Polinomios y fracciones algebraicas

Transcripción

1 010 El dividendo de una división de polinomios es P (x) = x 5 - x - x, el cociente es C (x) = x - y el resto es R (x) = -. Cuál es el divisor? P (x) = Q (x)? C (x) + R (x) x 5 - x - x = Q (x)? (x - ) - x 5 - x - x + = Q (x)? (x - ) Q (x) = (x 5 - x - x + ) : (x - ) = x Determina el cociente y el resto, aplicando la regla de Ruffini. a) (x - x + x - ) : (x - 1) b) (x 4 - x - x + 9) : (x - ) c) (x 4 + x - 10) : (x - 5) d) (x 5 - x + x - 7) : (x + ) e) (x 7 + x 4-7x ) : (x + 4) a) C (x) = x + 1; R (x) = - b) C (x) = x + x + x + ; R (x) = 15 c) d) e) C (x) = x + 5x + 6x + 10; R (x) = C (x) = x 4 - x + 7x - 1x + 64; R (x) = C (x) = x 6-4x x 4-6x + 5x x R (x) = Si dividimos 4x 5 - x 4 + x - x - x + 1 entre x +, cuáles serán el resto y el cociente? Podemos aplicar la regla de Ruffini? Cociente: 4x 4-11x + 4x - 49x + 97; Resto:

2 SOLUCIONARIO 01 Calcula el valor de m para que la división sea exacta. (x 5 - x - 8x + mx + ) : (x - ) m m m 10 + m 10 + m = 0 m = Considerando el polinomio: P (x) = x - 7x + x - 7 calcula, mediante el teorema del resto, su valor numérico para: a) x = 1 c) x = -1 e) x = b) x = 5 d) x = 7 f) x = -5 a) b) c) Como el resto es -1, entonces P (1) = -1. Como el resto es -5, entonces P (5) = -5. Como el resto es -16, entonces P (-1) = -16. d) e) f) Como el resto es 0, entonces P (7) = 0. Como el resto es -40, entonces P () = -40. Como el resto es -1, entonces P (-5) = Comprueba que se verifica el teorema del resto para P (x) = x 4 - x + si: a) x = b) x = -1 a) b) P () = 4 -? + = 1 P (-1) = (-1) 4 -? (-1) + = 6 79

3 016 Cuánto vale a si el valor numérico de P (x) = x - x - x + a, para x =, es 0? a a - 6 a - 6 = 0 a = Calcula las raíces de estos polinomios. a) P (x) = x - x + c) R (x) = x - x - 5x - 6 b) Q (x) = x - x + 1 d) S (x) = x - 5x - 14 a) b) es raíz, 1+ y 1- son también raíces. 1 es raíz doble. c) No tiene raíces racionales, al probar con los divisores del término independiente el resto nunca da cero. d) es raíz 7 es raíz Son las dos raíces del polinomio. 018 Cuánto vale a para que x = sea una raíz del polinomio x - x - 4x + a? a a - 8 a - 8 = 0 a = Determina a y b para que el polinomio P (x) = ax + b tenga como raíces y -. a 0 b a 4a a a b + 4a a 0 b - -a 4a a -a b + 4a Como b = -4a, cualquier par de números que lo cumpla formará un polinomio con esas raíces; por ejemplo: a = 1, y b = -4 80

4 SOLUCIONARIO 00 Halla un divisor de estos polinomios. a) P (x) = x - x + x - 6 b) Q (x) = x 4-4x - x + c) R (x) = x 6 - x 5 - x + a) b) c) (x - ) es divisor de P (x). (x + 1) es divisor de Q (x). (x - 1) es divisor de R (x). 01 Calcula a para que x - 1 sea divisor de x - x + x + a. -1 a a + 4 a + 4 = 0 a = -4 0 Son correctos los cálculos? Así, tenemos que: x + x + x + = (x - 1)? (x + ) Los cálculos no son correctos x + x + x + = (x + 1)? (x + ) 0 Descompón en factores estos polinomios. a) P (x) = x - 8 d) P (x) = x 5 + x 4-9x - x - 1x b) P (x) = x + 4x + 4x e) P (x) = x - x - 5x - 1 c) P (x) = x 4 - x - x + 4x + 4 f) P (x) = x 5-9x a) P (x) = x - 8 = (x + x + 4)? (x - ) b) P (x) = x? (x + 4x + 4) = x? (x + ) c) P (x) = (x + 1)? (x - ) d) P (x) = x? (x 4 + x - 9x - x + 4) = x? (x + 1)? (x - )? (x + 4) e) P (x) = (x + 1)? (x + )? (x - 7) f) P (x) = x? (x - 9) = x? (x + )? (x - ) 81

5 04 Factoriza los siguientes polinomios y explica cómo lo haces. a) x - 1 b) x 5-1 c) x 6-1 a) x - 1 = (x - 1)? (x + x + 1) b) x 5-1 = (x - 1) (x 4 + x + x + x + 1) c) x 6-1 = (x - 1)? (x + 1) x - 1 = (x - 1)? (x + x + 1) x + 1 = (x + 1)? (x - x + 1) x 6-1 = (x - 1)? (x + x + 1)? (x + 1)? (x - x + 1) 05 Razona si son ciertas estas igualdades. a) x + 9 = x (x + ) (x + ) b) x (x + 1) = [x(x + 1)] a) Es falsa, porque: x (x + )(x + ) = x + 6x + 9x b) Es falsa, porque: [x (x + 1)] = x (x + x + 1) 06 Simplifica estas fracciones algebraicas. x - x - 1 a) c) x - 6 x e) - 1 x + x -4 x - 5x+ 4 x - 1 x + 4x + x x - 1 b) d) f) x - 4x+ 6x - 6x x - x+ 1 x -? ( x - 1) x - 1 a) = = x - 6? ( x - ) x - x - 1 ( x+ 1)? ( x- 1) x + 1 b) = = x - 4x+ ( x - 1)? ( x - ) x - x - 1 x c) x = = - 1 ( x + 1)? ( x - 1) x + 1 x + 4x + x x? ( x+ 1) x + 1 d) = = 6x - 6x 6 x? ( x+ 1)? ( x -1)? ( x - 1) x + x - 4 ( x- 1)? ( x+ ) ( x + ) e) = = x - 5x+ 4 ( x - 4)? ( x - 1) x - 4 x - 1 ( x- 1)? ( x+ 1) x + 1 f) = = x - x + 1 ( x - 1) x - 1 8

6 089 La página de un libro mide el doble de alto que de ancho, los márgenes laterales miden cm, y los márgenes superior e inferior, cm. a) Expresa la superficie total de la página en lenguaje algebraico. b) Haz lo mismo con la superficie útil de papel (lo que queda dentro de los márgenes). a) Ancho: x b) Ancho: x - 4 Alto: x Alto: x - 6 A = x? x = x A = (x - 4)? (x - 6) = x - 14x Mandamos construir un depósito de agua con forma cilíndrica, siendo el área de la base la quinta parte del cubo de la altura. a) Expresa el volumen del depósito. b) Cuántos metros cúbicos de agua caben si la altura mide 1 m? a) Altura: x A base = x 5 1 b) V(1) = = 0, m 5 4 x x V = x? = El diámetro de la base de un silo cilíndrico mide 4 de la longitud de la altura. a) Expresa la capacidad del silo en función del diámetro de su base. b) Queremos pintar el silo y empleamos 1 kg de pintura por cada metro cuadrado. Calcula cuántos kilogramos de pintura necesitamos si el diámetro de la base mide m. 4 x 4 x a) Diámetro: x Altura: x V = r? e o? x = r? b) Diámetro: x Altura: 4 x 4 4x Alateral = r? x? x = r? x = 4? Alateral = r? = 16,75 m Necesitamos 16,75 kg de pintura. 104

7 SOLUCIONARIO PON A PRUEBA TUS CAPACIDADES 098 Dentro de los proyectos de conservación de zonas verdes de un municipio se ha decidido instalar un parque en el solar que ocupaba una antigua fábrica. Disponemos de una superficie cuadrada de 100 metros de lado. Podríamos dividir el parque en tres zonas. El parque tendrá tres áreas delimitadas: la zona de juegos; la zona de lectura, que rodeará a la zona de juegos, y el resto, que se dedicará a la zona de paseo. Los técnicos han determinado que la zona dedicada a los juegos sea cuadrada, que ocupe una de las esquinas y su lado mida 40 metros. ERES CAPAZ DE COMPRENDER a) Cuánto terreno se dedicará a la zona de juegos? Y al resto? ERES CAPAZ DE... RESOLVER b) Expresa, de forma algebraica, la superficie de cada zona en función de la longitud marcada x. ERES CAPAZ DE... DECIDIR c) Si deciden que la zona de paseo tenga un ancho de 40 metros, a quién beneficia este proyecto, a los amantes de la lectura o a quienes les gusta pasear? 107

8 a) 40? 40 = m se dedicarán a la zona de juegos. 100? 100 = m hay en total = m se dedicarán al resto. b) Según el croquis: A juego = 40 = m A lectura = (100 - x) = x - 00x m A paseo = (100 - x) = 00x - x c) x = = 0 m A juego = 40 = m A lectura = x - 00x = m A paseo = 00x - x = 600 m Estas medidas favorecen a los amantes de la lectura, pues le reservan un espacio mayor. 099 Ana ha recibido la factura de su consumo de luz en los dos últimos meses. Cómo han hecho las cuentas en esta factura? Ana le pide ayuda a su hermano y ambos se disponen a analizar la factura con detalle. ENERGÍA Potencia contratada 4,4 kw? 1,88 /kw mes 16,54 Energía consumida 45 kwh 0,15 /kwh 56,50 Impuesto de electricidad 5,1 % Total energía 76,77 OTROS CONCEPTOS Alquiler de equipos meses 0,57 /mes 1,14 Total otros conceptos 1,14 Importe total 77,91 IVA 18 % Total importe factura 91,9 108

9 SOLUCIONARIO ERES CAPAZ DE COMPRENDER a) Cuál es la cantidad que se paga de IVA? ERES CAPAZ DE... RESOLVER b) Considera el polinomio: 1,18 [1,09 (px + cy) + z ] donde p es la potencia contratada, c es el consumo, y es el precio de la energía consumida, x es el importe de la potencia mensual y z es el alquiler mensual de los equipos. Comprueba que el valor numérico del polinomio coincide con el importe de la factura. ERES CAPAZ DE... DECIDIR c) Por término medio, cambiar todas las bombillas de una vivienda por otras de bajo consumo cuesta 10 ; no obstante, aseguran un ahorro en el consumo de un 15 % y una duración media de 5 años frente al año que duran las convencionales. Económicamente, merece la pena el cambio de bombillas si mantenemos un consumo similar? a) En concepto de IVA se paga el 18% del importe total: 18 % de 77,91 = 14,0 b) p = 4,4 kw mes c = 45 kwh y = 1,88 /kw x = 0,15 /kwh z = 0,57 /mes 1,18 [1,09 (px + cy) + z ] = 9,68 Salvo el redondeo de los céntimos, el valor del polinomio para esos valores coincide con el importe de la factura. c) La factura corresponde a meses luego, en 1 año la factura de la luz ascenderá a 6? 91,9 = 551,58. Si se ahorra un 15 % en el consumo, el nuevo consumo bimensual ascenderá al 85 % de 45, que es 84, kwh. Sustituyendo esa cantidad en el polinomio calculamos la factura bimensual: 8,96 El gasto anual con las nuevas bombillas es: 6? 8,96 = 497,76 La diferencia anual es: 551,58-497,76 = 5,8 Al cabo de 5 años esa cantidad es: 5,8? 5 = 69,10 69,10-10 = 149,10 es el ahorro al cabo de 5 años, sin tener en cuenta que cada año tendríamos que cambiar las bombillas convencionales. Económicamente sí sale rentable cambiar las bombillas por unas de bajo consumo. 109