CURSO: 4º E.S.O. MATERÍA: MAT.ACADÉMICAS TÍTULO: NÚMEROS REALES. NOMBRE: APELLIDOS:

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1 MATERÍA: MAT.ACADÉMICAS CALIFICACIÓN NOMBRE: APELLIDOS:. Responde a las siguientes cuestiones razonando tu respuesta. ( puntos) a) Una palabra palíndroma es la que se lee del mismo modo de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. Por ejemplo, ERRE es palíndroma. Razona y calcula cuántas palabras palíndromas de cuatro letras se pueden formar usando las letras A, E, I, B, D y R aunque no tengan significado. b) Razona y calcula de cuántas maneras distintas pueden elegirse a cinco personas en un equipo de 0 jugadoras. c) Razona y calcula de cuántas palabras diferentes, aún sin significado, se pueden formar usando todas las letras de ADACADABRA.. Opera de modo exacto pasando primeramente a fracción y expresando la solución final en notación decimal, ( puntos) : ( 6 ) =. Representa, da la expresión algebraica y el intervalo/semirrecta de las siguientes operaciones con conjuntos numéricos en R, ( puntos) a) A =R (, ] b) B = (, ] (, + ) c) E + (, ) E - (, ). Representa y escribe mediante intervalos o semirrectas los siguientes conjuntos de números. ( punto) a) { x R / x + < } b) { x R / x }. Contesta a las siguientes cuestiones: a) Cuáles son las dos características básicas del desarrollo decimal de un número irracional? Construye un ejemplo de número irracional. (0 puntos) b) Determina todos los conjuntos numéricos (N, Z, Q, I, R) a los que pertenecen estos valores. (0 puntos) π ( π ) 7. Dado el valor 78, contesta a las siguientes cuestiones: a) Determina la colección de intervalos encajados de 78 hasta las milésimas. (0 puntos) b) Cuál es la aproximación por defecto a las centésimas de 78? (0 puntos) c) Cuál es la aproximación por exceso a las milésimas de 78? (0 puntos) d) Cuál es el redondeo a las décimas de 78? (0 puntos) 8. La fracción 8/ se utiliza, a veces, para aproximar al número de oro φ. Calcula qué error absoluto y relativo se está cometiendo con dicho aproximación. (0 puntos). Escribe TODAS las soluciones, si existen, de los siguientes radicales explicando por qué: ( punto) a) 7 b) ( 6) / c) ( ) d) ( 6 6 ) 0. Simplifica las siguientes expresiones al máximo: (0 puntos) 0 a) x 6 b)

2 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DEL CONTROL Nº DE MAT. ACADÉMICAS. Responde a las siguientes cuestiones razonando tu respuesta. ( puntos) a) Una palabra palíndroma es la que se lee del mismo modo de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. Por ejemplo, ERRE es palíndroma. Razona y calcula cuántas palabras palíndromas de cuatro letras se pueden formar usando las letras A, E, I, B, D y R aunque no tengan significado. b) Razona y calcula de cuántas maneras distintas pueden elegirse a cinco personas en un equipo de 0 jugadoras. c) Razona y calcula de cuántas palabras diferentes, aún sin significado, se pueden formar usando todas las letras de ADACADABRA. Solución. a) Una palabra palíndroma es la que se lee del mismo modo de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. Por ejemplo, ERRE es palíndroma. Razona y calcula cuántas palabras palíndromas de cuatro letras se pueden formar usando las letras A, E, I, B, D y R aunque no tengan significado. Solución. Observamos varios ejemplos de estas palabras palíndromas que nos piden. Mediante ellos nos damos cuenta de que, A B B A E R R E I I I I El casillero para contarlos se puede reducir a DOS columnas (las dos de la izquierda). Importa el orden. Puede haber repetición. El número de posiciones nº de elementos. Por tanto, para contarlos podemos usar la técnica de variación con repetición de 6 elementos (los números) tomados de en. VR 6, = 6 = 6 Conclusión: Hay 6 posibles palabras palíndromas con A, E, I, B, D y R.

3 b) Razona y calcula de cuántas maneras distintas pueden elegirse a cinco personas en un equipo de 0 jugadoras. Si las jugadoras son A, B, C, ejemplos y falsos ejemplos de posibilidades son, A B C D E C B D E A A A A A A Estas dos posibilidades son iguales Esta posibilidad no puede ser Mediante ellos nos damos cuenta de que, El casillero para contarlos tiene CINCO columnas. NO importa el orden (ABCD Ees lo mismo que DBCEA por ejemplo). NO puede haber repetición (No puede sacar ABABA porque no son cinco personas sino dos) El número de posiciones nº de elementos. Por tanto, para contarlos podemos usar la técnica de COMBINACIÓN ORDINARIA de elementos (las jugadoras) tomados de en. C, = ( 0 ) = 0!! (0 )! = 0! 0 8 6! =!!! = 7 6 = Conclusión: Se podrán elegir de maneras diferentes = = c) Razona y calcula de cuántas palabras diferentes, aún sin significado, se pueden formar usando todas las letras de ADACADABRA. Ejemplos de palabras son, A D A C A D A B R A A A A A A D D B C R A A R D B R D A A A Mediante ellos nos damos cuenta de que, El casillero para contarlos tiene diez columnas. Importa el orden Hay repetición selectiva (Cinco A y dos D) El número de posiciones = nº de elementos.

4 Por tanto, para contarlos podemos usar la técnica de PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN de 0 elementos con y repeticiones. PR, 0 = 0! ! = = = 0!!!! Conclusión: hay 0 palabras diferentes que se pueden formar con exactamente las mismas letras que la palabra ADACADABRA.. Opera de modo exacto pasando primeramente a fracción y expresando la solución final en notación decimal, ( puntos) ( 6 ) = Solución. Pasamos a fracción cada uno de los cuatro números decimales: ( 6 ) = ( 6 ) ( ) = 0 ( ) ( 0 ) = En el caso de la primera fracción simplificamos y en el paréntesis restamos y simplificamos: ( 7 ) ( ) = ( 7 ) ( 66 0 ) = ( 7 ) ( ) = Multiplicamos en doble cruz y simplificamos, 7 = 7 = 7 = 6 Se trata de un decimal periódico mixto.. Representa, da la expresión algebraica y el intervalo/semirrecta de las siguientes operaciones con conjuntos numéricos en R, ( puntos) a) A =R (, ] b) B = (, ] (, + ) c) E + (, ) E - (, ) Solución a) A = R (, ] Su representación gráfica es,

5 Por tanto, su descripción mediante intervalos o semirrectas es, Su expresión algebraica es, (, ] ( +, + ) { x R / x } { x R / < x } b) B = (, ] (, + ) Su representación gráfica es, Por tanto, su descripción mediante intervalos o semirrectas es, Su expresión algebraica es, (, + ] { x R / < x + } c) E + (, ) E - (, ) Su representación gráfica es, Por tanto, su descripción mediante intervalos o semirrectas es, (, ) Su expresión algebraica es, { x R / < x < + }

6 . Representa y escribe mediante intervalos o semirrectas los siguientes conjuntos de números: ( punto) a) { x R / x + < } b) { x R / x } Intervalo Intervalos Representación gráfica a) { x R / x + < } (, ) b) { x R / x } (, ] [6, + ) 6. Contesta a las siguientes cuestiones: a) Cuáles son las dos características básicas del desarrollo decimal de un número irracional? Construye un ejemplo de número irracional. (0 puntos) b) Determina todos los conjuntos numéricos (N, Z, Q, I, R) a los que pertenecen estos valores. (0 puntos) Solución. π π ( ) a) Cuáles son las dos características básicas del desarrollo decimal de un número irracional? Construye un ejemplo de número irracional. (0 puntos) - Su desarrollo decimal es infinito - No presenta periodo. Un ejemplo podría ser: b) Determina todos los conjuntos numéricos (N, Z, Q, I, R) a los que pertenecen estos valores. (0 puntos) Solución. π π ( ) π π ( ) Valor decimal N Z Q I R X X X X X X No existe X X 6

7 7. Dado el valor 78, contesta a las siguientes cuestiones: a) Determina la colección de intervalos encajados de 78 b) Cuál es la aproximación por defecto a las centésimas de 78 hasta las milésimas. (0 puntos)? (0 puntos) c) Cuál es la aproximación por exceso a las milésimas de 78? (0 puntos) d) Cuál es el redondeo a las décimas de 78? (0 puntos) Solución. a) Determina la colección de intervalos encajados de 78 hasta las milésimas. (0 puntos) Primero aproximamos la parte entera, buscando un número entero que elevado al cubo se quede lo más cerca posible (por exceso y defecto) de 78 mediante las siguientes operaciones: = 6 < 78 = > 78 Por lo tanto, el primer intervalo encajado es (, ) Aproximamos ahora a las décimas, buscando un número entre y con sólo décimas que elevado al cubo se quede lo más cerca posible (por exceso y defecto) de 78 mediante las siguientes operaciones: = < 78 = 7 07 > 78 Por lo tanto, el segundo intervalo encajado es (, ) Aproximamos ahora a las centésimas, buscando un número entre y con sólo hasta las centésimas que elevado al cubo se quede lo más cerca posible (por exceso y defecto) de 78 mediante las siguientes operaciones: 7 = < 78 8 = > 78 Por lo tanto, el tercer intervalo encajado es ( 7, 8) Aproximamos ahora a las milésimas, buscando un número entre y con sólo hasta las milésimas que elevado al cubo se quede lo más cerca posible (por exceso y defecto) de 78 mediante las siguientes operaciones: 7 = < 78 7 = > 78 Por lo tanto, el tercer intervalo encajado es ( 7, 7) 7

8 b) Cuál es la aproximación por defecto a las centésimas de 78? (0 puntos) La aproximación por defecto es 7. c) Cuál es la aproximación por exceso a las milésimas de 78? (0 puntos) La aproximación por defecto es 7. d) Cuál es el redondeo a las décimas de 78? (0 puntos) El redondeo a las décimas es. 8. La fracción 8/ se utiliza, a veces, para aproximar al número de oro φ. Calcula qué error absoluto y relativo se está cometiendo con dicho aproximación. (0 puntos) Solución. El redondeo a las centésimas de 8/ es, 8 = 6 El error absoluto y la menor cota de error a las milésimas será: E absoluto = Valor real Valor aproximado = φ 8 = + 8 = = Por lo tanto, el error absoluto es E absoluto = El error relativo y la menor cota de error a las milésimas será: E relativo = E absoluto = 00 = Valor real φ = % Por lo tanto, el error relativo es E relativo = % 8

9 . Escribe TODAS las soluciones, si existen, de los siguientes radicales explicando por qué: ( punto) a) 7 b) ( 6) / c) ( ) 6 d) ( 6 ) Solución a) 7 = porque ( ) = 7 b) ( 6) / = 6 no existe porque (+ ) 6 y ( ) 6 c) ( ) = ( ) = = + porque = + 6 d) ( 6 ) = 6 6 = ± porque (+ ) = 6 6 y ( ) = Simplifica las siguientes expresiones al máximo: (0 7 puntos) Solución a) 0 x 6 b) 0 a) x 6 0 = x 6 = x = x b) =) = ( ) =