EL OPERADOR. UN MODELO MATEMATICO PARA CLASIFICACION Y CALIFICACION

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1 EL OPERADOR. UN MODELO MATEMATICO PARA CLASIFICACION Y CALIFICACION Julio C. ACOSTA Departamentos Matemática e Informática. FACENA. Univ. Nacional del Nordeste (UNNE). Av. Libertad Nº CP 3400 Corrientes Argentina julioa@exa.unne.edu.ar y Pablo F. PROVASI Departamento Informática. FACENA. Univ. Nacional del Nordeste (UNNE). Av. Libertad Nº CP 3400 Corrientes - Argentina pprovasi@exa.unne.edu.ar RESUMEN Tratamos la clasificación y el agrupamiento de patrones, a las técnicas vigentes tales como las de medida de distancias: de Chebychev, Euclídea; la de los discriminantes lineales y de las k-medias, que aportaron en gran medida al avance de las soluciones de los problemas que nos ocupan, le sumamos un nuevo operador. Presentamos un modelo matemático que describe lo que llamamos operador dinámico de clasificación Θ (ODC), el cual es concebido como una herramienta para clasificar y agrupar elementos o patrones con planteos vectoriales. Definimos un operador que puede trabajar en un muy alto nivel de abstracción y generalización; al dar tratamiento vectorial podemos generar y trabajar con conglomerados de datos en n dimensiones, al mismo tiempo es capaz de calificar (evaluar) clases de elementos, ya sea atendiendo a rasgos propiamente intrínsecos de los elementos de la clase, o atendiendo al ordenamiento con el cual se presentan en relación a un patrón ideal; además posee la cualidad de que puede ser redefinido permanentemente en función de los criterios de clasificación (o desagregación) y posterior agrupación (o agregación) del analista experto. Esta característica es de fácil implementación con métodos públicos y privados en lenguajes orientados a objetos (LOO). Palabras claves: modelos para clasificación de objetos, técnicas de calificación, el operador, modelo matemático de clasificación y calificación. 1. INTRODUCCION mas que siguen vigentes, y con el aporte de métodos tales como las de medida de distancias: de Chebychev, Euclídea y otras, junto a la de discriminantes lineales proporcionada por (Fisher, 1936) [3] junto a las k-medias de (Kohonen, 1982) [5] contribuyeron en gran medida al avance de las soluciones de los problemas que nos ocupan, mientras que (Agrawal & Srikant, 1995) [1], trabajaron en temas relacionados con la minería de patrones secuenciales en bases de datos con información crisp, que también son objetos de interés en nuestros estudios. El uso de técnicas fuzzy en este contexto, fue iniciado por (Chen, Tzeng, & Chen, 2001) [2]. Nosotros desarrollamos un modelo matemático que describe un operador dinámico de clasificación Θ (ODC). Se incorpora así la definición de un operador que puede trabajar con un alto nivel de abstracción y generalización. Mediante un tratamiento vectorial, podemos llegar a trabajar con conglomerados de datos en n dimensiones, por lo cual es capaz por ejemplo de calificar clases de elementos, ya sea: a) atendiendo a rasgos propiamente intrínsecos de los elementos de la clase, ó b) atendiendo al ordenamiento con el cual se presentan en relación a un patrón ideal; y por otra parte, el operador posee la cualidad de que puede ser redefinido permanentemente en función de los criterios de clasificación del analista experto. El uso del ODC Θ consiste en la definición y aplicación de determinadas leyes de composición, a los valores de ponderación proporcionados por expertos para un conjunto de objetos; y a partir de ello lograr la obtención de un conjunto de vectores cuyos elementos se encuentren valorados y ordenados, de los cuales será posible obtener la clasificación y eventualmente una medida para el orden en que se encuentran dispuestos los elementos, que llamamos calificación. La clasificación y el agrupamiento de patrones son proble-

2 2. DEFINICION DEL OPERADOR Sea,,,,, un conjunto de n elementos donde cada elemento se define como un objeto a evaluar (o calificar), mediante la asignación de un valor por un experto, que por comodidad en principio asumimos que estará comprendida en el intervalo 0,1. Los elementos del conjunto pueden ser numéricos o lingüísticos, y si se encuentran en una base de datos (DB) pueden ser tratados como patrones. Sea,,,, un conjunto de expertos donde cada es un evaluador (o experto) que asigna valores 0,1 a los elementos. Con y, donde m y n no tienen que ser necesariamente iguales. El conjunto de valores de ponderaciones efectuadas por el experto de cada uno de los elementos del conjunto ; será que puede escribirse,,,, ; donde. Los valores de los, donde 1 y 1 ; pueden estar asociados a alguna distribución de probabilidad, u otra ley de composición, o ser simplemente asignados por las valoraciones propias de los expertos; siempre con 0 1. Así, para aclarar la explicación asumimos que: califica los elementos de con el vector,,,, ; califica los elementos de con,,,, ; califica los elementos de con,,,, y finalmente califica los elementos de con,,,,. Se conforma así una matriz compuesta por todas las calificaciones : Ejemplo 2.1: Sean los elementos de un conjunto,, calificados según los criterios de un conjunto de evaluadores, ; donde las evaluaciones hechas por cada uno de ellos arroja los siguientes resultados para cada uno de los elementos del conjunto : y Se desea ordenar los elementos del conjunto siguiendo algún criterio conocido (o definido previamente). En el caso que presentamos 3 por ser 3 (el cardinal del conjunto de los elementos a ordenar), con las evaluaciones dadas queda conformada la matriz (2) Por simplicidad usaremos el criterio de la media. Así: entonces: (3) (4) Resulta así que obtenemos como resultado un vector,,, donde Asumiendo que el orden establecido es, resulta que para el criterio adoptado el conjunto ordenado será un vector. (1) En este caso la aplicación del ODC Θ ha consistido en una operación (la media) aplicada a la matriz de pesos, de manera tal que podemos escribir: B Θ Θ A cada matriz, a las que llamaremos matrices de ponderaciones, le corresponderá algún ordenamiento de los elementos de, de manera que si uno de los m evaluadores modificara tan solo una de las n calificaciones por él asignadas, el ordenamiento de se vería modificado (excepcionalmente podría mantenerse); para hallar ese orden y calificar A. que resulta: (5) Θ (6) Definición 2.1: Sea una función : ; donde cada elemento del dominio es alguna matriz de ponderaciones definida previamente; la imagen de la función definida, será un vector, que llamaremos vector de clasificación, conformado por los valores que corresponden al ordenamiento de los elementos del conjunto ; con,,,,, con 1. Donde:. y se lee: la aplicación de Θ a resulta. El experto podría aplicar aquí otros criterios para el operador Θ como: max; min; de la mayor diferencia entre calificaciones; de la moda; de la mediana; de la varianza, etc. Cada criterio dará un ordenamiento (diferente o no), pero en cada caso el ODC es una ley de variación que se define a-

3 corde a una necesidad concreta. Es esta una de las razones por las que decimos que ODC tiene un grado de generalización máximo. valos definidos, cuyas amplitudes pueden ser arbitrarias, e inclusive ellas pueden o no conformar una partición, es decir, que los intervalos eventualmente podrían superponerse o existir regiones desiertas. Definimos nosotros para el caso: Ejemplo 2.2: Para los mismos objetos y valores del ejemplo 2.1, si usamos el criterio del max tendremos: 0.0; ; 0.5 B Θ Θ (7) 0.5; ; 1.0 Si asumimos como operación de compensación a la función identidad, de manera que: Ahora el vector,,, queda conformado con Resultando nuevamente: Θ (8) Ejemplo 2.3: Para los mismos objetos y valores del ejemplo 2.1, si usamos el criterio del min tendremos: B Θ Θ = (9) (11) Aparecerán los pesos correspondientes a las distintas ponderaciones agrupadas en los intervalos 0.4; ; 0.95; 0.7 (12) Θ Θ (13) El vector,,, quedará conformado con Resultando así un ordenamiento diferente, en este caso: Así, para este caso: Θ Θ Θ (10) (14) 3. CLASIFICACION USANDO CONCEPTO DE GRANULARIDAD Entonces: Ejemplo 3.1: Para los mismos objetos y valores del ejemplo 2.1 aplicamos el ODC usando concepto de granularidad: ; Siendo los pesos proporcionados a cada objeto por los evaluadores, los siguientes: ; ; (15) Se define un criterio de clasificación para 4 clases en intervalos, con 1, donde es la cantidad de inter- Vea que en cada, el subíndice i le corresponde al evaluador y j al objeto evaluado, de manera que con el ordenamiento precedente esquematizado en las Figuras 1 y 2 se obtiene la siguiente información: 1. La primera clase está vacía.

4 2. Los valores correspondientes al elemento ( 1) están presentes categóricamente en la cuarta clase: 1.0, entonces y 0.7, y. En razón de que los dos valores que resultaron de la aplicación de la función y de la granularidad propuesta, se determina que. 3. Los valores correspondientes al elemento 2 se encuentran presentes en las clases segunda y tercera, pero en la tercera clase está en el límite; de manera tal que adoptando el criterio de presencia, al estar una valoración del elemento en cada clase, diríamos que tienen la misma intensidad en cada clase. Para establecer un ordenamiento, se estudia cuán distantes están los valores de cada uno de ellos del límite que separa de, en nuestro caso, 0.4 está 0.1 por debajo del límite superior de, mientras que 0.5 está en el límite inferior de ; de manera que bajo este criterio podría concluirse que responde con mayor intensidad o con mas fuerza de pertenencia a la segunda clase. Luego. 4. Los valores correspondientes al elemento 3 están en la segunda y cuarta clase; 0.95 y 0.35 luego, razón de que los dos valores que resultaron de la aplicación de la función y la granularidad propuesta determinaron que. Podríamos considerar que ó. Siguiendo el criterio antes adoptado de presencia, estudiamos cuán distantes están los valores de cada uno de ellos del límite de y de respectivamente, en nuestro caso, 0.95 está a 0.25 por sobre el límite inferior de, mientras que 0.35 está a 0.15 del límite superior de ; de manera que bajo este criterio podría concluirse que responde con mayor intensidad o con mas fuerza de pertenencia a la cuarta clase. Luego. 5. Frente al hecho de que y, para clasificar se considera, según el criterio del experto que tiene mayor pertenencia a la clase en razón de que posee rasgos de. Figura 1. Valores correspondientes a los elementos por granularidad El ODC bajo estas condiciones de: i) función de clasificación; ii) granularidad y iii) criterio de pertenencia adoptado establece que: entonces : Θ (16) Figura 2. Ubicación de los elementos por granularidad Así el operador Θ es un clasificador de los elementos del conjunto bajo los criterios de una determinada relación (en este caso ) y para alguna ley de composición de las ponderaciones de los expertos (en los ejemplos precedentes, de la media, del max, del min y de granularidad respectivamente). 4. GENERALIZACIÓN DEL OPERADOR De la aplicación de la función definida en 2.1 F: R R es posible establecer que FW V; de lo cual resulta que: dadas múltiples configuraciones de calificaciones, para cada configuración de asignación de valores a los elementos del conjunto A, resultará una clasificación determinada según la relación de orden predefinida. Así, es posible establecer un nivel mayor de generalización; para conjuntos de evaluadores (ó evaluaciones), se conforma una colección de p configuraciones de evaluaciones, resultando entonces un conjunto de configuraciones de evaluaciones,,,, que llamamos, así,,,,, con 1 ; a cada vector, de la aplicación del operador le corresponde un orden para los elementos del conjunto según la función definida :, a le corresponde en la función FW V. (Figura 3). La imagen debe interpretarse como un conjunto de vectores,,,,,, donde cada vector es un orden de los elementos del conjunto, según las ponderaciones de la matriz de pesos. Así, cada vector de valoración,,,,, con 1 estará conformado con elementos que resultan de la valoración del conjunto de expertos al elemento. Entonces podrán establecerse comparaciones entre los valores resultantes de cada elemento e inclusive entre los

5 órdenes adoptados para las diferentes alternativas de las con 1. Así cada vector puede ser interpretado como: i) un ordenamiento (o clasificación) de los elementos de, según una relación de orden que dará como resultado final un conjunto ordenado, conformado con los elementos del conjunto, cuyos elementos guardan la relación, que puede escribirse como el vector,,,, y/ó ii) una medida, para el orden en que se encuentran dispuestos los elementos del conjunto A en un vector dado. (Figura 4). begin {con valores precargados} W: array [1..m] of array [1..n] of real; V: array [1..n] of real; {caso particular aplicado a solo un conjunto (o configuración) de evaluadores} for h=1 to m do begin for i=1 to n do begin w[h,i]:= w[h,i]*a[i]; V[i]:= Theta(w[h,i]); {V es el resultado de operar a w} {por simplicidad computacional w=w} Figura 3. Asignación de en En el algoritmo descrito no se requiere definir el conjunto de evaluadores,,,, en razón de que las calificaciones asignadas por los expertos se encuentran precargadas en el arreglo y por tanto se puede operar desde el índice. 5. EL OPERADOR COMO CALIFICADOR Figura 4. Esquema de operaciones A modo ilustrativo, presentamos nuestro esquema de operaciones en el siguiente pseudo-código, que ejemplifica la situación en que se aplica el operador a un conjunto de evaluadores (caso particular) y puede resumirse de la siguiente forma: procedure Theta(w[h,i]); begin { puede ser cualquiera de las funciones definidas en los ejemplos 2.1 o 2.2, o cualquier otra que el experto operador decida} var A: array [1..n] of real; i: 1..n; h: 1..m; w: array [1..m, 1..n] of real; El operador Θ puede constituirse además de un clasificador, agrupador y ordenador, en un calificador. Dada una determinada configuración de orden o de valores de un vector, es posible establecer cuán ordenado se encuentra y atribuirle un valor para calificarlo en función de la posición de los elementos o eventualmente de los valores que les correspondan a dichos objetos, con respecto a un ordenamiento ideal preestablecido por el analista experto. 6. CONCLUSIONES En este trabajo quedó definido un operador matemático para un operador dinámico de clasificación, el cual puede clasificar cualquier tipo de patrones. Este operador es dinámico porque: i) Puede ser definido como una operación interna entre los elementos de las matrices ó para obtener ó. La ley de variación será elegida por el analista experto, considerando la optimización requerida para el modelo que será cuantificado. ii) Puede ser definido como una operación de reordenamiento con algún criterio específico de granularidad, el cual es establecido por los valores que surgen de la aplicación de una función de compensación a cada elemento, de manera que: ; para cada elemento de ó, con

6 la finalidad de obtener los valores ordenados en ó, que se traducirán en un ordenamiento de los elementos del conjunto. 7. LINEAS FUTURAS DE TRABAJO El propósito de desarrollar un operador especializado en clasificación, es su utilización en minería de datos cuantitativa, mas específicamente en la detección de patrones secuenciales difusos (Provasi, Kleisinger, & Villatoro, 2008) [6]. 8. RECONOCIMIENTO Agradecemos a la Prof. Dora A. Macías (UNNE) por su contribución en la revisión de los formalismos matemáticos para este trabajo. 9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS [1] Agrawal, R., & Srikant, R. (1995). Mining Sequential Patterns. 11th International Conference on Data Engineering (ICDE 95), (págs. Pag. 3-14). Taipei, Taiwan. [2] Chen, R., Tzeng, G., & Chen, Y. (2001). Discovery of fuzzy sequential patterns for fuzzy partitions in quantitative attributes. ACS/IEEE International Conference on Computer Systems and Applications, (págs ). [3] Fisher, R. A. (1936). The use multiple measurements in taxonomic problem. Ann. Eurgenics 7 Parte II, [4] Hernández Orallo, J., Ramírez Quintana, M., & Ferrari Ramírez, C. (2004). Introducción a la minería de datos. Madrid: Pearson Prentice Hall. [5] Kohonem, T. (1982). A simple paradigm for the selforganized formation of structured feature maps. Lecture notes in biomathemathics 45: Competition and cooperation in neural nets, [6] Provasi, P. F., Kleisinger, L. J., & Villatoro, F. R. (2008). Arquitectura escalable para la detección de patrones secuenciales difusos en minería de datos cuantitativa. ESTYLF 2008 XIV Congreso español sobre tecnologías y lógica fuzzy (págs ). Langreo - Mieres: ESTYLF.