HACIA LA GENERALIZACIÓN SUPERSIMÉTRICA DEL AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD

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1 División de Ciencias e Ingenierías de la Universidad de Guanajuato, Campus León. HACIA LA GENERALIZACIÓN SUPERSIMÉTRICA DEL AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD Salomón Gabriel Zacarías Nicasio Asesores: Dr. Octavio José Obregón Díaz Dr. J. C. López Domínguez

2 I Resumen La ecuación de Wheeler-De Witt (WDW) para el modelo de Kantowski-Sachs puede también entenderse como la ecuación de WDW correspondiente al agujero negro de Schwarzschild debido al ya conocido difeomorfismo entre estas dos métricas. La ecuación de WDW y sus soluciones son ignorantes del parche coordenado que uno este usando, solo al imponer condiciones coordenadas podemos diferenciar entre modelos cosmológicos y de agujero negro. A este punto el parametro de foliación t o r aparecerán en la solución de interes. En este trabajo supersimetrizamos esta ecuación de WDW obteniendo un término extra en el potencial con dos posibles signos. El metodo WKB es entonces aplicado, dando lugar a dos ecuaciones clásicas. Se muestra que el horizonte de eventos nunca se alcanza por que muy cerca de el, el término extra en el potencial, para cada una de las ecuaciones, es mas relevante que el que corresponde a Schwarzschild. Uno puede entonces estudiar los casos asintóticos en los cuales uno de los dos términos en el Hamiltoniano domina el comportamiento. Uno de ellos corresponde al agujero negro de Schwarzschild. Estudiaremos aquí las otras dos regiones asintóticas; estas proveen tres soluciones. Todas ellas tienen una singularidad en r = 0 y dependiendo de la constante de integración C estas podran presentar también otra singularidad en r = C 2. Ninguna de estas soluciones tiene un límite Newtoniano. La solución de agujero negro que estudiamos se analiza entre la singularidad r = C 2 y un radio máximo r m. Encontramos una masa asociada, considerando la solución cosmológica dentro de r = C 2, y basados en el principio holográfico una entropía puede asignarsele a esta solución asintótica.

3 Índice 1. Introducción Relatividad General Simetrías y vectores de Killing El campo gravitacional de un objeto esférico en el vacío Singularidades Cantidades conservadas Formalismo ADM de la Relatividad General Termodinámica de los agujeros negros Las leyes mecánicas de los agujeros negros Aspectos cuánticos de los agujeros negros y termodinámica de agujeros negros Cálculo Euclideano de la entropía El principio holográfico Ecuación de WDW para la métrica de Schwarzschild-Kantowski-Sachs y su límite clásico Ecuación de WDW supersimétrica para el agujero negro de Schwarzschild de la parametrización de Misner para la métrica de Kantowski-Sachs El límite clásico de la región supersimétrica Análisis de la solución supersimétrica, una masa asociada y su posible relación con la entropía Conclusiones. 48 II

4 ÍNDICE 1 A. Cargas conservadas en relatividad general. 50 A.1. Gravedad linealizada A.2. Cargas conservadas A.2.1. La aproximación tradicional A.2.2. La aproximación de Abbott-Deser

5 Capítulo 1 Introducción. La física de los agujeros negros ha sido exhaustivamente estudiada en la literatura, es inútil intentar dirigirse hacia muchos aspectos interesantes incluso aquellos relacionados con un solo tema. Sin embargo, existe una discusión muy rica en la literatura en uno de estos temas, esto es, el que concierne a los horizontes (de eventos) de los agujeros negros. Uno puede comenzar mencionando que en relatividad general [1] los horizontes de eventos aparecen para soluciones estacionarias en el vacío de la ecuaciones de Einstein. Por otra parte, el colapso de objetos astrofísicos resulta en (futuros) horizontes de eventos [2]. La existencia de un horizonte de eventos significa que uno tendrá una región inaccesible, y por lo tanto un observador externo deberá considerar estados prohibidos; los estados puros se convierten en matrices de densidad, de manera que, vistos desde afuera, la evolución resulte no-unitaria, habrá perdida de la información. Esta es una de las cosas con las que uno tiene que vivir, si uno acepta los diagramas de Carter-Penrose. Se han propuesto modificaciones a estos diagramas basandose en diferentes marcos y modelos teóricos, todos haciendo alusión a una historia más sutil para el colapso [3]. En cálculos de relatividad numérica, los horizontes de eventos son casi imposibles de encontrar con cierta certeza. Otras definiciones de horizontes como locales o cuasilocales se utilizan para poder realizar calculos que tengan sentido [4]. También se ha considerado por varios autores (ver por ejemplo [5] y trabajos citados ahí) que existe una variedad de escenarios físicamente realistas para el colapso estelar en los cuales los horizontes pueden no formarse, de manera que la singularidad queda expuesta (singularidad desnuda). Sin embargo, aunque los astrónomos reconocen que lo que han observado hasta ahora es compatible con las métricas de Kerr y Schwarzschild [6], también argumentan que no se puede inequivocamente concluir que los objetos oscuros que observan sean agujeros negros en el sentido de relatividad general. Existe un consenso cada vez mayor, o por lo menos sospecha, dentro de la comunidad de relatividad general, de que los horizontes de eventos son simplemente una cosa vista incorrectamente. Otras posibles definiciones de horizontes han sido propuestas: horizontes aparentes [7], dinámicos [8], y de atrapamiento [9] que tienen mas sentido físico. Muy poderosos y sofisticados métodos se han desarrollado desde el nacimiento de la re- 2

6 latividad general tratando de buscar soluciones a sus ecuaciones de campo. Durante mucho tiempo se ha sabido que intercambiando la estructura del espacio-tiempo (es decir intercambiando las coordenadas t r), cambia una solución estática por una cosmológica y viceversa. El caso mas conocido es el de la métrica de Schwarzschild la cual bajo este difeomorfismo particular se transforma en la métrica de Kantowski-Sachs [10]. Este intercambio de variables ha sido recientemente propuesto como un método para obtener nuevos modelos cosmológicos de soluciones estacionarias axisimétricas [11]. En teoría de cuerdas se ha sugerido que intercambiando r it podemos obtener soluciones dependientes del tiempo de soluciones estáticas y estacionarias. De esta manera podemos relacionar soluciones de Dp-branas a soluciones de S-branas, es decir, fondos de la teoría dependientes del tiempo [12]. Por otro lado, hay propuestas para obtener directamente soluciones de S- branas [13]; entonces, si las soluciones cosmológicas (S-branas) pueden ser generadas de las estacionarias (Dp-branas), este procedimiento también se espera trabaje a la inversa. En particular, para el agujero negro de Schwarzschild Kuchař [14] ha mostrado como reconstruir las coordenadas de curvatura T y R (o las coordenadas de Kruskal U y V) de datos iniciales con simetría esférica. Su formalismo hace posible una discución de la acción del difeomorfismo del espacio-tiempo en geometría cuántica. Un ejemplo particularmente interesante es el intercambio de las coordenadas de curvatura T y R. Esta elección de coordenadas intercambia las regiones estáticas y dinámicas para los diagramas de Kruskal transformando la métrica cosmológica de Kantowski-Sachs en la métrica de Schwarzschild. Esta relación fue tomada en cuenta sugiriendo una aproximación canónica basada en una foliación en el parametro r, de esta manera se desarrolla un formalismo Hamiltoniano. Este orden de aproximación fue usado para encontrar estados cuánticos de agujeros negros [15] y la generalización del minisuperespacio provee un modelo particular hacia el entendimiento de los agujeros negros cuánticos no conmutativos [16]. Es importante mencionar que las soluciones a la ecuación de Wheeler-De Witt (WDW) son ignorantes del parche coordenado que uno use y solo cuando imponemos condiciones a las coordenadas habrá diferencia entre modelos cosmológicos y soluciones de agujero negro. Solamente en este punto los parametros de foliación t y r, apareceran en la solución de interés. Varios enfoques han sido sugeridos para supersimétrizar la ecuación de WDW de modelos cosmológicos cuánticos; el primer modelo propuesto [17] se basa en el hecho de que poco después de la invención de la supergravedad [18] se ha demostrado [19] que esta teoría provee de manera natural una raíz cuadrada de la gravedad. Por estos medios un método para encontrar raíces cuadradas de ecuaciones y sus correspondientes Hamiltonianos en cosmología cuántica han sido propuestos [17], con este enfoque obtenemos la llamada cosmología cuántica supersimétrica. Después, la formulación del supercampo fue introducida. Mediante esta es posible obtener, de manera directa, los compañeros fermionicos y también la posibilidad de incorporar materia de una manera simple [20]. Un tercer método nos permite definir una raíz cuadrada del potencial, en el minisuperespacio, de los modelos cosmológicos de interés y consecuentemente operadores, los cuales su cuadrado resulta en el Hamiltoniano [21]. Otras propuestas relacionadas han sido estudiadas en varios trabajos 3

7 (ver por ejemplo [22]). En este trabajo consideramos la ecuación de WDW para el agujero negro de Schwarzschild [10, 15]. Mostramos explícitamente que, por medio del metodo WKB, uno obtiene la ya conocida solución de Schwarzschild. Haciendo uso del tercer metodo mencionado [21], un modelo cuántico supersimétrico de Kantowski-Sachs y en consecuencia su agujero negro cuántico supersimétrico es encontrado. Obtenemos operadores los cuales su cuadrado proveen dos Hamiltonianos que generalizan la ecuación de WDW a una ecuación de WDW supersimétrica. Aplicamos la aproximación WKB a estos Hamiltonianos dando lugar a dos ecuaciones clásicas, teniendo cada una dos regiones asintóticas, para las cuales se encuentran soluciones analíticas. El agujero negro de Schwarzschild es una de estas regiones asintóticas en ambos casos. Sin embargo, en general, su horizonte nunca puede alcanzarse por que cuando 2m/r es cercano a uno las otras dos regiones asintóticas de cada una de las ecuaciones correspondientes son ahora válidas. Las soluciones analíticas son singulares en r = 0 y dependiendo de la constante de integración C, otra singularidad aparece en r = C 2. En estas regiones asintóticas, ninguna de las soluciones tiene un límite Newtoniano. Aunque estas regiones asintóticas son una consecuencia de la supersimetría, es interesante analizar sus correspondientes soluciones clásicas para entender el comportamiento de la solución general clásica en estas regiones asintóticas que difieren drásticamente de la solución de Schwarzschild. Se ha mostrado [23] que, resolviendo la ecuación de Dirac en los fondos de Kerr y Schwarzschild, los espinores divergen en el horizonte. En nuestro modelo de agujero negro supersimétrico los grados de libertad fermionicos son elementos intrínsecos de la teoría y ellos no permiten la presencia del horizonte de Schwarzschild. Soluciones de la teoría de supergravedad juegan un rol crucial en importantes desarrollos en la física de agujeros negros en teoría de cuerdas, la correspondencia AdS/CFT y otros. Se sabe que las partículas masivas neutras no pueden asociarse con estados de Bogomol nyi-prasad-sommerfield supersimétricos (BPS). La solución esféricamente simétrica mas simple que admite espinores de Killing que satisfacen las constricciones que definen los estados BPS es el agujero negro de Reinner-Nordström con M = Q [24]. El modelo de agujero negro clásico (cuántico) supersimétrico de Schwarzschild que proponemos se basa en, como se menciono, supersimetrizar la ecuación de WDW asociada con el agujero negro de Schwarzschild. Este procedimiento proporciona un Hamiltoniano (cuántico supersimétrico) y sus correspondientes ecuaciones clásicas que, en este sentido, definen la generalización supersimétrica del agujero negro de Schwarzschild. Este modelo parece proporcionar un punto de partida para entender y construir un primer modelo de un agujero negro clásico supersimétrico de Schwarzschild. Si hemos de aplicar la supergravedad (N = 1) completa al modelo de Schwarzschild- Kantowski-Sachs, en lugar de supersimetrizar directamente la ecuación de WDW, es de esperarse que se obtenga un Hamiltoniano similar. Como se menciono, en este trabajo analizaremos, en el contexto de la aproximación del minisuperspacio, la ecuación de WDW supersimétrica generalizada para el mas antiguo y conocido agujero negro descubierto por Schwarzschild. 4

8 La estructura de este trabajo de tesis es como sigue: revisaremos brevemente, en el capítulo 2, las ideas que llevaron a Einstein a la construcción de la teoría de la relatividad general y como surge de estas ideas la construcción de sus ecuaciones de campo. Discutiremos algunas simetrías de estas ecuaciones, enfocándonos solo a aquellas relacionadas con la métrica. Estudiaremos la solución a las ecuaciones de campo para un objeto esférico estático en el vacío y ya que existe el problema de puntos singulares en este tipo de soluciones estudiaremos un criterio general para saber si un punto es singular o no. Discutiremos también las cantidades conservadas relacionadas con la teoría y la formulación canónica de la misma vía el formalismo de Arnowitt, Deser y Misner (ADM) [25]. En el capítulo 3 estudiaremos el comportamiento termodinámico de los agujeros negros y mostraremos la relación universal de la entropía de estos con el área. En el capitulo 4 sentamos las bases que dan origen al principio holográfico. En el Capítulo 5 estudiamos la ecuación de WDW para el agujero negro de Schwarzschild, haciendo uso del difeomorfismo con la métrica de Kantowski-Sachs [10, 15] y usamos el método WKB para obtener la correspondiente solución clásica conocida. En el capítulo 6 tomamos el tercero de los formalismos mencionados anteriormente, para supersimetrizar la ecuación de WDW y aplicarlo, usando las ideas estudiadas en el capitulo 5, para definir el modelo supersimétrico del agujero negro de Schwarzschild. De esta manera, obtenemos la correspondiente (super) ecuación de WDW. Aplicamos la aproximación WKB unicamente a las dos componentes diagonales de la (super) ecuación de WDW. Las ecuaciones para las regiones asintóticas se resuelven analíticamente. Un límite asintótico tiene como solución la métrica de Schwarzschild, mientras que el otro límite tiene dos soluciones que difieren de esta última. Tenemos dos soluciones que corresponden al límite asintótico dominado por la supersimetría y la otra que corresponde a la solución de Schwarzschild. Para el primer caso, las soluciones tienen una singularidad en r = 0, y pueden presentar también otra singularidad en r = C 2 (C=cte). El horizonte de Schwarzschild nunca se alcanza ya que cuando 2m/r es muy cercano a uno, se debe considerar la otra región asintótica, en cada caso, y sus correspondientes soluciones. Aunque, en el marco de nuestra propuesta la solución de Schwarzschild y la solución supersimétrica son soluciones asintóticas, resulta interesante analizar el comportamiento de estas últimas, presentamos la solución numérica para mostrar que la soluciones asintóticas emergen en los respectivos límites, estudiamos una de las dos soluciones que tiene las dos singularidades en r = 0 y r = C 2, encontramos su masa asociada en esta región asintótica y por medio de un modelo cosmológico dentro de r = C 2 y basados el principio holográfico, proponemos una entropía relacionada con esta solución y mostramos su relación con la masa. El capítulo 7 esta dedicado a discusión y conclusiones (En todo el trabajo los indices griegos µ, ν, σ... representaran coordenadas del espacio-tiempo, y los indices latinos i, j, k,... coordenadas espaciales, usaremos signatura de la métrica (, +, +, +) y unidades naturales G N = = c = κ B = 1). Cabe mencionar que parte de éste trabajo de tesis fue publicado en la revista Physical Review D 80, (2009), en co-autoria con el Dr O. Obregon y el Dr. J. C. López- Domínguez. 5

9 Capítulo 2 Relatividad General. La teoría moderna del campo gravitacional es la teoría de la relatividad general postulada por Albert Einstein a finales de De acuerdo con esta teoría, la gravedad no es una fuerza como se le consideraba en la física Newtoniana, sino que es mas bien una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo. Un objeto masivo produce una distorsión en la geometría del espacio-tiempo, y a su vez esta distorsión controla o altera el movimiento de los objetos. La materia le dice al espacio-tiempo como curvarse, y el espacio-tiempo le dice a la materia como moverse. Al postular la teoría especial de la relatividad en 1905, Einstein sabía bien que la teoría de la gravitación de Newton debería ser modificada. La principal razón para esto era que la teoría de Newton implicaba que la fuerza de gravedad se propagaba entre distintos objetos a velocidad infinita, lo que contradecía un principio fundamental de la relatividad especial: ninguna interacción física puede viajar mas rápido que la velocidad de la luz. Es importante notar que al mismo Newton nunca le pareció convincente la existencia de esta acción a distancia, pero consideró que era una hipótesis necesaria hasta que se encontrara una mejor explicación de la naturaleza de la gravedad. Una de las ideas principales que guiarón a Einstein en su camino hacia la relatividad general fueron el llamado principio de equivalencia. La primer forma de este principio data de Galileo y Newton y este establece que todos los objetos caen exactamente de la misma forma en un campo gravitacional uniforme, esto, en otras palabras, nos dicta la equivalencia entre la masa inercial y la masa gravitatoria y como consecuencia, que el comportamiento de las partículas en caída libre es universal, es decir, independiente de su masa. Esta universalidad de la gravitación puede describirse de otra manera más popular: las leyes de las partículas en caída libre son las mismas en un campo gravitacional y en un marco uniformemente acelerado, en regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo. En regiones grandes del espacio-tiempo habrá inhomogenidades en el campo gravitacional las cuales darán lugar a fuerzas tidales que pueden ser detectadas. Einstein generalizo la idea de este principio a algo mas inclusivo: en regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo las leyes de la física se reducen a las de la relatvidad especial; es imposible detectar la existencia del campo gravitacional. Es este principio de equivalencia de Einstein el que 6

10 7 implica (o al menos sugiere) que debemos de atribuir la acción de la gravedad a la curvatura del espacio-tiempo. Recordemos que en relatividad especial un rol prominente lo juegan los marcos inerciales: mientras no es posible elegir algún marco de referencia en reposo de manera única, es posible elegir una familia de marcos los cuales no estén acelerados (inerciales). La aceleración de una partícula cargada en un campo electromagnético fue definida de manera única con respecto a estos marcos. El principio de equivalencia de Einstein implica que la gravedad es ineludible: no hay tal cosa como objeto gravitacional neutro con respecto al cual podamos medir la aceleración debida a la gravedad. Se sigue que la aceleración debida a la gravedad no es algo lo cual pueda ser definido de manera confiable, y por lo tanto es de poca utilidad. En lugar de esto, tiene más sentido definir no acelerado como cayendo libremente. Este punto de vista da origen a la idea de que la gravedad no es una fuerza. La idea de que las leyes de la relatividad especial deben de cumplirse en regiones suficientemente pequeñas, y además que marcos inerciales locales pueden establecerse en tales regiones, corresponde a nuestra habilidad de construir coordenadas normales de Riemann 1 (CNR) en cualquier punto de la variedad. Todo esto debe constituir más que suficiente motivación para el argumento de que, en presencia de la gravedad, el espacio-tiempo deberá ser tratado como una variedad curvada. Tomaremos esto como cierto y veremos como trabaja la física en un espacio-tiempo curvo. El principio de equivalencia nos dice que las leyes de la física, en regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, deben reducirse a las de la relatividad especial. En el lenguaje formal esto implica, (usando CNR), que las leyes de la física están descritas por ecuaciones que toman la misma forma en el espacio plano. El ejemplo más simple es el de una partícula en caída libre. En el espacio plano tales partículas se mueven sobre lineas rectas, y la ecuación que describe dicho movimiento es d 2 x µ = 0, (2.1) dλ2 donde λ es un parámetro afín. De acuerdo con el principio de equivalencia de Einstein, esta ecuación debe cumplirse en espacios curvos, siempre que las coordenadas x µ sean CNR. Claramente (2.1) no es una ecuación tensorial. Sin embargo, hay una única ecuación tensorial la cual se reduce a (2.1) cuando los simbolos de Christoffel se anulan; esta es d 2 x µ dλ 2 + dx ρ dx σ Γµ ρσ dλ dλ = 0, (2.2) y representa la ecuación de las geodésicas en relatividad general. Por lo tanto, las partículas libres, en relatividad general, se mueven sobre geodésicas. Hemos mencionado que la curvatura del espacio-tiempo debe estar descrita por el campo gravitacional; pero aún no hemos mostrado que sea una condición suficiente. Para hacerlo, podemos mostrar como los resultados de la gravevad Newtoniana emergen en este esquema. Definimos el límite Newtoniano exigiendo tres condiciones: las partículas se 1 coordenadas en las cuales la métrica toma la forma canónica y los símbolos de Christoffel se anulan

11 8 mueven lentamente (respecto a la velocidad de la luz), el campo gravitacional es débil (puede considerarse como una perturbación del espacio plano), y el campo es estático ( no cambia con el tiempo). Veamos lo que estos supuestos implican en la ecuación de las geodésicas. Tomando el tiempo propio τ como el parámetro afín, movimiento lento significa que Debido a que el campo es estático dx i dτ dt dτ, d2 x µ dτ + 2 Γµ tt ( ) 2 dt = 0. (2.3) dτ t g µλ = 0 Γ µ tt = 1 2 gµλ λ g tt. (2.4) Finalmente que el campo sea débil nos permite descomponer la métrica como g µν = η µν + h µν, h µν 1 (2.5) con η µν la métrica de Minkowski. Juntando todo lo anterior, encontramos que d 2 x i dτ 2 = 1 2 ( ) 2 dt i h tt d2 x i dτ dt = ih tt. (2.6) Esto empieza a parecerse mucho a la teoría de la gravitación de Newton. De hecho, si comparamos esta ecuación con la ley de Newton de la gravitación, encontramos que ambas conciden si se identifica o en otras palabras h tt = 2Φ, (2.7) g tt = (1 + 2Φ). (2.8) Por lo tanto, hemos mostrado que la curvatura del espacio-tiempo es en verdad la suficiente para describir la gravedad en el límite Newtoniano. Aún falta encontrar las ecuaciones de campo para la métrica lo cual implica que esta es la forma que tomará, y que para un cuerpo gravitante recuperaremos la fórmula de Newton Φ = m r. (2.9) Lo siguiente es mostrar como las restantes leyes de la física, más alla de las que gobiernan a las partículas libres, se adaptan a la curvatura del espacio-tiempo. Tomemos una ley de la física en el espacio plano, tradicionalmente escrita en términos de derivadas y de la métrica plana. De acuerdo con el principio de equivalencia esta ley deberá cumplirse en presencia

12 9 de la gravedad, mientras estamos en CNR. Traslademos dicha ley a una relación entre tensores, por ejemplo, cambiando derivadas parciales por derivadas covariantes. En CNR esta versión de la ley se reducirá a la del espacio plano, pero los tensores son objetos que dependen de las coordenadas, entonces la versión tensorial debe cumplirse en cualquier sistema de coordenadas. A este procediemiento se le conoce como el principio de covarianza. Esto significa que aunque las cantidades cambien, por el cambio de coordenadas, las ecuaciones de la física mantienen su forma original, algo parecido a lo que le pasa, por ejemplo, a la segunda ley de Newton F = m d2 x cuando hacemos un cambio de sistema inercial, efectuamos dt 2 el cambio, cambian las posiciones, cambian las velocidades, pero no cambia la aceleración y por tanto la fuerza. El argumento informal comienza con el hecho de que deseamos encontrar una ecuación que reemplace la ecuación de Poisson para el potencial Newtoniano 2 Φ = 4πρ, (2.10) donde 2 = δ i j i j es el Laplaciano en el espacio y ρ es la densidad de masa. Qué características debe poseer la ecuación que buscamos? En el lado izquierdo de la ecuación (2.10) tendremos un operador diferencial de segundo orden actuando en el potencial gravitacional, y en el lado derecho una medida de la distribución de masa. Una generalización relativista deberá tomar la forma de una ecuación entre tensores. Por un lado sabemos que la generalización tensorial de la densidad de masa es el tensor de energía momento T µν. Mientras tanto, el potencial gravitacional deberá ser remplazado por la métrica. Podemos, por tanto, suponer que nuestra nueva ecuación tendrá a T µν siendo proporcional a algún tensor, el cual será de segundo orden en derivadas de la métrica. De hecho, usando (2.8) para la métrica en el límite Newtoniano y T tt = ρ, vemos que estamos buscando una ecuación que prediga 2 h tt = 8πT tt, (2.11) y, que sea completamente tensorial. El lado izquierdo de la ecuación (2.11) obviamente no se generaliza a un tensor. Una primera opción es la acción del operador D Alembertiano = µ µ sobre la métrica g µν, pero esto da automaticamente cero (por compatibilidad con la métrica). Afortunadamente, existe una cantidad que no es cero y que contiene primeras y segundas derivadas de la métrica: el tensor de Riemann (curvatura) R ρ σµν. Este tensor tiene las siguientes propiedades: Antisimetría bajo la permutación de indices Simetría bajo la permutación de pares de indices R ρσµν = R σρµν, R ρσµν = R ρσνµ. (2.12) R ρσµν = R µνρσ. (2.13)

13 10 Permutación combinada de tres indices Identidad de Bianchi R ρσµν + R ρµνσ + R ρνσν = 0. (2.14) [λ R ρσ]µν = 0 (2.15) Aunque este no tiene el numero correcto de índices, podemos contraerlo para formar el tensor de Ricci R µν el cual los tiene, y es simétrico en ambos, como consecuencia de las simetrías del tensor de Riemann. Resulta razonable suponer que las ecuaciones del campo gravitacional son R µν = κt µν, (2.16) donde κ es una constante. Sin embargo existe un problema con la conservación de la energía, ya que de acuerdo con el principio de equivalencia, la conservación de energíamomento en un espacio-tiempo curvo debe satisfacer lo cual implica que µ T µν = 0, (2.17) µ R µν = 0. (2.18) Esto no necesariamente es cierto en una geometría arbitraria. Contrayendo la identidad de Bianchi (2.15) con g νσ g µλ resulta µ R µν = 1 2 νr. (2.19) Pero nuestra ecuación de campo propuesta implica que R = κg µν T µν = κt; entonces tomando todo esto se tiene que µ T = 0. (2.20) Sabemos que la derivada covariante de un escalar es solo su derivada parcial, entonces (2.20) nos dice que T es constante por todo el espacio-tiempo, pero esto es altamente improbable ya que T = 0 en el vacío mientras que T 0 en presencia de materia. No debemos de continuar esta búsqueda, ya que sabemos de un tensor covariante de segundo orden simétrico construido del tensor de Ricci, el cual es automáticamente conservado; el tensor de Einstein G µν = R µν 1 2 g µνr. (2.21)

14 2.1. Simetrías y vectores de Killing 11 El cual, de acuerdo con las identidades de Bianchi (2.19), obedece µ G µν = 0. Proponemos por lo tanto que G µν = κt µν. (2.22) Esta ecuación satisface todos los requerimientos: el lado derecho es una expresión covariante de la energía y densidad de momento en la forma de un tensor covariante simétrico conservado de segundo orden, construido de la métrica y de sus primeras y segundas derivadas. Solo resta fijar el valor de la constante de proporcionalidad y ver si este resultado reproduce la gravedad tal como la conocemos. Ciertamente esta ecuación reproduce la ecuación de Poisson (2.10) si escogemos κ = 8π. Con la normalización apropiada para recuperar el límite Newtoniano, escribimos las ecuaciones de Einstein para la relatividad general R µν 1 2 Rg µν = 8πT µν. (2.23) Estas son las ecuaciones de Einstein del campo gravitacional y nos dicen como la curvatura del espacio-tiempo reacciona a la presencia de energía-momento Simetrías y vectores de Killing Supongamos que la geometría del espacio-tiempo está representada por una variedad M con métrica g µν y campos de materia ψ, entonces si bajo la aplicación φ : M M (2.24) los conjuntos (M, g µν, ψ) y (M, φ g µν, φ ψ) (donde φ f = f φ es el pull-back de f bajo φ) representan la misma situación física, entonces estos son invariantes bajo dicha aplicación. A esta invarianza bajo la aplicación φ se le conoce como difeomorfismo. Un difeomorfismo es aquella aplicación que es biyectiva, es decir, la relación es uno a uno entre los puntos de M. Además ha de cumplir que es diferenciable, a groso modo, que podemos definir sus derivadas de una manera natural y además cumple que la inversa de la aplicación φ 1, tambien es diferenciable. Básicamente el efecto del difeomorfismo es cambiar la apariencia de los espacios sobre los que actua. Las ecuaciones de la relatividad general (2.23) tienen la particularidad de que no cambian cuando efectuamos un difeomorfismo en el espacio-tiempo, es decir, conservaran su forma bajo esta aplicación. El espacio-tiempo esta dotado de una métrica, que es lo que usamos para medir distancias y ángulos, y por tanto áreas y volúmenes. Al efectuar un difeomorfismo la métrica cambia, pero las cantidades que construimos a través de ella, como las ecuaciones de Einstein, no. Esto es muy importante, porque si una teoría es invariante bajo difeomorfismos implica que el concepto de punto bien definido por sus coordenadas

15 2.1. Simetrías y vectores de Killing 12 pierde sentido. Cualquier sistema de coordenadas es válido si está conectado por un difeomorfismo, así que no tiene sentido hablar de un sistema coordenado preferencial ya que un difeomorfismo en general podría mezclar a todos en otro sistema de coordenadas distinto. La relatividad general es por tanto una teoría donde todas las cantidades son covariantes bajo difeomorfismos. Decimos que un difeomorfismo φ es una simetría de un tensor T si el tensor es invariante despues de que bajo φ φ V = V. (2.25) Aunque las simetrías pueden ser discretas, es más común tener un parámetro de la famila de simetrías φ t. Si esta familia es generada por un campo vectorial ξ µ (x), entonces (2.25) se convierte en L ξ V = 0, (2.26) donde L es la derivada de Lie. Por ejemplo, la derivada de Lie de un tensor de segundo orden es L ξ V µν = σ V µν ξ σ + V µσ ν ξ σ + V σν µ ξ σ. (2.27) Entonces de (2.26) T es simétrico bajo la transformación generada por ξ. En el caso particular en que el tensor sea la métrica g µν de la variedad, entonces la transformación se denomina una isometría, es decir la transformación infinitesimal x µ = x µ + ξ µ, es una isometría si L ξ g µν = 0 µ ξ ν + ν ξ µ = 0, (2.28) esta ecuación recibe el nombre de ecuación de Killing. Es fácil ver que en (2.27) podemos sustituir derivadas parciales por derivadas covariantes, sin que la expresión se altere. Por lo tanto, la ecuación de Killing se suele escribir como µ ξ ν + ν ξ µ = 0. (2.29) En efecto, sustituyendo derivadas por derivadas covariantes en la expresión (2.28), obtenemos σ g µν ξ σ + g µσ ν ξ σ + g σν µ ξ σ = 0. (2.30) Supongamos que ξ es una simetría de V, entonces si uno de los ejes del sistema de coordenadas, digamos t, se elige a lo largo de ξ, es decir ξ µ = ( t ) µ = δ µ t, resulta que las componentes V µν son independientes de t. En efecto, L ξ V µν = σ V µν ξ σ + V µσ ν ξ σ + V σν µ ξ σ = 0, (2.31)

16 2.2. El campo gravitacional de un objeto esférico en el vacío 13 como ξ µ = δ µ t, resulta t V µν = 0. En otras palabras V no cambiará en forma ante una traslación a lo largo de t. Tal sistema de coordenadas se llama sistema de coordenadas adaptado a la variedad. La existencia de los vectores de Killing está asociado a simetrías y por lo tanto a leyes de conservación. Si ξ es un vector de Killing y u el vector tangente a una geodésica de la variedad, entonces ξ u = ξ µ u µ, es constante sobre la geodésica, por tanto d dτ (ξ µu ν ) = u ν ν (ξ µ u µ ) = u ν ( ν ξ µ )u µ + ξ µ u ν ν u µ = 1 2 uµ u ν (ν ξ µ) = 0. (2.32) Por otra parte, las derivadas de los vectores de Killing pueden relacionarse con el tensor de Riemann por µ ν ξ σ = R ρ µνσξ ρ. (2.33) Supongamos que conocemos los valores de ξ µ y sus primeras derivadas en cualquier punto de la variedad. La ecuación (2.33) permite conocer sus segundas derivadas y de orden superior y por lo tanto extender a ξ por toda la variedad. En otras palabras, un campo vectorial de Killing está determinado solo por los valores de ξ µ y ν ξ µ en un punto. El numero máximo de vectores de Killing permitido en una variedad está dado por el numero de asignaciones independientes que podemos hacer de ξ µ y de ν ξ µ. El numero máximo de vectores de Killing en una variedad n dimensional es 1 n(n+1). Una variedad con el numero 2 máximo permitido de vectores de Killing se le denomina máximamente simétrica. Notese que en dimensiones n 2, podrá haber más vectores de Killing que dimensiones. Esto es por que un conjunto de campos vectoriales de Killing pueden ser linealmente independientes. Aunque a cualquier punto sobre la variedad los vectores en ese punto sean linealmente dependientes. Es facil demostrar que una combinación lineal de vectores de Killing con coeficientes constantes será un vector de Killing, pero esto no necesariamente es cierto con coeficientes los cuales varien sobre la variedad El campo gravitacional de un objeto esférico en el vacío Consideremos el teorema de Birkhoff [1]: Dada la geometría de una región del espaciotiempo (1) siendo esféricamente simétrica y (2) siendo una solución de las ecuaciones de Einstein en el vacío. Entonces esta geometría será necesariamente una pieza de la geometría de Schwarzschild. Probarlo no resulta difícil y solo debemos satisfacer las condiciones

17 2.2. El campo gravitacional de un objeto esférico en el vacío 14 impuestas por el teorema. Soluciones en el vacío son aquellas en las cuales el tensor de energía-momento es idénticamente cero T µν = 0. De las ecuaciones de Einstein (2.23) esto implica que R µν = 0, (2.34) así, las soluciones en el vacío de las ecuaciones de Einstein son precisamente aquellas donde el tensor de Ricci se anula en dicho espacio-tiempo. Una métrica esféricamente simétrica toma la forma general ds 2 = e 2α(t,r) dt 2 + e 2β(t,r) dr 2 + r 2 dω 2, (2.35) donde α y β son funciones arbitrarias de t y r y dω 2 = dθ 2 + sen 2 θdφ 2 es el elemento de linea de la 2-esfera con radio unitario. Las ecuaciones de Einstein determinan las funciones α y β de manera única. Para ver lo anterior, calculamos los símbolos de Christoffel distintos de cero para (2.35), los cuales resultan ser 2 Γ t tt = t α, Γ t tr = r α, Γ t rr = e 2(β α) t β, (2.36) Γ r tr =e 2(β α) r α, Γ r tr = t β, Γ r rr = r β, Γ θ rθ =1 r, Γr θθ = re 2β, Γ φ rφ = 1 r, Γ r φφ = re 2β sen 2 θ, Γ θ φφ = senθcosθ, Γ φ θφ = cotθ. (2.37) Esto da las componentes no nulas del tensor de Riemann R t rtr =e 2(β α) [ 2 t β + ( t ) 2 t α t β ] + [ r α r β 2 rα ( r α) 2] (2.38) R t θtθ = re 2β r α R t φtφ = re 2β sen 2 θ r α R t θrθ = re 2β t α R t φrφ = re 2β sen 2 θ t α R r θrθ =re 2β r β R r φrφ =re 2β sen 2 θ r β R θ φθφ = ( 1 e 2β) sen 2 θ. (2.39) 2 se omite escribir explícitamente aquellos relacionados con las simetrías

18 2.2. El campo gravitacional de un objeto esférico en el vacío 15 Tomando la contracción de la manera usual, obtenemos las componentes no nulas del tensor de Ricci, las cuales resultan ser R tt = [ 2 t β + ( t ) 2 t α t β ] + e [ 2(β α) 2 rα r α r β + ( r α) ] r rα (2.40) [ R rr = 2 rα + ( r α) 2 r α r β 2 ] r rβ + e [ 2(β α) 2 t β + ( t β) 2 t α t β ] R tr = 2 r tβ R θθ =e 2β [ r ( r β r α) 1 ] + 1 R φφ =R θθ sen 2 θ. Con esto, lo que nos resta por hacer es satisfacer la condición (2.34). De la condición R tr = 0 escribimos Al tomar la derivada temporal de R θθ y usando (2.41), tenemos de lo anterior concluimos que t β = 0. (2.41) t r α = 0. (2.42) β =β(r), α = f (r) + g(t). (2.43) El primer termino en la métrica (2.35) es por lo tanto e 2 f (r) e 2g(t) dt 2. Pero podemos siempre redefinir esta coordenada temporal remplazando dt e g(t) dt; en otras palabras, se tiene la libertad de elegir t tal que g(t) = 0, por lo tanto α(t, r) = f (r). Debido a que ambos R tt y R rr se anulan, deducimos que 0 = e 2(β α) R rr + R tt = 2 r ( rα + r β), (2.44) lo cual implica que α = β + cte. Otra vez, podemos deshacernos de la constante nuevamente reescalando la coordenada, así finalmente tendremos Ahora considerando R θθ = 0, tenemos α = β. (2.45) e 2α (2r r α + 1) = 1 (2.46)

19 2.2. El campo gravitacional de un objeto esférico en el vacío 16 lo cual se puede reescribir como r ( re 2α ) = 1, que al resolver obtenemos e 2α = 1 + C r, (2.47) donde C es una constante indeterminada. La métrica (2.35) se escribe entonces como ( ds 2 = 1 + C ) ( dt C ) 1 dr 2 + r 2 dω 2. (2.48) r r El significado de la constante de integración C en (2.48) es el siguiente: para valores de r muy grandes, donde el campo gravitacional es débil, las trayectorias de las partículas de prueba son aproximadamente las órbitas Keplerianas que describirían esas mismas partículas si estuviesen sometidas al campo gravitacional Newtoniano producido por un objeto (puntual o esféricamente simétrico: ecuación (2.8),(2.9)) de masa m = C/2 situado en el origen de coordenadas. El resultado final es la métrica de Schwarzschild ds 2 = ( 1 2m r ) dt 2 + ( 1 2m r ) 1 dr 2 + r 2 dω 2. (2.49) Por lo tanto, m puede interpretarse como la masa de un objeto descrito por la solución de Schwarzschild, algunas veces recibe el nombre de masa ADM, porque en la formulación canónica de la relatividad general [25] aparece como la energía total, y se puede calcular usando la fórmula m = 1 ( ) d 2 S i j g i j i g j j, (2.50) 8π S 2 donde la integral se hace sobre la 2-esfera en el infinito definida por t = cte, r =. Como conclusión, cuando el espacio-tiempo alrededor de cualquier objeto tiene simetría esférica y esta libre de carga, masa y otros campos excepto el de gravedad, entonces uno podrá introducir coordenadas en las que la métrica sea la de Schwarzschild. En otras palabras la geometría de cualquier región del espacio-tiempo esféricamente simétrica en el vacío es una pieza de la geometría de Schwarzschild. Dada está geometría del espaciotiempo se tienen dos vectores de Killing asociados. Debido a que la métrica de Schwarzschild (2.49) no depende de t y φ se sigue de la sección 2.1 que y L ξ g µν = 0 si ξ = t, (2.51) L η g µν = 0 si η = φ. (2.52) La cantidades conservadas a estas simetrías son, para el vector de Killing tipo tiempo (2.51), la energía (masa) y para el vector de Killing espacial (2.52) el momento angular, y estos determinaran el movimiento de las partículas prueba sobre tal geometría.

20 2.3. Singularidades 17 Todos los componentes de la métrica de Schwarzschild (2.49) son independientes de la coordenada t. Esto, en otras palabras, nos dice que cualquier métrica esféricamente simétrica en el vacío tiene un vector de Killing tipo tiempo. Esta propiedad es tan interesante que recibe un nombre: una métrica que tiene un vector de Killing tipo tiempo se llama estacionaria. Existe además una propiedad más restrictiva: una métrica es llamada estática si esta posee un vector de Killing tipo tiempo el cual es ortogonal a la familia de hipersuperficies 3. La métrica (2.49) no solo es estacionaria, sino también estática; los campos vectoriales de Killing t son ortogonales a las superficies t = cte (ya que no hay terminos cruzados tales como, por ejemplo, dtdr ). En otras palabras, una métrica estática es una en la cual nada se esta moviendo, mientras una métrica estacionaria permite movimiento pero solo de manera simétrica. Por ejemplo, una métrica estática esféricamente simétrica describirá estrellas sin rotación, mientras sistemas en rotación (que se mantienen rotando de la misma forma en todo momento) serán descritos por métricas estacionarias Singularidades De la solución de Schwarzschild (2.49), observamos que los coeficientes de la métrica se hacen infinitos en r = 0 y r = 2m, un signo aparente de que algo podría estar mal. Los coeficientes de la métrica, por supuesto, son cantidades dependientes de las coordenadas, y como tal uno no debe de darle mucha importancia a sus valores; es ciertamente posible tener una singularidad de coordenadas la cual resulta del rompimiento de un sistema de coordenadas especifico en lugar de la variedad subyacente. Un ejemplo ocurre en el origen de las coordenadas polares en el plano, donde la métrica ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 es degenerada y la componente g θθ = r 2 de la métrica inversa diverge, sin embargo, ese punto de la variedad no es diferente de cualquier otro. Entonces que tipo de señal independiente de las coordenadas deberíamos ver para tomar como alerta de que algo sobre la geometría está fuera de control? Esta pregunta resulta muy complicada de responder y libros enteros se han escrito acerca de la naturaleza de las singularidades en relatividad general (ver por ejemplo [1]). No discutiremos lo anterior a detalle, sino mas bien recurriremos a un criterio simple para saber cuando algo podría ir mal, cuando la curvatura se ha hecho infinita. Como sabemos, el tensor de Riemann mide la curvatura, y resulta difícil decir cuando un tensor se vuelve infinito, ya que sus componentes son dependientes de las coordenadas. Pero de la curvatura podemos construir varias cantidades invariantes (escalares), y ya que el valor de los invariantes es independiente de las coordenadas, será significativo decir si se vuelven o no infinitos. El invariante más simple es el escalar de Ricci, pero podemos construir también invariantes de orden superior, tales como R µν R µν, R µνρσ R µνρσ, R µνρσ R ρσλτ R µν λτ, (2.53) 3 Una hipersuperficie en una variedad n-dimensional es simplemente una subvariedad (n-1) dimensional

21 2.3. Singularidades 18 y así sucesivamente, si cualquiera de estos invariantes (2.53) (no necesariamente todos ellos) van a infinito conforme nos aproximamos a un punto, puede concluirse que el punto es una singularidad de curvatura. Tambien podemos comprobar que el punto no este infinitamente lejos, esto es, que pueda ser alcanzado viajando una distancia finita sobre una curva. Por lo tanto, se tiene una condición suficiente para que un punto sea considerado como singularidad. Esta no es una condición necesaria, sin embargo, es generalmente difícil mostrar que un punto dado es no singular; para el propósito de este trabajo, solo analizaremos estos invariantes para saber si los puntos sobre el espacio-tiempo son o no singulares. En el caso de la métrica de Schwarzschild (2.49), un calculo directo del invariante de Kretschmann nos da K = R µναβ R µναβ = 48 m2 r 6. (2.54) La métrica (2.49) es, por lo tanto, singular en r = 0 y r = 2m corresponde a una singularidad de coordenadas y se le conoce como el radio de Schwarzschild. Se sabe que cuando una estrella tiene una masa cercana al límite de Oppenheimer- Volkov, cercano a tres masas solares, esta resulta ser inestable ante el colapso gravitacional total. Si tal colapso ocurre en un espacio con simetría esférica, entonces el estado final será la métrica de Schwarzschild, como consecuencia del teorema de Birkhoff. En esta situación la singularidad en r = r s = 2m será físicamente relevante. Como veremos más adelante r = r s es el llamado horizonte de eventos, y la solución describe lo que llamamos un agujero negro. Es importante señalar que el problema de que las componentes de la métrica no sean regulares en r s, no es el único problema asociado con las coordenadas de Schwarzschild. Otro aspecto es que, para la región r < 2m, las coordenadas t y r invierten papeles; r se vuelve una coordenada de tipo temporal y t de tipo espacial, en otras palabras el vector de Killing tipo tiempo (2.51) se convierte en un vector de Killing tipo espacio para r < 2m. La consecuencia más importante de este hecho es que una vez que una partícula cruza el radio de Schwarzschild, el avance del tiempo es equivalente a la disminución en la distancia r, es decir, el objeto caerá hacia r = 0 debido a que el tiempo fluye solo hacia el futuro. No hay fuerza alguna en la naturaleza que pueda frenar el paso del tiempo, y por la misma razón es inevitable que la partícula alcance la singularidad en r = 0, en ese punto la partícula sentirá una fuerza gravitacional infinita. El radio de Schwarzschild es entonces una región de la cual no es posible regresar una vez que se haya atravesado y se le conoce como horizonte de eventos del agujero negro, lejos de esta región siempre es posible escapar, pero cerca, la caída a r = 0 es inevitable.

22 2.4. Cantidades conservadas Cantidades conservadas Construiremos cantidades conservadas que corresponden a simetrías de la métrica de fondo que satisface las ecuaciones de Einstein con constante cosmológica R µν 1 2 gµν R + Λg µν = 0. (2.55) Estas cantidades conservadas se construyen del tensor de energía-momento del campo gravitacional y los vectores de Killing de la métrica de fondo, teniendo estas la propiedad de ser expresadas como una integral de flujo 2-dimensional. Consideremos g µν = ĝ µν + h µν, (2.56) donde 4 ĝ µν es solución de (2.55) y h µν representa desviaciones que se anulan en el infinito. Se expande (2.55) en terminos lineales y de orden superior en h (ver apéndice A), y se definen todos los terminos de segundo orden y orden superior en h µν como el tensor de energía-momento gravitacional, así se obtiene y por lo tanto R µν L 1 2ĝµν R L + Λh µν = ĝ T µν, (2.57) ˆ µ T µν = 0. (2.58) Si consideramos un vector de Killing ˆξ µ asociado con una de las simetrías de la métrica de fondo y considerando T µν = T νµ, tenemos así ˆ µ ˆξ ν ˆ ν ˆξ µ = 0. (2.59) ˆ µ (T µν ξ ν ) = ( ˆ µ T µν) ξ ν T µν ( ˆ µ ˆξ ν + ˆ ν ˆξ µ ) = 0, (2.60) ˆ µ (T µν ξ ν ) = ˆ µ (T µν ξ ν ) = 0. (2.61) Finalmente encontramos que d 3 xt 0ν ˆξ ν, (2.62) 4 aquí ˆ es solo una etiqueta para la métrica de fondo y esto no significa operador

23 2.4. Cantidades conservadas 20 es dependiente del tiempo. Por lo tanto, asociado a cualquier vector de Killing ˆξ µ, es una cantidad conservada definida por E(ˆξ) = 1 d 3 xt 0ν ˆξ ν. (2.63) 8π Cuando Λ = 0 se sabe que el tensor de energía-momento para el campo gravitacional puede escribirse en términos del superpotencial (ver apéndice A) y que la energía puede expresarse como una integral de flujo sobre una superficie espacial 2-dimensional (lo mismo aplica para el caso Λ 0) ĝ T µν = ˆ α ˆ β K µανβ + X µν, (2.64) con donde K µανβ = 1 2 [ĝµβ H να + ĝ να H µβ ĝ µν H αβ ĝ αβ H µν], (2.65) H µν = h µν 1 2ĝµν h α α, (2.66) el termino extra X µν en (2.64) puede escribirse de algunas maneras equivalentes. La primera y mas inmediata viene de la expansión de las ecuaciones de campo X µν = 1 2 [ ˆD α, ˆD ν] H µα ΛH µν = X νµ. (2.67) Alternativamente, podemos remplazar el conmutador por la curvatura a manera de obtener una forma manifiestamente simétrica y finalmente una forma donde solo intervenga K. Obtenemos algebraicamente de (2.67) y usando (2.65) y la ecuación de fondo ˆR µν = Λĝ µν X µν = 1 2 ˆR ν λαβ Kµλαβ (2.68) para mostrar que (2.63) es una integral de flujo, multiplicamos (2.64) por ˆξ ν ĝ T µν ˆξ ν = ˆD α [( ˆD β K µανβ) ˆξ ν + K µβνα ˆD β ˆξ ν ] + [ K µανβ ˆD β ˆD α + X µν] ξ ν. (2.69) Usando la identidad vectorial de Killing (2.33) junto con (2.65) y (2.67) así, removemos el ultimo termino en (2.69) dejando una divergencia total. Finalmente E(ˆξ) = 1 [ ] d 3 xt 0ν ξ ν = ds i ĝ ˆD β K 0iνβ K 0 jνi ˆD j ˆξ ν. (2.70) 8π

24 2.5. Formalismo ADM de la Relatividad General 21 Cuando Λ = 0 y la métrica de fondo se escoge plana, introduciendo coordenadas Cartesianas para simplificar (2.70) obtenemos la expresión (2.50), cuando ˆξ ν es el vector de Killing tipo tiempo (1, 0). Para una métrica estática esféricamente simétrica g µν, definiendo una métrica de fondo ĝ µν y para el vector de Killing ˆξ ν = δ tν ĝ tt, obtenemos la fórmula de la masa M = 1 ĝ tt 3/2 2 ĝ rr r (g 1/2 rr ĝ rr ). (2.71) Esta ecuación puede aplicarse directamente a la métrica (2.48) con ĝ µν = η µν y dara el resultado conocido M = m = C/ Formalismo ADM de la Relatividad General La formulación de la teoría de la relatividad general, tiene como concepto central el principio de equivalencia. Este principio implica que las ecuaciones deben escribirse en forma covariante, o sea, independiente del sistema de coordenadas. Una característica de las ecuaciones de Einstein es que algunas de ellas representan constricciones en las variables dinámicas, las cuales están relacionadas con las identidades de Bianchi. Separar las ecuaciones dinámicas de aquellas que presentan constricciones se hace difícil debido a la misma forma covariante de expresar las ecuaciones. Una forma de analizar la dinámica de la relatividad general consiste en verla como un problema de Cauchy, es decir, analizar la dinámica como la evolución de una hipersuperficie tridimensional donde estén definidos los campos [25]. La obtención de las ecuaciones de Einstein a través de la formulación ADM tiene su forma más clara usando el principio variacional, el cual involucra la construcción de una cantidad invariante llamada Lagrangiana. La construcción de un Hamiltoniano a partir de este punto, implica la construcción de los momentos canónicos conjugados a las variables dinámicas, es decir, a las diez componentes del tensor métrico, tomando la derivada parcial de la densidad Lagrangiana respecto de las velocidades. Para hacer esto, es necesario privilegiar una coordenada o una dirección en el espacio-tiempo. La forma de hacerlo es considerar rebanadas del espacio-tiempo, de tal manera que cada una de estas rebanadas sea una hipersuperficie tridimensional con una métrica positiva definida en ella. Si a cada una de estas hipersuperficies se le identifica con un parámetro y se pide que ninguna de ellas se intersecte, entonces se puede considerar la evolución de las mismas como el cambio de éstas en el parámetro y cubrir así todo el espacio-tiempo. La métrica cuadrimensional definida en cada hipersuperficie depende del tiempo y se puede considerar como una variable dinámica. La métrica tiene seis componentes, esto implica que se deben definir otras cuatro variables para tener un total de diez, que es el número de componentes del tensor métrico original. Estas nuevas variables son las funciones N y N i llamadas función lapse y función shift, respectivamente. La función lapse está relacionada con la separación entre cada hipersuperficie. La función shift tiene