Problemes de Geometria per a l ESO 183

Transcripción

1 Ricard Peiró i struch Problemes de eometria per a l SO Sobre els costats i del triangle i cap a l exterior, dibuixat els quadrats I, respectivament Siga M el punt mig del costat Proveu que = M i M s han M onstruïm els paral lelograms, ls dos paral lelograms són iguals I tenen els costats corresponents perpendiculars leshores, les diagonals, són iguals i perpendiculars M és el centre del paral lelogram Per tant, = M i M M

2 18- n la figura, = 3, = 7, = 8, = 90º Ricard Peiró i struch etermineu l àrea del triangle Siga = x, = y plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle x + y = 7 plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle ( x + 3) + y = 8 onsiderem el sistema format per les dues expressions: x + y = 49 x = 1 Resolent el sistema: (x3) + y = 64 y = 4 3 : : àrea del triangle és: 1 1 S = xy = = 3

3 Ricard Peiró i struch 193- n el dibuix, hi ha dos arcs: ) ) arc és un vuité de circumferència de centre arc és un quart de circumferència de centre Proveu que l àrea del triangle T és igual a l àrea ombrejada R Siga S l àrea del segment circular Siga = = c = = c àrea del sector de radi 1 T + S = πc 4 = = c i 45º és: àrea del sector de radi = = c i 1 ( c ) = πc 1 R + S = π 8 4 leshores, T + S = R + S Simplificant: T = R 45º és: T R S

4 Ricard Peiró i struch 184- n el dibuix, i PQRSTU són dos heptàgons regulars P l vèrtex P pertany al costat i el vèrtex U pertany al costat Si Q pertany a la recta O proveu que = P Q R O S T U π O = 7 π π 5 OP = OP = 7 = π 14 π 5 PQ = = π O = π = π 7 7 5π PQ = π PQ = π = π PQ = π ( OP + O) = π π + π = π leshores, el triangle PQ és isòsceles, P = PQ = P leshores, = P P = PQ

5 Ricard Peiró i struch 185- onat l hexàgon regular s ha dibuixat el rombe etermineu la mesura de l angle α =, pertanyen a la circumferència de centre quq passa per és un angle inscrit i abraça un arc central = 10º 10º leshores, = = 60º Problema onat l octògon regular H s ha dibuixat el rombe etermineu la mesura de l angle α = = 67º30' H

6 Ricard Peiró i struch 186- n la figura, hi ha un octògon regular de costat c i quatre triangles equilàters etermineu l àrea del quadrat que formen els vèrtexs dels quatre triangles equilàters Siga H l octògon regular de costat = c Siga MN el quadrat format pels vèrtexs dels quatre triangles equilàters Siga x =, costat del quadrat MN = 135º angle interior de l octògon regular = = 135º 60º = 75º Siga la projecció de sobre el costat plicant raons trigonomètriques al triangle rectangle 6 ' = c cos75º = c x = = ' = c c = c 4 àrea del quadrat MN és: S 6 + ( ) c MN = x = c = ' : H N M '

7 Ricard Peiró i struch 187- n la figura, hi ha un octògon regular de costat c i dos hexàgons regulars etermineu l àrea i el perímetre de la intersecció dels dos hexàgons Siga H l octògon regular de costat = c Siga JMNP l hexàgon intersecció dels dos hexàgons regulars plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle isòsceles Q = c = + Q = ( 1+ )c 1 1 U + = = c N = 3c UN N U 3c + = = c = NPU = 60º Siga x = PN, y = PU plicant raons trigonomètriques al triangle rectangle PUN : ( 3 1 ) x c = , aleshores, x = c, y = x = c 6 l perímetre de l hexàgon JMNP és: P JMNP = + 4x = c 3 Q : àrea de l hexàgon JMNP és igual al doble de l àrea del trapezi PMN: S S JMNP JMNP = S PMN + y + = UN = = c 6 ( )( 3 1 ) 6 N M H P J c U T Q

8 Ricard Peiró i struch 188- a figura està formada per un quadrat un rectangle i un triangle d igual perímetre Si el costat del quadrat és 9, calculeu la mesura x del costat del rectangle x 9 Siga y la mesura de l altre costat del rectangle i costat del triangle equilàter l perímetre del quadrat és P = 4 9 = 36 l perimetre del triangle equilàter és: P = 3y = 36 y = 1 l perímetre del rectangle és: P = (x + y) = 36 (x + 1) = 36 x = 6 y 9 x

9 Ricard Peiró i struch 189- n la figura, s han dibuixat tres quadrats costat sobre costat a l interior d un triangle rectangle l costat del quadrat menut és 16 i el del gran 36 etermineu la mesura del costat del quadrat mitjà etermineu la proporció entre els catets del triangle exterior Siga el triangle rectangle = 90º Siga MN el quadrat mitjà de costat = MN = c Siga PQ = 16 costat del quadrat menut Siga R = 36 costat el quadrat gran QN = c 16 MR = 36 c ls triangles rectangles PQN, NMR són semblants plicant el teorema de Tales: 36 c c = Resolent l equació: P c c = 4 ls triangles rectangles PQN, són semblants plicant el teorema de Tales la proporció entre els catets del triangle QN c = = = = PQ N Q R M és: eneralització: n la figura, s han dibuixat tres quadrats costat sobre costat a l interior d un triangle rectangle l costat del quadrat menut és a i el del gran b etermineu la mesura del costat del quadrat mitjà etermineu la proporció entre els catets del triangle exterior l costat del quadrat mitja és ab a proporció entre els catets del triangle ab a b és = 1 a a

10 Ricard Peiró i struch n la figura, les mesures dels costats del rectangle interior són 6 cm i 8cm Sobre la circumferència circumscrita al rectangle s ha circumscrit un quadrat etermineu l àrea del cercle circumscrit al quadrat Siga el rectangle, = 8, = 6 Siga O el centre de la circumferència circumscrita al rectangle és un diàmetre de la circumferència circumscrita al rectangle plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle : = 10 Siga M el punt mig del quadrat H H 1 OM = MH = O = = 5 OH és el radi de la circumferència circumscrita al quadrat H plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle i isòsceles OMH : OH = OM = 5 àrea de la circumferència circumscrita al quadrat H és: M O ( 5 ) = π S = π 50