10 Las operaciones en la escuela primaria

Transcripción

1 1 UN POCO DE HISTORIA Desde siempre el hombre ha tenido necesidad de contar colecciones de objetos. Tal vez al principio ese contar no ocurriera de la manera en que se hace hoy en día. En la actualidad se torna dificultoso pensar en contar sin utilizar los números. En sus inicios el hombre contó primero y calculó después, sin la representación numérica que se maneja hoy. Los primeros dispositivos para contar fueron seguramente los diez dedos de las manos. Cuando hubo necesidad de contabilizar mayores cantidades de objetos, esos dispositivos fueron insuficientes y se debió transferir responsabilidades a los dedos de los pies, con el inconveniente de que estos no son tan flexibles y manejables como los de las manos. El hombre entonces se vio en la necesidad de recurrir a curiosas posturas corporales para indicar cantidades que no podían ser manejadas con los veinte dedos totales de sus extremidades. Hasta mediados del siglo VIII a. C. se utilizaron esas posturas corporales, las cuales eran incómodas y difíciles de recordar. Liberándose de los dedos de las manos y de los pies y de posturas forzadas, el hombre comenzó a utilizar piedras (cálculos) como auxiliares del conteo. Esos cálculos fueron sustituidos, según las diferentes civilizaciones, por fichas, monedas o semillas.

2 10 Las operaciones en la escuela primaria El hecho de que se contara utilizando guijarros incidió en que la palabra cálculo llegara a designar cualquiera de las operaciones aritméticas básicas (Ifrah, 1994: 1446). La utilización de cálculos obligó posteriormente a utilizar objetos que fueran portadores de estas cantidades y que oficiaran como memoria de cantidad. Estos primeros objetos, llamados tableros de contar, proporcionaban un medio estable donde, sin errores, cada piedra, cada guijarro, cada cálculo utilizado denotaba una cierta cantidad, ya fuese por su tamaño, por su color o por el lugar que ocupara. Estos tableros de contar permitieron que las personas hicieran cuentas, casi todas aditivas; los tableros eran útiles para ir guardando informaciones parciales de los cálculos mentales que ocurrían. Inicialmente los tableros de contar se realizaban trazando surcos en la arena. Entre estos surcos se ubicaban los cálculos (los guijarros); el espacio entre dos surcos podía representar lo que hoy llamamos una unidad, una decena, etcétera. A estos tableros se los llamó ábacos horizontales. 3 Con la necesidad derivada del comercio, los hombres más acaudalados comenzaron a diseñar tableros de contar portátiles, que consistían en tableros de madera cubiertos de arena donde se trazaban las líneas o surcos a los que se hizo referencia. Teniendo necesidad de instrumentos más duraderos y estables, surgieron los tableros de madera con surcos grabados en ella y el empleo de discos de madera como sustitutos de las primeras piedras o cálculos (figura 1). Fue natural la evolución posterior hacia tableros de contar de mármol o metal con discos del mismo material. Figura 1. Ábaco horizontal 3 La palabra ábaco o abak significa, en fenicio, 'arenisca'.

3 1. Un poco de historia 11 El tablero de contar más antiguo del que se tenga información fue encontrado en la isla de Salamis en Es la llamada tablilla de Salamis, utilizada por los babilonios alrededor del 300 d. C. (figura 2). Figura 2. Tablilla de Salamis Los ábacos evolucionaron desde las tablas con trazos o ranuras, como la tablilla de Salamis, hasta las tablas que hacían uso de alambres o varillas que sujetaban las cuentas o bolillas para garantizar su estabilidad. El yuan-pan chino, el sorobán japonés o el stschoty ruso son ábacos que utilizan alambres que atraviesan cuentas. Otro tipo de ábaco, también estable, es la yupana 4 inca (figura 3), que demarca zonas para evitar que las cuentas pierdan su posición. Figura 3. Yupana Cómo se sumaba con la yupana inca? Para simplificar el cálculo, se representará la yupana con un rectángulo de cuatro filas por cinco columnas. 4 La palabra yupana deriva de la palabra quechua yupay, que significa 'contar'.

4 12 Las operaciones en la escuela primaria En cada columna se encuentran distribuidos círculos; leídos de abajo arriba se representan cinco, tres, dos y un círculo. Cada círculo tiene un valor unitario, pero su valor cambia según la columna en que se encuentre. En la segunda columna (empezando de derecha a izquierda), cada círculo tendrá un valor 5 de 10; en la tercera columna tendrá un valor de 100, y así sucesivamente. Se supone que el círculo que se encuentra en la fila de arriba oficia de memoria. Para el número 128 se obtiene la siguiente representación: Al representar un número cualquiera, puede ocurrir que se completen los 10 círculos de una columna (no se está contando el círculo de memoria), en ese caso se barren o desocupan todos y se marca uno en el círculo de memoria, que luego será trasladado a la columna posterior. Busquemos con la yupana la suma de los números 128 y 463. Para ello se coloca primero uno de los sumandos en la yupana y el otro en la parte superior. En el ejemplo, se representa en la yupana el número 128 y se deja fuera el 463. Posteriormente se transfieren los círculos del 463 a las respectivas columnas de la yupana. Al quedar en la primera columna (de derecha a izquierda) completos los diez círculos, se deberá transferir uno a la siguiente columna Aún se continúa discutiendo acerca de la base del sistema peruano. Algunos investigadores postulan que la segunda columna de la yupana se corresponde con el valor 40, la tercera con el 80 y así sucesivamente

5 1. Un poco de historia 13 De forma análoga se continúan transfiriendo círculos en cada columna y se encuentra que suma el número El ábaco fue impulsado por el papa Silvestre II ( ) en toda Europa occidental y su uso se extendió hasta alrededor del siglo XVI. En algunas escuelas rusas, en las japonesas y en las chinas se sigue enseñando el uso del ábaco como procedimiento inicial para el cálculo. En este siglo XXI, en algunas escuelas uruguayas el ábaco sigue ocupando un lugar bastante importante, 7 no para el cálculo, que es su función, sino para el trabajo con algunos aspectos del sistema de numeración decimal. En los siglos XIV, XV y XVI coexistían en Europa los métodos de cálculo basados en el empleo de ábacos con los métodos gráficos, aritméticos o también llamados algorítmicos que hacían uso de representaciones numéricas gráficas. Da cuenta de esto el famoso cuadro Margarita filosófica (1503) (figura 4), donde se enfrentan dos calculistas, cada uno aplicando su método: algoritmo contra ábaco. Figura 4. Margarita filosófica Para cualquiera de estos dos métodos de cálculo fueron escritos gruesos tratados que daban cuenta de cómo utilizarlos. En las escuelas de la época, solo unos pocos hombres eran dignos de aprender cálculos que hoy en día realiza un niño en edad escolar. La dificultad no radicaba tanto en la operación matemática, sino en 6 Buscar esta suma con la yupana tiene como único objetivo ejemplificar cómo se utilizaba este instrumento en su época. No se está proponiendo que la yupana sea utilizada en la escuela de hoy. 7 Se utiliza el adjetivo importante no por la utilidad que este material tiene, sino por el tiempo que se le dedica a su uso.

6 14 Las operaciones en la escuela primaria lo tedioso del instrumento de cálculo empleado (ábaco), del algoritmo utilizado o del sistema de numeración que los sustentaba. 8 Lo ocurrido impregnó las prácticas de enseñanza hasta consolidar la idea de que saber operar es sinónimo de saber calcular. Para calcular, la humanidad construyó potentes algoritmos que resultaron muy valiosos y eficaces. Por esta razón, en la actualidad los algoritmos convencionales de cálculo le dificultan al maestro ver más allá de ellos, e impiden que se los pueda renovar o al menos asignarles una preponderancia menor en las prácticas de enseñanza. En algunos ámbitos educativos, la presencia de los algoritmos convencionales de adición, sustracción, multiplicación y división es tan fuerte, que ellos se convierten en el centro, casi único, del trabajo con las operaciones. 8 Parecería que la historia se repite, ya que muchas de las dificultades con las operaciones que hoy se constatan en las aulas no se refieren a la operación en sí, sino al algoritmo de cálculo empleado.