Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotación

Transcripción

1 Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotación 29 de octubre de 2010

2 1 Formulación del problema Maximización de la producción Minimización de los tiempos finales 2 Simulando un circuito con dos frentes El caso ideal Un caso más real Circuito minero con un refugio 3 Monotonía de la función T f Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Qué vehículo debe salir primero? 4 Simulación usando Monte Carlo Un método que utiliza una interpolación Resultados

3 Maximización de la producción Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotación 1 Formulación del problema Maximización de la producción Minimización de los tiempos finales 2 Simulando un circuito con dos frentes El caso ideal Un caso más real Circuito minero con un refugio 3 Monotonía de la función T f Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Qué vehículo debe salir primero? 4 Simulación usando Monte Carlo Un método que utiliza una interpolación Resultados

4 Maximización de la producción Sean n 1 y n 2 el número de vueltas que realizan respectivamente los vehículos 1 y 2 en una jornada de t horas. Para cada i J = {1, 2} definamos Mi k como la cantidad de mineral transportada por el vehículo i J en la vuelta k {1,, n i }. Entonces nuestro problema será {( n1 ) } n 2 máx M1 k + : T (1, n 1 ), T (2, n 2 ) t, (1) k=1 k=1 M k 2 donde T (i, n i ) es el tiempo de duración de las n i vueltas que realiza el vehículo i J. Debido a que no se puede conocer con exactitud los valores de M k i, entonces podemos trabajar con valores promedios. Si M i es la capacidad de carga promedio (en tonelaje) del vehículo i J, entonces debemos resolver el siguiente problema máx {n 1 M 1 + n 2 M 2 : T (1, n 1 ), T (2, n 2 ) t}. (2)

5 Maximización de la producción Cómo hallar n 1 y n 2? Para determinar n 1 y n 2 tenemos que: 1 Simular los tiempos realizados en cada tramo. 2 Calcular expĺıcitamente los tiempos de espera (tiempo muerto). 3 Simular el circuito asumiendo que los vehículos realizan un número (máximo) de vueltas.

8 Minimización de los tiempos finales Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotación 1 Formulación del problema Maximización de la producción Minimización de los tiempos finales 2 Simulando un circuito con dos frentes El caso ideal Un caso más real Circuito minero con un refugio 3 Monotonía de la función T f Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Qué vehículo debe salir primero? 4 Simulación usando Monte Carlo Un método que utiliza una interpolación Resultados

9 Minimización de los tiempos finales Minimización de los tiempos finales Es por ello que estudiaremos el problema de minimización de los tiempos finales realizados por los vehículos que transportan el mineral fijado el número de vueltas (N 1 y N 2 ): mín (T f )(t), (3) t R + donde (T f ) : R + R + se define como (T f )(t) = mín (T f ) i (t) y i {1,2} (T f ) i (t) es el tiempo en el que se concluye el circuito cuando el vehículo i sale primero (el primero en iniciar la jornada) y t segundos (u otra unidad de tiempo) después sale el otro vehículo (el cual es el segundo en iniciar la jornada), en donde R + = [0, + ).

10 El tipo de mina subterránea que modelaremos será aquel que consta de dos frentes de explotación y un echadero en el mismo nivel. Simularemos un circuito tal que N 1 y N 2 serán el número de vueltas que realizarán los vehículos 1 y 2 para cada vehículo respectivamente. Desde luego, se debe cumplir: N 1 n 1 y N 2 n 2. Figura: Trayectoria del echadero a los frentes

11 El caso ideal Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotación 1 Formulación del problema Maximización de la producción Minimización de los tiempos finales 2 Simulando un circuito con dos frentes El caso ideal Un caso más real Circuito minero con un refugio 3 Monotonía de la función T f Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Qué vehículo debe salir primero? 4 Simulación usando Monte Carlo Un método que utiliza una interpolación Resultados

12 El caso ideal Estudiando un modelo ideal Asumiremos las siguientes condiciones ideales: 1 Tiempo de carga (extracción) y de descarga igual a cero. 2 Velocidades (v 1 y v 2 ) de los vehículos constante. 3 No se pueden intersectar en el tramo que une el punto de separación y el echadero. Figura: Modelo ideal de una mina con dos frentes.

13 El caso ideal Determinación de las funciones (T f ) i Asociado a cada i J = {1, 2} definamos la función (T total ) i : J R + R +, donde (T total ) i (j, t) es el tiempo total realizado por el vehículo i, (esto es, al culminar las vuelta N 1 y N 2 respectivamente) cuando el vehículo j J sale primero y el otro vehículo sale t segundos después. Entonces (T f ) j = máx i J (T total) i (j, ) (4) Para cada i J y k {1,, N i } definamos la función (T e ) k i : J R + R +, donde (T e ) k i (j, t) es el tiempo de espera del vehículo i en la k-ésima vuelta, cuando el vehículo j J sale primero y el otro vehículo sale t segundos después. Luego: N i (T total ) i (j, t) = N i T i + (T e ) k i (j, t). (5) k=1

14 El caso ideal ( L + Li donde T i = 2 v i ). Ahora, qué vehículo debe ingresar primero al tramo T si ambos vehículos se encuentran en el punto de separación dirigiéndose al echadero?. Responderemos esta pregunta asumiendo, sin pérdida de generalidad, que T 1 T 2. Diremos que el caso 1 es cuando el vehículo 1 espera en el tramo T, mientras que el caso 2 es cuando el vehículo 2 espera en el tramo T.

15 El caso ideal Implementando un programa con los siguientes valores: L 1 = 125 m, L 2 = 100 m, L = 20 m, v 1 = v 2 = 2 m/s y N 1 = N 2 = 20, se obtiene los siguientes tiempos finales:

16 El caso ideal Ahora mostraremos los tiempos finales de un circuito con las características del circuito anterior pero con la diferencia de que L 1 = 140 metros.

17 Un caso más real Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotación 1 Formulación del problema Maximización de la producción Minimización de los tiempos finales 2 Simulando un circuito con dos frentes El caso ideal Un caso más real Circuito minero con un refugio 3 Monotonía de la función T f Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Qué vehículo debe salir primero? 4 Simulación usando Monte Carlo Un método que utiliza una interpolación Resultados

18 Un caso más real Un modelo ideal más real El siguiente paso es incluir los tiempos de carga y descarga y considerar velocidades distintas (de ida y vuelta). Debido a que en la realidad los tiempos realizados no son constantes, entonces generaremos tiempos alrededor de los tiempos promedios. Al final de esta presentación utilizaremos el método de Monte Carlo para simular el circuito utilizando datos reales.

19 Circuito minero con un refugio Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotación 1 Formulación del problema Maximización de la producción Minimización de los tiempos finales 2 Simulando un circuito con dos frentes El caso ideal Un caso más real Circuito minero con un refugio 3 Monotonía de la función T f Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Qué vehículo debe salir primero? 4 Simulación usando Monte Carlo Un método que utiliza una interpolación Resultados

20 Circuito minero con un refugio Circuito minero con un refugio Una alternativa para reducir los tiempos finales es incluyendo un refugio en el tramo T. El tramo D 1 tiene una longitud de L d y el tramo D 2 tiene una longitud de L L d.

21 Circuito minero con un refugio En la siguiente figura se ha considerado T 1 = 276,67 s y T 2 = 230 s L = 20 m y N 1 = N 2 = 20. Los tiempos de carga y descarga son 60 s y 30 s respectivamente para ambos vehículos.

22 Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotación 1 Formulación del problema Maximización de la producción Minimización de los tiempos finales 2 Simulando un circuito con dos frentes El caso ideal Un caso más real Circuito minero con un refugio 3 Monotonía de la función T f Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Qué vehículo debe salir primero? 4 Simulación usando Monte Carlo Un método que utiliza una interpolación Resultados

23 Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? Estudiaremos la monotonía de las funciones (T f ) 1 y (T f ) 2 en una vecindad de t = 0 s para el caso 2, considerando v 1 = v 2, N 1 = N 2 y L 1 L 2.

24 Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? Por suerte en muchas ocasiones se obtiene que los tiempos finales coinciden para los casos 1 y 2.

25 (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotación 1 Formulación del problema Maximización de la producción Minimización de los tiempos finales 2 Simulando un circuito con dos frentes El caso ideal Un caso más real Circuito minero con un refugio 3 Monotonía de la función T f Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Qué vehículo debe salir primero? 4 Simulación usando Monte Carlo Un método que utiliza una interpolación Resultados

26 (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Definamos para cada i {1, 2} y k {1,, N}, (T f ) k i (t) : R + R + como el máximo de los tiempos realizados por los vehículos 1 y 2 al concluir la k-ésima vuelta, en donde el vehículo i sale primero y t segundos después sale el otro vehículo. Por definición: (T f ) N 1 = (T f ) 1 y (T f ) N 2 = (T f ) 2. Proposición Sea un circuito minero con dos frentes de explotación y un echadero, tal que ambos vehículos tienen velocidad constante v y deben recorrer el mismo número de vueltas (N).[ Si L 1 L 2, entonces (T f ) k 2 es monótona no decreciente en 0, 2(L ] 2 + L) [ (T f ) k 1 es monótona no decreciente en 0, 2(L 1 L 2 ) v k {1,, N}. y ) v, para todo

27 (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Verifiquemos la proposición anterior: 2(L 2 + L) = 120 s (2 min) y 2(L 1 L 2 ) v v = 25 s (0.417 min)

28 Qué vehículo debe salir primero? Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotación 1 Formulación del problema Maximización de la producción Minimización de los tiempos finales 2 Simulando un circuito con dos frentes El caso ideal Un caso más real Circuito minero con un refugio 3 Monotonía de la función T f Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Qué vehículo debe salir primero? 4 Simulación usando Monte Carlo Un método que utiliza una interpolación Resultados

29 Qué vehículo debe salir primero? Supongamos que L 1 L 2 L 2 + L. Por la monotonía obtenida, podemos afirmar que (T f )(0) = mín [ t 0, 2(L 1 L 2 ) v )(T f )(t), donde (T f )(t) = mín (T f ) i (t) es también no decreciente en [ ) i J 0, 2(L 1 L 2 ) v. En consecuencia, nos basta saber para que valores τ R + tendremos que (T f )(τ) = (T f )(0). Lamentablemente, no podemos afirmar que exista τ 0 2(L 1 L 2 ) tal que (T f )(τ 0 ) = mín t R + (T f )(t), debido a que el comportamiento de (T f ) es inestable. v

30 Qué vehículo debe salir primero? En las simulaciones realizadas obtuvimos (T f ) = (T f ) 1 en una vecindad de t = 0 s, lo cual implica que el vehículo 1 debe iniciar el circuito. Dado ε > 0, un problema interesante a resolver es hallar τ tal que (T f )(t) [(T f )(0) ε, (T f )(0) + ε], t [0, τ]. Al conocer τ obtenemos que para cada t [0, τ]: (T f ) ( t ) mín t R + (T f )(t). En la siguiente figura se ha generado aleatoriamente los tiempos realizados en cada tramo del circuito considerando T 1 = 276,67 s y T 2 = 230 s.

31 Qué vehículo debe salir primero? Si ε =1.5 minutos, entonces τ 14 minutos. De modo que, nuestra simulación sea más real, generaremos tiempos aleatorios teniendo en cuenta que hay una muestra de datos.

32 Si tenemos los tiempos x 0 < x 1 < < x n, entonces con el método de la transformada inversa no podemos generar ningún elemento χ en el intervalo ]x k 1, x k [, para todo k {1,, n} pues los valores posibles para χ son solamente los x k. Figura: Generando la variable aleatoria discreta y uniforme X U

33 Un método que utiliza una interpolación Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotación 1 Formulación del problema Maximización de la producción Minimización de los tiempos finales 2 Simulando un circuito con dos frentes El caso ideal Un caso más real Circuito minero con un refugio 3 Monotonía de la función T f Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Qué vehículo debe salir primero? 4 Simulación usando Monte Carlo Un método que utiliza una interpolación Resultados

34 Un método que utiliza una interpolación Lo ideal es generar un valor X U ]x k 1, x k [. Proponemos realizar una interpolación con los pares ordenados (1/n, x 1 ), (2/n, x 2 ),, (1, x n ). Es decir, hallar una función interpolante f y al generar U ]0, 1[ tendremos que f (U) = X U.

35 Un método que utiliza una interpolación Regresando al problema de maximización de la producción Veamos primero una forma de hallar los valores de N 1 y N 2 tal que N 1 n 1 y N 2 n 2. Para cada i J = {1, 2} denotemos T i como el tiempo promedio en que el vehículo i da una vuelta. Pero [ t/t i ] + 1 n i [ (t (T e ) i )/T i ] + 1?, donde (T e ) i es el tiempo de espera realizado por el vehículo i y t es la duración de la jornada. Sea Tmin i es el menor tiempo posible en el que el vehículo i J realiza una vuelta, entonces el valor de N i que reemplazaremos en la ecuación (2) es N i = [ t/t i min ] + 1 para cada i J. (6)

36 Resultados Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotación 1 Formulación del problema Maximización de la producción Minimización de los tiempos finales 2 Simulando un circuito con dos frentes El caso ideal Un caso más real Circuito minero con un refugio 3 Monotonía de la función T f Por qué estudiar la monotonía de (T f ) i? (T f ) 1 y (T f ) 2 son monótonas no decrecientes Qué vehículo debe salir primero? 4 Simulación usando Monte Carlo Un método que utiliza una interpolación Resultados

37 Resultados Maximizando la producción Los tiempos que hemos considerado como datos son recopilados de la Unidad Minera El Porvenir. Los vehículos que transportan el mineral son scoops cuya capacidad de carga es de 10 toneladas.

38 Resultados En esta figura se considera una jornada de t = 180 minutos y los valores de los tiempos mínimos realizados son T 1 min = 183,01 s y T 1 min = 216,17 s. Luego, por la ecuación (6) tenemos que N 1 = 60 y N 2 = 50. Se observa que la máxima produción (930 Tn, donde n 1 = 50 y n 2 = 43) se obtiene cuando el scoop 1 inicia el circuito y después de 15 minutos sale el scoop 2.

39 Resultados Circuito minero con 4 frentes Supongamos que en el circuito mostrado anteriormente se explota diaramente dos de los cuatro frentes de explotación. Si el primer día se extrae mineral de los frentes 1 y 2, y en el segundo día se extrae de los frentes 3 y 4, entonces a partir del tercer día se puede simular todos los casos posibles. Esto es, se puede predecir el comportamiento del transporte al trabajar los frentes: 1 y 3, 1 y 4, 2 y 3, 2 y 4. De este modo podemos conocer la cantidad extraída a partir de la tercera jornada.

40 Resultados Considerando que el modelo es dinámico Denotemos tl k i al tiempo de ida promedio del vehículo i en el tramo T 1 en el día k {1,, N}, donde N es el número de días que se ha estado extrayendo del frente i. Veamos como simular el tiempo generado t N+1 L i ; para ello denotemos L k i como la longitud del tramo T 1 el día k {1,, N}. Tendremos los pares ordenados (L i 1, t 1 L i ),, (L i N, t N L i ) y la longitud L i N+1 como datos y mediante una extrapolación podremos obtener t N+1 L i.