Mate 8980 Seminario sobre la historia del cálculo El suicidio de Hipaso de Metaponto o la tensión entre la intuición matemática y la matemática formal

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1 Mate 8980 Seminario sobre la historia del cálculo El suicidio de Hipaso de Metaponto o la tensión entre la intuición matemática y la matemática formal Omar Hernández Rodríguez y Jorge M. López Fernández 18 de agosto de 2009 Podéis, Sócrates, decirme si la virtud puede enseñarse, o si no pudiendo enseñarse, se adquiere sólo con la práctica; o, en fin, si no dependiendo de la práctica ni de la enseñanza, se encuentra en el hombre naturalmente o de cualquiera otra manera? Menón 1. Introducción Se cuenta que alrededor del año 500 AC, Hipaso de Metaponte de la Escuela de los Pitagóricos descubrió que la hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos unitarios tiene hipotenusa inconmensurable con sus catetos, es decir, hipotenusa de longitud irracional. Dicho en el lenguaje moderno, Hipaso descubrió, muy a pesar suyo, que 2 es un número irracional. El interesante descubrimiento de Hipaso, por desgracia para él, llegó en un momento en el que se pensaba (al menos en la Escuela de los Pitagóricos) que todas las magnitudes (o las medidas de las longitudes geométricas) eran cantidades racionales. Como resultado de su descubrimiento, Hipaso fue sometido al castigo del silencio por sus compañeros pitagóricos, lo cual lo abocó al suicidio. Podríamos decir que a Hipaso lo suicidaron por su imprudencia. Hoy día

2 sabemos que hay una tensión inescapable entre el razonamiento discreto, tan característico de los entornos matemáticos en los que se emplean los enteros y sus razones, y los razonamientos continuos que se emplean para describir las magnitudes o longitudes de los segmentos geométricos, y para calcular las posiciones de los puntos en una recta dotada de coordenadas. En un famoso diálogo entre Sócrates y Menón se dilucida la cuestión referente a que la longitud del triángulo rectángulo de catetos unitarios tiene hipotenusa irracional. Gracias a matemáticos como Bolzano, Cantor, Cauchy, Heine, Dedekind, Weiersstrass y otros, hoy día hemos llegado a comprender mucho mejor que los pitagóricos la estructura de los números reales y la diferencia entre los números racionales y los irracionales. En esta breve exposición contrastamos cómo el producto final del trabajo de los matemáticos mencionados conforma una teoría matemática clara, capaz de diferenciar eficazmente entre números racionales e irracionales, pero que al mismo tiempo no está al alcance de los estudiantes de escuela secundaria. En una sección posterior de la exposición hacemos una propuesta de un procedimiento a seguir, fundamentado más en la intuición, para llevar estos temas a la atención de los alumnos de tal nivel educativo. 2. Descripción algebraico-analítica de los números reales En qué consiste el conjunto de los números reales? La contestación moderna a esta pregunta tiene dos aspectos. La primera parte de la contestación dice que los números reales consisten de un conjunto R junto con dos operaciones que denotamos, empleando la notación funcional usual, como + : R R R :: (x, y) x + y (suma) y (1) : R R R R :: (x, y) x y (multiplicación), (2) y una relación de orden < R R (3) sujetas a ciertas relaciones que especificaremos en breve, no sin antes explicar un poco la notación empleada. Primeramente, si (a, b) es un número real, 2

3 entonces +((a, b)) = +[(a, b)] (empleando diferentes tipos de paréntesis para facilitar la lectura) es la imagen que la función + le asigna al par ordenado (a, b), el cual pertenece a su dominio. La primera parte de la notación + : R R R :: (x, y) x + y, es decir, la que se escribe a la izquierda de los cuatro puntos :: indica el dominio y el codominio de la función suma +, mientras que la que se escribe a la derecha de los cuatro puntos :: indica que la función suma + asigna la imagen a + b a un par ordenado arbitrario (a, b) de su dominio, en otras palabras, +[(a, b)] = a + b. Esto todo es muy sencillo pero de un nivel muy alto hablando en términos cognoscitivos, de modo que es menester evitarlo hasta que el alumno cuente con la madurez necesaria. Comentarios análogos aplican a la función : R R R R :: (x, y) x y, pero en este caso, siguiendo la convención, escribimos a b = ab, es decir, la mera yuxtaposición de los nombres de dos números reales a y b indica la multiplicación sin que sea necesario escribir el punto que denota la multiplicación. A modo de muestra de la complejidad lógica que carga todo este lenguaje abstracto necesario para escribir la matemática que nos interesa, invitamos al lector a explicar la aseveración a es el nombre del número real a.. Finalmente, de acuerdo a (3) el orden < no es ni más ni menos que un subconjunto de R R, es decir, un conjunto de pares ordenados de números reales. Siguiendo la convención usual, en lugar de escribir (a, b) < escribimos a < b. A la luz de estos comentarios, postulamos los siguientes principios de la suma, la multiplicación y el orden de los números reales: C-i. Para todo par de números a, b R, a b y b + a son números reales. C-ii. Las operaciones son asociativas, es decir, para todo a, b R, a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c. C-iii. Las operaciones son conmutativas, es decir, para todo a, b R, a + b = b + a a b = b a. C-iv. (Existencia de elementos neutros) Existen números reales 0 1 tal 3

4 que para todo a R, a + 0 = 0 + a = a a 1 = 1 a = a. C-v. (Existencia de inversos) Inv-1. Para todo a R existe a R tal que a + ( a) = a + a = 0. Decimos que a es el opuesto de a. Inv-2. Para todo a R tal que a 0, existe a 1 R tal que a a 1 = a 1 a = 1. Decimos que a 1 es el recíproco de a. Nota que 0 no tiene recíproco ( por qué?). C-vi. Para todo a, b, c R, a (b + c) = a b + a c. La expresión a b + a c se interpreta como (a b) + (a c), siguiendo la convenciones sobre la jerarquía de las operaciones aritméticas (primero se completan las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha y luego se hace lo mismo con las sumas y las restas). Esta relación se conoce como la propiedad distributiva. Recordamos al lector que la resta a b se define como a + ( b) y la división a/b de define como a b 1, siempre y cuando b 0. Por otra parte, la relación de orden satisface las siguientes propiedades: O-i. Para todo par de números a, b R, una y sólo una de las siguientes alternativas se cumple: a < b, a = b o b < a. O-ii. Para todo a, b, c R, si a < b y b < c, entonces a < c. 4

5 O-iii. Para todo a, b R, si a < b tenemos, A. para todo c R, a + c < b + c, y B. para todo c R tal que 0 < c, a c < b c. Las propiedades i-vi definen lo que es un cuerpo o campo. Nota que la ley distributiva vi establece un vínculo entre la suma y la multiplicación de números reales. Hay ejemplos muy interesantes de cuerpos radicalmente distintos a los números reales. Las propiedades de orden, como se verá, están íntimamente relacionadas con las operaciones de suma y de resta. Un sistema algebraico (R, +,, <) es un cuerpo ordenado si satisface todos los principios C- i - C-iii y también las propiedades O-i - O-iii. La gran mayoría de las propiedades de los números reales se pueden demostrar a partir de estos principios. A continuación presentamos algunos ejemplos sobre el empleo de estos principios para la demostración de las propiedades de los números reales. Ejemplo 1. Para todo a R, a 0 = 0. Demostración. Por la ley distributiva, (vi) a 0 + a 0 = a (0 + 0). Por la propiedad del cero (iv) vemos que 0 = de suerte que podemos concluir a 0 + a 0 = a 0. Ahora sumamos el opuesto de a 0 a ambos lados de la relación a 0+a 0 = a 0 para obtener a 0+(a 0+a 0) = a 0+a 0. Por lo tanto, por la ley asociativa de la suma (ii) y la propiedad de cero (iv) vemos que a 0+(a 0+a 0) = ( a 0+a 0)+a 0 = 0+a 0 = a 0 = a 0+a 0 = 0. Esto termina la demostración. Nota que en la demostración se ha hecho uso tácito de las propiedades usuales del signo de igualdad (como por ejemplo, su transitividad). Invitamos al estudiante a identificar el empleo de todos estos principios. Una demostración o prueba es una concatenación de propiedades, cada una de las cuales es uno de los principios enunciados, o un resultado ya demostrado de la misma manera. En las demostraciones se emplea libremente las propiedades usuales de la lógica así como las propiedades del signo de igualdad. A veces resulta más claro escribir la demostración de principio en cuestión mediante una cadena de relaciones, cada una de las cuales se justifica a base de los criterios mencionados. Por ejemplo 5

6 Demostración. a 0 + a 0 = a (0 + 0) por la ley distributiva (iv), a 0 + a 0 = a 0 por la propiedad de cero (iv); por lo tanto, a 0 + (a 0 + a 0) = a 0 + a 0 por la existencia de inversos, (v), ( a 0 + a 0) + a 0 = 0 por la ley asociativa y la propiedad del opuesto de un número (v), 0 + a 0 = 0 por la propiedad del opuesto de un número (v), a 0 = 0 por la propiedad del cero de un número (iv). Notamos, dicho sea de paso, que la última aseveración de la demostración es el enunciado que queremos demostrar. Ejemplo 2. Para todo par de números a, b R la ecuación a + x = b tiene una solución única x = b a. Demostración. Nota que x = b a es en efecto una solución: a+(b a) = a+ (b+( a)) = (a+b)+( a) = a+(a+b) = ( a+a)+b = 0+b = b; aquí hemos empleado la definición de la resta, las leyes asociativa y conmutativa de la suma (ii, página 3 y iii, página 3), la existencia de negativos (v, página 4) y la propiedad del elemento neutro de la suma (iv, página 3); pedimos al estudiante que identifique el lugar en la demostración donde se emplearon los principios mencionados. Además, implícito en la demostración están las propiedades usuales del signo de igualdad. Ejemplo 3. Para todo par de números a, b R a( b) = ( a)b = ab (aquí ab se interpreta como (ab)). 6

7 Demostración. Podemos emplear el ejemplo anterior para dar una demostración elegante de este enunciado. En efecto, estos tres números de los que se propone la igualdad planteada son soluciones de la ecuación ab + x = 0, la cual, por el ejemplo anterior, sabemos tiene una sola solución. Por ejemplo, ab+( a)b = (a+( a)) b = 0.b = 0, muestra que x = ( a)b es una solución de la ecuación propuesta. Dejamos al lector la verificación que a( b) y ab también lo son. Nota que hemos empleado la ley distributiva y un ejemplo anterior Los axiomas analíticos de los números reales Necesitamos dos principios adicionales sobre los números reales. Axioma 1. [Principio arquimídeo] Para todo par de números reales a, b R con a > 0, existe n N tal que n a > b. Ejemplo 4. Para todo ǫ > 0, existe un n N tal que n 0 y 1/n < ǫ. Demostración. Como 1/ǫ > 0, por el principio arquimídeo, existe un n N tal que n 1 > 1/ǫ (tomando a = 1 y b = 1/ǫ en el enunciado de Principio arquimídeo). Claramente n 0. Claramente, la desigualdad en cuestión se puede escribir como 1/n < ǫ. Ejemplo 5. Si 0 < θ < 1 y ǫ > 0, entonces existe un n N tal que θ n < ǫ. Demostración. Primero demostramos que si h > 1 entonces, para todo n N, (1 + h) n 1 + nh (4) Claramente, el resultado es obvio para n = 0 y para n = 1. Suponer que (4) es cierto para un número natural n. Entonces (1 + h) n+1 = (1 + h) n (1 + h) (1 + nh)(1 + h) (por que 1 + h > 0) 1 + nh + h = 1 + (n + 1)h. Por el Principio de Inducción Matemática (4) es válido para todas las n N. 7

8 Nota 1. Cierto texto de matemática dice que el Principio arquimídeo implica que toda bañera llena de agua se puede vaciar con una cucharilla. Qué tienen que ver la cucharilla y la bañera con el Principio arquimídeo? Ahora estamos listos para discutir la última propiedad que supondremos sobre los números reales. Suponga que I y J son intervalos cerrados y acotados y que I J, es decir, que todos los puntos del intervalo I también son puntos del intervalo J. Si escribimos I = [a, b] y J = [a, b ], donde a, a, b, b son números reales, entonces la condición I J nos dice que a a < b b (estamos suponiendo que los intervalos son intervalos de verdad, es decir, que el extremo izquierdo es siempre menor que el derecho). Si denotamos el largo de un intervalo acotado K por K, y lo definimos como la diferencia de su extremo derecho con su extremo izquierdo, entonces es fácil ver que si I J, tendríamos que I = b a b a = J. En otras palabras, si I J, entonces el largo del intervalo contenido en el otro es menor o igual al largo del intervalo que lo contiene; ver el Ejercicio?? (página??). Todo esto es muy fácil de entender y muy razonable. El próximo principio que habremos de suponer válido para los números reales es el llamado Principio de los intervalos anidados (PIA). Axioma 2. [Principio de los intervalos anidados] Suponga que (I n ) n=11 es una sucesión de intervalos cerrados y acotados tal que para cada n 1, I n+1 I n (cuando una sucesión de intervalos satisface esta condición se dice que son anidados). Entonces existe un número real x que pertenece a todos los intervalos, es decir x I n para cada n N. 3. Algunos ejercicios de práctica Ejercicio 1. Demuestra que para todo par de números a, b R, ( a)( b) = ab. [Sugerencia: podrías buscar una ecuación con ( a)( b) y ab de soluciones.] Ejercicio 2. Demuestra que 0 = 0. Ejercicio 3. Demuestra que para todo a R tal que a 0, ( a) 1 = a 1. 8

9 Ejercicio 4. Emplea el ejercicio anterior para demostrar que para todo a, b R con b 0, a b = a b = a b. Ejercicio 5. Demuestra que para todo a, b R con b 0, a b = a b. Ejercicio 6. Demuestra que para todo a, b, c R con b, c 0, ac bc = a b. 4. Propuesta para presentar este material de manera más intuitiva y menos formal 4.1. Los sistemas numéricos de la matemática El sistema de los números reales es un sistema numérico que incluye a casi todos los números que conoces. En este escrito, el conjunto de los números reales se representa como R. Nota que R es un conjunto que viene dotado de una suma + y una multiplicación, para las cuales se cumplen las propiedades algebraicas que has estudiado en cursos anteriores. Entre los sistemas numéricos contenidos en R se encuentran: i El conjunto de los números cardinales, N, consiste del 1 y de todos los números que se obtienen de éste sumando 1. Por ejemplo, = 2, = 3, etc. son los primeros números cardinales. Escribimos N = {1, 2 }. ii El conjunto de los números naturales, N, consiste de los números cardinales con el cero añadido. Escribimos N = {0, 1, 2 }. 9

10 iii El conjunto de los números enteros, Z se define como el conjunto N { n n N}, es decir, Z consiste de los elementos de N y los negativos de tales elementos. En otras palabras. Z = { 3. 2, 1, 0, 1, 2, 3 }. iv El conjunto de los números racionales Q se define como el conjunto {n/m n, m Z y m 0}, En otras palabras, los números racionales (o fracciones) consisten de todas las razones de números enteros en las cuales el denominador no es cero (para que la razón esté bien definida). Por ejemplo, a) 1 2, b) 2 3 = 2 3, c) 0 = 0 1, son números racionales. Comentarios 1. a) Las relaciones N N Z Q R son válidas y cada conjunto está contenido propiamente en el conjunto que lo contiene. Decimos que un conjunto A está contenido propiamente en un conjunto B si A B pero A B. En otras palabras A está contenido en B propiamente, si A B y existe algún elemento b B tal que b A. Da ejemplos que muestren que N está contenido propiamente en Z y que Z está contenido propiamente en Q. b) Entre dos números enteros consecutivos no existe otro número entero. Convéncete que esta aseveración es la misma que las siguiente: Para todo p Z, {n Z p < n < p + 1} =. Lee en voz alta esta última aseveración y explica por qué dice que entre dos números enteros consecutivos no existe ningún otro número entero. 10

11 4.2. Los números racionales En esta sección aprenderás sobre la estructura de los subconjuntos numéricos de R, especialmente sobre el conjunto de números racionales Q. Si θ R, decimos que la parte entera o suelo de θ, en símbolos, θ, es el mayor de todos los enteros n que satisfacen n θ. Debes convencerte que = 3, = 0, 22/7 = 3 y = 3. Explica cómo justificas este último resultado. Sabemos que un número real cualquiera θ se puede escribir de la forma θ = N + θ 1, donde N es el suelo de θ y θ 1 es la parte fraccionaria; explica porqué 0 θ 1 < 1. Por ejemplo, = , de manera que 2 es el suelo de y es la parte fraccionaria. De forma análoga, 22/7 = 3 + 1/7 de manera que 3 es la parte entera de 22/7 y 1/7 es la parte fraccionaria. Finalmente, como = , 10 es la parte entera de y es la parte fraccionaria. Sabes que el proceso de división larga aplicado a una fracción nos da un decimal que podría o no terminar. Por ejemplo, al dividir 4 por 3 de forma larga, obtenemos 4 3 = = 1.3. Nota que en la última expresión hemos colocado una barrita encima del 3 para indicar que el 3 se sigue repitiendo. Nota que este último decimal es infinito porque nunca termina, es decir, tiene un dígito distinto de cero que se repite. Pueden encontrarse otros tipos de decimales infinitos como, por ejemplo, 1 7 = = (Efectúa la división larga de 1 por 7 para que verifiques este dato.) Nota que en este caso el decimal es infinito, pero se repite todo un bloque de dígitos, el bloque Así pues, este es otro decimal infinito. Definición 1. Supón que un número tiene una expansión decimal N.d 1 d 2 d k.... Por esto queremos decir que N es la parte entera del número y que el decimal 0.d 1 d 2 d n es la parte fraccionaria. Nota que como la parte fraccionaria 11

12 de un número real es un número real no negativo y menor que 1, la expansión decimal de la parte fraccionaria del número dado debe tener esta forma. Nota que contamos los dígitos de la expansión decimal de este número por el lugar que ocupan a la derecha del punto decimal. Por ejemplo, d 3 es el tercer dígito a la derecha del punto decimal, d 10 es el décimo, y así por el estilo. Por ejemplo, si x = 0.5 = , entonces d 1 = 5, d 2 = 0, d 3 = 0, etc. Un decimal es finito si a partir de cierto dígito, todos los dígitos de la expansión decimal son cero. Un decimal es infinito si no es finito. Por ejemplo, 0.3 es un decimal infinito, y también lo es Un decimal N.d 1 d 2 d k... es periódico si existe un dígito d m de la expansión decimal, y un entero positivo p tal que para todo dígito d k que ocurre en el lugar m o en algún lugar subsiguiente a m, tenemos d k+p = d k. En otras palabras, si a partir de cierto dígito cuando contamos p dígitos hacia la derecha, encontramos un dígito de la expansión decimal con el mismo valor que el dígito del cual partimos. El entero positivo p más pequeño con esta propiedad se conoce como el periodo del decimal dado. Muchas de las propiedades más interesantes de R dependen de cierta propiedad llamada arquimídea. La propiedad arquimídea dice que si ǫ > 0 es un número real cualquiera, entonces siempre es posible encontrar una potencia de 1/10 más pequeña que ǫ, es decir, existe algún entero n 1 tal que 1 10 n < ǫ. Dicho de otro modo, es posible encontrar todas la potencias de 1/10 que deseemos cerca del 0. Una consecuencia directa pero poderosa de esta propiedad es la siguiente: Proposición 1. Si x es un número real no negativo y entonces x = 0. x < 1 para todo n N, 10n Explica por qué es válida la Proposición 1 si sabemos la Propiedad arquimídea. Ejemplos 1. 12

13 a) El decimal 0.9 vale 1, es decir, 0.9 = 1. Veamos. Suponemos que x = 0.9. Es de esperar que los números 0.9 = 9/10, 0.99 = 99/100, = 999/1000, etc. se van acercando al número x = 0.9. Pero como x es un decimal, que tiene parte entera igual a cero, sabemos que x 1. Por lo tanto la distancia en la recta numérica entre x y 1 es 1 x. Para cada entero positivo n escribimos Nota que x n = 10n 1 10 n 99 9 x n = (n nueves en el numerador y n ceros en el denominador) = (n nueves) Como la distancia en la recta numérica entre x y 1 es menor o igual que la distancia entre x n y 1 (ver Figura 1), tenemos Figura 1: Representación de x, x n y x 1 x n = 1 10 n. para todo entero n 1. Esto dice que 1 x es un número no negativo menor o igual todos los números 1/10 n con n = 1, 2,.... Por la Proposición 1, tenemos 1 x = 0, de suerte que 1 = x, como se quería demostrar. b) El resultado anterior se puede generalizar. Supón que x = Entonces, 1000x = = = = 124. Así pues, x = 124/1000 = En otras palabras, = De la misma manera, = y = , etc. Una consecuencia interesante de estas observaciones es que todo decimal finito también se puede escribir como un decimal infinito. 13

14 c) Todos los decimales periódicos representan números racionales. Mostramos cómo determinar la fracción que representa algún decimal periódico. Por ejemplo, si x = entonces, x = x = Restando la primera ecuación de la segunda, vemos que 999x = 235 y x = d) Este procedimiento siempre funciona de modo que tenemos el siguiente resultado: Teorema 1. Todo decimal periódico es la razón de dos enteros. e) Supongamos que tenemos un número real x con expansión decimal x =.d 1 d 2. Entonces, para todo dígito n 1, 0.d 1 d 2 d n x 0.d 1 d 2 d n + 1/10 n. En efecto, si sustituimos todos los dígitos de x =.d 1 d 2 a partir del dígito n + 1 por 9, está claro que 0.d 1 d 2 d n x = 0.d 1 d 2 d n 0.d 1 d 2 d n 9 = 0.d 1 d 2 d n (n ceros) = 0.d 1 d 2 d n + 1/10 n. f) Una propiedad importante sobre los números reales es la de la densidad de Q en R, es decir, entre dos números reales distintos, siempre hay un número racional, es decir, si a y b son números reales y a < b, entonces existe un número racional r tal que a < r < b. Para ver la validez de esta propiedad, escribimos el número a como un decimal: a = N +.d 1 d 2 (N es la parte entera de a). Por la propiedad arquimídea, existe un entero n 1 tal que 1 10 < b a n 2. (5) 14

15 Ahora considera el dígito n de la expansión decimal de a y observa que a N + 0.d 1 d 2 d n + 1/10 n < N + 0.d 1 d 2 d n + 2/10 n a + 2/10 n < a + (b a) = b; nota que en la última desigualdad hemos empleado (5). Nota, además, que el número r = N + 0.d 1 d 2 d n + 1/10 n que aparece en las desigualdades anteriores es racional y satisface a < r < b que es lo que se deseaba probar. g) Si denotamos por el símbolo I al conjunto de los números irracionales, es decir, al complemento del conjunto Q en R, entonces I también es denso en R, es decir, para todo par de números reales a, b tal que a < b, existe un número irracional w tal que a < w < b. Esta aseveración es ahora fácil de demostrar. Primero observamos que la suma de dos números racionales es otro número racional (explica por qué). Por lo tanto, si la suma de dos números es irracional y sabemos que uno de ellos es racional, entonces podemos concluir que el otro, por necesidad, es irracional. También observamos que el rabo de un decimal infinito d n+1 a partir del dígito n+1 (es decir, el número que se obtiene sustituyendo los primeros n dígitos del número dado por ceros) satisface d n+1 1/10 n (recuerda el argumento mediante el cual sustituimos nueves por los dígitos a partir del dígito n + 1). Ahora estamos listos para el argumento. Primero, por el principio arquimídeo escogemos un entero n 1 tal que Luego, empleando en número n de (6), escribimos a = N + 0.d 1 d 2 d n 1 10 n < b a 2. (6) = N + 0.d 1 d 2 d n d n+1 p n, donde p = N + 0.d 1 d 2 d n es un número racional, y p a. Ahora inventa el número irracional v de tu predilección pero comenzando con n 15

16 ceros seguidos de una cadena de dígitos no periódica como, por ejemplo, Entonces este número irracional (no es periódico por designio nuestro), satisface v 1/10 n. Pero entonces, elaborando las desigualdades anteriores, a p n < p + v n a n < a + (b a) = b. Esto dice que el número w = p+v+1/10 n satisface a < w < b. Como v es irracional y p + 1/10 n es racional, en vista de los comentarios anteriores, vemos que w es irracional Por qué sabemos que el número real 0.d 1 d 2 d n existe, es decir, que es un numero real? Si x = 0.d 1 d 2 d n, es fácil constatar que para cada número entero n 1 tenemos 0.d 1 d 2 d n x 0.d 1 d 2 d n n. De aquí podemos concluir que los intervalos I n = [0.d 1 d 2 d n, 0.d 1 d 2 d n + 1/10 n ] forman una sucesión de intervalos cerrados y anidados de longitudes decrecientes y claramente x pertenece a todos ellos. En otras palabras, el número real x definido por 0.d 1 d 2 d n es el número real único contenido en todos los intervalos I n Aspectos geométricos de la representación decimal de los números reales Resumen 1 (Sobre los numeros racionales y los números irracionales). En la discusión anterior hemos aprendimos que los números racionales son aquellos que tienen expansiones decimales periódicas, mientras que los irracionales son precisamente aquellos números cuyas expansiones decimales no son periódicas (todos tienen expansiones infinitas). Esto nos dice que cuando escribimos 16

17 los dígitos de un número racional cualquiera, desde cierto punto en adelante los dígitos de la expansión se repetirán y ello constituye un patrón observable. Sin embargo, los dígitos de las expansiones decimales de los números irracionales no tienen períodos y por ello no hay patrones repetitivos en sus dígitos. En la matemática y la ciencia, los patrones son fuentes de información y la ausencia de ellos se toma como evidencia del caos y la desorganización. Por ejemplo, los puntos de un televisor sin imagen se muestran desorganizados, con movimientos aleatorios (es decir, azarosos) mientras que las imágenes de la televisión se toma como una evidencia de la presencia de información, la cual fue programada por seres humanos con el propósito de transmitir imágenes electrónicamente. Para que observes las consecuencias de estas observaciones te invitamos a examinar la próxima figura y a que describas en palabras lo que observas. 17

18 22/ π =