Capítulo 2. Algebra y geometría de números complejos: una introducción.

Transcripción

1 Capítulo 2 Algebra y geometría de números complejos: una introducción. En este capítulo se utilizan comandos de Mathematica para calcular números complejos y graficarlos como puntos en el plano. Buscamos comprender el comportamiento de una sucesión de números complejos con la gráfica de sus primeros términos. En particular, se estudian las sucesiones que contienen a las potencias sucesivas de un número complejo. Números complejos Operaciones con números complejos Se llama número complejo a toda expresión del tipo z=a+bi, donde a y b son números reales y el símbolo I denota la raíz cuadrada del número real 1. Es decir, I es una solución de la ecuación I 2 = 1. Al número real a se le llama parte real de z y lo denotaremos mediante el símbolo Re[z], y al número real b se le llama parte imaginaria de z y lo denotaremos por Im[z]. Entonces se puede escribir z=re[z]+im[z] I. Un número complejo z es real si y sólo si Im[z]=0, y se dice que z es un número puramente imaginario si Re[z]=0. Si denotamos por al conjunto de los números complejos, podemos escribir = {z=a+ b I: a,b Ε }. Las operaciones aritméticas con números complejos se definen de la siguiente manera: Suma: si z=a+ b I y w=c+ d I, entonces z+w = (a+c)+(b+d)i. Producto: si z=a+ b I y w=c+ d I, entonces zw=z w=(ac bd)+(ad+cb)i. Obsérvese que se puede deducir la regla de la multiplicación si se supone que los números complejos son polino mios (o más bien, binomios) en la variable I y se les aplican las reglas para la multiplicación de polinomios utilizando la relación I 2 = 1, cada vez que aparezca el término I 2. Así: z w = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (ad+bc)i. Cada número complejo z=a+bi se puede representar geométricamente en el plano por el punto con coordenadas rectangulares (a,b) o, equivalentemente, por el vector desde el origen con componentes

2 11 num_complejos.nb rectangulares (a,b). De acuerdo con esta representación geométrica, al eje de las abscisas también se le llama eje real, al eje de las ordenadas eje imaginario y el plano recibe el nombre de plano complejo. El siguiente grupo de comandos de Mathematica define algunas funciones que usaremos más adelante. Si Mathematica responde a este grupo con advertencias en color azul, y estás seguro que no hay ningún error, puedes probar a ejecutarlo otra vez. Si estás iniciando la sesión con Mathematica, puedes omitir la instrucción Clear. Puede resultarte conveniente que introduzcas primero sólo desde el inicio hasta aazul inclusive, además de la última instrucción, la que define a v[z], y después de haber comprobado su funcionamiento correcto, emplea copiar y pegar, haciendo las modificaciones nece sarias, para introducir las otras instrucciones. Recuerda que lo importante es que interpretes correcta mente los resultados asociados con cada instrucción. In[1]:= Clear z, w rrojo lista_ : ListPlot lista, PlotJoined True, PlotStyle RGBColor 1, 0, 0 ; vverde lista_ : ListPlot lista, PlotJoined True, PlotStyle RGBColor 0, 1, 0 ; aazul lista_ : ListPlot lista, PlotJoined True, PlotStyle RGBColor 0, 0, 1 ; rojo lista_ : ListPlot lista, PlotJoined True, PlotStyle RGBColor 1, 0, 0, DisplayFunction Identity ; verde lista_ : ListPlot lista, PlotJoined True, PlotStyle RGBColor 0, 1, 0, DisplayFunction Identity ; azul lista_ : ListPlot lista, PlotJoined True, PlotStyle RGBColor 0, 0, 1, DisplayFunction Identity ; vverdepunto lista_ : ListPlot lista, PlotStyle RGBColor 0, 1, 0 ; rrojopunto lista_ : ListPlot lista, PlotStyle RGBColor 1, 0, 0 ; aazulpunto lista_ : ListPlot lista, PlotStyle RGBColor 0, 0, 1 ; v z_ : Table Re 0, Im 0, Re z, Im z ; Distingue las maneras en que podemos graficar un número complejo en el plano complejo. El comando vverde[v[z]] presenta en la pantalla al vector que corresponde al número complejo z, mientras que los comandos rrojo[], aazul[] aplicados a v[z] presentan al vector z en el correspondiente color. Por otra parte, los comandos verde[v[z]], rojo[] y azul[] generan la gráfica en la memoria de la máquina sin presentarla en la pantalla, lo cual se hace después, posiblemente combinada con otra gráfica. En cambio, el comando vverdepunto[v[z]] realiza la misma operación que vverde[v[z]] pero grafica sólo el origen y el punto z, lo cual se aplica también a sus similares para los otros colores. Observa y confirma en las gráficas lo que acabamos de decir: In[12]:= z 5 7 I vverde v z In[14]:= verde v z Aunque con la última instrucción no se ve la gráfica, está almacenada en la memoria. Cómo podrías confirmarlo? Una posible respuesta es al mostrar lo que está en la memoria, en la forma que encontrarás más adelante o que el profesor te puede indicar. En todo lo que sigue, relaciona las instrucciones y las gráficas; Identifica los puntos o los vectores de los números complejos, así como sus componentes; Prueba a hacer lo mismo con los otros colores. In[15]:= vverdepunto v z

3 num_complejos.nb 12 El valor absoluto o módulo de un número complejo z, se denota por el símbolo z y se define como la distancia entre el punto en el plano que representa al complejo z y el origen del sistema coordenado. Entonces z = Re z 2 Im z 2. El comando de Mathematica que calcula el módulo de un com plejo z es Abs[z]. Por ejemplo, In[16]:= Abs z Este es el valor del módulo del número complejo z que definimos arriba. El argumento de un número complejo z se denota por Arg[z] y se define como el ángulo entre la direc ción positiva del eje real y el vector que representa a este complejo, definido como positivo al moverse en la dirección contraria a las manecillas del reloj. El argumento del número complejo z es proporcio nado por el comando de Mathematica Arg[z]. Por ejemplo: In[17]:= Arg z N es el argumento del número complejo que definimos arriba, expresado en radianes. Recomendaciones: Compara el resultado que se obtiene si escribes sólo Arg[z]. Verifica si el argu mento es correcto para números complejos en el 2º, el 3 er y el 4º cuadrantes. Se llama conjugado de un número complejo z al número complejo z = Re[z] Im[z] I. Otra notación común del conjugado es z. Este número está representado en el plano complejo por el punto que se obtiene al reflejar el punto que representa a z con respecto al eje real. El comando de Mathematica que calcula al conjugado de un número complejo z es Conjugate[z]. El siguiente grupo de comandos grafica a un número complejo z y a su conjugado z. Ejecútalos y observa la simetría. In[18]:= z : I a verde v z ; b rojo v Conjugate z ; Show a, b, DisplayFunction $DisplayFunction Nota que, en lugar de ser usadas solas como antes, las instrucciones verde y rojo están ahora a la derecha de un igual y que se ha empleado además el comando Show. Trata de comprender y explicar, basándote en tu experiencia previa, el funcionamiento del grupo anterior. Formas de la representación polar Esta sección es sólo informativa y no requiere el uso de Mathematica, excepto en los ejercicios donde se indique. Utilizando el módulo y el argumento de un número complejo, se puede escribir en su forma polar de la siguiente manera: z = z (CosΘ + SenΘ I), donde Θ=Arg[z]. Si se utiliza a la función Exp[Θ I], que se define mediante la fórmula de Euler como Exp[Θ I]=CosΘ + SenΘ I, se obtiene una fórmula más compacta para la representación polar de z: z = z Exp[Θ I]. Obsérvese que si

4 13 num_complejos.nb entonces Por otra parte, z = z Exp[Θ I] y w = w Exp[Ζ I], donde Ζ = Arg[w], zw = zw Exp[Arg[zw] I]= z w Exp[Arg[zw] I]. zw = z w (CosΘ + SenΘ I) (CosΖ + SenΖ I) = z w {(CosΘ CosΖ SenΘ SenΖ) + (SenΘ CosΖ + CosΘ SenΖ)I} = z w {Cos(Θ+Ζ) + Sen(Θ+Ζ)I} = z w Exp[(Θ+Ζ)I], donde se aplicaron las fórmulas para el coseno y el seno de la suma de dos ángulos. Entonces, se tiene que: Arg[zw] = Θ + Ζ = Arg[z] + Arg[w], y Exp[Arg[zw]I] = Exp[(Θ+Ζ) I] = Exp [(Arg[z]+Arg[w]) I]. y se puede escribir zw = z w Exp[(Arg[z]+Arg[w]) I]. En particular, cuando z = w se tiene que z 2 = z 2 Exp[ 2 Arg[z] I]. Raíces n ésimas de un número complejo. Se estudiarán ahora las raíces de la ecuación x n = a, donde a es cualquier número complejo y n es un número entero. En otras palabras, se estudiará al conjunto de raíces n ésimas, que podemos identificar como x k con k = 1, 2, 3, 4,..., de un número complejo a dado, que resultan al extraer la raíz n ésima a esa ecuación, lo que se expresa como x = a 1 n y que satisfacen las x k. Consideramos como un caso especial cuando a tiene parte imaginaria nula, es decir, cuando a es un número real. Nota que cuando hablamos aquí de raíces, no se trata exclusivamente de la raíz cuadrada, lo cual sería el caso particular para el que n=2. El siguiente programa calcula y grafica las raíces n ésimas de cualquier número complejo a. Para iniciar, calcúlense las raíces cúbicas (n=3), del número a=1. Ejecútese el programa y obsérvense los resultados. Identifica en la gráfica de los resultados el número de raíces cúbicas de 1, y para cada una, las partes real e imaginaria, su módulo y argumento. Nota que las escalas de los ejes real e imaginario pueden ser distintas. In[42]:= n : 3 l Solve x^n 1 ; z x. l N l10 Table Transpose Re z, Im z f1 ListPlot l10, PlotStyle PointSize 0.015, RGBColor 0, 1, 0 ;

5 num_complejos.nb 14 Estas son las raíces cúbicas de 1, es decir, las raíces cúbicas de la unidad. Tómense otros valores de n, por ejemplo, n=10 (raíces décimas), también con a=1, de modo que ahora tendremos las raíces décimas de la unidad. In[47]:= n : 10 l Solve x^n 1 ; z : x. l N f2 ListPlot Transpose Re z, Im z, PlotStyle PointSize 0.015, RGBColor 0, 1,.1 ; Recomendaciones: Identifica aquí y también en los ejemplos y ejercicios siguientes, con la gráfica, el número de raíces enésimas de la unidad, sus partes real e imaginaria y su módulo y argumento aproximados. In[51]:= a : I n : 3 l Solve x^n a ; z x. l N h1 ListPlot Transpose Re z, Im z, PlotStyle PointSize 0.015, RGBColor 1,.1,.1 ; Aunque la gráfica parece similar a la de las raíces cúbicas de 1, presenta diferencias importantes que debes tratar de identificar. Ahora auméntese el valor de n, y obsérvense los resultados. In[56]:= a : I n : 15 l Solve x^n a ; z : x. l N h2 ListPlot Transpose Re z, Im z, PlotStyle PointSize 0.015, RGBColor 1,.1,.1 ; In[61]:= a : I n : 50 l Solve x^n a ; z : x. l N h3 ListPlot Transpose Re z, Im z, PlotStyle PointSize 0.015, RGBColor 1,.1,.1 ; Compara los módulos de las raíces cúbicas, las raíces décimoquintas y las raíces quincuagésimas de este número complejo a. Se pueden ver las tres figuras juntas, para compararlas, usando el comando: In[66]:= Show h1, h2, h3 Identifica en esta gráfica las raíces correspondientes a los distintos valores de n. Confirman lo que respondiste acerca de los módulos de las raíces en la pregunta anterior? Referencias

6 15 num_complejos.nb [1] Louis L. Scharf and Richard T. Behrens, A First Course in Electrical and Computer Engineering, Addison Wesley Publishing Company, [2] J. V. Uspenski, Theory of Equations, McGraw Hill, [3] Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, [4] Ruelle V. Churchill, James W. Brown and Roger F. Verhey, Complex Variables and Applications. 3rd edition. McGraw Hill, Comandos utilizados Table[ f(i), {i, imax} ]; ListPlot[ Table, PlotJoined >True, PlotStyle >{PointSize[ ], RGBColor[,, ]}]; Solve[Polinomio en la variable x==0, x]; NSolve[Polinomio en la variable x==0, x]; Show[figura1, figura2,...].