EDUCACIÓ SECUNDÀRIA 3 MATEMÀTIQUES UNITAT 6 VOLUM DE COSSOS GEOMÈTRICS.

Transcripción

1 EDUCACIÓ SECUNDÀRIA 3 MATEMÀTIQUES UNITAT 6 VOLUM DE COSSOS GEOMÈTRICS. a) Presentació b) Avaluació Inicial c) Competències d) Activitats e) Autoavaluació f) Altres recursos: bibliografia i recursos en xarxa g) Reforços Educatius h) Ampliacions / Proposta d investigació Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 1

2 A/ PRESENTACIÓ El Teorema d'euler diu que si en un políedre simple comptem el nombre de cares (c), de vèrtexs (v) i d'arestes (a), es compleix la relació següent: c + v a = 2 Un políedre simple és un políedre sense forats. En aquest cas c=10, v=16 i a=26. Per tant c+v-a=0!! En general, la formula és c + v a = 2 g 2 on g és el nombre de forats del políedre. El teorema de Pitàgores estableix que en un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets (els costats que formen el angle recte) és igual al quadrat de la hipotenusa (l'altre costat). Expressat matemàticament; a 2 + b 2 = c 2 L' àrea és una quantitat que expressa la mida d'una regió de l'espai. L' àrea de superfície es refereix a la suma de tots els costats d'un objecte. El volum dels prismes rectangulars o també anomenats ortoedres es el producte de les mesures de les seves dimensions: llarg, ample i alt, és a dir, el producte dels seus tres costats. Considerant el rectangle definit per dues de les seves dimensions, per exemple el llarg i l'ample, com a base i la tercera dimensió com altura, podem dir que el volum d'un ortoedre és igual al producte de l'àrea de la base per la mesura de la seva altura. El volum d'una piràmide és igual a un terç del producte de l'àrea de la base per l'altura. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 2

3 B/AVALUACIÓ INICIAL Amb les activitats que et proposem a continuació pretenem que comprovis el que en saps del coneixements que en el decurs d aquesta unitat aprendràs. No t amoïnis si no et surten bé les activitats. El que és important és que t adonis on t equivoques per poder-ho repassar o bé aprendre-ho a les pàgines següents. 1. Donat un icosàedre d aresta 1 dm, es determina la seva àrea. 2. L aresta de la base d una piràmide quadrangular regular és de 5 cm i l aresta lateral 8 cm. Calculeu l àrea total i el volum de la piràmide. 3. Calculeu la superfície que cal pintar en una habitació que té forma ortogonal i que mesura 3 m d ample, 4,5 m de llarg i 2,6 m d alt. Observació: el terra no es pinta i suposem que l habitació té una finestra de 2 m d ample i 1 m d altura i una porta de 80 cm d ample i 2 m d alt. 4. Les bases d un prisma són triangles rectangles isòsceles d àrea 16 cm 2. Si l aresta lateral amida 5 cm, quina és l àrea i el volum del prisma? 5. Es vol construir un dipòsit cilíndric obert de 2,5 m de diàmetre base i 4 m d altura. Si el preu del material és de 20 /m 2, calculeu el cost per a construirho. Quina és la capacitat en litres d aquest dipòsit? 6. Completeu la següent taula d àrees i volums: Àrea de cub: A = Volum del cub: V = Àrea de l ortòedre: A = Àrea del prisma: A = Volum de l ortòedre: V = Volum del prisma: V = Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 3

4 Àrea de la piràmide: A = Volum de la piràmide: V = Àrea del cilindre: A = Volum del cilindre: V = Àrea del con: A = Volum del con: V = Àrea de l esfera: A = Volum de l esfera: V = 7. Cadascuna de les arestes laterals d una piràmide hexagonal regular mesura 20 cm i l aresta bàsica 12 cm. Calculeu: a) l altura de la piràmide. b) la superfície i el volum. 8. Quin és el radi d una esfera que té com a superfície 8π m 2? Doneu també el volum d aquesta esfera en dm Quina és la generatriu d un con de radi bàsic 5 cm si la seva superfície és de 55π cm 2? Doneu també el volum d aquest con en dm Com molt bé sabeu, el con és un cos de revolució que s obté de fer girar 360º un triangle rectangle al voltant d un dels seus catets. Si els catets d aquest triangle amiden 3 i 4 m respectivament i el fem girar pel catet més gran, quant amida el radi del con? I l altura? I la generatriu? Determineu l àrea i el volum del con obtingut. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 4

5 C/CONTINGUTS Objectius Distingir poliedres i comprovar si compleixen o no la fórmula d Euler. Diferenciar els prismes i les piràmides, els elements i els tipus. Calcular l àrea de prismes i de piràmides. Identificar els poliedres regulars. Distingir els cossos rodons i les figures esfèriques. Calcular l àrea de cossos rodons i de figures esfèriques. Aplicar el principi de Cavalieri al càlcul de volums. Trobar el volum de prismes, de piràmides, de cilindres, de cons i d esferes. Resoldre problemes reals que impliquin el càlcul d àrees i de volums de cossos geomètrics. Localitzar un punt en l esfera terrestre a partir de les coordenades geogràfiques. Continguts Poliedres. Poliedres regulars. Comprovació de la relació d Euler en diferents poliedres. Prismes i piràmides. Reconeixement dels diferents tipus de prismes i de piràmides, així com dels principals elements que els formen. Cossos rodons. Figures esfèriques. Identificació del cilindre, del con i de l esfera com a cossos de revolució. Àrees i volums de cossos geomètrics. Principi de Cavalieri. L esfera terrestre. Elements i coordenades geogràfiques. Utilització de les fórmules de l àrea de prismes, piràmides, cilindres, cons, esferes i figures esfèriques per resoldre problemes geomètrics i reals. Resolució de problemes que impliquin el càlcul de volums de prismes, de piràmides, de cilindres, de cons i d esferes. Competència social i ciutadana Respectar les solucions i els plantejaments dels altres. Competència comunicativa, lingüística i audiovisual Valorar el llenguatge algebraic com un llenguatge clar, concís i útil per resoldre situacions problemàtiques de la vida quotidiana. Competència per aprendre a aprendre Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 5

6 Aplicar el raonament deductiu i inductiu en contextos numèrics i alfanumèrics. Utilitzar, d una manera autònoma i raonada, estratègies per abordar situacionsproblema i problemes-tipus, planificant el procés de resolució, desenvolupant-lo ordenadament, i mostrant seguretat i confiança en les capacitats pròpies. Competència en el coneixement del medi i en la interacció amb el món físic Identificar, analitzar, descriure i construir, amb precisió i destresa, figures planes i cossos geomètrics presents tant en el medi social com en el natural, i utilitzar les propietats geomètriques que hi estan associades en les situacions requerides. Competència per a l autonomia i la iniciativa personal Confiar en les capacitats pròpies per percebre l espai i resoldre problemes geomètrics. Visualitzar i representar objectes geomètrics tridimensionals per obtenir les diverses representacions planes. Utilitzar instruments, tècniques i fórmules, individualment i en grup, per mesurar longituds, angles, àrees i volums de figures i de cossos geomètrics. Presentar de manera curosa els treballs geomètrics. D/ACTIVITATS BÀSIQUES, APRENDRE A APRENDRE Recorda que si tens cap dubte has de recórrer al teu llibre de text i als apunts donats pel professors pel que fa a aquest tema. Exercici 1.- Indica a quin poliedre regular correspon cada desenvolupament. a) b) c) d) e) Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 6

7 Exercici 2.- Completa al quadre següent el nombre d arestes de cada políedre regular aplicant la fórmula d Euler: C + V = A + 2. Cares Vèrtexs Arestes Tetraedre 4 4 Cub 6 8 Octaedre 8 6 Dodecaedre Icosaedre Exercici 3.- Dibuixa un prisma hexagonal i traça-hi la diagonal d una cara i una diagonal del prisma. Defineix les dues diagonals. Troba una expressió matemàtica que et permeti calcular la seva longitud en funció del costat i la altura del poliedre? Exercici 4.- Calcula l altura de la piràmide, el radi de l esfera i la generatriu del tronc de con. Exercici 5.- Calcula l àrea total del prisma hexagonal regular i de l ortòedre que pots veure a les següents figures. Exercici 6.- Calcula l àrea lateral de i l àrea total de les piràmides regulars següents i del tronc de piràmide: Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 7

8 Exercici 7.- Calcula l àrea lateral i l àrea total del cilindre, del con i del tronc de con. R R = 6cm g = 8cm h g h = 24cm R = 7cm h r g R = 8cm r = 2cm h = 8cm R R Exercici 8.- Calcula el volum dels ortoèdres següents: 3cm 2cm 2cm 4cm 2cm 2cm 4cm 2cm 3cm Exercici 9.- Calcula el volum dels prismes següents: Exercici 10.- Com sabeu dins el mon de la ciència i la tecnologia, la interpretació de plànols és fonamental, de la mateixa manera que la representació de les figures mitjançant el que s anomena els sistemes de representació gràfica, dièdric i axonomètric. Calcula l'àrea i el volum de les següents figures. Suposem que cada marca és un centímetre. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 8

9 1. 2. Exercici 11.- Calcula el volum dels cilindres següents: Exercici 12.- Comprova que el volum del cilindre de color verd és quatre vegades més gran que el volum del cilindre de color blau. Exercici 13.-Calcula el volum de les piràmides i del con. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 9

10 Exercici 14.- Calcula el volum d un cilindre de radi 6cm i d altura 6cm, el d un con de radi 6cm i d altura 6cm i el d una esfera de radi 6cm, i expressa ls en funció de (sense multiplicar per 3 14). Després, comprova la relació següent: V hemisferi = V cilindre V con Exercici 15.- Calcula el volum i l àrea d una esfera de 6cm de radi. Exercici 16.- Una esfera està inscrita en un cub de 6cm d aresta, és a dir, les cares són tangents a l esfera. Calcula el volum de l esfera i l àrea de la superfície esfèrica. Exercici 17.-Calcula la aresta lateral del tronc de pirámide de la figura i la altura h. Exercici 18.- Calcula l àrea total dels següents cossos. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 10

11 Exercici 19.- Calcula l àrea total de les següents figures geomètriques: Exercici 20.-Calcula el volum dels següents cossos geomètrics: Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 11

12 E/AUTOAVALUACIÓ 1.- Quants vèrtexs té un políedre convex de 12 arestes i 7 cares? 2.- Calcula la diagonal d aquest ortoedre: 3.- Calcula l àrea total vi el volum del cilindre següent: D 6cm 2cm 3cm 6 cm 10 cm 4.- Calcula el volum d un dipòsit en forma d ortoedre que té unes dimensions de 12m, 15m i 20m és: 5.-Quin és el volum del con de la figura: 6cm Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 12

13 4cm 6.-A l interior d un cub de 12 cm d aresta construïm una piràmide la base de la qual és una cara del cub i el vèrtex, el centre de la cara oposada. Determina l àrea i el volum d aquesta piràmide. 7.-Calcula el radi d una esfera tal que el seu volum sigui les tres quartes parts de la seva àrea. 8.- Volem pintar una habitació que fa 4m per 6 metres i 3 metres d alçada. Si els pots de pintura que tenim serveixen per pintar 30 metres quadrats. a) Quants pots hem de comprar si fem cas al que diu el fabricant de la pintura?. b) Si al final hem fet servir 4 pots de pintura, quants metres quadrats hem pintat amb cada pot de pintura? 9.- S acosta l estiu i vols banyar-te a la piscina. La teva piscina té la forma indicada a la figura, si per omplir-la fas servir una aixeta que deixa anar 1 litre per segon, quin temps trigaràs a omplir-la?. 10.-La Gèode és un gegantesc cinema amb forma d esfera. Calcula n l àrea si saps que el seu volum és de dm cúbics? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 13

14 F/ALTRES RECURSOS: BIBLIOGRAFIA I RECURSOS EN XARXA a. Bàsiques: Matemàtiques 3r ESO. Grup Promotor Santillana. Matemàtiques 3r ESO. Ed. S.M b. Complementaries: Apunts i problemes resolts i plantejats pel professor a classe. RECURSOS EN XARXA: PROYECTO E-MATH Pàgina amb eines tecnològiques. CENTRO NACIONAL DE INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN EDUCATIVA (CNICE) DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTE PROYECTO DESCARTES Pàgina del Ministeri dèducació i ciència. Conté unitats didàctiques i es pot fer servir en la web o bé descarregar-se arxius. PÁGINA DE LA SOCIEDAD ANDALUZA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA PÁGINA CHILENA DE MATEMÁTICAS Pàgina amb recursos lúdics. Història de la Matemàtica i biografies de matemàtics il lustres. FERMATSI (Fondos en Español & English de Recursos Matemáticos de Secundaria en Internet) Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 14

15 Recursos en anglès i espanyol, llistats de pàgines web d interés i problemes d enginy. KALIPEDIA Web desenvolupada per l editorial Santillana. Té una secció organitzada en Quatre continguts: àlgebra, arimètica, estadística i probabilitat i funcions i geometria. Molt exemples d a plicacions de la matemàtica a la vida quotidiana, problemes, exercicis HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS EL PARAÍSO DE LAS MATEMÁTICAS Aplicacions informàtiques, història de les matemàtiques, jocs, calculadores, descarregues de documents, cursos, G/REFORÇOS EDUCATIUS 1.- La grandària de les pantalles de televisió es determina per la longitud (en polzades) de la diagonal de la pantalla (1 polzada = 25 4 mm). Calcula en polzades la grandària de cada una de les pantalles següents: a) b) 18 cm 24 cm 20 cm 28 cm 2.- Calcula l àrea de les figures següents: 3.- Un ascensor té una forma de prisma rectangular amb les següents mides, 100 cm, 100 cm i 250 cm. Determina si es pot introduir una barra de longitud 288 cm? 4.- La piràmide de Kefren té les mides que es veuen a la figura. Quina és l altura de la piràmide? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 15

16 3 5.-Un cub i una esfera tenen el mateix volum 125 cm cúbics. Quina té un àrea més petita. Si haguessis de construir un dipòsit esfèric o cúbic quin de tots dos necessitaria menys material?. 6.-En un dipòsit de forma cúbica de tres metres d aresta i que es troba totalment omplert d aigua introduïm els següents cossos. a) Introduïm una esfera de radi 1,5 metres, després d introduir-la quin és el percentatge d aigua que queda al dipòsit? b) I si introduïm un cilindre de radi 3 metres i altura també tres metres? c) I si ho fem amb un conus de 3 metres d alçada i de tres mestres de diàmetre? 7.-Una empresa de sucs té uns envasos amb forma d ortoedre amb unes mides de 11cm per 6cm a la base i 15 cm d alçada. Decideix canviar els envasos per uns altres que tenen como a característiques les següents: a) disminueix un 10% l àrea de la base. b) Augmenten un 10% l altura. a) El nou envàs és més gran o més petit que l antic? b) Si es manté el mateix preu és més rendible o no que l antic pel consumidor? c) El preu del bric és de 1,40. Quant guanya ara l empresa si envasa litres de suc al mes? Quant guanyava abans? H/AMPLIACIONS. PROPOSTAS D INVESTIGACIÓ. 1.- L any 1638 el gran matemàtic Galileu va proposar el següent problema: Si enrotllem un full de paper en els dos sentits possibles, obtenim dos cilindres diferents Determina el volum de cada cilindre i determina si tenen el mateix volum, en cas contrari quina és la relació entre els volums? 2.-Si tenim una esfera inscrita dins un cilindre, determina la relació existent entre l àrea total i el volum, en funció del radi i la altura del cilindre, de tots dos cossos. 3.- En un llibre de matemàtica hem trobat el següent problema: Si els costat d un octaedre és c, el seu volum es: Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 16

17 3 V 0,4714c Comprova la fórmula. 4.- Una empresa desitja canviar un dipòsit vell que té i que ja està rovellat, les característiques del cilindre actual són de 32 metres de diàmetre i 3 metres d alçada. Estan estudiant la possibilitat de fer servir dos tipus nous, un esfèric i una altre cúbic, on les limitacions són que la alçada del dipòsit no pot ser superior a la de l antic i a més el gruix del dipòsit ha de ser de 6 mm. A més el volen fer de ferro i donar-li una capa de pintura perquè no es rovelli que costa 10 euros el metre quadrat. Fes un estudi de quin de tots dos dipòsits és més aconsellable des del punt de vista econòmic. 5.-Parteix d un conus de rai R i altura H, i a una altura mesurada des de el vèrtex superior talla l un altre conus de altura h, on h< H, fes servir les formules de l àrea total i el volum d un conus per determinar unes expressions que ens indiquin com calcular l àrea total i el volum de la figura que queda quan fas el tall, que s anomena el tronc de conus. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 6 17