Problemes de Geometria per a l ESO 206

Transcripción

1 Problemes de Geometria per a l ESO onada una circumferència de centre O i radi R, dibuixem les cordes i iguals al costat del quadrat inscrit i la corda igual a costat de l hexàgon regular a) alculeu la mesura dels angles i del quadrilàter b) L àrea del quadrilàter en funció del radi Per ser costats d un quadrat, la mesura dels arcs és: 90º, 90º leshores: 90º 45º 90º Per ser angles oposats d un quadrilàter cíclic: 80º 90º Per ser costat d un hexàgon regular, la mesura de l arc és: 60º leshores: 60º 0º 90º 60º 45º060º 05º Per ser angles oposats d un quadrilàter cíclic: 80º 75º L àrea del quadrilàter és igual a la suma de les àrees dels triangles rectangles i plicant el teorema de Pitàgores: R R, R S R R R R R 4 O

2 05- Un cilindre de m de diàmetre està circumscrit a un cub alculeu la diferència entre els volums dels dos sòlids Siga a l aresta d un cub El volum del cub és: Vcub a La diagonal d una cara del cub és igual al diàmetre del cilindre a Resolent l equació: a El cilindre té radi i altura a El volum del cilindre és: V cilindre a 8 El volum del cub és: V cub 4 La diferència entre els volums dels dos sòlids és: V Vcilindre Vcub 008 m 8 4

3 05- Un cub d aresta m està circumscrit a un cilindre (les bases del cilindre pertanyen a cares oposades del cub alculeu la diferència entre els volums dels dos sòlids El radi del cilindre és igual a la meitat de l aresta del cub i l altura és igual a l aresta Vcilindre 4 El volum del cub és: V cub La diferència entre els volums dels dos sòlids és: V Vcub Vcilindre 046 m 4

4 054- Siga una circumferència de centre O i radi R En la prolongació del diàmetre dibuixem el punt M tal que OM R Siguen M i M les tangent (, punts de tangència) Proveu que el triangle M és equilàter alculeu l àrea del quadrilàter M OM OM 90º Els triangles rectangles leshores, OM, OM són iguals M M, OM O R leshores, OM 0º M R Per tant, M 60º i M M leshores, el triangle M R O M és equilàter M Siga P la intersecció de M i Els triangles rectangles P, leshores, leshores, M és un cometa M R L àrea del cometa M és: S M P són iguals M R R R

5 055- alen cm d or per daurar la superfície lateral d un cilindre de 75 cm d altura i 0 cm de radi etermineu l espessor de la capa d or, que suposem uniforme per a tota la superfície lateral del cilindre Solució Siga x l espessor de la capa d or El cilindre que ocupa tota la capa té radi La diferència dels dos volums és (0 x) Simplificant: cm : 75 x 000 x 0 Resolent l equació amb ajut de la calculadora: 0 x i la mateixa altura x 0000 cm

6 056- Un cub d aresta 0 cm té inscrit un doble con que té els vèrtexs en els centres de dues cares oposades i els les bases comunes són tangents a les altres quatre cares alculeu la diferència entre els volums dels dos sòlids Siga a l aresta del cub El volum del cub és: Vcub a El volum del doble con és igual al volum del con de radi V con a a a La diferència entre els volums dels dos sòlids és: V Vcub Vcon a Si a 0 : V 0 78 cm a i altura a

7 057- En la figura, EF és un hexàgon regular, G és el punt mig del costat, i H i I són els punts d intersecció dels segments G i GE amb el segment F, respectivament alculeu la raó entre les àrees del triangle IHE Prova angur, 08 GIF i el trapezi F I G H E IH és paral lela mitjana del triangle leshores, IH E F E E E leshores, FI E 4 El triangle EG GIF i el trapezi tenen la mateixa altura sobre les bases FI i respectivament Siga h aquesta altura: S GIF FI h E h E h 4 8 S IHE S S GIF HIE E IH h E E h E h 4 E h 8 E h 4 E, IH,

8 058- os cubs de volums V i W s ntersecten La part del cub de volum V que no és comuna als dos cubs és el 90% del seu volum La part del cub de volum W que no és comuna als dos cubs és el 85% del seu volum Quina és la relació entre V i W? Prova angur 08 La part comuna als dos cub és igual al 0% del volum V i el 5% del volum W 0 5 V W V W

9 os rectangles estan situats, com mostra la figura, amb angles de 40º i 0º respecte d una recta alculeu la mesura de l angle x Prova angur 08 Ricard Peiró i Estruch 40º x -40 0º -50 MKL 60º, MLH 60º leshores, LMK 80º (60º 40º ) 70º M LMK 70º O 60º ( 90º 70º ) 0º x O O 0º 40º K O x M L 0º

10 N' 060- Tenim un billar rectangular de costats P' m i m Una bola es llança des del punt M, situat en un dels costats llargs, i rebota en els altres costats com es veu a la figura quina distància del punt tocarà el costat inicial si M m i N 08 m Prova angur 08 M N 6 4,4 Quan una bola rebota en la banda l angle d incidència és igual a l angle de reflexió:,6 Siga M el punt on rebota en la banda N' inicial Siga MN angle d incidència PN NP QPQ 90º QP QM P' P Els triangles, NM, M ' Q són semblants N 08 M 6 N N 5 9 P N 5 6 P P 5 4 Q P 5 6 Q Q 5 9 M' Q 5 PN, PQ, Q M' M N M' Notem que 9 M M 8 leshores, M M' 5