Matemática y Razonamiento Lógico 8vo. Semestre Educación Media Técnica

Transcripción

1 Matemática y Razonamiento Lógico 8vo. Semestre Educación Media Técnica La importancia del saber matemático y físico en el desarrollo técnico e intelectual, radica en adquirir las habilidades y destrezas que transformen a los individuos en seres con competencias para resolver problemas matematizando la realidad en un sentido numérico y geométrico, en la propuesta de modelos, así como en la aplicación de ellos, teniendo en cuenta un manejo e interpretación adecuados de la información. Esta guía busca orientarte en el aprendizaje de esas competencias fundamentales, proponiendo actividades amenas y motivadoras. Durante el semestre anterior tuviste la oportunidad de estudiar varios temas sobre la Matemática y la Física: los sistemas de ecuaciones lineales como herramienta para matematizar un situación problema; las matrices que comúnmente se emplean para organizar y categorizar información numérica y vincularla con las operaciones básicas; la función exponencial, que te permite modelar situaciones estudiando su tendencia mediante representaciones gráficas y algebraicas; los sistemas de medición de ángulo; las razones trigonométricas como herramienta para determinar medidas de ángulos y longitudes en situaciones sintetizadas por el triángulo rectángulo.

2 Presentación En los temas relacionados con Física, estudiamos el movimiento rectilíneo uniformemente variado y la caída libre, que te permitieron entender las características físicas de un móvil con aceleración constante. También vimos los fenómenos eléctricos enfatizando en la Ley de Coulomb, donde conocimos cómo ocurren los efectos eléctricos y cómo son las interacciones entre las cargas eléctricas estáticas. Los temas propuestos en esta guía son complemento y profundización de lo estudiado durante el 7mo semestre, salvo algunos nuevos temas, tales como: Movimiento circular uniforme, Movimiento parabólico y Magnetismo que, como verás más adelante, están estrechamente relacionados. Por esta razón se hace muy necesario que tengas presentes las ideas anteriores para que tu desempeño sea positivo y adecuado. Cada semana presenta las siguientes secciones: Empecemos! que es una corta orientación sobre el trabajo a realizar; Qué sabes de? donde se plantea un repaso sobre los pre-saberes necesarios para el tema; El reto es que plantea una situación problema a resolver; Vamos al grano, sección que muestra de forma didáctica la teoría relacionada con el tema en estudio; Para saber más, donde encontrarás direcciones web y otras recomendaciones relacionadas con el tema para complementar lo estudiado; Aplica tus saberes, que incluye ideas para poner en práctica los saberes adquiridos y, por último, Comprobemos y demostremos que donde se proponen actividades de producción y algunas formas de auto-evaluar el trabajo realizado. Finalmente, es recomendable que durante tu estudio hagas buen uso del material, por lo que te proponemos cumplir con el proceso indicado en cada sección, ya que una lleva a la otra; que presentes una solución válida a la situación problema planteada en el reto; también debes analizar y busca las conexiones entre la teoría y el reto, para que puedas hacer todo los ejercicios y problemas propuestos en la semana. Recuerda que tu actitud es muy importante en el desarrollo del pensamiento, así que ponte las pilas! y aprovecha la experiencia presencial en el CCA y las pautas y aclaratorias de tu facilitador. 178

3 Semana 1 Un breve repaso Presentación Empecemos! Bienvenida y bienvenido al nuevo período de formación. Para este semestre tenemos muchos temas interesantes que te permitirán aumentar tus saberes y adquirir nuevos conceptos que serán de utilidad para tu desarrollo profesional. En esta primera semana la finalidad es diagnosticar el estado de desarrollo de las competencias matemáticas que fueron trabajadas en los semestres anteriores y, para ello, necesitamos reflexionar sobre el proceso de formación que has vivido. Asumir a partir de este momento una actitud positiva, te garantizará el éxito en los estudios. Qué sabes de...? Es importante recordar lo que propone el sistema educomunicativo del IRFA. Para ello, respondamos con los compañeros las siguientes preguntas: 1. Qué es el IRFA? 2. Cuál es tu opinión con respecto al proceso de formación del IRFA? 3. Cuál es la historia del IRFA? 4. Cómo se estructuran los CCA? 5. Cuáles son tus responsabilidades en el CCA? El reto es... A continuación te proponemos un conjunto de actividades de ejercitación y resolución de problemas que te permitirán recapitular esos saberes previos necesarios para avanzar de manera satisfactoria en los temas matemáticos de este semestre. 179

4 Semana 1 Un breve repaso 1. A una excursión asistieron 12 personas entre niños y adultos. Si los adultos pagaron 10 Bs. y los niños 5 Bs. y se juntaron en total 85 Bs., cuántos niños y cuántos adultos asistieron a la excursión? 2. Observa la tarjeta de bingo (figura 1) y responde lo siguiente: a) Cuál es el orden de la matriz formada en la tarjeta de bingo? es cuadrada o rectangular? b) En el sorteo del bingo, se cantan los siguientes números en orden: B4, I20, N32, B7, I19, O70, N44, G59, B15 y O64. Para ubicarlos, necesitamos saber el número de fila y columna que posee cada elemento. Indica en cada caso la posición que ocupan los números cantados. Puedes cantar Bingo!? B I N G O Figura Expresa en radianes los siguientes ángulos: a) 0º b) 5º c) 20º d) 30º 4. Gráfica las siguientes funciones exponenciales : a) y = 4 x b) y = 2-2x 1 c) Explica por qué la gráfica de la función exponencial no corta nunca al eje de las abscisas. 5. Desde la parte alta de un moderno edificio se deja caer una pelota; si tarda 3seg en llegar al piso, cuál es la altura del edificio?, con qué velocidad impacta la pelota contra el piso? 180

5 Un breve repaso Semana 1 Vamos al grano Durante este semestre abordaremos y profundizaremos en algunos temas ya estudiados por ti, como las funciones y gráficas, las matrices, las razones trigonométricas y el movimiento de los cuerpos. También podrás ver nuevos temas como la función logarítmica, los polinomios, los movimientos de tipo circular y parabólico y, además, algunos de los fenómenos eléctricos y magnéticos. En las semanas 2 y 3 comenzamos con el concepto de logaritmo y sus operaciones, así como la definición de la función logarítmica. Para las semanas 4 y 5 iniciamos el tema de los polinomios, estudiando su definición, operaciones aritméticas y algunas aplicaciones; en las semanas 6 y 7 retómanos el tema de las matrices y cómo realizar operaciones de suma, resta y multiplicación en situaciones de aplicación. Siguiendo el proceso de formación, en las semanas 8 y 9 recordaremos el tema de las razones trigonométricas, con la intención de poner en práctica la resolución de triángulos rectángulos y situaciones problema. Para las semanas 10 y 11 comenzaremos estudiando los movimientos de tipo circular y parabólico y su vinculación con el movimiento rectilíneo uniforme y el movimiento rectilíneo variado. Seguidamente, en las semanas 12 y 13 estudiaremos los fenómenos eléctricos y magnéticos experimentando y resolviendo situaciones problema. Por último, la semana 14 estará dedicada a la consolidación de los aprendizajes que has adquirido durante el semestre, para lo cual será necesario que reflexiones de manera crítica en cuanto a tu trabajo y a lo que puedes mejorar para los próximos semestres. Para saber más Te recomendamos revisar las semanas y el DVD de este semestre para que vayas familiarizándote con el material. Asimismo, te invitamos a visitar la web del IRFA: Aplica tus saberes 1. Alba, Berta y Carla son tres amigas que cenan juntas cada día. Después de cenar piden o un té o un café. Sabemos que: 181

6 Semana 1 Un breve repaso Cuando Alba pide café, Berta pide lo mismo que Carla. Cuando Berta pide café, Alba pide lo que no ha pedido Carla. Cuando Carla pide té, Alba pide lo mismo que Berta. Ahora, responde: cuál de las tres pide siempre lo mismo después de cenar? 2. La distancia de la Tierra a la luna es de alrededor de km y la de la Tierra al sol es de km aproximadamente. El radio de la Tierra es de 6.379km y el del sol es de aproximadamente km. a) Cuántas veces es mayor la distancia de la Tierra al sol que de la Tierra a la luna? b) Cuántas veces es mayor el diámetro del sol que el de la Tierra?, cuántas veces se podría intercalar la Tierra entre la Tierra y la luna? c) Y entre la Tierra y el sol? 3. Cuál es la capacidad del recipiente? Ver figura 2. 40cm 30cm 50cm Figura 2 4. Se dice que una subida tiene una pendiente de 10%. Si se eleva 10m por cada 100m horizontales recorridos, cuál de las rutas tiene la mayor pendiente? Ver figura 3. a) b) 10% 10% c) d) 20% 12% 182 Figura 3

7 Un breve repaso Semana 1 Comprobemos y demostremos que 1. Resuelve los problemas y ejercicios propuestos participando y socializando con los compañeros las soluciones. 2. Evalúa tus actitudes explicando por qué estás o no de acuerdo con las siguientes frases: Aprenderé si tengo un facilitador muy bueno. La mejor forma de aprender es trabajando individualmente, siempre que disponga de unos buenos materiales de estudio. Lo más importante para aprender bien es tener interés en ello; que el facilitador sea mejor o peor no tiene mucha importancia. Si yo tengo interés y trabajo puedo discutir con mis compañeros y con el facilitador mis ideas y tendré un aprendizaje significativo. La evaluación es una manera de fastidiar al estudiante. La calificación que tengo refleja solamente los aprendizajes que he logrado. 183

8 Semana 2 2 Función logarítmica (parte 1) Función logarítmica (parte 1) Empecemos! Esta semana estudiaremos los logaritmos y sus propiedades más importantes. Discutiremos acerca del concepto de logaritmo y varias formas de calcularlo, además de buscar la solución a situaciones de la vida real. Esto nos conducirá a estudiar las propiedades de los logaritmos y ver cómo éstos facilitan el cálculo de operaciones combinadas (más complejas). Durante la lectura del material encontrarás preguntas y planteamientos interesantes que te permitirán comprender mejor el tema. Qué sabes de...? Intenta hallar el exponente de las siguientes expresiones (ecuaciones exponenciales). Has uso de tus saberes en cuanto a la potencia! a) 2 x = 8 b) 3 z = 1/9 c) 4 x = 64 d) 10 y = Puedes preguntarte, por ejemplo, cuántas veces se debe multiplicar el 2 para obtener el resultado 8 (la potencia)? Así obtendrás el exponente x. El reto es... Los logaritmos son utilizados como una herramienta para modelar y explicar fenómenos de la naturaleza. Veamos la siguiente aplicación: Las bacterias de un recipiente de 4 litros se duplican cada minuto. Después de 60min el recipiente está lleno. Cuánto tiempo pasó hasta que se llenó la mitad del recipiente? Pendiente: el recipiente no se llena a los 30min! Entonces, qué operación podemos hacer para encontrar el tiempo que tarda? 184 La condición que nos permite entender la situación se centra en la forma cómo se reproducen las bacterias. Si inicialmente hay una bacteria, después de un minuto hay dos bacterias, en el siguiente minuto hay cuatro bacterias

9 Función logarítmica (parte 1) Semana 2 y así sucesivamente, vemos que se reproducen por minuto de la siguiente manera: 1, 2, 4, 8, 16, 32 que es una potencia de base 2, ya que 2 0 = 1, 2 1 = 2, 2 2 =4, 2 3 =8, 2 4 =16, 2 5 = 32 Expresamos simbólicamente 2 tiempo = número de bacterias, es decir, 2 t = N. Vamos al grano Para resolver el problema de las bacterias, comprendamos la definición de los logaritmos: Dado un número real a positivo (a > 0), no nulo (a 0) y distinto de 1 (a 1), y un número x positivo y no nulo (x > 0; x 0), se llama logaritmo en base a de x al exponente y al que hay que elevar dicha base para obtener el número. Para indicar que y es el logaritmo en base a de x se escribe: log a X = y Se lee «logaritmo en base a de x es igual a y». En base a lo anterior podemos decir que log a X = y (notación logarítmica) equivale a decir x = a y (notación exponencial). Usemos la definición de logaritmos para dar respuesta a la situación 1 (ver figura 4). Pulsar teclas (mantener orden) Pantalla (DEG) 2^60 1, x10 18 Figura 4 Usemos la expresión 2 t = N y la calculadora para saber cuántas bacterias hay a los 60min. Observamos que el número de bacterias es 1, x La pregunta que se hace en la situación 1 es cuánto tiempo pasó hasta que se llenó la mitad del recipiente. Para ello debemos saber qué cantidad de bacterias 185

10 Semana 2 Función logarítmica (parte 1) hay cuando esté por la mitad. Así que hacemos la división 1, x10 18 /2 y resulta que: 5, x Si utilizamos la expresión 2 t = N, escribimos que 2 t = 5, x10 17 Cuál es el valor de t? Según la definición de logaritmo 2 t = 5, x10 17 es equivalente a escribir log 2 5, x10 17 = t Por qué? Usemos la calculadora para obtener el valor de t. El resultado es 59min. Esto se debe a que en el próximo minuto la mitad de bacterias se reproduce y llena de manera completa el recipiente. Pulsar teclas (mantener orden) Pantalla (Math-Deg) log 2 5, < Figura 5 Es importante resaltar que la base de los logaritmos puede ser cualquier número real positivo y distinto de 1 (a>0; a 1). En este sentido, no siempre podemos obtener de manera manual el logaritmo de un número. Las bases logarítmicas más usadas en matemática son los logaritmos de base 10 y e (número de euler). Simbólicamente escribimos: log 10 x = log x (Base 10) y log e x = ln x (Base e). Los logaritmos cumplen con ciertas propiedades que nos permiten calcular de forma sencilla cuando se quiere obtener el logaritmo de operaciones combinadas (productos, divisiones, potencias y raíces). Veamos en la tabla 1 las propiedades de los logaritmos. 1. Logaritmos de un producto Tabla 1 Expresión simbólica log a x - y = log a x + log a y Interpretación El logaritmo a base de a de una multiplicación (x y) resulta ser igual a la suma del logaritmo de base a del primer factor (x) más el logaritmo de base a del segundo factor (y). En el otro sentido también se cumple la propiedad. 186

11 Función logarítmica (parte 1) Semana 2 2. Logaritmos de un cociente Expresión simbólica Interpretación log a x y = log a x - log a y El logaritmo a base de a de una división (x y) resulta ser igual a la resta del logaritmo de base a del primer factor (x) menos el logaritmo de base a del segundo factor (y). En el otro sentido también se cumple la propiedad. 3. Logaritmo de una potencia Expresión simbólica Interpretación log a x n = n log a x El logaritmo a base de a de una potencia (x n ) resulta ser igual al producto del exponente (n) por el logaritmo de base a del número (x). En el otro sentido también se cumple la propiedad. 4. Logaritmo de una potencia Expresión simbólica Interpretación log a a x = log a x n El logaritmo a base de a de una raíz ( a x) resulta ser igual a la división del logaritmo de base a del número (x) entre el índice (n). En el otro sentido también se cumple la propiedad. Para que comprendamos mejor las propiedades, analicemos los siguientes ejemplos: Dados los logaritmos log b 10 = 8, log b 7 = 2 y log b 6 = 15 calcula los logaritmos siguientes usando las propiedades: 7 a) log b (10 6) b) log b c) log b d) log b

12 Semana 2 Función logarítmica (parte 1) Solución (a): Para encontrar la respuesta correcta, notemos que log b 10 = 8 y log b 6 = 15. Planteamos el ejercicio: log b (10 6) = log b 10 + log b 6 Por la propiedad (1) de los logaritmos = Sustituimos los valores de log b 10 + log b 6 = 23 Sumando los resultados Respuesta: log b (10 6) = 23 Solución (d): Para encontrar la respuesta correcta, notemos que log b 7 = 2. Planteamos el ejercicio: 4 log b 7 = log b 7 4 Por la propiedad (4) de los logaritmos = 2 4 Sustituimos los valores de log b 7 1 = 2 Simplificando la fracción 4 Respuesta: log b 7 1 = 2 Toma como ejemplos ilustrativos las soluciones mostradas y realiza con tus compañeros del CCA los ejercicios (b) y (c). Es importante que justifiques los pasos que hagas como, por ejemplo, la propiedad que estás usando y qué operaciones estás haciendo. Para saber más Para determinar la magnitud de un sismo en la escala de Richter (ver tabla 2) se emplea una función logarítmica de base 10 y los datos que aporta el sismógrafo. La función logarítmica es la siguiente: Magnitud R = log 10 ( a T ) + B En donde a designa la amplitud del terremoto registrado en la estación sismológica (en micras), T es el período de la onda sísmica (en segundos) y B es un factor empírico que indica el debilitamiento al aumentar la distancia al epicentro del terremoto. 188

13 Función logarítmica (parte 1) Semana 2 Tabla 2 Magnitud en escala de Richter Menos de o mayor Efecto del terremoto Generalmente no se siente, pero es registrado. A menudo se siente, pero solo causa daños menores. Ocasiona daños ligeros a edificios. Puede ocasionar daños severos en áreas muy poblada. Terremoto mayor. Causa graves daños. Gran terremoto. Destrucción total de comunidades cercanas. Los efectos de los terremotos dependen de la magnitud con la cual se hayan producido. Situación 1: supongamos que ha ocurrido un movimiento telúrico cuyo epicentro está a 500km de la estación sismológica que se encuentra en el Observatorio Juan Manuel Cajigal y que los sismógrafos registraron una amplitud de 10 micras y un período de la onda sísmica de 1seg. Sabiendo que la constante B es igual a 6,8: a) Calcula la magnitud del movimiento. b) Identifica cómo se cataloga un movimiento telúrico de tal intensidad. 189

14 Semana 2 Función logarítmica (parte 1) Solución: Tomando en cuenta el ejemplo anterior que trataba sobre los terremotos, obtenemos los datos: a =10 micras; T =1seg y B = 6,8. a Empleemos la fórmula: Magnitud R = log 10 ( ) + B T Sustituyendo los valores de a, T y B escribimos la expresión como sigue: Para obtener el resultado de la expresión busca una calculadora científica que posea logaritmos de base 10 y marca como se muestra en la figura 6. El terremoto posee una magnitud de R= 7,8 en la escala de Richter, lo que indica que el sismo tiene un efecto que causa graves daños en la población de Juan Manuel Cajigal. Pulsar teclas (mantener orden) Pantalla (Math-Deg) log ( 10 I ) + 6,8 7,8 Figura 6 Para ver un video ilustrativo sobre el uso de la definición de los logaritmos, haz clic en: Observa una presentación que explica de una manera muy sencilla las propiedades de los logaritmos, disponible en: Aplica tus saberes 1. Calcula los logaritmos: a) log 2 64 d) log b) log 4 16 e) log c) log

15 Función logarítmica (parte 1) Semana 2 2. Supongamos que ha ocurrido un movimiento telúrico cuyo epicentro está a 200km de la estación sismológica que se encuentra en el Observatorio de Boconó en el estado Trujillo y que los sismógrafos registraron una amplitud de 8 micras y un período de la onda sísmica de 1seg. Sabiendo que la constante B es igual a 4,8: a) Calcula la magnitud del movimiento. b) Identifica cómo se cataloga un movimiento telúrico de tal intensidad. 3. Dados los logaritmos: log a 23 =10, log a 11 =100 y log a 6 = 9, calcula los logaritmos siguientes usando las propiedades. a) log 11 a 6 b) log a (23 9) c) log a 11-4 d) log a 3 9 Comprobemos y demostremos que 1. Encuentra con tus compañeros las soluciones a los problemas y ejercicios propuestos y consulta con tu facilitador las dudas que tengas. 2. Reflexiona sobre tus aprendizajes: a) Cómo contribuyeron mis saberes previos a la realización de las actividades? b) Qué de nuevo aprendí en este proceso de aprendizaje? c) En qué parte de las actividades tuve problemas de comprensión? d) Qué proceso seguí para desarrollar eficazmente las actividades? 191

16 Semana 3 3 Función logarítmica (parte 2) Función logarítmica (parte 2) Empecemos! La semana anterior estudiamos el concepto de logaritmo y sus propiedades. Para iniciar esta semana veremos cómo la operación del logaritmo también puede definirse como una función, la cual es posible estudiar como inversa de la función exponencial; además podrás aplicarlas a la resolución de problemas de la vida real, usando su expresión simbólica y la representación gráfica. Intenta hallar el exponente de las siguientes expresiones (ecuaciones exponenciales). Has uso de tus saberes en cuanto a la potencia! Qué sabes de...? Debes recordar la definición de logaritmo y cómo hallar la equivalencia en forma exponencial, además del uso de la ecuación exponencial y logarítmica para obtener imágenes y cómo construir gráficas. El reto es... Recordemos la situación sobre la reproducción de bacterias de la semana anterior, la cual estaba representada por la ecuación N (t) =2 t, que indica el crecimiento de las bacterias en el transcurrir del tiempo. Teniendo en cuenta esta expresión podemos preguntarnos: es posible determinar una función que nos muestre los tiempos de reproducción si se conoce una cantidad específica de bacterias? y cómo sería la representación gráfica de esta función? 192 La función exponencial N (t) =2 t puede representarse como sigue: de la expresión podemos obtener los valores de N (t), por ejemplo, para t=0, N (0) =2 0 =1; para t=2, N (2) =2 2 =2.2=4. De esta manera encontramos algunos valores de la función, la cual podemos representar en una tabla de valores como la que se muestra en la grafica (figura 7). En esta situación tienen sentido los valores negativos de t (tiempo)?, por qué?

17 Función logarítmica (parte 2) Semana 3 Tabla 3. Algunos valores de la función exponencial dada t N(t) -2 1/4-1 1/ N 6 f(x) = 2^x 4 2 t Figura 7. Función exponencial número de bacterias Para la construcción del gráfico es importante saber ubicar los puntos que observamos en la tabla de valores. Por ejemplo, el punto (2,4) tiene coordenada t=2 y coordenada en N=4 y lo ubicamos como se visualiza en el plano. De esta manera, podemos colocar los puntos obtenidos y conocer la forma geométrica de la función. 193

18 Semana 3 Función logarítmica (parte 2) El gráfico muestra una tendencia creciente de las bacterias en el transcurrir del tiempo, pero lo que se requiere es determinar una función que nos muestre los tiempos necesarios para obtener una cantidad específica de bacterias. Tomando la expresión N (t) =2 t escribámosla en su notación logarítmica, es decir, la base del logaritmo es 2, el número que se calcula en el logaritmo es N, para obtener como resultado a t que es el exponente. Resulta que t (N) = log 2 N (función inversa de N (t) = 2 t donde la N es la variable independiente y t la variable dependiente. Vamos al grano La función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de base a. Los valores de la función log a se denotan como y=log a (x) y puesto que log a y la función exponencial con base a son inversas, se puede afirmar que: y = log a (x) si y solo si x = a y El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos y su ámbito o recorrido es el conjunto de los números reales. Retomando la función logarítmica determinada en la parte anterior, según la definición podemos decir que: T (N) = log 2 N si y solo si 2 = N Para representar su gráfica debemos construir la tabla de valores, para lo cual podemos asignar valores positivos, negativos y el cero a la variable t y así saber los que le corresponde a N (método indirecto); por ejemplo, si t = 2 en la función vemos que log 2 N = 2 si y solo si 2 2 = 4; por tanto, N = 4 cuando t = 2. Hay calculadoras que obtienen logaritmos de cualquier base, de esta manera puedes hallar las imágenes de forma directa. Ubicando los puntos en el gráfico vemos que la tendencia de la curva es creciente y solo está definida para los valores de N > 0 y N 0. Si comparamos el gráfico obtenido (figura 8) con el anterior (figura 7) de la función exponencial, qué característica gráfica los relaciona? Realiza en un mismo sistema de coordenadas una gráfica donde representes las dos funciones. Qué observas? 194

19 Función logarítmica (parte 2) Semana 3 Tabla 4 N t (N) 0,3-1,73 0,6-0, , 3 1, ,32 6 2,58 7 2,80 t 4 f(x) = log b (x,2) 2 N Figura 8. Función logarítmica tiempo de reproducción En forma general podemos expresar que el dominio de una función logarítmica es (0; + ) y su rango son todos los números reales (valores del eje y) y las gráficas son similares dependiendo del valor de la base a: Si 0<a<1, la función f (x) = log a x es estrictamente decreciente y su gráfica es de tipo: y Si a>1, la función f (x) = log a x es estrictamente creciente y su gráfica es de tipo: y 1 x 1 x 195

20 Semana 3 Función logarítmica (parte 2) Para saber más Debido a que las funciones logarítmicas f(x) = log a (x) se definen sobre cualquier base α, se originan funciones notables cuya base es un número transcendental. Un ejemplo es la función y= log e (x)=ln(x). Su base es el número de Euler e=2, La función y=ln(x), se lee y es igual al logaritmo neperiano de x. Para conocer un poco más sobre la función logarítmica analicemos la siguiente situación: Datos experimentales han mostrado que el crecimiento en los niños entre las edades de 2 a 16 años puede ser aproximado por medio de la función y = 18.6 Ln(x) ; donde y es el porcentaje de la estatura de un adulto y x es la edad del niño en años. a) Haz una gráfica de esta función. b) Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un niño a la edad de 5 años? c) Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un niño a la edad de 12 años? d) Cuáles son los valores que toma las x?, cuál es el rango que pueden tomar los valores y? e) Qué factores ocasionarían que este modelo de crecimiento humano sea impreciso? Solución: Para obtener una gráfica de la situación, construyamos una tabla de valores que muestre el porcentaje de altura de un adulto que puede tener el niño según la edad. Para ello debemos utilizar la función y=18.6 Ln(x) ; donde x posee valores entre 2 y 16 años. Veamos un ejemplo de lo indicado: si x=2, resulta y=18.6 Ln(2) Si utilizamos la calculadora como se indica (figura 9), obtenemos y=49.9%. 196

21 Función logarítmica (parte 2) Semana 3 Pulsar teclas (mantener orden) Pantalla (Modo DEG) 18,61 n ,1 = 19,4 Figura 9 Interpretando el resultado notamos que un niño de 2 años posee aproximadamente el 49,9% de la altura de un adulto. De esta manera, podemos construir la tabla y representar los datos en una gráfica (figura 10). y 90 f(x) = 18.6 * 1n (x) x f(x) , , , , x 6 70,4267 Figura , , , , , , , , , ,

22 Semana 3 Función logarítmica (parte 2) Basándonos en estas ilustraciones, analiza y responde con tus compañeros del CCA las respuestas a las preguntas b, c, d y e. Recuerda que debes interpretar correctamente el significado que tiene las variables x e y. Para ampliar tus ideas sobre la función logarítmica, haz clic en: goo.gl/4x8ng Para saber más sobre las ecuaciones y gráficas de una función logarítmica, visita: Aplica tus saberes 1. Representa gráficamente las siguientes funciones logarítmicas y verifica sus características. a) y = log 2 (x) b) y = ln(x + 1) 2. Datos experimentales han mostrado que el crecimiento en las niñas entre las edades de 5 a 15 años puede ser aproximado por la función y=31.11 ln(x)+16.27; donde y es el por ciento de la estatura de un adulto y x es la edad de la niña en años. a) Haz una gráfica de esta función. b) Por qué sería esta fórmula diferente a la usada para los niños? c) Qué porcentaje de su estatura de adulta tendrá una niña a la edad de 7 años? d) Qué porcentaje de su estatura de adulta tendrá una niña a la edad de 10 años? e) Cuál son los valores que toma la x?, cuál es el rango que pueden tomar los valores y? Comprobemos y demostremos que 1. Completa y entrega las actividades propuestas y consulta con tu facilitador los resultados obtenidos. 2. Autoevaluación. Responde lo más sinceramente posible a cada uno de los indicadores propuestos. 198

23 Función logarítmica (parte 2) Semana 3 Indicadores Si Medianamente No Comprendí el desarrollo de las actividades? Procuré solucionar las dudas que tuve? Acepté mis errores y los corregí? Trabajé con orden y limpieza? Compartí mis saberes con los compañeros? 199

24 Semana 4 4 Los polinomios (parte 1) Los polinomios (parte 1) Empecemos! Esta semana veremos un tema muy interesante, pero debes ponerle muchas ganas para entenderlo. Se trata de los polinomios. Se presentará la definición de un polinomio y cómo son utilizados en algunas situaciones. Para empezar se muestra una situación relacionada con la ganancia en la venta de productos y cómo los polinomios ayudan a encontrar una solución. Qué sabes de...? Para avanzar de manera satisfactoria considera lo siguiente: cuáles son los elementos de esta ecuación 2x-1=3(x-5)+x?, cómo obtenemos el valor de la incógnita? Otro aspecto importante son las reglas de los signos para las operaciones de suma, resta y multiplicación de números. Practica algunos ejercicios: 1. ( )/(-6) = 2. (- 3).( ) = El reto es... Es cotidiano visitar el mercado; allí las personas pueden encontrar una variedad de artículos para su consumo. Los llamados hipermercados ofrecen productos de venta al mayor, los cuales son vendidos en cantidades grandes ofreciendo al cliente precios bajos. La ganancia obtenida depende sobre todo del volumen de las ventas; pero, cómo se determina la ganancia en cada artículo? A esto se puede llegar mediante cálculos matemáticos y tomando en cuenta los costos operativos (mantenimiento, personal, impuestos, etc.). 200

25 Los polinomios (parte 1) Semana 4 El gerente de ventas toma en cuenta todos los aspectos antes mencionados para asignar el precio a los productos. Un ejemplo de esta situación puede verse mediante la fórmula que determina la ganancia obtenida en un hipermercado por la venta de juguetes. G(x) = 4000x Donde G(x) significa la ganancia en la venta de juguetes y la variable x el número de juguetes vendidos. Analizando la expresión, vemos que los 4000 Bs. corresponden al precio del juguete vendido y los Bs. a los gastos operativos para poder colocar a la venta el producto. Basándonos en estas ideas, nos preguntamos: se obtendrá ganancias si se venden solamente 5 juguetes?, y si se venden 120 juguetes?, cuál es la mínima cantidad de juguetes que se debe vender para no tener pérdidas? Para responder a estas y otras preguntas nos conviene estudiar lo que son los polinomios y las operaciones que podemos realizar con ellos. Vamos al grano Un polinomio de variable x es una expresión algebraica y se llama así debido a la relación de valores indeterminados con constantes y cifras formadas solamente por la suma de términos de la forma ax n (se lee a por x elevado a la n) donde a es cualquier número real y n es un número entero no negativo. Además un polinomio es el resultado de expresar cualquier suma de monomios no semejantes, como se puede observar en la tabla 5. Componentes de un polinomio Se llama término a cada una de las expresiones que tienen la forma ax n que componen un polinomio y que vienen precedidos por un signo + ó Tabla 5 Clasificación de los polinomios según sus términos Monomio (un término) Binomio (dos términos) Trinomio (tres términos) Polinomio (más de tres términos) -5x 4 2x-5 3x 3-2x + 5 5x 6-7x 3-3x + 5 Se llama grado de un término al número que posee como exponente en superíndice. 201

26 Semana 4 Los polinomios (parte 1) Se llama término constante o independiente al coeficiente numérico que no contiene variable de manera visible. El grado de un polinomio lo indica el término con mayor exponente. Aprendamos del siguiente ejemplo: la expresión 2x 7-3x 5 +x-2 posee cuatro términos: 2x 7, -3x 5, x, 2. Cada término con variable x posee su coeficiente y grado; el término 2x 7 (grado 7), -3x 5 (grado 5), x (grado 1) y el término sin variable visible es de coeficiente 2 (grado 0). Los términos faltantes que no se muestran en la expresión se llaman términos nulos y se pueden representar así: 0x n (cero por x elevado al número correspondiente). El grado del polinomio lo indica el término de mayor grado, que en este caso sería 7. Valor numérico de un polinomio: Al sustituir la variable x de un polinomio por un número se obtiene el valor numérico del polinomio. Por ejemplo, el valor numérico en x= 3 del polinomio: P(x)=2x 3 -x+4 es P (3)= 2.(3) 3-3+4=2.(27)-3+4=54-3+4=55 Retomando las preguntas planteadas en El reto es, se obtendrá ganancias si se venden solamente 5 juguetes?, y si se venden 120 juguetes? Encuentra los resultados de cada pregunta tomando en cuenta las ideas anteriores. Para saber más Realicemos un juego muy interesante que emplea los polinomios para encontrar soluciones (ver figura 11) Figura Pide a un compañero o compañera del CCA que memorice una de estas formas de colores, pero que no diga cuál. Tú, por telepatía, la adivinarás. Pregúntale si la forma escogida está en cada una de las tarjetas (figura 12).

27 Los polinomios (parte 1) Semana 4 Tarjeta 1 Tarjeta 2 Tarjeta 3 Tarjeta 4 Tarjeta 5 Figura 12 Supongamos que las respuestas del compañero o compañera fueron, en el mismo orden de las tarjetas: Si =1, No = 0, No = 0, Si =1 y No = 0 Como puedes ver, al Si le asignamos el número 1 y al No el 0; por tanto las respuestas se puede escribir como 1, 0, 0, 1, 0. Para adivinar la forma seleccionada, utilizaremos un polinomio de grado 4 que tenga como coeficiente los números asignados, es decir: P(x) = 1x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 1x + 0 (mismo orden de respuestas). Ahora, hallemos el valor numérico del polinomio cuando x=2; P(2) = 1 (2) (2) (2) (2) + 0 Simplificando y calculando obtenemos que: P(2) = 1 (2) (2) = 18 La forma que seleccionó el compañero fue la 18, el círculo verde. Sorprende a tus compañeros del CCA con este juego y demuestra tus aprendizajes de los polinomios. Para saber más, te invitamos a conocer otras aplicaciones de los polinomios, disponibles en la siguiente dirección web: Amplía aún más tus saberes sobre los polinomios, haciendo clic en: Aplica tus saberes 1. Escribe en cada caso el polinomio que indica la ganancia según el artículo: 203

28 Semana 4 Los polinomios (parte 1) a) La venta de platos de lujo. Precio 2000 Bs.; gastos operativos: Bs. b) La venta de vasos. Precio: 250 Bs.; gastos operativos: 8050 Bs. c) La venta de carne. Precio 60 Bs.; gastos operativos: 9560 Bs. d) La venta de tomate. Precio 20 Bs.; gastos operativos: 2560 Bs. 2. Completa la tabla 6. Tabla 6 Expresión polinómica Expresión en coeficientes Grado -2x 2 + x 5-3x 2 x 2 / π /3 0-1/7 3-2x 2 3. Halla el valor numérico en 1, 0 y -2 de los polinomios del ejercicio anterior. Comprobemos y demostremos que 1. Completa y entrega las actividades propuestas y consulta con tu facilitador los resultados obtenidos. 2. Autoevaluación. Responde lo más sinceramente posible, según los indicadores planteados. Indicadores Si Medianamente No 204 Comprendí el desarrollo de las actividades? Procuré solucionar las dudas que tuve? Acepté mis errores y los corregí? Trabajé con orden y limpieza? Compartí mis saberes con los compañeros?

29 Semana Los polinomios 5 (parte 1) Los polinomios (parte 2) Semana 4 Empecemos! Esta semana retomaremos el tema de los polinomios. Ya hemos aprendido su definición y cómo se aplican en la solución de algunas situaciones. En esta parte estudiaremos cómo poner en práctica las operaciones matemáticas básicas como adición y sustracción de polinomios. Para empezar se muestra una situación relacionada con la ganancia en la venta de productos y cómo los polinomios ayudan a encontrar una solución. Qué sabes de...? Debes recordar cómo caracterizar los polinomios indicando sus componentes y además cómo obtener su valor numérico. Indica los componentes del siguiente polinomio: P(x)= 5x 6-7x 3-3x + 5 y calcula su valor cuando x = -2. El reto es... El gerente de un hipermercado, para obtener las ganancias en la venta de algunos productos, utiliza los polinomios que se presentan en las tablas 7 y 8. Tabla 7. Verduras Papas Tomates Cebollas Pimentón P(x)= 0,1x x T(x)= 30x C(x)= 2x x B(x)= 25x Tabla 8. Charcutería Carne Pollo Pescado C(x)= 60x P(x)= 0,5x G(x)= 35x

30 Semana 5 Los polinomios (parte 2) El gerente desea simplificar el trabajo y determinar un polinomio para cada tabla que indique las ganancias totales. Qué operaciones debemos hacer para hallar el polinomio? Si el gerente también desea evidenciar la diferencia entre las ganancias obtenidas en las verduras y la charcutería mediante un polinomio, cómo lo obtenemos? Vamos al grano Adición de polinomios Para sumar dos polinomios se escriben uno debajo del otro, ordenando ambos según los grados de los términos, de forma creciente o decreciente; luego se completan los polinomios con los términos nulos y se reducen los términos semejantes (de igual grado). Para entender mejor la suma de dos polinomios se colocan los términos uno debajo del otro según tengan el mismo grado y se suman sus coeficientes, obteniendo de esta manera otro polinomio llamado suma. Ejemplo 1: Sean los polinomios, P(x) = 5x 3-2x 4-3x + 1 y Q(x) = -6x 2 +3x 3-5x -2 Determinemos el polinomio. Suma P(x)+Q(x), aplicando la regla: Solución: Calculemos la suma P(x)+Q(x): P(x) = - 2x 4 + 5x 3 + 0x 2-3x + 1 Q(x) = 0x 4 + 3x 3-6x 2-5x - 2 P(x)+Q(x) = - 2x 4 + 8x 3 + 6x 2-8x - 1 Explicación Primero se ilustra la suma como se muestra en la solución. Los polinomios P(x) y Q(x) se ordenan de forma creciente (de mayor a menor grado), y se completa con los términos nulos 0x 2 y 0x 4 respectivamente. Luego se realiza la suma algebraica de los términos semejantes (mismo color) o con el mismo exponente. Sustracción de polinomios 206 La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el polinomio opuesto de Q(x). P(x) - Q(x) = P(x) + [ -Q(x) ]

31 Los polinomios (parte 2) Semana 5 Ejemplo 2: Sean los polinomios, P(x) = 5x 3-2x 4-3x + 1 y Q(x) = -6x 2 +3x 3-5x -2, determinemos el polinomio. Resta P(x) - Q(x), aplicando la regla: Solución: Calculemos la resta P(x) - Q(x): P(x) = -2x 4 + 5x 3 + 0x 2-3x Q(x) = 0x 4-3x 3 + 6x 2 + 5x + 2 P(x)+ [ -Q(x)] = -2x 4 + 2x 3 + 6x 2-2x + 3 Explicación Obtenemos el opuesto de Q(x) (todos sus términos cambian de signo), se ordena de forma creciente (de mayor a menor grado) y se completa con los términos nulos 0x2 y 0x4 respectivamente. Luego se realiza la suma algébrica de los términos semejantes (mismo color) o con el mismo exponente. Según lo explicado, cómo podríamos ayudar al gerente del hipermercado a encontrar los polinomios para cada caso y el que indique la diferencia de ganancias entre las verduras y charcutería. Para saber más Para realizar la adición de dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x 3 +5x -3 y Q(x) = 4x -3x 2 +2x 3 1. Ordenamos los polinomios, si no están en orden. Q(x) = 2x 3-3x 2 +4x P(x) + Q(x) = (2x 3 +5x -3) + (2x 3-3x 2 +4x) 2. Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x 3 +2x 3-3x 2 +5x +4x Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4x 3-3x 2 +9x -3 Verifica la operación con el método antes explicado que consiste en colocar un polinomio debajo del otro. 207

32 Semana 5 Los polinomios (parte 2) La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. P(x) - Q(x) = (2x 3 +5x -3) - (2x 3-3x 2 +4x) P(x) - Q(x) = 2x 3 +5x -3-2x 3 +3x 2-4x P(x) - Q(x) = 2x 3-2x 3 +3x 2 +5x -4x -3 P(x) - Q(x) = 3x 2 +x -3 Verifica la operación con el método explicado anteriormente que consiste en sumar el opuesto y colocar los polinomios uno debajo del otro. Para conocer las otras operaciones que se realizan con los polinomios, visita la siguiente dirección web: Encuentra una calculadora para sumar polinomios haciendo clic en: Aplica tus saberes 1. Escribe: a) Un polinomio ordenado sin término independiente. b) Un polinomio no ordenado y completo. c) Un polinomio completo sin término independiente. d) Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares. 2. Dados los polinomios: P(x) = 4x 2-1 ; Q(x) = x 3-3x 2 +6x -2; R(x) = 6x 2 +x +1; S(x) = 1/2x 2 +4; T(x) = 3/2x 2 +5 ; U(x) = x 2 +2 Calcula: a) P(x) + Q(x) = b) P(x) - U(x) = c) S(x) + T(x) + U(x) = d) S(x) - T(x) + U(x) = 208

33 Los polinomios (parte 2) Semana 5 Comprobemos y demostremos que 1. Completa y entrega las actividades propuestas y consulta con tu facilitador los resultados obtenidos. 2. Autoevaluación. Responde lo más sinceramente posible, según los indicadores que se presentan. Indicadores Si Medianamente No Mostré entusiasmo en la participación de la actividad? Participé de manera activa en las diferentes actividades propuestas por el equipo? Realicé aportes que ayudaron al buen desempeño de mi equipo? Fui tolerante ante las ideas de mis compañeros? 209

34 Semana 6 6 Matrices (parte 1) Matrices (parte 1) Empecemos! Esta semana comenzamos a estudiar las matrices. Para ello te planteamos una situación relacionada con la venta de pantalones en una tienda y cómo se puede emplear una matriz y sus operaciones para solucionar problemas particulares que ocurren en la administración de la tienda. Qué sabes de...? Es importante que ejercites tus saberes sobre las operaciones con números enteros (regla de los signos para la suma y resta) y racionales (regla de la suma y resta de fracciones). 1 4 Realiza la siguiente operación: (4+1) El reto es Situación 1. Dos tiendas de una misma cadena poseen sus inventarios de pantalones vaqueros (ver figura 13). TIENDA A TIENDA B Talla Talla Puma Puma Marcas León Zorro León Zorro Marcas Lobo Lobo Figura Observando la figura 13 que indica las cantidades de pantalones vaqueros organizados por talla y marca, respondamos a las siguientes interrogantes:

35 Matrices (parte 1) Semana 6 1. Cuántas marcas y tallas de pantalones hay en cada tienda?, qué representan las columnas?, y las filas? 2. En qué fila (marca) y columna (talla) de las tiendas A y B se encuentra la mayor cantidad de pantalones vaqueros? 3. Si estas tiendas se fusionan, cuál será el inventario disponible? 4. Para saber la diferencia entre los inventarios de la tienda A y B cómo usamos las matrices de cada tienda?, cómo podríamos interpretar los resultados negativos? Para responder a estas preguntas, estudiemos algunas definiciones y establezcamos una conexión que permita dar solución mediante las matrices a la situación planteada. Vamos al grano El concepto de matriz como cuadro o tabla de números es una de las herramientas con mayor número de aplicaciones. Así encontramos matrices en Sociología (matriz asociada a un gráfico), en Economía (matriz de inputoutput, matriz de un juego), Demografía (matriz de evolución de la población) y en otros ámbitos. De forma general, tenemos que una matriz puede representarse como lo muestra la figura 14. Este elemento se encuentra en la fila 2 y en la columna 1. A = a 11 a 12 a 13...a 1n a 21 a 22 a 23...a 2n a 31 a 32 a 33...a 3n a m1 a m2 a m3 a mn m filas Figura 14 N columnas Nos referiremos al elemento que se encuentra en la fila i y en la columna j como el elemento a ij de A. Tipos de matrices En la tabla 9 se muestra la clasificación de las matrices. 211

36 Semana 6 Matrices (parte 1) Tabla 9 Matrices rectangulares Tipo Matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas (m n). Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila, de dimensión 1 n. Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna, de dimensión m 1. Matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos. Se denota por 0. Expresión matricial A = matriz rectangular 2 x 3 B = ( ) matriz fila 1 x 4 C = 1 4 matriz columna 2 x O = 0 0 matriz nula 3 x Matrices cuadradas Tipo Matriz cuadrada de orden n es aquella que tiene igual número de filas que de columnas (m = n). Expresión matricial C = matriz cuadrada de orden 2 Matriz triangular es aquella que tiene nulos todos los términos situados por debajo (triangular superior) o por encima (triangular inferior) de la diagonal principal. D = E = matriz triangular superior de orden de 3 matriz triangular inferior de orden Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal principal son ceros F = matriz diagonal de orden

37 Matrices (parte 1) Semana 6 Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales. 4 0 G = matriz escalar de orden Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos 1. Se designa por I I = matriz unidad de orden Operaciones con matrices Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión, es decir, el mismo número de filas y columnas, y si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Veamos el siguiente ejemplo: -2 y 5 9 Ejemplo 1: Sean las matrices de dimensión 3x2, A = x -3 y B = z Bajo qué condiciones estas matrices son iguales?? Solución: Para que A = B sean iguales las matrices deben tener la misma dimensión, es decir el número de filas y columnas deben ser iguales; además, los elementos que ocupan la misma posición deben ser iguales respectivamente. Para nuestro caso vemos que: }? -2 y? A = B x -3 = 0 1 } } z? Este símbolo = significa que la igualdad debe ser verificada. } Entonces para que las matrices sean iguales, las variables tendrían que tomar los valores x = -3, y = 9, z = 1 y las dimensiones son (A) 3x2 y (B) 3x2 por tanto A=B. 213

38 Semana 6 Matrices (parte 1) Suma y resta de matrices Para dos matrices A = (aij) y B = (bij) de la misma dimensión m n, la suma o resta de A y B es la matriz de la misma dimensión m n dada por: A ± B = (aij) ± (bij) = (aij +bij) Es decir, la suma o resta de A ± B se obtiene sumando o restando los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas matrices. Estudiemos los siguientes ejemplos: Ejemplo 2: Dadas las matrices C = -3 7 y D = halla la C + D y C - D Solución: Según la definición de suma y resta de matrices podemos expresar que: (-7) C + D = = = (-7) 1 7 C - D = = = Para saber más Una disposición de números en un cuadro que, al ser sumados en filas, columnas y diagonales, dan el mismo resultado, se llama cuadrado mágico (matriz mágica). El primer cuadrado mágico del que se tiene conocimiento es el mostrado en la figura 15. Grandes matemáticos como Euler ( ) y Cayley ( ) dedicaron parte de su tiempo a estudiarlos Figura 15. Cuadro mágico de 3x3

39 Matrices (parte 1) Semana 6 Para elaborar un cuadro mágico como el mostrado anteriormente se utilizan los números del 1 al 9 sin repetirlos, colocándolos de manera que las filas, columnas y diagonales sumen 15. Será posible encontrar otra matriz, diferente a la anterior, con estas condiciones? Completa el cuadro (figura 16) de forma que la suma de sus filas, columnas y diagonales sea igual a 35, usando los números del 1 al 15 sin repetir. Es única la solución? Figura 16. Cuadro mágico de 4x4 Para ampliar tus ideas sobre las matrices y sus operaciones, haz clic en: Encuentra una calculadora para matrices, disponible en: vz7tu Aplica tus saberes 1. Clasifica las matrices, indicando su tipo. 1-2 a) 4 5 b) c) -6 d) Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A 400 unidades en la terminación N; 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B 300 unidades en la terminación N; 100 unidades 215

40 Semana 6 Matrices (parte 1) en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. Representa la información en dos matrices. 3. Dadas las matrices A = , B = y C = , calcula: a) A + B b) (A - B) - C c) C + A d) B + (C - A) Comprobemos y demostremos que 1. Entrega a tu facilitador la solución de los problemas y ejercicios de la sección Aplica tus saberes. 2. Autoevaluación. Responde lo más sinceramente posible, tomando en cuenta los indicadores propuestos. Indicadores Si Medianamente No Respondí a las preguntas mencionadas en el reto. Apliqué correctamente las operaciones. Completé el cuadro mágico. Pregunté las dudas que se me presentaron. Corregí mis errores. 216

41 Semana Matrices (parte 7 1) Matrices (parte 2) Semana 6 Empecemos! Esta semana continuamos estudiando las matrices. En esta parte te presentamos la multiplicación de un número real por una matriz y cómo hacer la multiplicación de una matriz por otra. Estas ideas te permitirán estudiar la aplicación de las operaciones matemáticas en la solución de algunas situaciones problema. Qué sabes de...? Recuerda el tema de la semana pasada que planteaba la construcción de matrices y cómo obtener la suma y resta. Considera las matrices: A =, y B =, calcula: A + B y B - A El reto es... En una academia de idiomas se imparte inglés y alemán en cuatro niveles y dos modalidades distintas: grupos normales y grupos reducidos. La matriz A (figura 17) expresa el número de personas por grupo, donde la primera columna corresponde a los cursos de inglés, la segunda a los de alemán y las filas a los niveles primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente. Inglés Alemán A = Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Figura

42 Semana 7 Matrices (parte 2) Las columnas de la matriz B (figura 18) reflejan el porcentaje de estudiantes (común para ambos idiomas) que siguen curso reducido (primera fila) y curso normal (segunda fila) para cada uno de los niveles. B = Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 0,2 0,25 0,4 0,75 0,8 0,75 0,6 0,25 Reducido Normal Figura Cuántos estudiantes de la modalidad reducida están en inglés?, cuántos de esta modalidad estudian alemán? 2. Cuántos estudiantes de la modalidad normal están en inglés?, cuántos de esta modalidad estudian alemán? 3. Obtén la matriz que proporciona el número de estudiantes por modalidad e idioma. 4. Sabiendo que la academia cobra 200 Bs por persona en grupos reducidos y 150 Bs por persona en grupo normal, halla la cantidad de personas en cada uno de los idiomas. Para responder a estas preguntas, analicemos las definiciones dadas. Vamos al grano El producto de un número real por una matriz Para un número real k y una matriz A = (aij) de dimensión m n, el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimensión m n dada por: k A = k (aij) = (k aij) 218 Es decir, el producto k A se obtiene multiplicando el número real por cada uno de los elementos de la matriz Comprendamos el siguiente ejemplo: Sea la matriz A= Calcula el producto k A, sabiendo que k = Solución: Como A= 0 2 y k = -3, expresamos k A = (-3) (-3) (-1) (-3) = (-3) 0 (-3) 2 = 0-6 (-3) 4 (-3) (-3) -12 9

43 Matrices (parte 2) Semana 7 Producto de matrices El producto de dos matrices, A = (aij) de dimensión m n y B = (bjk) de dimensión n p, es la matriz A B de dimensión m p dada por: n Σ A m n B n p = C m p o bien (a ij ) (b jk ) = (c ik ) con: c ik = a ij b ji j = 1 Es decir, cada elemento c ik se obtiene multiplicando ordenadamente los elementos de la fila i-ésima de la primera matriz por los elementos de la columna k-ésima de la segunda matriz y sumando los resultados. Vemos el siguiente ejemplo que ilustra la multiplicación de dos matrices: Sean las matrices A = 0 4 y C = Halla el producto de A B Solución 2-5 A 3 2 B 2 4 = Explicación Expresamos el producto de AxB, indicando su dimensión. Es importante saber que para poder realizar el producto de matrices, el número de columnas de la matriz A debe ser igual al número de filas de la matriz B. Por qué? Solución {2 2 + (-5) 7} {2 1 + (-5) (-2)} {2 5 + (-5) (-3)} {2 (-1) + (-5) (7)} { } { (-2)} { (-3)} {0 (-1) + 4 (7)} {3 2 + (-1) 7} {3 1 + (-1) (-2)} {3 5 + (-1) (-3)} {3 (-1) + (-1) (7)} 219

44 Semana 7 Matrices (parte 2) Explicación Para realizar el producto debemos multiplicar ordenadamente los elementos de la fila matriz A por los elementos de la columna matriz B y sumar los resultados. Observa el proceso de los números en rojo. Solución {4+(-35)} {2+10} {10+15} {-2+(-35)} = {0+28} {0+(-8)} {0+(-12)} {0+28} {6+(-7)} {3+2} {15+3} {-3+(-7)} Explicación Multiplicando y sumando según las operaciones de cada elemento de la matriz y, teniendo en cuenta la regla de los signos, obtenemos el siguiente resultado. Solución = Explicación Al resolver las operaciones para cada posición obtenemos la matriz que representa el producto A.B. Para saber más 220 En la situación sobre la academia de idiomas, para obtener una matriz que muestre el número de estudiantes por modalidad e idioma realizamos el producto BxA de las matrices planteadas en el reto; para ello expresamos lo siguiente:

45 Matrices (parte 2) Semana 7 Cabe preguntarnos: por qué multiplicar BxA en lugar de AxB? Verifica los cálculos siguiendo el método mostrado anteriormente. La matriz encontrada es como se muestra en la figura 19. R reducido 0,2 0,25 0,4 0, do nivel B A= = 0,8 0,75 0,6 0, er nivel to nivel N normal 1 er nivel 2 do nivel 3 er nivel 4 to nivel 130 inglés I Figura alemán A 1 er nivel I A R N La matriz (figura 19) muestra las cantidades de estudiantes por modalidad e idioma; es decir, para el grupo reducido R los estudiantes que cursan inglés son 215, mientras que la cantidad de los que cursan alemán es de 149. Teniendo en cuenta este resultado y las condiciones que establece la academia, al cobrar 200 Bs por persona en grupos reducidos y 150 Bs en grupo normal, cómo hallaríamos la cantidad de ingresos generados en los cursos de inglés y alemán? Consulta la siguiente dirección web, donde podrás encontrar una presentación que explica en detalle la multiplicación de matrices y como resolver situaciones de la vida diaria con las matrices: un12t Aplica tus saberes 1. Calcula los siguientes productos de un real por una matriz: 2-2 a) k = 2 y b) k = 2/9 y c) k = -6 y

46 Semana 7 Matrices (parte 2) 2. Un proyecto de investigación nutricional comprende adultos y niños de ambos sexos. La composición de los participantes está dada por la matriz: Adultos Niños A= Hombres Mujeres El número de gramos diarios de proteínas, grasa y carbohidratos que consume cada niño y adulto está dado por la matriz: Proteína Grasa Carbohidratos B= Adulto Niño a) Cómo determinar cuántos gramos de proteínas ingieren diariamente todos los hombres del proyecto? b) Cuántos gramos de grasa consumen a diario todas las mujeres? 3. Dadas las matrices A= , B= -1-2 y C= -3 calcula: a) A B b) B C Comprobemos y demostremos que 1. Encuentra las soluciones de los problemas y ejercicios con tus compañeros y consulta con tu facilitador las dudas que tengas. 2. Autoevaluación. Reflexiona sobre tus aprendizajes, respondiendo las preguntas que se plantean. a) Cómo contribuyeron mis saberes previos a la realización de las actividades? b) Qué ideas nuevas aprendí en este proceso de aprendizaje? c) En qué punto tuve problemas de comprensión?, a qué se deben dichos problemas? d) Qué proceso seguí para desarrollar eficazmente las actividades? 222

47 Semana Matrices (parte 8 2) Semana 7 Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1) Empecemos! La semana inicia con un tema muy interesante que te llevará a explorar cómo el ser humano logró resolver problemas prácticos relacionados con ángulos y medidas de distancia. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la que existe entre la Tierra y la luna o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos como el movimiento circular, el sonido o el flujo de corriente alterna. Qué sabes de...? Para esta semana necesitamos que ejercites tus saberes sobre los sistemas de medición de ángulo y el uso del teorema de Pitágoras. Para ello, presenta la solución de los siguientes planteamientos: 1. Expresemos en radianes 90º. Resuelve los triángulos usando el teorema de Pitágoras 2. Expresemos en grados 2 π 3 b 10 cm 3 cm a 8 cm 4 cm El reto es... Un árbol proyecta una sombra de 48m cuando el sol se encuentra a una altura de 20º sobre el horizonte. Cuál es la altura del árbol?, cuál será la longitud de la sombra cuando el sol se encuentre a una altura de 35º sobre el 223

48 Semana 8 Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1) horizonte?, cuál será la altura del sol sobre el horizonte cuando el árbol proyecte una sombra de 20m? Figura 20 Para responder a las preguntas, debemos pensar cómo establecer una relación entre el ángulo que se forma con el punto más alto del árbol y su proyección vista como una sombra. Para ello estudiemos algunos conceptos y estableceremos la explicación más apropiada a la situación planteada. Vamos al grano Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es encontrar las medidas de sus tres lados y tres ángulos a partir de algunos de ellos que son conocidos. Las razones trigonométricas nos permiten resolver cualquier tipo de triángulo rectángulo. 1. Conocidos dos lados. El tercer lado se obtiene mediante el teorema de Pitágoras. Uno de los ángulos agudos se halla a partir de la razón trigonométrica que lo relaciona con los dos lados conocidos. 2. Conocido un lado y un ángulo. Otro lado se halla mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos. El otro ángulo agudo es complementario al que conocemos. Es importante recordar las razones trigonométricas; para ello te presentamos varias definiciones. Razones trigonométricas 224 En un triángulo rectángulo de catetos x, y e hipotenusa z se definen las razones trigonométricas del ángulo α: seno, coseno y tangente, como se muestra en la figura 21.

49 Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1) Semana 8 B z y α 0 x A Figura 21 cateto opuesto al ángulo α AB y senα = = = hipotenusa OB z cateto contiguo al ángulo α OA x cosα = = = hipotenusa OB z cateto opuesto al ángulo α OA x tanα = = = cateto contiguo al ángulo α OB z A partir de ellas se define las recíprocas: cosecante, secante y cotangente. 1 z cosec α = = sen α y 1 z sec α = = cos α x 1 x cot α = = tan α y Estudiemos un ejemplo que enseña cómo presentar las razones trigonométricas y sus recíprocas. Conocidos dos lados Ejemplo 1: En un triángulo rectángulo se conocen z = 17m e y= 15m. Calcula el ángulo β B Solución: Como conocemos dos lados podemos aplicar la razón trigonométrica coseno para hallar el ángulo en B: z β y 0 x A 225

50 Semana 8 Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1) cateto contiguo al ángulo β 15m cosβ = cos β = cos β = 0,8823 hipotenusa 17m Usando la función inversa del coseno, el arco coseno, el cual en la calculadora lo encontramos como cos -1 cos -1 cosβ = cos -1 (0,8823) = 61,921º Para obtener la inversa del coseno con tú calculadora científica en el modo DEG presiona las siguientes teclas: SHIFT, COS (cos -1 ), 0,8823 y por último = SHIFT, COS (cos -1), 0,8823 y por último = Conocido un lado y un ángulo Ejemplo 2: En un triángulo rectángulo se conocen x = 15m y β = 70º. Calcula el lado z. Solución: Como conocemos el ángulo en B y su lado opuesto x podemos utilizar la razón trigonométrica seno: La hipotenusa mide aproximadamente 15,962m cateto opuesto a β 15m sinβ = sin 70º = hipotenusa z B 15m z sin 70º = 15m z = = 15,962m sin70º z β y La hipotenusa mide aproximadamente 15,962m 0 x A Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º Es conveniente recordar el valor numérico de las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º, a fin de que no necesitemos usar calculadora. Las razones recíprocas se pueden obtener aplicando las definiciones de cosecante, secante y cotangente. 226

51 Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1) Semana 8 Tabla 10 30º 45º 60º sen cos tan Anímate a completar la tabla 10 indicando las razones CSC, SEC Y COT con tus compañeros! Para saber más Analizando los gráficos presentados en El reto es, vemos que para el caso 1 la sombra de 48m y la altura del árbol forman un ángulo de 20º, dibujando así un triángulo rectángulo. La idea es establecer una relación entre estos datos y hallar la altura del árbol. Figura

52 Semana 8 Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1) Considerando el triángulo rectángulo que sintetiza la situación, observamos que la altura del árbol se puede denominar como el cateto opuesto al ángulo de 20º y la sombra como el cateto contiguo. Revisando la definición de las razones trigonométricas, vemos que los datos se pueden utilizar de forma directa en la tangente. Solución Explicación cateto opuesto a 20º tan α = cateto contiguo a 20º x tan20º = 48m x = 48m tan20º = 48m 0,36 = 17,47 m El valor que deseamos encontrar es el cateto opuesto al ángulo que es 20 (en este caso es la x); para ello debemos despejar x de la ecuación. Para obtener la tangente de 20º grados usamos la calculadora científica, marcando las teclas: Tan, 20 y = en el modo DEG. La altura del árbol es de aproximadamente 17,47m. Plantéate con tus compañeros los otros casos, realizando un análisis similar al expuesto y construye la solución justificando tu desarrollo. Consulta la siguiente dirección web, donde encontrarás una presentación que explica las funciones trigonométricas y cómo hallar sus inversas: Aplica tus saberes 1. En un triángulo rectángulo se conocen a = 50m y el ángulo en C = 16º. Calcula c. C a b 228 A c Figura 23 B

53 Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1) Semana 8 2. En un triángulo rectángulo se conocen a = 29m y b = 21m. Calcula el ángulo en A. 3. En un triángulo rectángulo se conocen b = 17m y c = 8m. Calcular el ángulo en C. 4. Cuál es la altura del edificio y de la antena? Ver figura 24. Antena 5º 48º 100m Figura Investiga en la dirección web recomendada cómo se definen las funciones trigonométricas y sus inversas. Comprobemos y demostremos que 1. Encuentra con tus compañeros las soluciones a los problemas y ejercicios planteados y consulta con tu facilitador las dudas que tengas. 2. Reflexiona sobre tus aprendizajes respondiendo a las siguientes preguntas: a) Cómo contribuyeron mis saberes previos a la realización de las actividades? b) Qué ideas nuevas aprendí en este proceso de aprendizaje? c) En qué punto tuve problemas de comprensión?, a qué se debe? d) Qué proceso seguí para desarrollar eficazmente las actividades? 229

54 Semana 9 9 Aplicación de las razones trigonométricas (parte 2) Aplicación de las razones trigonométricas (parte 2) Empecemos! Ya hemos estudiado la resolución de triángulos rectángulos utilizando las razones trigonométricas. Esta semana continuamos ampliando el tema de trigonometría, para lo cual te planteamos un conjunto de situaciones problema que tratan sobre diversos contextos de aplicación. Qué sabes de...? Es necesario que ejercites tus saberes sobre las razones trigonométricas, por lo que te animamos a analizar lo siguiente: tres personas, Judith, César y John, se encuentran ubicadas formando un triángulo recto. Lo que se conoce es que John está a 12m de César y éste gira su mirada hacia Judith con un ángulo de 55º. A qué distancia se encuentra Judith de César y de John?, con qué ángulo debería girar la vista Judith para mirar a César de frente? John 12m 55º César Judith Figura 25 El reto es Una escalera de 4m de largo llega hasta el balcón de una ventana, cuando el ángulo formado por la escalera y el suelo es de 65 (ver figura 26). 1. A qué altura se encuentra la ventana?

55 Aplicación de las razones trigonométricas (parte 2) Semana 9 2. En qué ángulo debe colocarse la escalera para que quede 50cm por debajo de la ventana? 4m 65º Figura 26 Vamos al grano Te presentamos la solución de varias situaciones que están relacionadas con las razones trigonométricas. Estúdialas cuidadosamente para que puedas adquirir la capacidad de comprender y presentar soluciones a problemas de este tipo. Situación 1: Una vía de ferrocarril atraviesa perpendicularmente una carretera recta y más adelante cruza un puente sobre un río. Una persona que se encuentra sobre la carretera, a 500m del cruce con la vía, observa una situación como la indicada en la figura 27. Cuál es la longitud del puente? 27º 500m 19º Figura 27 Solución: Si estudiamos la figura 27 nos damos cuenta de que hay dos triángulos que se pueden considerar rectángulos; el primero tiene un ángulo de 27º y lado contiguo de 500m, mientras que el otro que posee un tamaño más grande y forma un ángulo de 19º+27º=46º y el lado contiguo mide 500m. Si empleamos la razón tangente en ambos casos, obtenemos lo siguiente: 231

56 Semana 9 Aplicación de las razones trigonométricas (parte 2) cateto opuesto a 27 tan27º = Cateto contiguo 27º = x 500m x = 500m tan27º = 245,76m Cateto opuesto a 46 y tan46º = tan 46º = Cateto contiguo 500m y = 500m tan46º = 517,76m La pregunta que debemos responder es: cuál es la longitud del puente? Podemos obtener las diferencias entre los lados opuestos, es decir: Longitud del puente = y-x = 517,76m-254,76m = 263,005m Situación 2: Un niño está haciendo volar una cometa. Ha soltado ya 47m de hilo y averigua que el ángulo que forma la cuerda de la cometa con la horizontal es de 52º. A qué altura se encuentra la cometa? Ver figura º Figura 28 Solución: Si observamos la figura 28, notamos que el lado opuesto al ángulo de 52º es la altura que deseamos determinar, la razón que podemos utilizar de forma directa es el seno: Cateto opuesto a 52 x sen52º = sen 52º = hipotenusa 47m x = 47m sen52º = 37,03m Por tanto, la altura aproximada a la cual se encuentra la cometa es de 37,03m. Para saber más 232 Encuentra un conjunto de ejercicios y documentos sobre las razones trigonométricas, en:

57 Aplicación de las razones trigonométricas (parte 2) Semana 9 Descubre información muy interesante sobre cómo se calcula la longitud y latitud de las coordenadas geográficas, en: Aplica tus saberes 1. Las torres del Parque Central, en Caracas, tienen una altura de aproximadamente 225m, incluida la antena. a) Realiza un bosquejo de la situación. b) A qué distancia debo colocarme de ella para verla bajo un ángulo de 15º? 2. El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12º. Un buzo es bajado 40m hasta el fondo del mar. a) Ilustra la situación. b) Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio? Comprobemos y demostremos que 1. Encuentra las soluciones a los problemas y ejercicios con tus compañeros del CCA y consulta con tu facilitador las dudas que tengas. 2. Autoevalúa tu desempeño mediante los indicadores sugeridos. Indicadores Si Medianamente No Me he interesado y esforzado en realizar la tarea. He colaborado con mis compañeros. Sé buscar información. He realizado las actividades. Soy capaz de responder de forma oral o escrita a cuestiones relacionadas con el tema. He trabajado de forma autónoma. He participado en actividades de grupo, expresando mis ideas con claridad. 233

58 Semana Movimiento circular uniforme Movimiento circular uniforme Empecemos! Para esta semana tenemos el estudio del movimiento circular uniforme. La descripción de los movimientos rectilíneos uniformes y uniformemente acelerados puede extenderse a movimientos de trayectoria no rectilíneos, si no se tienen en cuenta aquellos aspectos del movimiento relacionados con el cambio de orientación que sufre el móvil al desplazarse a lo largo de una trayectoria curvilínea. El MCU permite describir el desplazamiento del punto móvil mediante el ángulo barrido por uno de los radios. De esta manera se abre un nuevo camino para su estudio, considerado exclusivo de los movimientos circulares, empleando magnitudes angulares en lugar de magnitudes lineales, es decir, utilizando magnitudes referidas a ángulos. Qué sabes de...? Para que puedas desarrollar tus saberes en el tema del MCU es importante que recuerdes lo siguiente: 1. Repasa el tema sobre el movimiento rectilíneo uniforme y movimiento rectilíneo uniformente acelerado. 2. Práctica los despejes de las siguientes fórmulas: Despeja la variable B: C - 3B = 2B + A Despeja la variable S: D = V- S R El reto es Realiza las siguientes actividades con tus compañeros:

59 Movimiento circular uniforme Semana 10 Para comenzar necesitamos estos materiales: un balón, un cronómetro, una cinta de enmascarar (o tirro) y una cinta métrica. Sigue los pasos a continuación: 1. Realiza una marca con la cinta sobre el balón, de tal manera que cuando gire logres verla. 2. Mide con la cinta métrica la longitud(s) de la circunferencia del balón y encuentra el valor del radio(r) mediante la expresión: S = 2 π r 3. Pon a girar el balón con tus manos y pide a un compañero que mida con el cronómetro el tiempo que tarda el balón en dar dos vueltas. 4. Realiza el procedimiento anterior, midiendo el tiempo que tarda el balón en dar 5, 8, 10 y 15 vueltas. En todos los casos, debes procurar hacer girar el balón con la misma fuerza. 5. Registra los datos en la tabla 11. Tabla 11 Nº de vueltas Tiempo (seg.) Con los datos registrados en la tabla 11, encuentra la velocidad con que gira (velocidad angular) para cada número de vueltas. 7. Encuentra el tiempo que tarda en completar una vuelta (período) y la cantidad de vueltas por segundo (frecuencia). Ahora, analiza tus resultados respondiendo a los siguientes planteamientos: 8. Si no ejerces la misma fuerza en todos los lanzamientos, los datos obtenidos permitirán un análisis adecuado del fenómeno? Explica. 9. Explica los posibles errores experimentales que se generaron durante el proceso y plantea soluciones para ello. 235

60 Semana 10 Movimiento circular uniforme Vamos al grano Movimiento circular uniforme (M.C.U) Ahora estudiaremos cuando una partícula se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. En este movimiento, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Esta situación es la que se define como movimiento circular uniforme. Figura 29 Este tipo de movimiento significa que, al ser circular, es de radio constante y uniforme, cuya velocidad lineal permanece constante. P C r 0 s O Figura 30 Desplazamiento angular Se llama desplazamiento angular (Δθ) a la diferencia θ - θ o, es decir, Δθ = θ - θ o El desplazamiento angular se mide en radianes (rad). Velocidad angular 236 En este movimiento la magnitud de la velocidad lineal v, y el radio r de trayectoria son constantes y a partir de la fórmula:

61 Movimiento circular uniforme Semana 10 v = ω r (1) La velocidad angular (ω) también se puede considerar constante, por tanto se define velocidad angular media (ω m ) al cociente Δθ / Δt. En el Sistema Internacional (SI) la velocidad media se mide en rad/s o (s -1 ), ya que el radian es adimensional. y t 0 θ θ 0 t r x Figura 31 En los movimientos circulares uniformes la velocidad angular media coincide con la velocidad angular instantánea (ω). ω = Δθ θ - θ = 0 (2) Δt t - t 0 Despejando el desplazamiento angular θ en la fórmula (1), obtenemos: θ = θ 0 + ω (t - t 0 ) (2,1) Por otro lado, como el movimiento es uniforme, es posible definir el período ( T) y la frecuencia (v). El período de revolución o simplemente período se define como el tiempo que demora la partícula en dar una vuelta completa; mientras que la frecuencia se refiere al número de vueltas que realiza la partícula en la unidad de tiempo. Usando la ecuación, tenemos: (5.8) Δθ = 2π para t = T, es decir: 2π T = (3) y ω 1 ω f = = (4) T 2π 237

62 Semana 10 Movimiento circular uniforme En el SI, las unidades de período son el segundo [s] y las de frecuencia: vueltas revoluciones ciclos = = s s s unidad que se denomina [hertz] = [Hz]. Por ejemplo, una frecuencia de 50 [Hz] significa que la partícula describe 50 vueltas en un segundo y por lo tanto su período es T = 0,02s. Aceleración centrípeta Cuando un cuerpo describe un movimiento circular uniforme, su rapidez permanece constante; sin embargo, su velocidad cambia de dirección, es decir, experimenta aceleración. Dicha aceleración se denomina centrípeta ya que, por su naturaleza, siempre posee una dirección perpendicular a la velocidad lineal y apuntando hacia el centro del círculo que describe. La fórmula que relaciona la aceleración y la velocidad lineal es la siguiente: v 2 a r = = ω 2 r (5) r Veamos la aplicación de la fórmula antes definida en la siguiente situación problema: Situación 1: Los satélites geoestacionarios siempre se encuentran sobre el mismo punto de la Tierra a una distancia de km de la superficie terrestre. Determina: 1. El período de revolución de un satélite geoestacionario. 2. La frecuencia del satélite. 3. La velocidad angular de la trayectoria. 4. La distancia recorrida por el satélite en un día. 5. La rapidez de movimiento. 6. La aceleración centrípeta que experimenta el satélite. 238

63 Movimiento circular uniforme Semana 10 Soluciones 1. Como el satélite siempre se encuentra en el mismo punto sobre la superficie de la Tierra, entonces una vuelta completa o periodo lo realiza en T=24 horas. 2. Usamos la fórmula (3) de la frecuencia: f = 1 = 1 = 0,04 rev / T 24h h 3. Para determinar la velocidad angular tenemos que el desplazamiento angular de un giro completo del satélite sobre la Tierra es Δθ = 2π en un tiempo de Δt = 24h: ω = Δθ = 2π = 0,26 rad / Δt 24h h 4. Como el radio de la Tierra es 6400 km, tenemos el radio de órbita del satélite que es: r = 6400 Km Km = Km Por tanto, el perímetro circular que recorre el satélite en un día es: d = 2π r = 2π Km = Km 5. Para obtener la velocidad lineal constante aplicamos esta fórmula: v = d = Km = Km / t 24h h 6. Para saber la aceleración centrípeta aplicamos la fórmula (5): v 2 (11100 Km/h) a r = = 2 = 2905,89 Km/h 2 r Km Para saber más Consulta la siguiente web interactiva sobre el movimiento circular uniforme: 239

64 Semana 10 Movimiento circular uniforme Aplica tus saberes 1. Una de las ruedas de un auto de juguete describe un movimiento circular, realizando 20 vueltas en 8seg. a) Cuál es su frecuencia? b) Cuál es el periodo de su movimiento? 2. Un ventilador gira con una velocidad angular constante de 20 revoluciones por segundo. Calcula: a) Velocidad lineal si el radio de la circunferencia es 15cm. b) La longitud del arco recorrido en 4 horas de funcionamiento. 3. Un coche que va a 20m/s recorre el perímetro de una pista circular en un minuto. a) Determina el radio de la pista. b) Tiene aceleración el coche? En caso afirmativo, determina su módulo, su dirección y su sentido. Comprobemos y demostremos que 1. Realiza un informe sobre la experiencia vivida en El reto es y entrégalo a tu facilitador. 2. Encuentra con tus compañeros las soluciones de los problemas y ejercicios y consulta con tu facilitador las dudas que tengas. 3. Autoevalúa tu desempeño mediante los indicadores sugeridos. 240 Indicadores Si Medianamente No Me he interesado y esforzado en realizar la tarea. He colaborado con mis compañeros. Sé buscar información. He realizado las actividades. Soy capaz de responder de forma oral o escrita a cuestiones relacionadas con el tema. He trabajado de forma autónoma. He participado en actividades de grupo, expresando mis ideas con claridad.

65 Semana Movimiento 11 circular uniforme Movimiento parabólico Semana 10 Empecemos! Continuando con los temas de Física, esta semana te presentamos uno de los más interesantes tipos de movimientos: el movimiento parabólico o proyectil, que consiste en una composición de un movimiento rectilíneo uniforme de avance horizontal y un movimiento vertical uniformemente acelerado. Para comprender mejor el movimiento parabólico te proponemos un conjunto de actividades que muestran de forma práctica y teórica los elementos básicos como el movimiento en dos dimensiones y la forma vectorial de representar los desplazamientos y velocidades, así como las formas analíticas del movimiento parabólico. Qué sabes de...? Para que puedas desarrollar tus saberes en el tema de movimiento parabólico, es importante que tomes en cuenta lo siguiente: 1. Repasa el tema sobre el movimiento rectilineo uniforme y movimiento rectilineo uniformemente acelerado. a) Cuáles son las características de un MRU? b) Cuáles son las características de un MRUV? 2. Representa en el plano cartesiano los siguientes vectores: a) A = 2i + 3j a) B = 4i - 6j El reto es... Con tus compañeros y compañeras realiza el reto que se plantea. Para comenzar necesitamos algunos materiales: 241

66 Semana 11 Movimiento parabólico Resorte de comprensión de 1cm de diámetro. Tabla de 5cm de ancho y de largo igual a la longitud del resorte. Trozo de madera de 2cm 2 y 1cm de espesor. Una canica (metra) y una esfera de metal. Silicón. Cinta métrica y transportador. Cronómetro. Ahora, sigue estos pasos: 1. Pega el trozo de madera en una de las caras laterales de la tabla y fija sobre ella el resorte. 2. Fija con ayuda del transportador el ángulo de inclinación del montaje, puedes utilizar los libros y cuadernos para darle estabilidad. 3. Ubica la canica en el resorte, comprímelo y déjalo libre para que expulse la canica. 4. Pídele a un compañero que mida el tiempo de vuelo de la canica. Ensaya antes de tomar las medidas que serán utilizadas. 5. Mide las distancias entre la salida de la canica del resorte y el punto donde cae. 6. Anota tus mediciones en la tabla 12. Tabla 12 Ángulo Distancia (m) Tiempo de vuelo (s) 15º 30º 45º 60º 75º 7. Repite los pasos para cada ángulo de la tabla 12 y elabora las mediciones para la canica y la esfera de metal. Analiza tus resultados respondiendo a los siguientes planteamientos: 242 a) Realiza una representación gráfica de los lanzamientos. Qué comportamiento tienen los lanzamientos cuando variamos los ángulos?

67 Movimiento parabólico Semana 11 b) Encuentra el valor de las componentes de la velocidad inicial para la canica y la esfera metálica. c) Calcula el tiempo en que la canica y la esfera metálica alcanzan la altura máxima. Vamos al grano Movimientos en dos dimensiones. Movimientos parabólicos Los movimientos parabólicos pueden ser tratados como una composición de dos movimientos rectilíneos: uno horizontal con velocidad constante (MRU) y otro vertical con aceleración constante (MRUA). Vy Vx0 V θ Vy=0 Vx0 Vy Vx0 θ Vy0 V 0 θ 0 V Vx0 Vx0 Vy0 Figura 32 El movimiento de media parábola, lanzamiento horizontal, puede considerarse como la composición de un movimiento rectilíneo uniforme de avance horizontal y un movimiento de caída libre. Notas Un cuerpo lanzado horizontalmente y otro que se deja caer libremente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo. Dos cuerpos lanzados, uno verticalmente hacia arriba y el otro parabólicamente, que alcancen la misma altura, tardan lo mismo en caer al suelo. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igualmente válida en los movimientos parabólicos. 243

68 Semana 11 Movimiento parabólico Lanzamiento horizontal Este caso de movimiento parabólico se produce cuando el ángulo de inclinación es igual a cero y, por lo general, el lanzamiento se encuentra a una altura, es decir, la velocidad vertical inicial es nula y equivalente a una caída libre, mientras la velocidad horizontal permanece constante si despreciamos la fricción del aire. Figura 33 Por ser un movimiento en el plano, las ecuaciones que lo caracterizan son vectoriales, donde cada una de las componentes tiene un comportamiento independiente y ambas ecuaciones dependen del parámetro t (tiempo), el cual al despejarlo en una y sustituirlo en la otra, permite obtener una función que determina la trayectoria. Tabla 13. Ecuación de posición lanzamiento horizontal Ecuación de posición r = xi + yj Componente horizontal de avance (MRU) x = v o t Componente vertical de caída (MRUA) 1 y = y o - gt 2 2 Al combinar las componentes queda la ecuación de la trayectoria: y = y o g x v o 2 (1) 244

69 Movimiento parabólico Semana 11 Tabla 14. Ecuación de velocidad de lanzamiento horizontal Ecuación de velocidad v = v x i + v y j Velocidad de avance horizontal: v x = v o Velocidad de caída vertical: v y = - gt El valor del módulo de la velocidad viene dado por: v = v 2 x + v 2 y (2) Movimiento parabólico completo Es producido cuando el lanzamiento posee un ángulo de inclinación mayor a 0º y una velocidad de impulso inicial, lo cual indica que el movimiento ocurre en dos dimensiones, como se observa en la figura 34. y Vo Vo sen θo? 0 Vo cos θo x Figura 34 La velocidad inicial tiene dos componentes: V ox y V oy que valen: v ox = v o cos α v oy = v o sen α (3) Dichos componentes producen el avance (x) y la elevación (y). Tabla 15. Ecuación de posición lanzamiento parabólico completo Ecuación de posición r = xi + yj Componente horizontal de avance x = v ox t Componente vertical de altura: 1 y = v oy t - gt

70 Semana 11 Movimiento parabólico Tabla 16. Ecuación de velocidad lanzamiento parabólico completo Ecuación de velocidad Velocidad del avance horizontal: v x = v ox v = v xi + v yj Velocidad de caída vertical: v y = v oy - gt En los casos en que exista altura inicial y 0 la ecuación de la altura es: 1 y = y o + v oy t - 2 gt 2 (4) Alcance horizontal y altura máxima de un proyectil Cuando realizamos el lanzamiento de un proyectil, hay dos puntos que son especiales: La altura máxima (h=ymax) que puede alcanzar el proyectil según la velocidad inicial y el ángulo de disparo. Y la obtenemos por la fórmula: v 0 2 sen θ 0 h = (5) 2g y Vy V V Vx Vx V yi V i θ Vx Vy Vx Ymax = h x V xi R = Xmax Vy V Figura 35 El alcance horizontal (R=Xmax), es la distancia máxima en sentido horizontal que puede lograr el proyectil según la velocidad inicial y el ángulo de disparo. Y se obtiene mediante la fórmula: 246 R = v 0 2 sen 2θ 0 g (6)

71 Movimiento parabólico Semana 11 También es importante conocer el tiempo de vuelo, es decir, el que transcurre desde que el proyectil sale hasta que alcanza nuevamente la misma altura, el cual podemos determinar por la relación siguiente: 2v 0 sen θ 0 t v = g (7) Para comprender la aplicación de las fórmulas y cómo realizar un análisis para solucionar una situación que involucre el movimiento parabólico, estudiemos lo siguiente: Situación 1: Un futbolista le da una patada a un balón que sale formando un ángulo de 37º con la horizontal. La velocidad que le comunica es 12m/s. Suponiendo que la pelota se mueve en un único plano, calcula: a) La altura a la que llega el balón. b) La distancia horizontal que recorre. c) El tiempo que está en el aire. d) Escribe el vector posición en función del tiempo. e) Escribe el vector velocidad en función del tiempo. Soluciones Datos: El ángulo de inclinación θ 0 = 37 0 La rapidez inicial v 0 = 12 m/s Es un movimiento parabólico completo. a) Para determinar la altura máxima usamos la fórmula (5): 2v 0 sen θ 0 (12 m/s) 2 sen 37 0 h = = = 4,42 m 2g 2 (9,8 m/s 2 ) La altura que logra alcanzar el balón antes de comenzar a caer es de 4,42 metros. b) Para conocer el alcance horizontal máximo empleamos la fórmula (6): 2 v 0 sen 2θ 0 (12 m/s) 2 sen2 (37 0 ) R = = = 14,12 m g 9,8 m/s 2 247

72 Semana 11 Movimiento parabólico La distancia que recorre el balón hasta el momento en que toca el suelo es de 14,12 metros. c) Para calcular el tiempo que tarda el balón desde el momento que es pateado y cae al suelo empleamos la siguiente fórmula (7): 2v 0 sen θ 0 2 (12m/s) sen 37 0 t v = = = 1,47m g 9,8m/s 2 El balón vuela por los aires 1, 47 seg. d) La escritura del vector posición en función del tiempo requiere que conozcamos las componente en X e Y en función del tiempo (tabla 15): Componente en x: debemos calcular: v x0 = v 0 cos θ 0 = 12m/s cos 37º = 9, 5m/s Por tanto, la componente es x = v xo t = 9,5t (omitimos las unidades por simplicidad). Componente en y: debemos calcular: v y0 = v 0 sen θ 0 = 12m/s sen 37º = 7, 2m/s Por tanto, la componente es y = v yo t - unidades por simplicidad). gt = 7,2t - 4,9t 2 (omitimos las El vector posición en función del tiempo se escribe : 1 2 r = (9,5t) i + (7,2t - 4,9t 2 ) j e) Tomando los resultados anteriores, podemos escribir el vector velocidad en función del tiempo (tabla 16) de la siguiente manera: Componente en v x : Como v x = v = 9,5m/s x0 Componente en v y : Como v y = v - gt = 7,2-9,8t y0 El vector velocidad en función del tiempo se escribe: v = (9,5t) i + (7,2-9,8t) j 248

73 Movimiento parabólico Semana 11 Para saber más Consulta la siguiente web interactiva que simula colocando los parámetros iniciales el lanzamiento de un proyectil: Aplica tus saberes 1. Una pelota rueda del borde horizontal de una mesa de 1.23m de altura. Golpea el suelo en un punto 1.80m horizontalmente lejos del borde. Calcula: a) Durante cuánto tiempo estuvo en el aire? b) Cuál era su velocidad en el instante que dejó la mesa? 2. Un proyectil se dispara horizontalmente desde un cañón ubicado a 45m sobre un plano horizontal con una velocidad en la boca del cañón de 250m/s. Calcula: a) Cuánto tiempo permanece en el aire? b) A qué distancia horizontal golpea el suelo? c) Cuál es la magnitud de la componente vertical de su velocidad al golpear el suelo? 3. Cierto aeroplano tiene una velocidad de 180m/s y baja en picada con un ángulo de 27 debajo de la horizontal cuando emite una señal de radar. La distancia horizontal entre el punto de emisión y el punto en el que la señal golpea el suelo es de 2300m. Calcula: a) Cuánto tiempo estará en el aire? b) A qué altura estaba el aeroplano cuando se emitió la señal? Comprobemos y demostremos que 1. Realiza un informe sobre la experiencia vivida en El reto es y entrégalo a tu facilitador. 2. Encuentra con tus compañeros las soluciones de los problemas y ejercicios y consulta con tu facilitador las dudas que tengas. 249

74 Semana 11 Movimiento parabólico 3. Autoevalúa tu desempeño: a) Especifica las tareas que has realizado. b) Cita la característica que más valoras de tu trabajo. c) Cita la característica que menos valoras de tu trabajo. d) Auto calificación definitiva (de 0 a 20pts.). 250

75 Semana Movimiento 12parabólico Electricidad y magnetismo (parte 1) Semana 11 Empecemos! Ya hemos estudiado diferentes fenómenos físicos relacionados con el movimiento de los cuerpos. Para esta semana te presentamos los aspectos teóricos y prácticos relacionados con los experimentos eléctricos. La historia de la electricidad tuvo sus inicios hace años, con lo que aparentemente solo eran juegos recreativos de salón. En esa época muy poca importancia se daba a los fenómenos eléctricos, por lo que hubo que esperar hasta la era moderna para descubrir su utilidad. Tales de Mileto atrayendo pajillas y papeles con una varilla de ámbar, que previamente había frotado con una tela, pudo sospechar que la fuerza oculta existente en dicho experimento llegaría con el tiempo a ser de gran importancia para la humanidad. Qué sabes de...? Para comprender debidamente el tema de esta semana, investiguemos lo siguiente: 1. Qué es la energía eléctrica? 2. Cómo se genera la energía eléctrica? 3. Qué dispositivos utilizamos para generar, transmitir y medir la energía eléctrica? 4. Investiga los instrumentos llamados voltímetro y amperímetro: cómo se utilizan en los circuitos en serie y paralelo? El reto es... Para realizar una actividad práctica, busca con tus compañeros los siguientes materiales: Dos pilas de 1,5 voltios. 251

76 Semana 12 Electricidad y magnetismo (parte 1) Tres bombillos para linterna. Tres portalámparas. Cables conectores (caimanes). Voltímetro y amperímetro (o multímetro). La práctica consiste en lo siguiente: Circuito en serie 1. Coloca un bombillo en el portalámparas y conecta en un extremo el cable de conexión y el otro al terminar el amperímetro. A Lectura 1 12 Figura Asocia las pilas con cinta y conéctalas al bombillo y al amperímetro. 3. Conecta el voltímetro. Determina el valor de la corriente y el voltaje en el circuito. 4. Determina la resistencia del bombillo, reemplazando los valores i y V en la siguiente ecuación: V R = i 5. Escribe los valores en la tabla de registro (tabla 17). R (Ω ) V 1 (V) V 2 (V) V 3 (V) Tabla V 1 + V 2 + V 3 V (pilas)

77 Electricidad y magnetismo (parte 1) Semana Conecta en serie los tres bombillos. 7. Ubica el voltímetro en el primer bombillo; halla su valor y anótalo en la tabla Repite el proceso con los otros dos bombillos y has tus anotaciones en la tabla Suma los tres voltajes obtenidos. 10. Con el voltímetro determina el voltaje de las pilas sin que estén conectadas a los bombillos; anota el voltaje en la tabla 17. Analiza tus resultados respondiendo a los siguientes planteamientos: 11. Calcula la resistencia equivalente. 12. Cómo podemos explicar que el voltaje de la pila no sea igual a la suma de todos los voltajes? 13. Con el valor de la resistencia equivalente y el voltaje de las pilas, determina la corriente del circuito. Es igual esta corriente al valor obtenido en el paso 3? Explica tu respuesta. 14. Investiga cómo realizar una experiencia como esta, pero para un circuito en paralelo. Vamos al grano Circuitos eléctricos Un circuito eléctrico está formado por la asociación de una serie de elementos conductores que hacen posible el mantenimiento en su interior de una corriente eléctrica. Si los generadores producen una diferencia de potencial constante entre sus bornes o polos, la corriente producida será continua. Tal es el caso de las pilas y las baterías. Tabla 18 Elemento Símbolo Elemento Símbolo Conductor Interruptor cerrado Pila Motor M Resistencia Generador G Interruptor abierto Voltimetro V Amperímetro A 253

78 Semana 12 Electricidad y magnetismo (parte 1) En los circuitos de corriente continua pueden distinguirse básicamente dos tipos de elementos: los generadores y los receptores. Los primeros aportan al circuito la energía necesaria para mantener la corriente eléctrica; los segundos consumen energía eléctrica o bien la disipan en forma de calor, como es el caso de las resistencias, o la convierten en otra forma de energía, como sucede en los motores. Asociación de resistencias Existen dos modos fundamentales de conectar o asociar las resistencias entre sí, en serie y en paralelo o derivación: En la asociación en serie las resistencias se conectan una tras otra de modo que por todas ellas pasa la misma intensidad de corriente. En la asociación en paralelo la conexión se efectúa uniendo los dos extremos de cada una de ellas a un mismo par de puntos. En este caso, la diferencia de potencial entre los extremos de cualquiera de las resistencias asociadas es la misma pero, de acuerdo con el principio de no acumulación de cargas, la intensidad total que llega al nudo o punto de bifurcación se reparte entre ellas. En la asociación mixta las conexiones pueden ser en serie y en paralelo. Se denomina resistencia equivalente de una asociación de resistencias a aquella resistencia única por la que podría sustituirse la asociación sin alterar la intensidad que circula por el circuito. Tabla 19 Circuito en serie Circuito en paralelo I = I 1 = I 2 = I 3 En un circuito en serie la intensidad de corriente es constante. V = V 1 + V 2 + V 3 La diferencia de voltaje (tensión) en los extremos del circuito es igual a la suma de las diferencias de voltaje de cada elemento del circuito. I = I 1 = I 2 = I 3 La intensidad de corriente es igual a la suma de las intensidades parciales. V = V 1 = V 2 = V 3 En un circuito en paralelo la diferencia de voltaje es la misma. 254

79 Electricidad y magnetismo (parte 1) R e = R 1 + R 2 + R 3 La resistencia equivalente es igual a la suma de las resistencias del circuito. Semana 12 1 = R e R 1 R 2 R 3 La resistencia equivalente es igual a la suma de los inversos de cada resistencia del circuito. La Ley de Ohm Cuando entre los extremos de un conductor se establece una diferencia de potencial V, aparece en él una corriente eléctrica de intensidad I que lo atraviesa. Dado que I es consecuencia de V, debe existir una relación entre sus valores respectivos. Para conductores metálicos dicha relación es lineal o de proporcionalidad directa y constituye la Ley de Ohm. La comprobación experimental de la Ley de Ohm pueda efectuarse con la ayuda de los siguientes medios: Una fuente de f.e.m. cuya tensión de salida pueda graduarse a voluntad. Una resistencia metálica que hará las veces de conductor. Un voltímetro, un amperímetro y cables de conexión. La expresión puede escribirse, haciendo intervenir a la resistencia, en la siguiente forma: V = I R Esta constituye la expresión más conocida de la Ley de Ohm. A partir de la ecuación anterior se define el ohm (Ω) como la unidad de resistencia eléctrica en la siguiente forma: 1ohm (Ω) = 1 volt (V) 1 ampere (A) Efectos caloríficos de la corriente eléctrica. Ley de Joule El calentamiento de los conductores por el paso de la corriente eléctrica fue uno de los primeros efectos observados por los científicos estudiosos de los fenómenos eléctricos; sin embargo, habría de pasar algún tiempo antes de que se conociera la magnitud de tal efecto calorífico y los factores de los 255

80 Semana 12 Electricidad y magnetismo (parte 1) que depende. J. P. Joule ( ) se interesó desde joven en la medida de temperaturas de motores eléctricos, lo que le permitió hacia 1840 encontrar la ley que rige la producción de calor por el paso de una corriente eléctrica a través de un conductor. La Ley de Joule establece que la cantidad de calor producida es directamente proporcional a la resistencia R del conductor, al cuadrado de la intensidad de corriente I que lo atraviesa y al tiempo t. Es decir: Q = I 2 R t La potencia calorífica representa el calor producido en un conductor en la unidad de tiempo. Su expresión se deduce a partir de la Ley de Joule de la siguiente forma: Q I 2 R t P = = = I t t 2 R Puesto que el calor es una forma de energía, se expresa en Joule (J) y la potencia calorífica en Watts (W). Cuando se combinan la Ley de Ohm y la potencia calorífica resulta otra expresión para la potencia eléctrica consumida en un conductor: P = IR I = I V Para comprender la aplicación de las fórmulas y cómo realizar un análisis para solucionar una situación que involucre el movimiento parabólico, estudiemos lo siguiente: Situación 1: Según el circuito de la figura 37, determina: a) La resistencia total. b) La intensidad total. c) El voltaje en cada resistencia. d) La intensidad por cada resistencia. e) La energía calorífica producida en R2 en un minuto. f) La potencia de la pila. 256

81 Electricidad y magnetismo (parte 1) Semana 12 La letra k significa el prefijo kilo y es igual a la potencia 1k=10 3 =1000. R2 500Ω R1 V1 12V 1kΩ R3 1kΩ R4 1kΩ Figura 37 Soluciones a) Las resistencias R1 y R2 están en paralelo y las resistencias R3 y R4 se encuentran en serie. Para obtener la resistencia total debemos hacer lo siguiente: Ω +1000Ω = + = + = = 0,003Ω R e (Paralelo) 1000Ω 500Ω Ω 2 R 1 R 2 R e (Paralelo) = 333,33Ω como R e (Paralelo) y R e (Serie) están en serie R T = R e (Paralelo) + R e (Serie) = 333,33Ω Ω = 2333,33Ω b) Como ya conocemos la resistencias totales, podemos saber la intensidad de corriente total del circuito, aplicando la Ley de Ohm: V T V = I R I T = = 12V = 0,0051A 2333,33Ω R T 257

82 Semana 12 Electricidad y magnetismo (parte 1) c) Los voltajes para las resistencias R3 y R4 son: V 3 = I R 3 = 0,0051A 1000 Ω = 5,1V y V 4 = I R 4 = 0,0051A 1000 Ω = 5,1V Como el caso de R1 y R2 los voltajes son V1=V2=V, ya que están en paralelo: V T = V 3 + V 4 + V V = V T - V 3 - V 4 = 12V - 5,1V - 5,1V = 1,71V d) La intensidad de corriente para R1 y R2 viene dada por: V 1,71V V 1,71V I 1 = = = 3,4 x 10-3 A y I 2 = = = 1,71 x 10-3 A 500Ω 1000Ω R 1 R 2 e) Analizamos el efecto joule en R2: Q = I 2 2 R 2 t = 1,71 x 10-3 A 1000Ω 60s = 102,6J f) Calculamos la potencia de la fuente con la fórmula: P = I T V T = 0,0051A 12V = 0,061W Para saber más Consulta la siguiente web interactiva que muestra de manera ilustrativa el tema de los circuitos eléctricos: Aplica tus saberes 1. Según el circuito de la figura 38 determina: a) La resistencia total. b) La intensidad total. c) El voltaje en cada resistencia. d) La intensidad por cada resistencia. e) La energía calorífica producida en R5 en dos minutos. f) La potencia de la pila. 258

83 Electricidad y magnetismo (parte 1) Semana 12 R1 3kΩ R3 9kΩ R2 1kΩ R4 5kΩ R5 1kΩ V1 30V Figura En el circuito mixto de la figura 39: a) Calcula el valor de la resistencia equivalente. b) La intensidad en cada rama, las caídas de tensión. c) La potencia disipada en cada resistencia. l 1 R 1 = 32 Ω l 3 R 3 = 100 Ω l 2 V T = 16 V R 2 = 180 Ω R 4 = 70 Ω R 6 = 20 Ω Figura 39 R 5 = 100 Ω 3. En el ámbito industrial y doméstico la energía eléctrica se mide en kilovatios por hora (kwh), que es la energía que consume un aparato eléctrico de 1kW de potencia durante una hora. Si los artefactos funcionan a un voltaje de 120V y 1kWh cuesta Bs. 0,12, calcula cuánto dinero cuesta la energía que se consume en un mes (30 días): a) Una nevera de potencia 200W, que permanece conectada. b) Un televisor de potencia 230 W, que se usa 8 horas al día. 259

84 Semana 12 Electricidad y magnetismo (parte 1) Comprobemos y demostremos que 1. Realiza un informe sobre la experiencia vivida en El reto es y entrégalo a tu facilitador. 2. Encuentra con tus compañeros las soluciones de los problemas y ejercicios y consulta con tu facilitador las dudas que tengas. 3. Autoevaluación. Responde a las siguientes preguntas de manera reflexiva y responsable: Indicadores Si Medianamente No Comprendí el desarrollo de las actividades? Procuré solucionar las dudas que tuve? Acepté mis errores y los corregí? Trabajé con orden y limpieza? Compartí mis saberes con los compañeros? 260

85 Semana Electricidad 13y magnetismo (parte 1) Electricidad y magnetismo (parte 2) Semana 12 Empecemos! Continuando con el tema de la semana anterior, veremos ahora los aspectos teóricos y prácticos de algunos fenómenos magnéticos. El término magnetismo tiene su origen en el nombre que en la época de los filósofos griegos recibía una región del Asia Menor, entonces denominada Magnesia; en ella abundaba una piedra negra o piedra imán capaz de atraer objetos de hierro y de comunicarles por contacto un poder similar. Los fenómenos magnéticos habían permanecido durante mucho tiempo en la historia de la ciencia como independientes de los eléctricos pero, el avance de la electricidad por un lado y del magnetismo por otro, preparó la síntesis de ambas partes de la Física en lo que se conoce como el electromagnetismo, que reúne las relaciones mutuas existentes entre los campos magnéticos y las corrientes eléctricas. James Clark Maxwell fue el científico que cerró ese sistema de relaciones al elaborar su teoría electromagnética, una de las más bellas construcciones conceptuales de la Física clásica. Qué sabes de...? Para aumentar tu entendimiento sobre los fenómenos del magnetismo, investiga lo siguiente: 1. Qué un imán?, cuáles son sus características y formas? 2. Qué se conoce como campo geomagnético? 3. Cuáles son los aparatos de medición basados en efectos electromagnéticos? 4. Cuáles los experimentos más notables del electromagnetismo? 261

86 Semana 13 Electricidad y magnetismo (parte 2) El reto es... A continuación te invitamos a realizar una actividad práctica relacionada con la inducción electromagnética. Para ello debe buscar los siguientes materiales: Imán de herradura. Alambre conductor. Galvanómetro. Ahora, sigue estos pasos: 1. Conecta las terminales del galvanómetro a los extremos del alambre. 2. Coloca el alambre en el interior del imán. 3. Mueve verticalmente el alambre a través del imán y observa la variación de los valores que registra el galvanómetro. Escribe la observación en la tabla 20. Tabla 20 Hacia abajo Movimiento del alambre Observación Hacia arriba Rápido hacia abajo Rápido hacia arriba 4. Mueve nuevamente el alambre verticalmente, pero con mayor rapidez. Observa la variación de la medida señalada en el galvanómetro y escribe tus apreciaciones en la tabla de registro (tabla 20). Ahora, analicemos los resultados preguntándonos lo siguiente: 5. Por qué el galvanómetro registra corriente si no hay ninguna pila conectada? 6. Si movemos con mayor rapidez el alambre a través del imán qué podemos decir sobre la corriente que registra el galvanómetro? Si utilizamos los dedos pulgar, índice y medio de la mano derecha para indicar el movimiento del alambre, la corriente inducida y la dirección del campo magnético del imán, cuál sería la regla que permite predecir el comportamiento del alambre a partir de la dirección de la corriente y el campo magnético del imán?

87 Electricidad y magnetismo (parte 2) Semana 13 Vamos al grano Campo magnético El hecho de que las fuerzas magnéticas sean fuerzas de acción a distancia permite recurrir a la idea física de campo para describir la influencia de un imán o de un conjunto de imanes sobre el espacio que les rodea. Un campo magnético producido por una corriente eléctrica Figura 40 Campo magnético de un iman Al igual que en el caso del campo eléctrico se recurre a la noción de líneas de fuerza para representar la estructura del campo. En cada punto las líneas de fuerza del campo magnético indican la dirección en la que se orientará una pequeña brújula (considerada como un elemento de prueba) situada en tal punto. Figura 41 Así, las limaduras de hierro espolvoreadas sobre un imán se orientan a lo largo de las líneas de fuerza del campo magnético correspondiente y el espectro magnético resultante proporciona una representación espacial del campo. Por convenio se admite que las líneas de fuerza salen del polo Norte y se dirigen al polo Sur. 263

88 Semana 13 Electricidad y magnetismo (parte 2) La intensidad del campo magnético Como sucede en otros campos de fuerza, el campo magnético queda definido matemáticamente si se conoce el valor que toma en cada punto una magnitud vectorial que recibe el nombre de intensidad de campo. La intensidad del campo magnético, a veces denominada inducción magnética, se representa por la letra B y es un vector tal que en cada punto coincide en dirección y sentido con los de la línea de fuerza magnética correspondiente. Las brújulas, al alinearse a lo largo de las líneas de fuerza del campo magnético, indican la dirección y el sentido de la intensidad del campo B. La obtención de una expresión para B se deriva de la observación experimental de lo que le sucede a una carga q en movimiento en presencia de un campo magnético. F m = q v B sen θ Donde B representa el módulo o magnitud de la intensidad del campo y el ángulo que forman los vectores v y B. Dado que F m, v y B pueden ser considerados como vectores, es necesario además reunir en una regla lo relativo a la relación entre sus direcciones y sentidos: el vector F m es perpendicular al plano formado por los vectores v y B y su sentido coincide con el de avance de un tornillo que se hiciera girar en el sentido de v a B (por el camino más corto). F 90º v q 0 θ B Figura 42 F F B B v v 264 Figura 43

89 Electricidad y magnetismo (parte 2) Semana 13 F m B = q v senθ Una definición indirecta del módulo o magnitud de la intensidad del campo magnético, viene dada a partir de la siguiente expresión: La dirección de B es precisamente aquella en la que debería desplazarse q para que F m fuera nula; es decir, la de las líneas de fuerza. La unidad del campo magnético en el SI es el tesla (T) y representa la intensidad que ha de tener un campo magnético para que una carga de 1C, moviéndose en su interior a una velocidad de 1m/s perpendicularmente a la dirección del campo, experimente una fuerza magnética de 1 newton. 1 newton (N) 1 tesla (T) = 1 coulumb (C) 1 metro por segundo (m/s) Aunque no pertenece al SI, con cierta frecuencia se emplea el gauss (G): 1 T = 10 4 G coulomb. Situación 1: Un ion positivo de carga igual a la de dos protones, es decir, de 3,2 x C, se encuentra en un campo magnético entre los dos polos de un imán de herradura, tal como lo muestra la figura 44. Figura 44 Si el campo magnético es de 0,0007 T, la velocidad es de 10 5 m/s y perpendicular al campo, calcula la fuerza y la dirección que experimenta el ion. 265

90 Semana 13 Electricidad y magnetismo (parte 2) Soluciones Como B = 0,0007 T =7x10-4 T; la v =10 5 m/s; la carga q= 3,2 x C y la velocidad y el campo forma un ángulo de θ = 90º usamos la fórmula de fuerza magnética: F m = q v B sen θ 10 5 m = 3,2 x C 7 x 10-4 T sen 90º 5 = 2,24 x N La fuerza magnética del campo es de 2,24 x newton. La dirección del campo magnético es vertical hacia abajo y la velocidad es perpendicular a ella; por tanto, la orientación de la fuerza será como muestra la figura 45, es decir, 0º con la horizontal. F B Figura 45 V Campo magnético creado por conductores Una corriente que circula por un conductor genera un campo magnético alrededor del mismo. Existen diferentes formas de producir un campo magnético alrededor de un conductor. Veamos la tabla 21. Tabla 21 Montaje Conductor rectilíneo: una corriente rectilínea crea a su alrededor un campo magnético cuya intensidad se incrementa al aumentar la intensidad de la corriente eléctrica y disminuye al aumentar la distancia con respecto al conductor. Intensidad de campo magnético La magnitud del campo magnético de un conductor largo y recto que lleva una corriente I es: B = µ I 0 2πr 266

91 Electricidad y magnetismo (parte 2) Dirección del flujo de la corriente Campo magnético Figura 46 Conductor en espiral: el campo magnético creado por una espiral por la que circula corriente eléctrica aumenta al incrementar la intensidad de la corriente eléctrica. Solenoide: El campo magnético creado por un solenoide se incrementa al elevar la intensidad de la corriente, al aumentar el número de espirales y al introducir un trozo de hierro en el interior de la bobina (electroimán). Toroide: Si tomamos un solenoide, lo curvamos y pegamos sus extremos obtenemos un anillo o toroide. N + - BATERÍA Figura 47 Conductor (cable) Brújula S N Enrollado de alambre de cobre S Semana 13 m Donde µ 0 = 4 π 10-7 T A es llamada constante de permeabilidad del espacio libre, I la intensidad de corriente del conductor y r la distancia hasta el punto de medición del campo. La magnitud del campo magnético de un conductor en espiral de tipo solenoide que lleva una corriente I es: N B = µ 0 I = µ 0 ni L m Donde µ 0 = 4 π 10-7 T A llamada constante de permeabilidad del espacio libre, I la intensidad de corriente del conductor, N el número total de vueltas y L la longitud del cable conductor. La magnitud del campo magnético de un conductor en espiral de tipo Toroide que lleva una corriente I es: µ 0 NI B = 2πr m Donde µ 0 = 4 π 10-7 T A llamada constante de permeabilidad del espacio libre, I la intensidad de corriente del conductor, N el número total de vueltas y r el radio de la circunferencia con el campo magnético. Figura

92 Semana 13 Electricidad y magnetismo (parte 2) Situación 2: Un solenoide está constituido enrollando uniformemente 600 vueltas de un fino hilo conductor sobre un cilindro hueco de 30cm de longitud. Por el bobinado se hace circular una corriente I =2A, se pide: 1. Representa gráficamente, de una forma aproximada las líneas de campo magnético dentro y fuera del solenoide. 2. Calcula el campo magnético en el interior de solenoide. Soluciones a) La figura 49 muestra la forma gráfica. Figura 49 b) Como L=30cm=0,3m; N=600 vueltas; I=2A podemos aplicar: N B = µ 0 I L m 600 = 4 π 10-7 T, 3m 2 A A 0 = 0,005 T La intensidad del campo magnético es de 0,005 T. Para saber más Para ver de manera ilustrativa las interacciones electromagnéticas, visita esta dirección web: Investiga sobre los fenómenos electromagnéticos de inducción, haciendo clic en: 268

93 Electricidad y magnetismo (parte 2) Semana 13 Aplica tus saberes Construye un imán artificial! Materiales: Aguja de coser, imán, limaduras de hierro, mechero, hoja de papel, pinza metálica. Procedimiento: Coloca las limaduras de hierro sobre la hoja de papel y acerca la aguja de coser. Qué verificas?, tiene propiedades magnéticas? Frota, aproximadamente 50 veces y siempre en el mismo sentido, la aguja de coser con el extremo del imán. Acerca la aguja frotada a las limaduras de hierro. Qué ocurre ahora? Sujeta la aguja imantada con una pinza y caliéntala fuertemente en la llama del mechero. Déjala enfriar. Acerca nuevamente la aguja a las limaduras de hierro. Qué ocurrió con las propiedades magnéticas de la aguja? Ahora: 1. Describe el experimento. 2. Por qué crees que se imanta la aguja? 3. Qué son materiales ferromagnéticos? 4. Qué conclusiones obtienes? 5. Un protón se mueve 4x10 6 m/s a través de un campo magnético de 1,70T y experimenta una fuerza magnética de 8,2x10-13 N. Cuál es el ángulo que forma la velocidad del protón y el campo magnético? 6. Se tiene un toroide de 4500 vueltas bien apretadas y un radio hasta el material no conductor (torus) de 13cm. Calcula la intensidad de corriente necesaria para producir un campo magnético de 1,30x10-4 T. Comprobemos y demostremos que 1. Realiza un informe sobre la experiencia vivida en El reto es y entrégalo a tu facilitador. 2. Encuentra con tus compañeros las soluciones a los problemas y ejercicios y consulta con tu facilitador las dudas que tengas. 269

94 Semana Consolidando aprendizajes Consolidando aprendizajes Empecemos! Tu camino ha llegado al fin de otro período de formación. Llegó la hora de realizar la retrospectiva sobre los aprendizajes que has logrado en este semestre en el área de Matemática y para ello es necesario que te autoanalices acerca de cuáles fueron tus fortalezas en los temas trabajados y qué debilidades enfrentaste en el proceso. Tu actitud es importante, así que anímate a ser crítico, reflexivo y riguroso para revisar cómo fue tu desempeño a lo largo del semestre. Te proponemos un repaso general de todos los temas estudiados, así como la elaboración de problemas y ejercicios que se relacionan con los saberes básicos que ya posees. Qué sabes de...? Repasa los temas vistos en el semestre, de manera que puedas llenar la tabla 22 con lo que más recuerdes o te haya llamado la atención de algunos de los temas vistos. Tabla 22 Semanas Tema trabajado Qué recuerdo del tema? 270