CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
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- Marina Esther González Lara
- hace 6 años
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1 PÍTUL VI IRUNFRNI Y ÍRUL
2 88 IRUNFRNI efinición. s una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto fijo llamado centro. lementos de la circunferencia. L N L L = Tangente. = Radio. = iámetro L = secante N = uerda efiniciones Radio: s el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de esta.,,. uerda: egmento de recta que une dos puntos de la circunferencia., N. ecante: Recta que corta la circunferencia en dos puntos. L. iámetro: s la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.. Tangente: Recta que toca la circunferencia en un punto único, L. rco: s una parte de la circunferencia, N. LNGITU L IRUNFRNI. strategias metodológicas..- plique lluvia de ideas para establecer la diferencia entre circunferencia y círculo..- onstruya una sopa de letras. 3.- plique el arte de enseñar con todo el cerebro. 4.- Tome un hilo de cualquier longitud, mídalo, construya con él una circunferencia; determine el valor del diámetro. ivida la longitud de la circunferencia entre la longitud del diámetro. Que valor obtiene?. plique la fórmula L = p r. ompare el resultado con la longitud del pabilo. L = pr p = 3,46... L = Longitud de la circunferencia.
3 89 ÍRUL efinición. s el conjunto de puntos del plano que comprenden la circunferencia y sus puntos interiores N LNT L ÍRUL. ector circular: s la parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco limitado por estos. l sector circular V. egmento circular: s la parte del círculo comprendida entre una cuerda y su arco. l segmento circular N. Nota: l radio y el diámetro es el mismo de la circunferencia. ÁR L ÍRUL. = pr jemplo. Hallar el área de un círculo generado en la experiencia realizada para calcular el valor de pi. ÁNGUL RLIN N L IRUNFRNI strategia metodológica Lluvia de ideas y actividades lúdicas Ángulo central efinición. s el ángulo con vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos semi-rectas que determinan dos radios. efinición La medida de un ángulo central es el arco comprendido entre sus lados
4 90 < = rco Postulado de la adición de arcos ean,, puntos de una circunferencia = +. Ángulo Inscrito T Ángulo inscrito efinición. s el ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son semi-rectas que determinan dos cuerdas. R
5 9 La medida del ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. a b a Fig. Fig. 3 Fig. Hipótesis: < inscrito en la circunferencia de centro Tesis: < = rco emostración. Primer caso. Un lado pasa por el centro. Fig. e traza el radio y se forma el triángulo isósceles en el cual, se tiene:.- <a = <a Por qué?.- <a + <a = <b Por ser el <b exterior al triángulo 3.- <a? <b Por sustitución de en 4.- <a? <b/ Por inverso multiplicativo 5.- <b = rco Por ser ángulo central rco 6.- <a = Por sustitución de 5 en 4 egundo caso. l centro es interior al ángulo Fig.. e deja como ejercicio Tercer caso. l centro es exterior al ángulo Fig. 3. e deja como ejercicio 3. Ángulo semi-inscrito V efinición. s el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados dos semi rectas, una secante y una tangente.
6 9 Postulado Los arcos comprendidos entre paralelas son iguales. La medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. N Hipótesis: < semi-inscrito en la circunferencia de centro. Tesis: m < = rco emostración. e traza a.. rco = rco N Por postulado. m< = m < Por alternos internos rcon 3. m < = Por inscrito 4. m < = rco Por 5. Luego : m < = rco Por 4. Ángulo exterior R F G H Q N J R P T W
7 93 efinición. s un ángulo cuyo vértice es un punto exterior a la circunferencia y sus lados pueden ser: os semi-rectas secantes, una semi-recta tangente y otra secante, dos semi-rectas tangentes. La medida del ángulo exterior es igual a la semi-diferencia aritmética de los arcos comprendidos entre sus lados. rcowq rcohq arcop arcof sí la medida de: <JR = < NP = arcot arcog < TR = 5. Ángulo ex-inscrito T Ángulo x_ inscrito V F efinición. s un ángulo adyacente a un ángulo inscrito. La medida de un ángulo ex - inscrito es igual a la semi - suma de los arcos que tienen su origen en el vértice y sus extremos en uno de sus lados y en la prolongación del otro. < a = rcotvf + rcot 6. Ángulo interior Q efinición. u vértice es un punto del círculo y sus lados dos semi - rectas que cortan la circunferencia.
8 94 La medida del ángulo interior es igual a la semi suma de los arcos comprendidos entre sus lados y sus prolongaciones. < = rco ( + Q) RLIN ÉTRI NTR UR, NT Y TNGNT UN IRUNFRNI. Toda cuerda en una circunferencia es media proporcional entre el diámetro que pasa por uno de sus extremos y su proyección sobre el mismo. n la siguiente figura,sean los segmentos: U,, L. L U = U L jemplo Una cuerda de 0 cm en una circunferencia se une al diámetro por uno de sus extremos, y su proyección sobre el diámetro es cm. uál es el radio de la circunferencia? asta escribir la proporción geométrica y hallar el valor de la variable. n la siguiente proporción, x, es el diámetro. x 0cm 0cm = cm uando dos cuerdas se cortan en un círculo el producto de los segmentos de la primera es igual al producto de los segmentos de la segunda. H Hipótesis: F y TH cuerdas T F Tesis : x F = T x H
9 95 emostración. onstrucción auxiliar: trazamos las cuerdas H y TF H 3 4 T F rcohf.- < = Por ser ángulo inscrito rcohf.- < 3 = Por ser ángulo inscrito 3.- < = < 3 Por propiedad transitiva entre y rcot 4.- < = Por ser ángulo inscrito rcot 5.- < 4 = Por ser ángulo inscrito 6.- < = < 4 Por propiedad transitiva entre 4 y Triángulo H Triángulo TF. Por 3 y 6. Por la tanto podemos establecer la siguiente proporción geométrica. H 8.- = l lado opuesto del < es el lado opuesto del <3. l lado opuesto del < F T es el lado opuesto del < H T = F Por propiedad fundamental de la proporción geométrica
10 96 i desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos segmentos secantes el primero por su segmento externo es igual al segundo por el suyo. Hipótesis. F y egmentos secantes a la circunferencia. Tesis. F x = x H emostración onstrucción auxiliar: trazamos las cuerdas FH y, formándose los triángulos HF y. 4 H rcoh.- < 3 = Por ser ángulo inscrito rcoh.- < 5 = Por ser ángulo inscrito F < 3 = < 5 Por propiedad transitiva entre y rcoh + rcof 4.- < 4 = por ser ángulo ex inscrito rcohf + rcoh 5.- < = Por ser ángulo ex inscrito 6.- < 4 = < Por propiedad transitiva entre 4 y 5. ( rcoh + rcof = rcohf + rcoh) 7.- σhf ~ σ Por 3 y 6 H F 8.- = l lado opuesto del < 3 es al lado opuesto del <5, y el lado opuesto del < es al lado opuesto del <4 (los lados opuestos de < 5 iguales son proporcionales) 9.- H = F jemplo.-esde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes los segmentos interior y exterior de uno de ellas miden 4 cm y 7cm, respectivamente. l segmento interior de la segunda mide 9cm. uánto mide el segmento exterior?
11 97. =. () X atos = 4 cm + 7cm = 7 cm = x = cm = 9 cm + x ustituyendo esto valores en la igualdad () tenemos: x7 = (9 + x)x 47 = 9x + x Tenemos una ecuación de segundo grado, por lo tanto la igualamos a cero y ordenamos. 0 = x + 9x - 47, lo mismo que x + 9x - 47 =0 a = b = 9 c= - 47 plico la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. x= b + b 4 ac a ()( 47) x = () x = , 8058 x = x = 5,9098 cm x = 9 30, 8058 x = - 4,9 cm escartado. Por qué?.- esde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes. Los segmentos interior y exterior de una de ellas miden 8 cm y 3 cm respectivamente. l segmento exterior de la segunda mide cm. uánto mide el segmento interior? R. 4,5 cm 3.- esde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes. Los segmentos interior y exterior de una de ellas miden 4cm y 6 cm. l segmento interior de la segunda mide 5cm. uánto mide su segmento exterior? R. 5,6394 cm
12 98 i desde un punto exterior a una circunferencia se trazan un segmento tangente y un segmento secante, la tangente es media proporcional entre la secante y su segmento externo. = jemplo.-esde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante los segmentos interiores y exteriores de la secante mide cm y 8cm. uanto mide el segmento. asta escribir una proporción geométrica en la cual el segmento (x) ocupa los términos medios y los extremos, los segmentos y. =cm + 8cm =40cm 40cm X X 8cm X =70cm X= 6,838cm Prueba 40 6, 838 = 6, ,838 x 6,838 = 40 x 8 70 = 70 no colocamos unidades porque carece de sentido.
13 99 PRL alcular el valor de los segmentos x, y. x 5cm 8cm y 0cm F Hallar el valor de < 3, si < = 30º Qué nombre recibe el triángulo? R/ < 3 = 80º 4 3 Una persona tiene terreno cuadrado de 0 m de lado. n cada esquina del terreno hay un poste y un caballo atado por medio de una cuerda de 0 m de lado. Qué área en m tiene la parte del terreno por la cual no puede pasar el caballo. R/85,84cm 0m? 0m esde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes. l segmento interior de la primera mide 6cm, su segmento exterior mide 3cm y el segmento interior de la segunda mide 5cm; uánto mide su segmento externo? R/ 3,6cm
14 00 atos: = entro de la circunferencia. rco L = 00º L = diámetro <8= 70º < I = 00 0 Hallar: < rco LI rco U < x <. R/ 0º; 80º; 40º; 40º; 30º. x 8 U 00º Z I L Una cuerda de 5cm, se une a un diámetro de cm. alcular: Proyección de la cuerda sobre el diámetro. La parte del diámetro que no pertenece a la proyección. La distancia del extremo de la proyección al centro de la circunferencia. R/,08 cm; 3,9 cm. esde el punto exterior a una circunferencia se trazan secantes, los segmentos interior y exterior de la ra secante mide 6cm y 9cm respectivamente, el segmento exterior de la da mide 5cm, uánto mide su segmento interno? R/ 3cm. atos = centro de la circunferencia rco LI = 50º rco V = 80º < 3 = 0º Hallar rco IV < VLU < < 4 <5 R/ 50º; 40º; 40º; 60º; 40º. 9.-Una cuerda de 4cm se une al diámetro por uno de sus extremos. La proyección de la cuerda sobre el diámetro mide 3cm. uánto mide la parte del diámetro que no pertenece a la proyección de tal cuerda sobre el diámetro R/,33cm 4 3 V 5 L I U
15 0 0.-atos = centro de la circunferencia < = 45º < = 80º rco T = rco K = 50º T R Hallar rco V rco VK < KTR < VTK R/ 30º; 80º; 40º; 40º. V 6 K.- esde el punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes: el segmento interior y exterior de la primera miden 4 cm y 3 cm respectivamente; el segmento interior de la segunda mide 6 cm, cuánto mide su segmento externo R/,47cm.-Hallar el valor de los segmentos x, y. R/,5cm;,83 cm 5cm 4cm 3,78cm x y F 3.- esde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos segmentos uno tangente y el otro secante. l segmento tangente mide 8cm. i el segmento interno de la secante mide 5cm. uánto mide el externo? 4. -Para el siguiente gráfico se conoce: arco = 00 0 rco = 80 0 <6 = 30 0,<3 = 0 0 l segmento, no pasa por el centro de la circunferencia H 4 Hallar el valor de los ángulos, 4 y
16 0 R ; 0 0 ; ado el valor de los siguientes ángulos: Ángulo = 0 0 ; Ángulo = 40 0 ; Ángulo 3 = 50 0 ; Ángulo 5 = 30 0 Ángulo 6 = = No es el centro de la circunferencia. Hallar el valor de los arcos: ; ;. H egún el siguiente gráfico se pide calcular: UV (). iámetro VN NL Longitud de la circunferencia Área del círculo R. 0,66 cm;,34 cm; 33,48 cm; 89,4 cm ; 4,4 cm 3 V 5 cm N F U 0 cm 6 cm L
17 Para el siguiente gráfico se conoce: arco = 0º rco = 00º <6 = 35º < = 60º l segmento, no pasa por el centro de la circunferencia. Hallar el valor de los ángulos 3, 4, 5 H atos: 0 = centro de la circunferencia N = iámetro NR = 5 cm R = 40 cm Hallar: N; N X Y N 5 cm R 40 cm
Además del centro y el radio, distinguen: 1. Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. EF
23 1.5 ircunferencia efinición ado un punto y una distancia r, la circunferencia de centro y radio r, es el conjunto de puntos del plano y solo ellos, que están a la distancia r del punto. La circunferencia
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