítulo se dan los conceptos fundamentales, definiciones y teoremas con sus respectivos ejemplos, se proponen algunos ejercicios que servirán para fortalecer y asimilar el material propuesto. Muchos de estos ejercicios poseen su respectiva respuesta que aparece al final en el capítulo siete. Por último, se da la bibliografía complementaria al texto. José RodrigoGonzález Granada. 2

10 1 Integral Indefinida 1.1 Introducción Las matemáticas se han desarrollado y aún continúan haciéndolo influenciadas por el entorno físico, haciendo necesario implementar nuevos aparatos matemáticos para diseñar modelos matemáticos que simulen este entorno. Como todas las demás ciencias, las matemáticas surgieron de las necesidades prácticas de las personas. Las matemáticas que se denominan elementales y se estudian en las escuelas y colegios se formaron hace mucho tiempo y correspondían a las primeras necesidades prácticas; la característica de ellas es que se basan en valores constantes. El gran desarrollado que obtuvieron las ciencias naturales en los siglos XVI-XVII conllevó al estudio de fenómenos y procesos con valores variables. La práctica obligó a las matemáticas a replantearse en forma fundamental, es decir, encontrar la forma de estudiar estos valores variables tales como, la velocidad y la aceleración. Las

11 Capítulo 1 Integral Indefinida matemáticas elementales -las matemáticas de valores constantes- no pudieron resolver este tipo de problemas, y se hizo necesario fundar una nueva rama de las matemáticas con nuevos conceptos y nuevas formas de investigación. Esto se logró como resultado de la ardua investigación durante los siglos XVI-XVIII. Así, para cubrir los fenómenos de movimiento, en las matemáticas se introdujo el concepto de valor variable. El estudio del movimiento de un cuerpo conllevó al estudio de la razón de cambio de valores variables. Esto a su vez condujo a introducir y posteriormente a estudiar nuevos conceptos como la derivada y la diferencial. De esta manera se formó el calculo diferencial como las matemáticas de valores variables. La búsqueda de un método general para evaluar áreas de figuras planas, así como volúmenes, superficies, longitudes de arco y la solución de otros tipos de problemas llevó a la formación del calculo integral. El éxito más importante de los matemáticos de los siglos XVI-XVII, consistió en que se concibió al cálculo integral como el proceso inverso en relación con el problema del cálculo diferencial. Este hecho fundamental fue posible cuando el área de una figura, las superficie y el volúmen de sólidos se consideraron como valores variables. De esta forma el concepto de los valores variables jugó también aquí unpapel muy importante. Como principales fundadores del calculo diferencial e integral se encuentran Newton y Lebnitz, pero no se puede pensar que sólo ellos crearon esta rama tan importante de las matemáticas. En los siglos XVIII-XIX se desarrolló el análisis matemático, el cual conlleva a su vez a formación de nuevas ramas de las matemáticas. Se puede considerar que el primer libro de cálculo diferencial e integral se debe al gran académico de la academia de Sankt-Petersburg Leonard Euler. En 1748 con su libro Introductio en Analysin Infinitorum dió el impulso necesario para el desarrollo de las ciencias matemáticas modernas. d Alembert en una de sus cartas a Lagrange denominó a Euler como ese diablo, expresando con esto que lo realizado por Euler essuperioralarazón humana. Laplace dijo Lean a Euler, léanloel es nuestro guía. Una función muy importante en el desarrollo del análisis matemático se debió al académico de Sank-Petersburg Ostrogradskii, que obtuvo resultados muy importantes en diferentes ramas de las matemáticas y en especial, en las ecuaciones integrales. Uno de los conceptos más importantes en el análisis matemático -el concepto 4

12 Otros títulos de interés: Estadística básica aplicada, Ciro Martínez Bencardino Estadística y muestreo, Ciro Martínez Bencardino Fundamentos de estadística. Para la investigación en educación, Mireya Ardila Rodríguez Álgebra lineal y programación lineal Francisco Soler, Fabio Molina y Lucio Rojas. Didáctica de las matemáticas Robinson Castro Puche y Rubby Castro Puche. Fundamentos de matemática Francisco Soler Fajardo y Reinaldo Nuñez. Matemáticas financieras aplicadas Jhonny de Jesús Meza Orozco Matemáticas financieras empresariales Jhonny de Jesús Meza Orozco Matemáticas para informática Ismael Gutiérrez García.

13 Cálculo integral en una variable Esta obra es resultado del compromiso de los autores con el formalismo que requieren las matemáticas y la simplicidad en la exposición que resulta de muchos años de experiencia en la práctica pedagógica. Se compone de siete capítulos, los seis primeros con su respectiva base teórica y un buen número de ejemplos, y un último capítulo con un extenso número de respuestas y sugerencias. El lector encontrará en cada uno de los temas que se exponen un desarrollo lógico y secuencial. Partiendo de una breve historia del cálculo diferencial, el concepto de integral indefinida y las principales técnicas de integración. Presentamos los teoremas más importantes del cálculo integral en una variable real hasta llegar a diversas aplicaciones de gran uso en los cursos para ingenieros y matemáticos. Área: Ciencias Exactas Colección: Matemáticas