Taller de Programación Dinámica. Definiciones. Caso base. Laboratorio de Algoritmos y Estructuras de Datos III. 10 de Septiembre de 2010

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1 Menú del día Taller de 1 Definiciones Laboratorio de Algoritmos y Estructuras de Datos III Departamento de Computación Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 10 de Septiembre de Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Deiniciones Definiciones Caso base Definiciones Problema recursivo Un problema recursivo es un problema que se puede resolver en base a instancias más chicas del mismo problema. Problema Un problema define un valor buscado (valor de verdad, valor óptimo, etc) en base a ciertos parámetros genéricos (variables de entrada del problema). Instancia de un problema Una instancia de un problema es un problema para el cual se determinaron las variables de entrada. Nota: una instancia de un problema tiene un resultado determinado. Pregunta: Si cada instancia se resuelve en base a una o más instancia más chicas cuando termina? El problema se termina de caluclar cuando se llega al caso base, que es una instancia trivial que se responde inmediatamente sin resolver otros subproblemas. Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26

2 Definiciones Ejemplos Calcular el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci. Calcular el n-ésimo término de cualquier sucección recursiva lineal. Ordenar un arreglo de n números. Calcular el camino mínimo entre dos nodos de un grafo. Calcular la distancia de edición entre dos palabras Determinar cuántas letras se deben agregar como mínimo a una palabra para que sea un paĺındromo. Nota: Un problema recursivo no necesariamente se implementa con una función recursiva. es una técnica de resolución de problemas. En D&C la resolción de un problema se separa en dos partes: Divide: Partir el problema en uno o más sub-problemas más peque nos. Conquer o combine: Resolver los sub-problemas y volver a juntarlos para obtener la solución del problema original. Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Ejemplo - Ordenar un arreglo Ejemplo - Quicksort Algorithm 2.1: quicksort(array v) Dos algoritmos distintos de para ordenar: Quicksort Mergesort La estrategia es: 1 partir el arreglo en dos partes 2 ordenar cada parte usando el propio algoritmo 3 combimar las partes ordenadas. if v.size() <= 1 then return pivot v 0 vlow {v i v i < pivot} veq {v i v i = pivot} vhigh {v i v i > pivot} return (quicksort(vlow) + veq + quicksort(vhigh)) Divide: Divide el arreglo en los menores que el pivote y los mayores que el pivote. Combine: Ordena los menores por un lado, los mayores por otro lado y combina trivialmente. Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26

3 Ejemplo - Mergesort Algorithm 2.2: mergesort(array v) if v.size() <= 1 then return mid v.size()/2 vfirst {v i i [0..mid)} vsecnd {v i i [mid..v.size())} return (merge(mergesort(vfirst), mergesort(vsecnd))) es una técnica de resolución de problemas. Se utiliza para resolver problemas recursivos. IMPORTANTE Programación dinámica es sumamente útil cuando los sub-problemas comparten sub-sub-problemas entre sí. Divide: Parte el arreglo a la mitad. Combine: Ordena cada midad y hace el merge ordenado. Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Ejemplo - Fibonacci Ejemplo - Fibonacci Calcular los términos de la sucesión de Fibonacci puede verse como un problema de programación dinámica. F (n) = F (n 1) + F (n 2) Si lo planteamos como un problema de : para resolver F (6), hay sub-problemas involucrados en resolver F (5) que también servirán para resolver F (4). Nota: Los sub-problemas comparten sub-sub-problemas entre sí. F(5) = F(4) + F(3) F(4) = F(3) + F(2) F(3) = F(2) + F(1) F(2) = F(1) + F(0) F(2) = F(1) + F(0) F(3) = F(2) + F(1) F(2) = F(1) + F(0) Para calcular F (n), se llama a la función F (0) una cantidad igual a F (n) veces. Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26

4 Principio de optimalidad Principio de optimalidad Principio de optimalidad El principio de optimalidad dice dado un problema P, si S es solución de P, entonces un subproblema subp de P tiene como (alguna) solución la sub-solución subs asociada a S. Consideremos el problema de camino mínimo en un grafo. Ejemplo: P = Cuál es el camino mínimo desde u hasta v? S = La solución: u = x 1, x 2,..., x k 1, x k = v con k mínimo. subproblema de subp = El camino mínimo desde u hasta x j? subsolución subs = La solución: u = x 1, x 2,..., x j 1, x j. Contrarecíproco del principio de optimalidad Si la sub-solución subs asociada a S NO es solución del subproblema subp, entonces S NO es solución del problema P....o bien... Contrarecíproco del principio de optimalidad Toda solución S del problema P se puede construir como extensión de alguna solución subs del problema subp. Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Ejemplo: Paĺındromos Ejemplo (de nuevo con camino mínimo): P = Cuál es el camino mínimo desde u hasta v? S = La solución: u = x 1, x 2,..., x k 1, x k = v con k mínimo. subproblema de subp = El camino mínimo desde u hasta x j? subsolución subs = La solución: u = x 1, x 2,..., x j 1, x j. Si subs no es óptimo, porque existe un camino u = y 1, y 2,..., y l = x j mejor, entonces S = (u = y 1 ), y 2,..., (y l = x j ), x j+1,..., (x k = v) es una mejor solución que S del problema P. Dado un string S, determinar el máximo largo de un paĺındromo que se pueda obtener borrando caracteres del string dado. Un paĺındromo es un string que es igual a su reverso, como sometemos, seres o neuquen. Ejemplo: amapola aoa amapola apa ababbba ababa ababbba abbbba Equivalentemente, se desea minimizar la cantidad de caracteres borrados del string original. Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26

5 Implementación Se debe implementar una función que dada una cadena de caracteres de longitud n, devuelva un entero con la cantidad máxima de caracteres que puede tener un paĺındromo que sea subsecuencia de la cadena de caracteres dada. int palindromo(const string& s) { int n = s.size();... return...; } Este problema está disponible en: UVA Longest Palindrome - org/index.php?option=com_onlinejudge&itemid=8&category= 23&page=show_problem&problem=2092 Subproblemas Pensemos en los subproblemas: Sea S = s 1 s 2 s 3 s 4 s n 1 s n Si s 1 = s n, S es paĺındromo si s 2 s n 1 es paĺındromo. axyza XYZ Si s 1 s 2 s n 1 es paĺındromo puedo borrar el caracter final y obtener un paĺındromo. S = axyzb: axyz. Si s 2 s 3 s n es paĺındromo puedo borrar el caracter inicial y obtener un paĺındromo. S = axyzb: XYZb. Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Algoritmo Importante Planteamos 3 casos recursivos y 1 caso base. palindromo(s) = res: Si n 1, S es paĺındromo, entonces res = n. Si no (caso recursivo): Si s 1 = s n, considerar res = palindromo(s 2 s n 1 ) + 2 Considerar res = palindromo(s 1 s n 1 ) Considerar res = palindromo(s 2 s n ) Devolver el máximo de los res considerados. Para usar estas técnicas Hay que definir el problema como un problema recursivo. Hay que separar qué parámetros son globales a todos los sub-problemas. No necesariamente el resultado es una función que llena una tabla. Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26

6 llenando tablas Para responder esta pregunta enviamos al Fede a Australia a investigar... es siempre es llenar una tabla? Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26...y un canguro, que es un animal recursivo, le dijo: S es global. i, j, los índices del intervalo son locales. Algorithm 3.1: Palindromo(int i, int j) también se puede implementar con una función recursiva memorizada if j i 1 then return (j i) res 0 if s i = s j 1 then res max(res, Palindromo(i + 1, j 1) + 2) res max(res, Palindromo(i, j 1)) res max(res, Palindromo(i + 1, j)) return (res) Solución: Palindromo(0, length(s)) Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26

7 de hoy Algorithm 3.2: Palindromo(int i, int j) if memoria [i] [j] NO CALCULADO then return (memoria [i] [j]) if j i 1 then return (j i) res 0 if s i = s j 1 then res max(res, Palindromo(i + 1, j 1) + 2) res max(res, Palindromo(i, j 1)) res max(res, Palindromo(i + 1, j)) memoria [i] [j] res return (res) ACM-ICPC UVA Candy - problem.php?p=4212 UVA Longest Palindrome - org/index.php?option=com_onlinejudge&itemid=8&category= 23&page=show_problem&problem=2092 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26 Labo de Algo III (Sabi) Taller de 10 de Septiembre de / 26