La estructura y cinemática de la Vía Láctea

Transcripción

1 La estructura y cinemática de la Vía Láctea Estructura de la Vía Láctea La imagen que sigue presenta la vista que tenemos de la Vía Láctea en la banda del óptico. Esta ha sido nuestra visión de nuestra galaxia hasta fechas recientes. Las primeras imágenes completas de la Vía Láctea en el infrarrojo se obtuvieron apenas en los años 1980s, iniciando con el satélite IRAS. Desde entonces, varios proyectos han entregado mapas completos del cielo en el infrarrojo, con cada vez más detalle. Las imágenes en el infrarrojo, particularmente en el infrarrojo cercano, son esenciales, porque la gran mayoría de las estrellas de la galaxia son débiles y fríos así que se ven con mejor contraste en el infrarrojo cercano. En el óptico, una pequeña fracción de estrellas dominan la luz emitida y esta luz es fuertemente extinguida por el polvo. En el infrarrojo mediano y lejano, así como en el radio, el medio interestelar domina. Entonces, es solamente en el infrarrojo cercano donde optimizamos nuestra visión de las estrellas más comunes en la Vía Láctea. La imagen que sigue es la imagen compuesta en el infrarrojo cercano de la luz difusa resultante del satélite COBE.

2 En el infrarrojo, se ve mucho más claramente que la Vía Láctea está compuesta principalmente de un disco con una aglomeración central de estrellas. El disco Contiene gas y estrellas. Se infiere (porque no es factible observarlo directamente) que el disco tiene una distribución de luz que cae exponencialmente con el radio, como observamos en otras galaxias I (r ) = I 0 exp(r r0 ) donde r0 es la escala de brillo del disco. Según distintos análisis, la escala de brillo del disco es del orden de 2.5 a 3.0 kpc.! El bulbo Los estudios clásicos encontraron que el bulbo tiene una escala exponencial del orden de 400 pc. También encontraron que no es esférico, sino aplastado con una excentricidad de aproximadamente 0.3. Clásicamente, se considera que el bulbo está compuesto únicamente de estrellas. Este concepto está influida por la visión clásica de las galaxias elípticas, a las cuales los bulbos de galaxias espirales se parecen. En la práctica, el centro de una galaxia espiral es complicado, porque se trata de al menos la combinación de un esferoide de estrellas y un disco de gas y estrellas. Nuestra Vía Láctea no es distinta en este sentido. En el caso de la

3 Vía Láctea, ahora conocemos que también hay una barra estelar, un cúmulo nuclear y un disco central. Desafortunadamente, nuestro punto de vista, desde radios intermedios del disco, no es nada óptimo para desenmarañar todas estas estructuras y entender fácilmente las relaciones entre ellas. El halo El halo es una estructura difusa que se conoce desde los estudios de los cúmulos globulares por Shapley. Su extensión es de kpc, aunque la mayoría de su masa está se encuentra interior a la órbita del Sol. Su masa representa del orden de 10-4 de la masa total de la Vía Láctea. Hoy en día, parece claro que el halo no es una extensión del Bulbo, sino una estructura diferente. La barra Los primeros indicios de que hubiera una barra en el Bulbo vinieron de los perfiles de brillo de superficie de las imágenes de COBE, que se ven a continuación. La gráfica anterior demuestra que los contornos de brillo son algo asimétricas con respecto al centro de la galaxia. Si se hace el cociente de brillos, dividiendo el brillo en (l, b) por el brillo en (-l, -b), se obtiene el patrón que sigue, que, efectivamente, indica que existe una asimetría clara de un exceso de luz en longitudes galácticas positivas.

4 Podemos entender porque sucede este patrón si estamos viendo una barra con la geometría que indica la siguiente gráfica. Las dos líneas indican longitudes de onda galácticas iguales, pero de signo distinto. La línea de vista a longitudes galácticas positivas (la de abajo) pasa más cercano al centro de la barra (aunque a distancia igual del centro de la galaxia) que la línea de vista a longitudes galácticas negativas. Sin embargo, esos estudios no fueron enteramente concluyentes dados que otras interpretaciones eran factibles. El mapeo del cielo norte por 2MASS produjo un catálogo fotométrico para cientos de miles de estrellas hacia el Bulbo. Para ciertas de estas estrellas, es factible asignar una luminosidad absoluta sin conocer su distancia. En este caso, dada una magnitud aparente, se deduce la distancia.

5 Las estrellas del red clump representan uno de estos casos. La gráfica anterior compara los diagramas HR de la vecindad solar y de un cúmulo globular (Figs. 3.5 y 6.2 en Galactic Astronomy, Binney & Merrifield). El red clump es lo que queda de la rama horizontal a alta metalicidad. Por lo tanto, estas estrellas tienen una magnitud absoluta bien definida, variaciones en la cual se traducen directamente a variaciones en distancia. La gráfica anterior presenta histogramas de la luminosidad de las estrellas del red clump en tres campos hacia el Bulbo: MM5 (l = -4.96º), BW (l ~ +1º) y MM7 (l ~ +5.5º) de Stanek et al. (1994, ApJL, 429, 73). Se ve un cambio claro de la magnitud con la longitud galáctica, lo cual indica que las estrellas están a distancias diferentes. Dado que son las estrellas en el campo a l = -4.96º que son las más débiles, son las más distantes. Notar que la magnitud utilizada es construida para no tener sensibilidad al enrojecimiento. También se ha trazado la barra utilizando estrellas de carbono (Cole & Weinberg 2002, ApJL, 574, 43).

6 La gráfica anterior presenta la región del diagrama HR del Bulbo donde se encuentran las estrellas de carbono. Estas estrellas siguen una relación bien definida en color y magnitud que tiene la virtud de estar paralelo al vector de enrojecimiento. Por lo tanto, se puede calcular la distancia de la magnitud aparente. La siguiente gráfica presenta los isocontornos de densidad de estrellas de carbono así catalogadas por 2MASS donde se ve claramente la estructura de la barra (Cole & Weinberg 2002).

7 El bulbo: edad, composición química, cinemática y estructura Las gráficas que siguen vienen de la reseña sobre el Bulbo de nuestra Vía Láctea por Minniti, D. & Zoccali, M. 2007, en Galactic Bulges, Proceedings of IAU Symp. 245, eds. M. Bureau, L. Athanassoula & B. Barbuy, en prensa, pero disponible en astro-ph: La composición química Este es un campo donde las cosas todavía no se han definiendo claramente, pero hay una explosión de resultados, así que la situación debería aclararse dentro de pocos años. Las estrellas del Bulbo tienen una metalicidad alta. En la gráfica que sigue, la mayoría son más enriquecidas que el Sol, por algo como 0.2 dex (+50%). Otras muestras más pequeñas (ver M. Rich y colaboradores) habían encontrado enriquecimientos menores, típicamente [Fe/H] ~ -0.2 dex. Dado que todos estos resultados son muy recientes, no es todavía claro si la diferencia es real (y resultado de las muestras distintas) o debido a diferencias en el análisis de los datos. Donde sí hay consenso entre los distintos grupos es con respecto a las abundancias detalladas, como [O/Fe] o [Mg/Fe]. En el Bulbo, los cocientes [O/Fe] y [Mg/Fe] son mayores al cociente solar, indicando que la producción de elementos fue dominado por supernovas tipo II (estrellas masivas)

8 Una consecuencia de esto es que el Bulbo tuvo que formarse rápidamente: Hierro es producto de todas las supernovas, principalmente tipos II y Ia (binarias, probablemente). El oxígeno y el magnesio son productos exclusivamente de supernovas tipo II. Dado que estrellas masivas viven poco tiempo y, en particular, menos tiempo que los progenitores de supernovas tipo Ia, cocientes como O/Fe inician altos y bajan a medida que supernovas tipo Ia contribuyen hierro. Entonces, si uno observa un cociente alto de O/Fe, la producción de elementos fue dominado por supernovas tipo II. La gráfica que sigue (Zoccali et al. 2006, A&A, 457, L1) presenta datos de dos grupos (VLT: Zoccali, Lecureur, Hill, etc.; Keck: Rich, Origlia, Fulbright, etc.). Que coinciden los datos probablemente indica que el grupo trabajando en el Keck sencillamente han elegido una muestra más restringida en sus propiedades que el grupo trabajando en el VLT. No obstante, el efecto de los análisis distintos no debe despreciarse.

9 Finalmente, la siguiente gráfica (Cunha et al. 2007, ApJ, 669, 1011) presenta abundancias derivadas de espectroscopia infrarroja (bandas H y K; todo lo anterior era basado en espectros ópticos).

10 Considerando todo, hay cierto desacuerdo entre la abundancia promedia obtenida por los diferentes grupos, pero los cocientes de abundancias coinciden. Lo anterior no es tan sorprendente dado que cada grupo analiza sus datos de manera distinta. Demuestra una lección útil: abundancias como [Fe/H] son frecuentemente más inciertas que cocientes como [O/Fe]. En este caso, grupos distintos no concuerden en [Fe/H], pero sí en [O/Fe]. No se ha encontrado gradientes de abundancias en el Bulbo. Finalmente, es importante señalar que todos los grupos encuentren estrellas con baja metallicidad. Existe una población importante de estrellas RR Lyrae

11 en la dirección del Bulbo, que son estrellas típicas de poblaciones viejas de baja metalicidad. No es claro si esta población de estrellas pertenece al Bulbo o es la parte interna del halo. La edad de las estrellas del Bulbo La gráfica siguiente presenta un diagrama HR profundo del Bulbo donde es posible ajustar una isocrona a la secuencia principal (Sahu et al. 2006, Nature, 443, 534). Del análisis de este diagrama HR, la gran mayoría de las estrellas son enriquecidas y viejas. Esta edad concuerda con la presencia de estrellas RR Lyr.

12 Antes de establecer la composición química de la mayoría de las estrellas del Bulbo (y con diagramas HR menos profundos), existía la duda de si la población estelar del Bulbo no pudiera ser joven y menos enriquecida. Cinemática El Bulbo rota. No rota tan rápidamente como el gas del disco (donde coinciden el gas del disco y las estrellas del Bulbo), pero no es factible medir las velocidades estelares en exactamente las mismas posiciones que se ve el gas (extinción lo impide). A diez grados del centro del Bulbo, la velocidad promedia de rotación es de ~70 km/s. La dispersión de velocidades crece hacia el centro y llega a valores de 120 km/s. La estructura Los estudios clásicos (Harmon & Gilmore 1988, MNRAS, 235, 1025; Kent, Dame, & Fazio 1991, ApJ, 378, 131) encontraron una forma oblata (un elipse con dos ejes largos y uno corto). En estos estudios, el eje menor (perpendicular al disco) tiene una escala exponencial de ~400 pc. Hoy en día, sabemos que estos estudios fueron afectados por la barra, que entonces se desconocía. Hoy en día, estudios de la estructura del Bulbo están basado en muestras enormes de estrellas individuales (p.ej., Picaud & Robin 2004, A&A, 428, 891; López-Corredoira et al. 2005, A&A, 439, 107). Usualmente, consideran solamente la parte más externa del Bulbo, donde influye menos la barra, y encuentran estructuras triaxiales cuyo eje menor (perpendicular al disco) es de aproximadamente el tamaño reportado por los estudios clásicos.

13 La barra Dada la dificultad de desenmarañar la barra del Bulbo, seguramente una buena parte de lo anterior (aparte de la estructura) incluye estrellas de la barra. Por lo pronto, no es evidente que si la barra es compuesta de estrellas con composiciones o edades distintas a las del Bulbo. En la resolución de la duda anterior, ayudaría conocer como comparan las composiciones y edades de las estrellas del disco interior y del Bulbo. González-Fernandez et al. (2008, A&A, 479, 131) argumentan que el disco interior y el Bulbo tienen composiciones distintas. La cinemática de estrellas cercanas al Sol El estándar local de reposo (LSR: Local Standard of Rest) Cuando discutimos distancias, comentamos que el movimiento del Sol podía usarse para derivar paralajes seculares y estadísticos. Podemos usar datos similares para derivar el movimiento del Sol con respecto a estrellas cercanas. Para eso, elegimos una muestra de estrellas parecidas y determinamos el movimiento del Sol con respecto a ellas. Cada muestra de estrellas entonces define un marco de referencia. Consideramos una estrella, k, de una de estas muestras. Su velocidad radial heliocéntrica será v los,k = x ˆ k " v r k # v! cos$ k donde x ˆ k es la dirección a la estrella, v r k su velocidad en el marco de referencia y ψ k es el ángulo entre x ˆ k y el vector de movimiento del Sol, como está definido en la siguiente gráfica (parte derecha). Si promediamos muchas velocidades/estrellas en una dirección dada, obtenemos v los " #v! cos$. Consideramos el problema como lo plantea la siguiente gráfica. El eje x apunta hacia el centro galáctico, el eje y en la dirección de rotación del disco y el eje z hacia el polo norte galáctico.

14 Como resultado de la tradición, los componentes de velocidades en los ejes x, y y z se indican como U, V y W. Si ahora, determinamos los componentes del movimiento del Sol con respecto a muestras de estrellas elegidas para tener un color dado, obtenemos Vemos que el movimiento del Sol en las direcciones x (hacia el centro) y z (perp. al plano) son independientes de la muestra de estrellas elegida (notar el error en el libro de texto), U! = v!x =10.0± 0.4 km/s W! = v!z = 7.2± 0.4 km/s pero que el movimiento deducido en el eje y depende de la muestra. Es notable que el movimiento solar en y es constante para colores más rojos de 0.61 mag. Si uno grafique V en función de S 2 = U 2 +V 2 +W 2 para cada muestra de estrellas, se obtiene los resultados presentados en la siguiente gráfica.

15 Dado que S refleja la dispersión de los movimientos de cada muestra de estrellas, extrapolando la relación en la gráfica anterior a S = 0, obtenemos el movimiento solar en el eje y con respecto a una población estelar (ficticia) rotando exactamente con el disco de la galaxia (una órbita circular con el radio actual del Sol). Esa población estelar ficticia se llama el estándar local de reposo (LSR: local standard of rest). Adoptando al marco de referencia definido por el LSR, obtenemos U! = v!x =10.0± 0.4 km/s V! = v!y W! = v!z = 5.2± 0.6 km/s = 7.2± 0.4 km/s Entonces, el Sol está acercándose al centro galáctico, adelantándose a las estrellas cercanas y saliendo del disco. Dado que el Sol está forzosamente orbitando el centro galáctico, podemos deducir que su órbita es realmente elíptica y que se dirige hacia su pericentro (mayor cercanía al centro galáctico). La deriva asimétrica (asymmetric drift) La relación de la Fig se conoce como la deriva asimétrica (asymmetric drift), que es la tendencia de la velocidad promedia de una población estelar de atrasarse con respecto al LSR a medida que aumente el movimiento aleatorio de esa población. El asymmetric drift para cualquier población estelar es la diferencia entre la coordenada y de la Fig y la intersección de la relación lineal pintada. Se presenta el asymmetric drift en función del color en la siguiente gráfica (cuadro inferior).

16 Si se calculan las dispersiones en cada eje, ( ) 2, " i = v i # v i encontramos que la dispersión aumenta para estrellas más rojas, hasta (B - V) ~ 0.6 mag y que " x > " y > " z independiente del color. O sea, la mayor dispersión es en la dirección radial. Tanto las dispersiones en velocidades como V se saturan para estrellas más rojas que (B - V) ~ 0.6 mag. Es posiblemente coincidencia, pero estrellas con estos colores son mayormente estrellas de la secuencia principal cuyas vidas son mayores a años ( mayor a la existencia del disco?). Estrellas de la secuencia principal más azules que este color son más jóvenes que el disco. El elipsoide de velocidades y la desviación del vértice Se puede también calcular correlaciones entre los componentes de velocidades, como son v x ( v y " v y ). Para los casos involucrando el componente z, el resultado es menor que las incertidumbres en las velocidades, así que es compatible con que no haya correlación.

17 Para muchos tipos de estrellas, el promedio de los productos involucrando solamente las velocidades en los ejes x y y, v x ( v y " v y ) > 0, lo cual implica que existe correlación entre estas velocidades. Dado esto, puede resultar conveniente definir ejes, combinaciones lineales de los ejes x y y, que son estadísticamente independientes, v 1 " v x cosl v # ( v y # v y )sinl v v 2 " v x sinl v # ( v y # v y )cosl v Multiplicando estas velocidades, encontramos v 1 v 2 = 1 2 " 2 2 ( #" x y )sin 2l v + v x v y # v y lo cual será cero (ninguna correlación) si ( ) l v = 1 $ 2 arctan 2 v v x y " v y 2 2 & % # x "# y ( ) cos2l v ' ) exigiendo que " > " 1 2 ( para definir el ángulo. Lo anterior es obviamente una rotación del sistema de coordenadas por el ángulo l v con respecto al eje x. La Fig presenta este rotación gráficamente. El elipse en la Fig es el elipsoide de velocidades. La longitud de los ejes es σ 1 y σ 2 y el ángulo l v se conoce como la desviación del vértice del elipsoide. Las siguientes dos tablas presentan la desviación del vértice para distintos tipos de estrellas.

18 Vemos que la desviación del vértice del elipsoide de velocidades no es significativo para estrellas tardías de la secuencia principal, pero que sí lo es para estrellas tempranas de la secuencia principal y para estados evolutivos avanzados. No existe una explicación completamente clara del origen de la desviación del vértice.

19 Suponiendo que las estrellas fueran distribuidas aleatoriamente en sus órbitas, esperaríamos no encontrar una desviación del vértice (el eje mayor del elipsoide de velocidades coincidiría con la dirección radial). Que esta situación existe para estrellas rojas (mayormente viejas) probablemente indica que estas estrellas han existido suficiente tiempo para que interacciones hayan podido distribuirlas de manera aleatoria. Para estrellas más jóvenes, es posible que movimientos sistemáticos sean el origen de la desviación del vértice. Se conoce que existen flujos estelares, como demuestra la Fig que sigue. La reproducción anterior no es maravillosa en comparación con la versión original, pero la morfología basta para comunicar que los movimientos no son aleatorios, salvo posiblemente en el último caso, para (B - V) > 0.6 mag. Es posible también que la desviación del vértice se debe a brazos espirales. Dado que su pasaje perturbarán velocidades, perturbarán más a las velocidades para las estrellas con las velocidades más bajas, las cuales son también las estrellas azules que muestran una desviación del vértice. Los constantes de Oort El disco de la Vía Láctea, como el de todos los espirales, rota de manera diferencial. Es decir, su parte interior rota como un cuerpo rígido, pero la parte exterior tiene una velocidad de rotación más o menos constante. Entonces, en la parte externa (la mayoría, R > 2 kpc), la velocidad angular no es constante (cuerpo rígido) como demuestra la siguiente figura.

20 (Las figuras con números 8.x son de la segunda edición, Galactic Astronomy, por Mihalas & Binney. A mi manera de ver, esta versión de la explicación es más intuitiva.) Por lo pronto, suponemos que todas las estrellas siguen órbitas circulares. Por lo tanto, en direcciones l = 0 y l = 180, las velocidades radiales serán cero. También, observaríamos velocidades radiales de cero para estrellas cercanas en las direcciones l = 90 y l = 270 porque estarían en la misma órbita que el Sol. Por otra parte, en las direcciones hacia el centro de la galaxia, 0 < l < 90 y 270 < l < 360, las estrellas tendrán velocidades angulares mayores a la del Sol y se verán alejándose y acercándose, respectivamente. Lo opuesto sucede en los cuadrantes 90 < l < 180 y 180 < l < 270 donde las velocidades angulares son menores y tendrán entonces velocidades radiales heliocéntricas negativas y positivas, respectivamente. Dado lo anterior, esperaríamos ver una relación entre la velocidad y la longitud galáctica como indica la siguiente gráfica. Ahora, consideramos la matemática. Definiciones R es el radio galáctico de la estrella bajo observación Θ es la velocidad de rotación de la estrella bajo observación ω = Θ/R es la velocidad angular de la estrella bajo observación

21 d es la distancia entre el Sol y la estrella bajo observación l es la longitud galáctica de la estrella bajo observación α es el ángulo entre el movimiento de la estrella y la dirección al Sol v R es la velocidad radial de la estrella bajo observación v T es la velocidad tangencial de la estrella bajo observación es el radio galáctico del Sol Θ 0 es la velocidad de rotación del Sol ω 0 = Θ 0 / es la velocidad angular del Sol La siguiente gráfica presenta la geometría. Entonces, para las velocidades radiales, v R = "cos# $ " 0 sin l % = "R ( 0 ' * sin l $ " & R ) 0 sinl utilizando = ( + $+ 0 ) sin l y para las velocidades tangenciales, v T = "sin# $ " 0 cosl % = " ( ' * R & R ) 0 cosl $ d = ( + $+ 0 ) cosl $+d sinl R sin( 90 +# ) = = cos# ( ) $ " 0 cosl utilizando R sin# = cosl $ d Podemos sacar unas conclusiones generales si suponemos que ω será una función que disminuye conforme aumenta el radio. Consideramos el intervalo 90 < l < 180. A lo largo de cualquier línea de vista, el radio, R, aumenta y es mayor al radio solar,. Por lo tanto, ω

22 será siempre menor a ω 0 e irá disminuyendo a lo largo de la línea de vista. Entonces, esperamos que la velocidad radial disminuye continuamente con la distancia. Además, la velocidad radial siempre será negativa. Consideramos ahora el intervalo 0 < l < 90. A lo largo de cualquier línea de vista, el radio galáctico R inicialmente disminuirá hasta el punto donde la línea de vista es tangencial a una órbita circular. Desde ese punto, el radio galáctico crecerá conforme aumenta la distancia. Podemos entonces definir tres regímenes de velocidad radial. Entre el Sol y el punto tangencial, la velocidad radial será positiva y aumentará con la distancia. Entre el punto tangencial y el punto donde la línea de vista cruza la órbita solar, la velocidad radial será positiva y disminuirá con la distancia. Afuera de la órbita solar, la velocidad radial será negativa y seguirá disminuyendo con la distancia. El siguiente diagrama presenta estos resultados gráficamente. (Notar que la figura original en Galactic Astronomy, 2nd edition tiene un error. Indica 0 < l < 180 y no 0 < l < 90 para la curva superior.) Tendencias análogas a las anteriores sucederán en los intervalos 180 < l < 270 y 270 < l < 360 Las relaciones anteriores son completamente generales. Ahora consideramos el caso para estrellas cercanas al Sol, de tal manera que d<<, lo cual nos permite derivar formas aproximadas de las ecuaciones anteriores. Esta situación es ilustrada en la Fig. 8.9.

23 Consideramos primero la velocidad radial para una dirección l fija. En este caso, únicamente (ω-ω 0 ) depende de la distancia. Se le puede aproximar con una expansión en serie de Taylor % (" #" 0 ) $ d" ( ' * R # R & dr ) 0 Dado que d" dr = d $ #' & ) = 1 dr % R ( R tenemos ( ) d# dr * # R 2 # d" & % ( = 1 # d) & % ( * ) 0 2 $ dr ' $ dr ' Entonces, a primer orden, *# v R = d" & % ( ) " - 0, /( R ) R + $ dr ' 0 )sinl.. De la gráfica anterior, vemos que, si d << R, R " y. # d cosl

24 + v R " # % 0 $ d# ( - ' *, & dr ). 0 d cosl sin l / = Ad sin 2l utilizando sin l cosl = 0.5 sin 2l y definiendo A = 1 + # 0 % $ d# (. - ' * 0 2, & dr ) / La constante A es conocido como la constante A de Oort. El resultado para la velocidad radial concuerda con las expectativas, de que las velocidades radiales describen una curva de doble seno en función de la longitud galáctica. Ahora, consideramos la velocidad tangencial, utilizando una de las aproximaciones del resultado anterior. v T = (" #" 0 ) cosl # d,& $ d% ) ( + # % / 0. 1 ( R # R -' dr * 0 )cosl #" 0 d 0, $ % & 0 # d% ). ( + - ' dr * Si utilizamos la identidad cos 2 l = 1 2 tenemos ( 1+ cos2l) v T " 1 + # 0 % $ d# ( - ' * 2, & dr ) = d A cos2l + B / & 1 d cos 2 l # % ) 0 ( + d 0 ' *. 0 d cos2l $ 1 + # 0 % + d# ( - ' * / 2, & dr ) ( ) si definimos B = d / + # 0 % + d# ( - ' *, & dr ) La constante B se conoce como la constante B de Oort. La velocidad tangencial es relacionada con el movimiento propio y la distancia por v T = 4.76µ l d donde la velocidad es en km/s, la distancia en pc y el movimiento propio en "/año. Por lo tanto, tenemos µ l = A cos2l + B 4.74 lo cual nos da otra pista para la determinación de los constantes A y B. De las definiciones de A y B, obtenemos. 0 /

25 " 0 = # 0 = A $ B y % d# ( ' * & dr ) = $ ( A + B). Finalmente, consideramos distancias, d, donde la línea de vista es tangencial a una órbita circular, lo cual sucede para -90 < l < 90. En este caso, la velocidad radial tiene un valor máximo, ( ) # " 0 sinl donde R max = sinl. v R,max = " R max Si ahora nos restringimos a ángulos l ~ 90 o l ~ 270, donde R max - <<, podemos expandir Θ(R max ) en potencias de (R max - ) R max " = " 1" sinl de lo cual aprendemos $ v R,max = " 0 # d" ' & ) % dr ( ( ) = 2A ( 1# sinl)+ 1 2 ( 1# sinl)+ 1 $ d 2 "' & ) 2 % dr 2 ( $ & % d 2 " dr 2 ' ) ( 2 2 ( 1# sinl) 2 +K ( 1# sinl) 2 +K Si ignoramos los términos aparte del primero, porque serán muy pequeños para l ~ 90 o l ~ 270, tenemos una relación que nos permite restringir el producto A a partir de observaciones de v R,max. Determinación de los constantes de Oort Hay tres maneras de determinar la constante A: a través v R " Ad sin 2l a través µ l = A cos2l + B 4.74 o con su definición A = 1 *" 0 $ # d" ' -, & ) / 2+ % dr (. Normalmente, no se usa el último método, dado que depende de la curva de rotación, la cual es un problema difícil de resolver. Más bien, se intenta restringir al curva de rotación a partir de la constante A. Los dos otros métodos tienen sus deficiencias. El primero depende de una escala de distancias autoconsistente mientras que el segundo es susceptible a errores sistemáticos en movimientos propios. Fundamentalmente, la constante B depende de movimientos propios, µ l = A cos2l + B 4.74, dado que no medimos velocidades tangenciales y que descartamos la opción de utilizar su definición por lo difícil que es (como en el caso de A).

26 Los valores más recientes, basado en observaciones de Hipparcos (en turno ligado al sistema ICRS), son A =14.8± 0.8 km/s y B = "12.4 ± 0.6 km/s Dadas las pocas maneras de determinar estos constantes, la formula v R,max = 2A 1" sinl ( ) representa una restricción muy útil sobre A, aunque depende del conocimiento de otra constante, que es el radio solar. En cuanto al radio solar, mediciones recientes dan valores entre kpc. La velocidad circular de rotación a este radio es entonces " 0 = A # B $ % ( ) = & 8 ' ) km/s ( con los valores de A y B ya mencionados.